1、（精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题五专题五 图形图形 运动中的函数关系问题运动中的函数关系问题 类型一 【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】 【典例指引 1】如图，在ABC中，90A，3AB ，4AC ，点,M Q分别是边,AB BC上的动 点（点M不与,A B重合） ，且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设 BQ为x （1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值 【举一反三】 如
2、图 1，在矩形ABCD中，8AB，10AD，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折 叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G （1）求线段CE的长； （2） 如图 2，M，N分别是线段AG，DG上的动点 （与端点不重合） ， 且DMNDAM， 设A M x ， DNy 写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值； 是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】 【典例指引 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 4yx 分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线 2 3y
3、axxc经过,A C两点， 并且与x轴交于另一点B.点D为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C重 合)，过点D作DFx轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE.设点D的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式; (2)当ECDEDC 时，求出此时m的值; (3)点D在运动的过程中， EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明 理由. 【举一反三】 如图， 直线 y=x+分别与 x 轴、 y 轴交于 B、 C 两点， 点 A 在 x 轴上， ACB=90 ， 抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）
4、点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点， 过点 M 作 MHBC 于点 H， 作 MDy 轴交 BC 于点 D， 求 DMH 周长的最大值 类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】 【典例指引 3】如图，抛物线 2 3yaxbx（a，b 是常数，且a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交 于点 C并且 A，B 两点的坐标分别是 A(1，0)，B(3，0) （1）求抛物线的解析式；顶点 D 的坐标为_；直线 BD 的解析式为_； （2）若 P 为线段 BD 上的一个动点，其横坐标为 m，过点 P 作 PQx 轴于点 Q，求当 m 为何值时，四边 形 PQOC 的面积最大
5、？ （3） 若点 M 是抛物线在第一象限上的一个动点， 过点 M 作 MNAC 交x轴于点 N 当点 M 的坐标为_ 时，四边形 MNAC 是平行四边形 【举一反三】 如图 1，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） 、C（3，0） ，点 B 为抛物线顶点，直线 BD 为抛物线 的对称轴，点 D 在 x 轴上，连接 AB、BC，ABC90 ，AB 与 y 轴交于点 E，连接 CE （1）求项点 B 的坐标并求出这条抛物线的解析式； （2）点 P 为第一象限抛物线上一个动点，设 PEC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，求 S 关于 m 的函数关 系武，并求出 S 的最大
6、值； （3）如图 2，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD，若存在请直 接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 【新题训练】 1如图，已知直线 AB 经过点（0，4） ，与抛物线 y= 1 4 x2交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标是2 (1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标 (2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在请说明理由 (3）过线段 AB 上一点 P，作 PMx 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限，点 N（0，1） ，当点 M 的横 坐标为何值时，MN+3MP 的
7、长度最大？最大值是多少？ 2如图，抛物线 y=ax2 +bx+ 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）在直线 EF 上求一点 H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积 3如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 C（0，3） ，与 x 轴分别交于点 A，点 B（3，
8、0） 点 P 是 直线 BC 上方的抛物线上一动点 （1）求二次函数 y=ax2+2x+c 的表达式； （2）连接 PO，PC，并把 POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC若四边形 POPC 为菱形，请求出此时 点 P 的坐标； （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ACPB 的最大面 积 4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2mxn 经过点 A(3，0)、B(0，3)，点 P 是直线 AB 上的动 点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t (1)分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 (2)
9、若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求 ABM 的面积 (3)是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 5如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点 ，点在 函数图像上，轴，且，直线 是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点 （1）求、的值； （2）如图，连接，线段上的点关于直线 的对称点恰好在线段上，求点的坐标； （3）如图，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点试 问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求 出点的坐标；如果不存在
10、，说明理由 6 如图， 在矩形 ABCD 中， AB6cm， AD8cm， 连接 BD， 将 ABD 绕 B 点作顺时针方向旋转得到 ABD （B与 B 重合） ，且点 D刚好落在 BC 的延长上，AD与 CD 相交于点 E （1）求矩形 ABCD 与 ABD重叠部分（如图中阴影部分 ABCE）的面积； （2） 将 ABD以 2cm/s 的速度沿直线 BC 向右平移， 当 B移动到 C 点时停止移动 设矩形 ABCD 与 ABD 重叠部分的面积为 ycm2，移动的时间为 x 秒，请你求出 y 关于 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范 围 7如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的
11、图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C （0，3） （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M，连接 PC 求线段 PM 的最大值； 当 PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标 8已知抛物线 yax2bxc 经过 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； (3)在直线 l 上是否存在点 M，使 MAC
12、为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由 9 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线 2 2yaxxc与直线y kxb 都经过(0, 3)A、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线AB的解析式； （2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线EB上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交抛物 线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点 P 是直线AB下方抛物线上的一动点，当PAB面积最大时，求点 P 的坐标，并求PAB面积的 最大值
13、10如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（0，3)、B（1，0） ，其对称轴为直线 l：x=2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐 标为 m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求 出其最大值； （3）如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使 POF 成为以点 P 为直角顶点 的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明
14、理由. 11在平面直角坐标系中，抛物线 2 23yxx 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D （1）请直接写出点 A，C，D 的坐标； （2）如图（1） ，在 x 轴上找一点 E，使得 CDE 的周长最小，求点 E 的坐标； （3）如图（2） ，F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得 AFP 为等腰直角三角形？若存 在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 12已知抛物线 2 (0)yaxbxc a过点 (1,0)A，(3,0)B两点，与 y 轴交于点 C， =3OC (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2)过
15、点 A 作AMBC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM 为正方形； (3)点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点 P 的坐标； (4)若点 Q 为线段 OC 上的一动点， 问： 1 2 AQQC是否存在最小值？若存在， 求岀这个最小值； 若不存在， 请说明理由 13 如图， 抛物线 2 1 2 yxbxc 过点(3,2)A， 且与直线 7 2 yx 交于B、 C两点， 点B的坐标为(4,)m （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点 D 作DEx轴交直线BC于点 E，点 P 为对称轴上 一动点，当线段DE的长度最大时，求
16、PDPA的最小值； （3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 Q，使45AQM ？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 14如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 AD 边上的动点，从点 A 开始沿 AD 向 D 运动以 BE 为边， 在 BE 的上方作正方形 BEFG，EF 交 DC 于点 H，连接 CG、BH请探究： （1）线段 AE 与 CG 是否相等？请说明理由 （2）若设 AE=x，DH=y，当 x 取何值时，y 最大？最大值是多少？ （3）当点 E 运动到 AD 的何位置时， BEHBAE？ 15如图，抛物线 2 yaxbxc的图象过点( 10)
17、(30)(0 3)ABC，、，、，. （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及 PAC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M（不与 C 点重合） ，使得 PAMPAC SS ？若存 在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 16如图，已知抛物线 y= 1 3 x2+bx+c 经过 ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点 B（9，10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y
18、 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 17如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D， 已知 A（1，0） ，C（0，2） （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点 的坐标；如果不存在
19、，请说明理由； （3） 点 E 时线段 BC 上的一个动点， 过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F， 当点 E 运动到什么位置时， 四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标 类型一 【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】 【典例指引 1】如图，在ABC中，90A，3AB ，4AC ，点,M Q分别是边,AB BC上的动点（点 M不与 ,A B重合） ，且MQBC ，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为 x （1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理
20、由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值 【答案】 （1） 见解析； （2） 当B Q M N时， 四边形BMNQ为平行四边形； （3） 当 45 8 x 时， 四边形BMNQ 的面积最大，最大值为 75 2 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到MQB=CAB，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答； （3）根据勾股定理求出 BC，根据相似三角形的性质用 x 表示出 QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函 数解析式，根据二次函数性质计算即可 【详解】 解： （1）MQBC， 90MQB ， MQBCAB ，又QBMABC ，
21、QBMABC； （2）当BQMN时，四边形BMNQ为平行四边形， / /MNBQ，BQMN， 四边形BMNQ为平行四边形； （3）90, 3,4AABAC ， 22 5BCABAC ， QBMABC， QBQMBM ABACBC ，即 345 xQMBM ， 解得， 45 , 33 QMxBMx， /BCMN， MNAM BCAB ，即 5 3 3 53 x MN ， 解得， 25 5 9 MNx， 则四边形BMNQ的面积 2 1254324575 5 2932782 xxxx ， 当 45 8 x 时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为 75 2 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质
22、、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定 理、二次函数的性质是解题的关键 【举一反三】 如图 1，在矩形ABCD中，8AB，10AD，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折 叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G （1）求线段CE的长； （2） 如图 2，M，N分别是线段AG，DG上的动点 （与端点不重合） ， 且DMNDAM， 设A M x ， DNy 写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值； 是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）3CE ；（2） 当 4 5x 时，y有
23、最小值， 最小值2； 存在 满足条件的x的值为8 5 10 或11 5 2 【解析】 【分析】 1由翻折可知：10.ADAFDEEF，设ECx，则8.DEEFx 在Rt ECF中，利用勾股 定理构建方程即可解决问题 2 证明ADMGMN，可得 ADAM MGGN ，由此即可解决问题 有两种情形：如图3 1中，当MNMD时.如图3 2中，当MNDN时，作MHDG于.H分别 求解即可解决问题 【详解】 解： （1）如图 1 中， 四边形ABCD是矩形， 10ADBC，8ABCD， 90BBCD ， 由翻折可知：10ADAFDEEF，设ECx，则8DEEFx 在Rt ABF中， 22 6BFAFAB
24、 ， 10 64CFBCBF ， 在Rt EFC中，则有： 2 22 84xx， 3x ， 3EC （2）如图 2 中， AD CG， ADDE CGCE ， 105 3CG ， 6CG ， 16BGBCCG， 在Rt ABG中， 22 8168 5AG ， 在Rt DCG中， 22 6810DG ， 10ADDG， DAGAGD， DMGDMNNMGDAMADM，DMNDAM， ADMNMG， ADMGMN， ADAM MGGN ， 10 108 5 x yx ， 2 14 5 10 105 yxx 当 4 5x 时，y有最小值，最小值2 存在有两种情形：如图 3-1 中，当MNMD时， M
25、DNGMD，DMNDGM， DMNDGM， DMMN DGGM ， MNDM， 10DGGM， 8 510xAM 如图 3-2 中，当MNDN时，作MHDG于H MNDN， MDNDMN， DMNDGM， MDGMGD， MDMG， BHDG， 5DHGH， 由GHMGBA，可得 GHMG GBAG ， 5 168 5 MG ， 5 5 2 MG ， 5 511 5 8 5 22 xAM 综上所述，满足条件的x的值为8 510或11 5 2 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰 三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数
26、构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考 问题，属于中考压轴题 类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】 【典例指引 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 4yx 分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线 2 3yaxxc经过,A C两点， 并且与x轴交于另一点B.点D为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C重 合)，过点D作DFx轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE.设点D的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式; (2)当ECDEDC 时，求出此时m的值; (3)点D在运动的过程中， EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明 理由. 【答案】(1
27、) 2 34yxx；(2)当ECDEDC时， 42m ；(3)存在.1.5m时， BEF的周 长最小. 【解析】 【分析】 (1)易求( ),)4 0 04(AC，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E作EH y轴，垂足为H，易得：点 2 ,34 , ,4D m mmE m m，进而可知： ,EHHCm 22 4 344EDmmmmm ， 2ECm ，根据ECDEDC时， ECED，列出方程，即可求解； (3)易证：BFE的周长=BFFEBEBFAFBE ABBE，可知：当BE最小，即BEAC 时，BFE的周长最小，进而可求出BEF的周长最小时，m 的值. 【详解】 (1)在 4yx 中
28、，当0x时，4y ；当0y 时，4x， 4 0()0,( 4AC，. 把4,0 ,0, 4AC代入 2 3yaxxc中， 得： 16120 4 ac c ，解得 1 4 a c ， 抛物线的解析式是 2 34yxx； (2)过点E作EH y 轴，垂足为H. 4OAOC， 45OACOCA， 45HECHCE. 点 2 ,34 , ,4D m mmE m m ， ,EHHCm 22 4 344EDmmmmm ， 2ECm ， 当 ECDEDC时，ECED， 2 2 4mmm ， 解得： 1 0m (舍去)， 2 42m . 当 ECDEDC时， 42m ； (3)存在. 在抛物线 2 34yxx
29、中， 当0y 时， 2 340xx，解得 12 1,4xx ， 点B坐标为1,0. 45FAEFEA， EFAF. 设BFE的周长为l， 则lBFFEBEBFAFBEABBE， ABQ的值不变， 当BE最小，即BE AC时，BFE的周长最小. 当BEAC时，45EBABAE， BEAE， 2.5BFAF， 1.5m时，BEF的周长最小. 【点睛】 本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点 E 的坐标用未知数 m 表示出来，是解题的关键，体 现了数形结合的思想方法. 【举一反三】 如图， 直线 y=x+分别与 x 轴、 y 轴交于 B、 C 两点， 点 A 在 x 轴上， ACB=90
30、， 抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3） 点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点， 过点 M 作 MHBC 于点 H， 作 MDy 轴交 BC 于点 D， 求 DMH 周长的最大值 【答案】 （1） （1，0） （2）y=x2+x+（3） 【解析】 试题分析： （1）由直线解析式可求得 B、C 坐标，在 Rt BOC 中由三角函数定义可求得OCB=60 ，则在 Rt AOC 中可得ACO=30 ，利用三角函数的定义可求得 OA，则可求得 A 点坐标； （2）由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （
31、3）由平行线的性质可知MDH=BCO=60 ，在 Rt DMH 中利用三角函数的定义可得到 DH、MH 与 DM 的关系，可设出 M 点的坐标，则可表示出 DM 的长，从而可表示出 DMH 的周长，利用二次函数的性 质可求得其最大值 试题解析： （1）直线 y=x+分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点， B（3，0） ，C（0，） ， OB=3，OC=， tanBCO=， BCO=60 ， ACB=90 ， ACO=30 ， =tan30 =，即=，解得 AO=1， A（1，0） ； （2）抛物线 y=ax2+bx+经过 A，B 两点， ，解得， 抛物线解析式为 y=x2+x+； （3）M
32、Dy 轴，MHBC， MDH=BCO=60 ，则DMH=30 ， DH=DM，MH=DM， DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM， 当 DM 有最大值时，其周长有最大值， 点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点， 可设 M（t，t2+t+） ，则 D（t， t+） ， DM=t2+t+） ，则 D（t， t+） ， DM=t2+t+（ t+）=t2+t=（t）2+， 当 t=时，DM 有最大值，最大值为， 此时DM=， 即 DMH 周长的最大值为 考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4 方程思想 类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式
33、及其最值】 【典例指引 3】如图，抛物线 2 3yaxbx（a，b 是常数，且a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交 于点 C并且 A，B 两点的坐标分别是 A(1，0)，B(3，0) （1）求抛物线的解析式；顶点 D 的坐标为_；直线 BD 的解析式为_； （2）若 P 为线段 BD 上的一个动点，其横坐标为 m，过点 P 作 PQx 轴于点 Q，求当 m 为何值时，四边 形 PQOC 的面积最大？ （3） 若点 M 是抛物线在第一象限上的一个动点， 过点 M 作 MNAC 交x轴于点 N 当点 M 的坐标为_ 时，四边形 MNAC 是平行四边形 【答案】 （1） 2 yx2x3
34、；(1，4)； 26yx ； （2）当 9 4 m 时，S最大值= 81 16 ； （3）(2，3) 【解析】 【分析】 （1）把点 A、点 B 的坐标代入 2 3yaxbx，求出a，b 即可；根据顶点坐标公式 2 4 (,) 24 bacb aa 求解；设直线 BD 的解析式为ykxn，将点 B、点 D 的坐标代入即可； （2）求出点 C 坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形 PQOC 的面积 s 与 m 的关系式，可求得面积的 最大值； （3）要使四边形 MNAC 是平行四边形只要/MC AN即可，所以点 M 与点 C 的纵坐标相同，由此可求得点 M 坐标. 【详解】 解： （1）把 A
35、（1，0） ，B（3，0）代入 2 3yaxbx，得 30, 9330. ab ab 解得 1, 2. a b 2 23.yxx 当 2 1 22 b x a =-=-= - 时， 2 4124 4 44 acb y a 所以顶点坐标为（1，4） 设直线 BD 的解析式为ykxn，将点 B（3，0） 、点 D（1，4）的坐标代入得 30 4 kn kn ，解得 2 6 k n 所以直线 BD 的解析式为26.yx （2）点 P 的横坐标为 m，则点 P 的纵坐标为26m 当0x时， 0033.y C（0，3） 由题意可知： OC=3，OQ=m，PQ=26m s= 1 ( 263) 2 mm =
36、 2 9 2 mm = 2 981 () 416 m. 10，1 9 4 3， 当 9 4 m 时，s最大值= 81. 16 如图，MNAC，要使四边形 MNAC 是平行四边形只要/MC AN即可. 设点 M 的坐标为 2 23)( , xxx， 由 2 yx2x3 可知点 (0,3)C /MC AN 2 233xx 解得2x或 0（不合题意，舍去） 2 234433xx 当点 M 的坐标为（2，3）时，四边形 MNAC 是平行四边形 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形 和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合
37、是解题的关键. 【举一反三】 如图 1，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） 、C（3，0） ，点 B 为抛物线顶点，直线 BD 为抛物线 的对称轴，点 D 在 x 轴上，连接 AB、BC，ABC90 ，AB 与 y 轴交于点 E，连接 CE （1）求项点 B 的坐标并求出这条抛物线的解析式； （2）点 P 为第一象限抛物线上一个动点，设 PEC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，求 S 关于 m 的函数关 系武，并求出 S 的最大值； （3）如图 2，连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD，若存在请直 接写出点 Q 的坐标
38、；若不存在，说明理由 【答案】 （1）点 B 坐标为（1，2） ，y 1 2 x2+x+ 3 2 ； （2）S 3 4 m2+2m+ 3 4 ，S 最大值 25 12 ； （3）点 Q 的 坐标为（ 1 3 ， 10 9 ） 【解析】 【分析】 （1）先求出抛物线的对称轴，证 ABC 是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出 BD 的长，即可写出点 B 的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式； （2）求出直线 AB 的解析式，点 E 的坐标，用含 m 的代数式表示出点 P 的坐标，如图 1，连接 EP，OP， CP，则由 S EPCS OEP+S OCPS OCE即可求出 S
39、关于 m 的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出 S 的最大值； （3）先证 ODBEBC，推出OBDECB，延长 CE，交抛物线于点 Q，则此时直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD，求出直线 CE 的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点 Q 的坐标 【详解】 解： （1）A（1，0） 、C（3，0） ， AC4，抛物线对称轴为 x 13 2 1， BD 是抛物线的对称轴， D（1，0） ， 由抛物线的对称性可知 BD 垂直平分 AC， BABC， 又ABC90 ， BD 1 2 AC2， 顶点 B 坐标为（1，2） ， 设抛物线的解析式为 ya（x1）2+2， 将 A（1，0）
40、代入， 得 04a+2， 解得，a 1 2 ， 抛物线的解析式为：y 1 2 （x1）2+2 1 2 x2+x+ 3 2 ； （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 将 A（1，0） ，B（1，2）代入， 得 0 2 kb kb ， 解得，k1，b1， yABx+1， 当 x0 时，y1， E（0，1） ， 点 P 的横坐标为 m， 点 P 的纵坐标为 1 2 m2+m+ 3 2 ， 如图 1，连接 EP，OP，CP， 则 S EPCS OEP+S OCPS OCE 1 2 1 m+ 1 2 3（ 1 2 m2+m+ 3 2 ） 1 2 1 3 3 4 m2+2m+ 3 4 ， 3 4
41、（m 4 3 ）2+ 25 12 ， 3 4 0，根据二次函数和图象及性质知，当 m 4 3 时，S 有最大值 25 12 ； （3）由（2）知 E（0，1） ， 又A（1，0） ， OAOE1， OAE 是等腰直角三角形， AE 2OA2， 又ABBC 2 2 AB2 2， BEABAE 2， 21 22 2 BE BC ， 又 1 2 OD BD ， BEOD BCBD ， 又ODBEBC90 ， ODBEBC， OBDECB， 延长 CE，交抛物线于点 Q，则此时直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD， 设直线 CE 的解析式为 ymx+1， 将点 C（3，0）代入， 得，3m+1
42、0， m 1 3 ， yCE 1 3 x+1， 联立 2 13 22 1 1 3 yxx yx ， 解得， 3 0 x y 或 1 3 10 9 x y ， 点 Q 的坐标为（ 1 3 ， 10 9 ） 【点睛】 本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物 线的解析式是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线. 【新题训练】 1如图，已知直线 AB 经过点（0，4） ，与抛物线 y=x2交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标是 (1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标 (2）在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC 是直角三角形？若存
43、在，求出点 C 的坐标，若不存在请说明理由 (3）过线段 AB 上一点 P，作 PMx 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限，点 N（0，1） ，当点 M 的横 坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？ 【答案】 （1）直线 y=x+4，点 B 的坐标为（8，16） ； （2）点 C 的坐标为（ ，0） ， （0，0） ， （6，0） ， （32，0） ； （3）当 M 的横坐标为 6 时，MN+3PM 的长度的最大值是 18 【解析】 【分析】 （1）首先求得点 A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标； （2）分若BAC=90 ，则
44、AB2+AC2=BC2；若ACB=90 ，则 AB2=AC2+BC2；若ABC=90 ，则 AB2+BC2=AC2 三种情况求得 m 的值，从而确定点 C 的坐标； （3） 设 M （a， a2） ， 得 MN=a2+1， 然后根据点 P 与点 M 纵坐标相同得到 x= ， 从而得到 MN+3PM= a2+3a+9，确定二次函数的最值即可 【详解】 （1）点 A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2， ,A 点的坐标为（-2，1） ， 设直线的函数关系式为 y=kx+b， 1 4 2 3 2 1 2 1 4 1 4 2 16 6 a 1 4 2 1 ( 2)1 4 y 将（0，4） ， （-2
45、，1）代入得 解得 yx4 直线与抛物线相交， 解得：x=-2 或 x=8， 当 x=8 时，y=16， 点 B 的坐标为（8，16） ； （2）存在 由 A(2，1)，B(8，16)可求得 AB2=325 .设点 C(m，0)， 同理可得 AC2(m2)212m24m5， BC2(m8)2162m216m320， 若BAC90 ，则 AB2AC2BC2，即 325m24m5m216m320，解得 m ； 若ACB90 ，则 AB2AC2BC2，即 325m24m5m216m320，解得 m0 或 m6； 若ABC90 ，则 AB2BC2AC2，即 m24m5m216m320325，解得 m32， 点 C 的坐标为(，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) （3）设 M(a，a2)， 则 MN， 又点 P 与点 M 纵坐标相同，
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