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    2020届福建省福州市高中毕业班质量检测理科数学试题(含答案解析)

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    2020届福建省福州市高中毕业班质量检测理科数学试题(含答案解析)

    1、2020 年高考(理科)数学(年高考(理科)数学(4 月份)模拟试卷月份)模拟试卷 一、选择题. 1已知集合 Mx|x24,Nx|2x4,则 MN( ) Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x2 Dx|0x2 2设复数 z 满足|z+1|zi|,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 3如图,网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图,则该 三棱锥的体积为( ) A81 B27 C18 D9 42021 年开始,我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式,即除语文数学、外语 3 门必选 科目外,考生再从物理、历史中选 1 门,从化学

    2、、生物、地理、政治中选 2 门作为选考 科目为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩 放成 5 分制,绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是 ( ) A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 5 的展开式中 x3的系数为( ) A7 B5 C6 D7 6 已知数列an为等差数列, 若 a1 , a 6为函数 f (x) x 29x+14 的两个零点, 则 a 3a4 ( ) A14 B9 C14 D2

    3、0 7已知函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)x2ln(x),则曲线 yf(x)在 x 1 处的切线方程为( ) Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 8 已知双曲线 : , 的一条渐近线与圆 相交于 A, B 两点,若|AB|2,则 C 的离心率为( ) A B C2 D4 9已知函数 f(x)sin(x+)某个周期的图象如图所示,A,B 分别是 f(x)图象的最 高点与最低点,C 是 f(x)图象与 x 轴的交点,则 tanBAC( ) A B C D 10已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点,则 ( )的最小值为 ( ) A1 B3 C D 1

    4、1概率论起源于博弈游戏.17 世纪,曾有一个“赌金分配“的问题:博弈水平相当的甲、 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负, 没有平局 双方约定, 各出赌金 48 枚金币, 先赢 3 局者可获得全部赌金;但比赛中途因故终止了,此时甲赢了 2 局,乙赢了 1 局向 这96枚金币的赌金该如何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为 “概率 “的知识, 合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( ) A甲 48 枚,乙 48 枚 B甲 64 枚,乙 32 枚 C甲 72 枚,乙 24 枚 D甲 80 枚,乙 16 枚 12已知二面角 PABC 的大小为 120,且PABABC90,ABAP,AB+BC

    5、6 若点 P,A,B,C 都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为( ) A45 B C D 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在是中的横线上. 13设 x,y 满足约束条件 , , 则 zx3y 的最小值为 14设数列an满足 a11,an+14an,则 a1a2an 15已知两条抛物线 C:y22x,E:y22px(p0 且 p1),M 为 C 上一点(异于原点 O),直线 OM 与 E 的另一个交点为 N若过 M 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍,则 p 16已知函 f(x)axlnx1,g(x) ,用

    6、maxm,n表示 m,n 中的最大值,设 (x)maxf(x)g(x)若 (x) 在(0,+)上恒成立,则实数 a 的取值 范围为 三、 解答题: 本大是共 5 小题, 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题,每个试必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据求作答.(一)必考题:共 60 分 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 bsinAa(2+cosB) (1)求 B; (2)若ABC 的面积等于 ,求ABC 的周长的小值 18如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC 是边长为 6 的等边三角形,D,E 分别为 AA1

    7、,BC 的中点 (1)证明:AE平面 BDC1; (2) 若异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 求 DE 与平面 BDC1所成角的正弦值 19已知椭圆 : 的焦距为 2 ,且过点( ,1) (1)求 C 的方程; (2)若直线 l 与 C 有且只有一个公共点,1 与圆 x2+y26 交于 A,B 两点,直线 OA, OB 的斜率分别记为 k1,k2试判断 k1 k2是否为定值,若是,求出该定值;否则,请说 明理由 20 某地区在一次考试后, 从全体考生中随机抽取 44 名, 获取他们本次考试的数学成绩 (x) 和物理成绩(y),绘制成如图触点图: 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有

    8、线性相关关系,但图中有两个异常点 A,B经调查得 知,A 考生由于 1 感冒导致物理考试发挥失常,B 考生因故未能参加物理考试为了使分 析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计 k 的值: , , , , ,其中 xi,yi分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理 成绩,i1,2,42,y 与 x 的相关系数 r0.82 (1)若不剔除 A,B 两名考生的数据,用 44 组数据作回归分析,设此时 y 与 x 的相关系 数为 r0试判断 r0与 r 的大小关系,并说明理由; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并估计如果 B 考生加了这次物

    9、理 考试(已知 B 考生的数学成绩为 125 分),物理成绩是多少?(精确到个位); (3)从概率统计规律看,本次考试该地区的物理成绩 服从正态分布 N(,2)以 剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数 作为 的估计值,用样本方差 s2作为2的 估计值试求该地区 5000 名考生中,物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数 Z 的数学 期望 附:回归方程 中: , 若 N (, 2) , 则 P (+) 0.6826, P (2+2) 0.9544 11.2 21已知函数 f(x)(x+sinxcosx)ex (1)若 f(x)为 f(x)的导函数,且 g(x)f(x)f(x),求函数 g

    10、(x)的单 调区间; (2)若 x0,证明:f(x)x21 (二)选考:共 10 分.请考生在第 22,23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个 题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参 数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 , ( 为参数),以坐标 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 (1)求 C1的极坐标方程; (2)若 C1与曲线 C2:2sin 交于 A,B 两点,求|OA| |OB|的值 选修 4-5;不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|2xa| (1)当 a3 时,解不等

    11、式 f(x)2; (2)若不等式|x1|+f(x)3 的解集非空,求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:共 12 小意,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x24,Nx|2x4,则 MN( ) Ax|x2 Bx|2x2 Cx|2x2 Dx|0x2 【分析】可以求出集合 M,N,然后进行交集的运算即可 解:Mx|2x2,Nx|x2, MNx|2x2 故选:B 2设复数 z 满足|z+1|zi|,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 【分析】由复数 z 满足|z+1|xi|,利用

    12、模的计算公式可得: ,化简即可得出 解:复数 z 满足|z+1|xi|, ,化为:x+y0, 故选:D 3如图,网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图,则该 三棱锥的体积为( ) A81 B27 C18 D9 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为三棱锥体 如图所示: 所以三棱锥的底面的各边长为 ,BDCD , 所以底边上的高为 h , 底面积 S , 所以该三棱锥的体积为 故选:B 42021 年开始,我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式,即除语文数学、外语 3 门必选 科目外,考生再从物理、历

    13、史中选 1 门,从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选考 科目为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩 放成 5 分制,绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是 ( ) A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 【分析】根据图表进行选项判断,可知 C 错误 解:甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物(物理), C 选项错, 故选:C 5 的展开式中 x3的系数为( ) A7 B5 C

    14、6 D7 【分析】把(1x)4按照二项式定理展开,求得(x )(1x) 4 展开式中含 x3项的 系数 解:二项式(1x)4 x x2 x3 x4 14x+6x24x3+x4, (x )(1x) 4(x )(14x+6x 24x3+x4), 展开式中含 x3项的系数为: 16+(1)15 故选:B 6 已知数列an为等差数列, 若 a1 , a 6为函数 f (x) x 29x+14 的两个零点, 则 a 3a4 ( ) A14 B9 C14 D20 【分析】由韦达定理得 a1+a69,结合等差数列求出舍去的项,由此能求出结果 a3a4 解:等差数列an中,a1,a6为函数 f(x)x29x+

    15、14 的两个零点, a1+a69,a1a614,所以 a12,a67,或 a17,a 62, 当 a12,a67 时,d1,a34,a45, 所以 a3a420 当 a17,a62 时,d1,a35,a44, a3a420 故选:D 7已知函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)x2ln(x),则曲线 yf(x)在 x 1 处的切线方程为( ) Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 【分析】根据偶函数的性质,可分别求出 x1 时的坐标与导数,然后求出 x1 处的 切线方程 解:根据偶函数的图象关于 y 轴对称,所以在关于 y 轴对称的两点处,函数值相等,且 切线也关于 y 轴

    16、对称, 所以切点关于 y 轴对称,切线斜率互为相反数 f(1)f(1)1,故切点为(1,1), x0 时,f(x) ,所以 f(1)f(1)1 故切线方程为 y1x1,即 xy0 故选:A 8 已知双曲线 : , 的一条渐近线与圆 相交于 A, B 两点,若|AB|2,则 C 的离心率为( ) A B C2 D4 【分析】求出双曲线的渐近线方程,圆的圆心与半径,利用体积推出 ab 关系式,然后求 解离心率即可 解:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为:bx+ay0, 圆 相的圆心(0,2 ),半径为:2, 双曲线 : , 的一条渐近线与圆 相交于 A,B 两点,若|AB|2, 可得 , 3 即:

    17、b23a2, 可得 c2a23a2, 解得 e 2 故选:C 9已知函数 f(x)sin(x+)某个周期的图象如图所示,A,B 分别是 f(x)图象的最 高点与最低点,C 是 f(x)图象与 x 轴的交点,则 tanBAC( ) A B C D 【分析】根据条件设出 C 的坐标,求出 A,B 的坐标,再结合两角差的正切公式即可求 解结论 解:由题可得周期为 2; 设 C(a,0)则 B(a ,1),A(a ,1); KAC ,KAB 2; 又BAC 为两直线倾斜角的差, tanBAC 故选:B 10已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点,则 ( )的最小值为 ( ) A1

    18、B3 C D 【分析】建立坐标系,求出各点坐标,表示出对应的向量坐标,代入数量积整理后即可 求解 解:建立如图所示坐标系, 设 P(x,y),则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2); (2x,2y), (2x,y)+(x,2y)(22x,22y); 则 ( )(2x) (22x)+ (2y) (22y)2 (x ) 2 2(y ) 2 2(x ) 2+2(y ) 21; 当 xy 时, ( )的最小值为1; 故选:A 11概率论起源于博弈游戏.17 世纪,曾有一个“赌金分配“的问题:博弈水平相当的甲、 乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负, 没有平局 双方约定, 各出赌金

    19、 48 枚金币, 先赢 3 局者可获得全部赌金;但比赛中途因故终止了,此时甲赢了 2 局,乙赢了 1 局向 这96枚金币的赌金该如何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为 “概率 “的知识, 合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( ) A甲 48 枚,乙 48 枚 B甲 64 枚,乙 32 枚 C甲 72 枚,乙 24 枚 D甲 80 枚,乙 16 枚 【分析】根据题意,计算甲乙两人获得 96 枚金币的概率,据此分析可得答案 解:根据题意,前三局比赛中,博弈水平相当的甲、乙,即两人获胜的概率均为 , 假设两人继续进行比赛:甲获取 96 枚金币的概率 P1 , 乙获取 96 枚金币的概率 P2

    20、 , 则甲应该获得 96 72 枚金币; 乙应该获得 96 24 枚金币; 故选:C 12已知二面角 PABC 的大小为 120,且PABABC90,ABAP,AB+BC 6 若点 P,A,B,C 都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为( ) A45 B C D 【分析】设 ABx,(0x6),则 BC6x,由题意知三棱锥外接球的球心是过 PAB 和ABC 的外心 E,H,且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点 O,OB 为 三棱锥外接球半径,取 AB 的中点为 G,推导出EGH 的外接圆直径 OG , 从而OB 2OG2+GB2 (x ) 2 , 当 x 时, OB2的最小值为 ,

    21、由 此能求出该球的表面积的最小值 解:设 ABx,(0x6),则 BC6x, 由题意知三棱锥外接球的球心是过PAB 和ABC 的外心 E,H, 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点 O, OB 为三棱锥外接球半径,取 AB 的中点为 G,如图, 由条件知 EG ,GH3 ,GB , 在EGH 中, EH2( ) 2+(3 ) 22 , EGH 的外接圆直径 OG , OB2OG2+GB2 ( )+( ) 2 (x )2 , 当 x 时,OB2的最小值为 , 该球的表面积的最小值为:S4OB2 故选:B 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在是中的横线上. 13

    22、设 x,y 满足约束条件 , , 则 zx3y 的最小值为 7 【分析】先根据条件画出可行域,设 zx3y,再利用几何意义求最值,将最小值转化 为 y 轴上的截距最大,只需求出直线 zx3y,过可行域内的点 A 时的最小值,从而得 到 z 最小值即可 解:在坐标系中画出 x,y 满足约束条件 , , 的可行域,如图所示: 由 zx3y 可得 y ,则 z 表示直线 zx3y 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越小 平移直线 3x2y0 经过点 A 时,z 最小, 由 可得 A(2,3), 此时最小值为:7, 则目标函数 zx3y 的最小值为7 故答案为:7 14设数列an满足 a11,an+1

    23、4an,则 a1a2an 2n(n1) 【分析】由已知结合等比数列的定义及通项公式即可求解 解:由题意可知,数列an是以 a11 为首项,以 4 为公比的等比数列, 故 a1a2an40 414n1 2 n(n1) 故答案为:2n(n1) 15已知两条抛物线 C:y22x,E:y22px(p0 且 p1),M 为 C 上一点(异于原点 O),直线 OM 与 E 的另一个交点为 N若过 M 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍,则 p 4 【分析】由题意设 M 的坐标,求出直线 OM 的方程,与抛物线 E 联立求出 N 的坐标,设 直线 AB 的方

    24、程,求出 O,E 到直线 AB 的距离,求出ABN 的面积与ABO 面积之比, 再由ABN 的面积是ABO 面积的 3 倍可得 p 的值 解:设 M( ,b),则直线 OM 的方程为:y x,即 x y,代入 y 22px(p0 且 p 1),可得 ypb,x ,即 E( ,bp), 由题意可得显然直线 AB 的斜率不为 0,设直线 AB 的方程为:xm(yb) ,即 2x 2my+2mbb20, 所 以O到 直 线AB的 距 离d1 , E到 直 线AB 的 距 离 d2 |p1| , 因为 3,所以 3 |p1| ,因为 2mbb2 0, 所以|p1|3,p0 解得 p4, 故答案为:4

    25、16已知函 f(x)axlnx1,g(x) ,用 maxm,n表示 m,n 中的最大值,设 (x)maxf(x)g(x)若 (x) 在(0,+)上恒成立,则实数 a 的取值 范围为 ,+) 【分析】讨论 0x3,x3,g(x)与 y 的关系,问题转化为 f(x) 在(0,3) 恒成立,运用参数分离和构造函数法,结合导数求得最大值,可得所求范围 解:当 x(0,3)时,g(x) ;x3,+)时,g(x) ,所以 (x) 在 3,+)必成立, 问题转化为 f(x) 在(0,3)恒成立,由 axlnx1 恒成立,可得 a 在 x(0,3)恒成立, 设 h(x) ,x(0,3),可得 h(x) ,由

    26、0x1 时,h(x) 0,h(x)递增,1x3 时,h(x)0,h(x)递减, 可得 x1 处,h(x)取得极大值,且为最大值, 则 h(x)maxh(1) , 故 a ,即 a 的取值范围是 ,+) 故答案为: ,+) 三、 解答题: 本大是共 5 小题, 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题,每个试必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据求作答.(一)必考题:共 60 分 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 bsinAa(2+cosB) (1)求 B; (2)若ABC 的面积等于 ,求ABC 的周长的小值 【分析】 (

    27、1)先利用边角互化将 bsinAa(2+cosB)转化为关于 B 的方程,求出B (2)因为 B 已知,所以求面积的最小值即为求 ac 的最小值,结合余弦定理和基本不等 式可以求得 解:(1)因为 bsinAa(2+cosB) 由正弦定理得 显然 sinA0,所以 所以 2sin(B )2,B(0,) 所以 , (2)依题意 ,ac4 所以 ,当且仅当 时取等号 又由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c2+ac3ac12 当且仅当 ac2 时取等号 所以ABC 的周长最小值为 18如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABC 是边长为 6 的等边三角形,D,E 分别为 AA1,B

    28、C 的中点 (1)证明:AE平面 BDC1; (2) 若异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 求 DE 与平面 BDC1所成角的正弦值 【分析】(1)先证明四边形 ADFE 为平行四边形,则 AEDF,由此即可得证; (2)以点 E 为坐标原点,建立空间直角坐标系,设 AA12t(t0),根据已知条件可 求得 ,进而求得平面 BDC1的法向量以及直线 DE 的方向向量,再利用向量公式得 解 解:(1)证明:取 BC1的中点 F,连接 DF,EF, E 为 BC 中点, , , 又D 为 AA1的中点, , , , 四边形 ADFE 为平行四边形, AEDF, AE 不在平面 BDC1内,

    29、DF 在平面 BDC1内, AE平面 BDC1; (2)由(1)及题设可知,BC,EA,EF 两两互相垂直,则以点 E 为坐标原点,EC,EA, EF 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设AA12t(t0),则 , , , , , , , , , , , , , , ,故 , , , , , , , , , , , 解得 , 设平面 BDC1的法向量为 , , ,则 ,故可取 , , , 又 , , ,则 , , , , , DE 与平面 BDC1所成角的正弦值为 19已知椭圆 : 的焦距为 2 ,且过点( ,1) (1)求 C 的方程; (2)若直线 l

    30、与 C 有且只有一个公共点,1 与圆 x2+y26 交于 A,B 两点,直线 OA, OB 的斜率分别记为 k1,k2试判断 k1 k2是否为定值,若是,求出该定值;否则,请说 明理由 【分析】 (1)由题意可得关于 a,b,c 的方程组,求解 a,b,c 的值,则椭圆方程可求; (2)当过点 P 的直线斜率不存在时,直线的方程为 x2,求得 k1 k2 ;当 过 P 的直线斜率存在时,设其方程为 ykx+m,联立直线方程与椭圆方程,由判别式等 于 0 可得 m24k2+2, 联立直线方程与椭圆方程, 利用根与系数的关系结合斜率公式可得 k1 k2为定值 解:(1)由题意,得 ,解得 a2,b

    31、 椭圆 C 的方程为 ; (2)k1k2为定值 理由如下: 当过点 P 的直线斜率不存在时,直线的方程为 x2; 当 x2 时,A( , ),B(2, ),则 ; 当 k2 时, , ,B(2, ), ; 当过 P 的直线斜率存在时,设其方程为 ykx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ,得(1+2k 2)x2+4kmx+2m240 由题意得:16k2m24(1+2k2)(2m24)0,得 m24k2+2 联立 ,得(1+k 2)x2+2kmx+m260 则 , 综上,k1 k2为定值 20 某地区在一次考试后, 从全体考生中随机抽取 44 名, 获取他们本次考试的数学成绩 (x

    32、) 和物理成绩(y),绘制成如图触点图: 根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系,但图中有两个异常点 A,B经调查得 知,A 考生由于 1 感冒导致物理考试发挥失常,B 考生因故未能参加物理考试为了使分 析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计 k 的值: , , , , ,其中 xi,yi分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理 成绩,i1,2,42,y 与 x 的相关系数 r0.82 (1)若不剔除 A,B 两名考生的数据,用 44 组数据作回归分析,设此时 y 与 x 的相关系 数为 r0试判断 r0与 r 的大小关系,并说明理由; (2)求 y

    33、关于 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并估计如果 B 考生加了这次物理 考试(已知 B 考生的数学成绩为 125 分),物理成绩是多少?(精确到个位); (3)从概率统计规律看,本次考试该地区的物理成绩 服从正态分布 N(,2)以 剔除后的物理成绩作为样本,用样本平均数 作为 的估计值,用样本方差 s2作为2的 估计值试求该地区 5000 名考生中,物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数 Z 的数学 期望 附:回归方程 中: , 若 N (, 2) , 则 P (+) 0.6826, P (2+2) 0.9544 11.2 【分析】(1)结合散点图,可得出结论 (2)利用题中

    34、给的相关系数,最小二乘法写出回归直线方程,再令 x125,节课算出答 案 (3)算出 ,s2,得到 N(74,125), 11.2,所以 P(63.885.2)P(74 11.274+11.2)0.6826,因为 ZB(5000,0.6826),即可算出期望 解:(1)r0r 理由如下:由图可知,y 与 x 成正相关关系, 异常点 A,B 会降低变量之间的线性相关程度 44 个数据点与其回归直线的总偏差更大,回归效果更差,所以相关系数更小 42 个数据点与其回归直线的总偏差更小,回归效果更好,所以相关系数更大 42 个数据点更贴近其回归直线 l 44 个数据点与其回归直线更离散 (2)由题中数

    35、据可得: 110.5, 74, 所以 42 35035042110.5746916 又因为 13814.5, 所以 0.501, 740.501110.518.64 所以 0.50x+18.64 将 x125 代入,得 y0.50125+18.6462.5+18.6481, 所以估计 B 同学的物理成绩均为 81 分 (3) 74,s2 5250125, 所以 N(74,125), 又因为 11.2, 所以 P(63.885.2)P(7411.274+11.2)0.6826, 因为 ZB(5000,0.6826), 所以 E(Z)50000.68263413, 即该地区本次考试物理成绩位于区间

    36、(62.8,85.2)的数学期望为 3413 21已知函数 f(x)(x+sinxcosx)ex (1)若 f(x)为 f(x)的导函数,且 g(x)f(x)f(x),求函数 g(x)的单 调区间; (2)若 x0,证明:f(x)x21 【分析】(1)先对 g(x)求导,然后结合导数符号可求函数的单调区间; (2)要证明:f(x)x21,只要证 f(x)+1x20,构造函数 h(x)f(x)+1x2, x0,结合导数及函数性质可证 【解答】解(1)f(x)(1+x+2sinx)ex,g(x)(1+sinx+cosx)ex, 所以 g(x)(1+2cosx)ex, 由 g(x)0 可得 cosx

    37、 即 , 由 g(x)0 可得 cosx 即 , 故 g (x) 的单调递增区间 ( , ) , k一、 选择题, 单调递减区间 ( , ),kZ, (2)证明:若 x0,要证明:f(x)x21,只要证 f(x)+1x20, 设 h(x)f(x)+1x2,x0,h(x)(1+x+2sinx)ex2x, 设 p(x)h(x)(1+x+2sinx)ex2x,则 p(x)(2+x+2sinx+2cosx)ex2, 设 m(x)(2+x+2sinx+2cosx)ex2,则 m(x)(3+x+4cosx)ex, 当x , 时, m (x) 0, 当x , 时, 3+x+4cosx3+4cosx 0, m

    38、(x)0,故 m(x)在0,+)单调递增, 所以 m(x)m(0)20,即 p(x)0, 所以 p(x)在0,+)单调递增,则 p(x)p(0)10,即 h(x)0, 所以 h(x)在0,+)单调递增,则 h(x)h(0)0, 所以原不等式成立 (二)选考:共 10 分.请考生在第 22,23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个 题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参 数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 , ( 为参数),以坐标 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 (1)求 C1的极坐标方

    39、程; (2)若 C1与曲线 C2:2sin 交于 A,B 两点,求|OA| |OB|的值 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用两曲线间的位置关系的应用求出交点的坐标,进一步利用两点间的距离公式的 应用求出结果 解:(1)曲线 C1的参数方程为 , ( 为参数),转换为直角坐标方程 为(x1)2+y25,转换为极坐标方程为 22cos40 (2)由于若 C1与曲线 C2:2sin 交于 A,B 两点,曲线 C2:2sin 转换为直角坐 标方程为 x2+y22y 所以 ,解得 或 , 即 A(0,2),B(1,1), 所以 选修 4-5;

    40、不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|2xa| (1)当 a3 时,解不等式 f(x)2; (2)若不等式|x1|+f(x)3 的解集非空,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)由 a3 可得|x1|+|2x3|2,运用绝对值的定义,去绝对值,解不等式, 求并集,可得所求解集; (2)由题意可得|2x2|+|2xa|3 有解,运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的 最小值,解 a 的不等式可得所求范围 解:(1)当 a3 时,f(x)2 即为|x1|+|2x3|2, 等价为 或 或 , 解得 x2 或 1x 或 x1, 则原不等式的解集为 ,2; (2)不等式|x1|+f(x)3 的解集非空等价为|2x2|+|2xa|3 有解 由|2x2|+|2xa|2x2+a2x|a2|(当且仅当(2x2) (2xa)0 取得等号), 则|a2|3,解得1a5,故 a 的取值范围是(1,5)


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