1、2020 年普通高等学校全国统一招生考试年普通高等学校全国统一招生考试(江苏卷江苏卷)押题卷押题卷 数学 I 参考公式: 1.样本数据 12 , n xxx的方差: 22 1 1 () , n i i sxx n 其中 1 1 n i i xx n ； 2.圆柱的体积 V= Sh,其中 S 是圆柱的底面圆面积,h 是高 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合 A= 0,1,2, B= -1,0, 则集合 AB=_. 2.已知复数 z 满足(2+i)z=5,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为_. 3.某工厂生产 A,
2、B, C 三种不同型号的产品,产量之比为 1:2:3. 现用分层抽样的方法抽取 1 个容量为 n 的样本, 若样本中 A 种型号的产品有 8 件,则样本容量 n 的值为. 4.执行如图所示的伪代码, 若输出的 y 的值是 18,则输入的 x 的值为_. 5.从 2 个白球,2 个红球,1 个黄球中随机取出 2 个球,则取出的 2 球中不含红球的概率是_. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为2,则双曲线的两条渐近线方 程为. 7.已知2sincos() 6 则 tan 的值为. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 x yxe在
3、x=1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_. 9.已知 x, yR,且 x1,若(x-1)(y-2)=1,则(x+1)(y+6)的最小值为_. 10.已知等比数列 n a的公比不为 1,其前 n 项和为. n S若 246 4,3,2aaa成等差数列, 2 2,S 则 6 S的值为 . 11.在轴截面为正三角形的圆锥内有一个球,该球与圆锥的底面和母线均相切.记该球的体积为 1, V圆锥的体积 为 2, V则 1 2 V V 的值为. 12.在ABC 中,已知 AB=5, AC=4,且12.AB AC设 M,N 分别是边 AB, AC 上的两个动点,且 MN=2,则 AM AN的最大值为.
4、13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 22 :(1)(2)10Cxy,直线 l:kx-y-2k+5=0.若在圆 C 上存在一点 P, 在直线 l 上存在一点 Q,使得 PQ 的中点恰为坐标原点 O,则实数 k 的取值范围是_. 14. 设 f(x)是定义在0,+)的函数,且 2 1,01 ( ) (1) 1,1 xx f x f xx ,若 af(x)+ kxb (kR)对任意的 x0,+) 恒成立,则 b-a 的最小值为_. 二解答题(本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡 的指定区域内) 15. (本小题满分 14 分) 在A
5、BC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c.记ABC 的面积为 S,且 222 2.Sbca (1)求 tanA 的值; (2) 若 b=1, 3 B 求 S 的值 16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 交于点 O,VB=VD,E 是棱 VC 的中点 (1)求证:VA /平面 BDE; (2)求证:平面 VAC平面 BDE. 17. (本小题满分 14 分) 现有一张半径为1 m的圆形铁皮,从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分),并卷成一个深度为hm的圆锥筒, 如图 2. (1)若所裁剪的扇形铁皮的
6、圆心角为 2 rad, 3 求圆锥筒的容积; (2) 当 h 为多少时,圆锥筒的容积最大?并求出容积的最大值 18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 F,左右顶点分别为 12 ,A A 下顶点为 B,连结 BF 并延长交椭圆于点 P,连结 21 ,.PAAB记椭圆的离心率为 e. (1)若 1 1 ,7 2 eAB.求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 PB 与直线 2 PA的斜率之积为 9 , 2 求 e 的值 19.(本小题满分 16 分) 已知数列 n a的前 n 项和 2 * () 2
7、 n nn Sn N (1)求数列 n a的通项公式; (2)若集合 * |, 3 n n a nnN中恰有两个元素,求实数 的取值范围; (3)若 * 1 2(), nnn abbn N且 23 41,bb求证:数列 n b为等差数列 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=(x-a)lnx (aR) (1)若对于任意的正数 x,f(x)0 恒成立,求实数 a 的值; (2)设函数 g(x)=2f(x)+x(a0) 求证:存在唯一实数 0 (0,),x 使得 0 ()0g x ； 若曲线 g(x)恒在 x 轴上方,对于中实数 0, x求证: 0 1 .xe e (其中( )g x
8、 为 g(x)的导函数,e 为自然对数的底数) 数学 II (附加题) 21. 选做题本题包括AB C三小题,请选定其中两题并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题 评分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. A.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知点 P(a, b),先对它作矩阵 13 22 31 22 M对应的变换,再作 20 02 N对应的变换,得到的点的坐标为 (4,4 3),求实数 a, b 的值. B.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程是sin()2 2, 4 圆 C 的极坐标方程是 =4
9、cos , 求直线 l 被圆 C 截得的弦长. C.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=|x|+2|x- a|(a 0). (1) 当 a=1 时,解不等式 f(x)4; (2)若不等式 f(x)4 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 必做题第2223题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或 演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 甲,乙,丙三个人去玩密室逃脱游戏,现有 A, B, C,D 这 4 个不同的游戏场景可供选择,且他们每个人都随机地从 四个场景中选一个闯关. (1)求他们分别选择了三
10、个不同场景的概率; (2)设三人中选择场景 A 的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望. 23. (本小题满分 10 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, 2 2,ABBCPA=PB=PC=AC=4, O 为 AC 的中点. (1)证明: PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 , 4 求二面角 M-PA-C 的大小. 2020年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）押题卷解析 1.【答案】-1,0,1,2 【解析】AB=-1,0,1,2. 【解题探究】 本题考查求两集合的并集运算,江苏高考常考查交集与并集的运算,解题时只需仔细读
11、题,避免粗, 即能顺利解答 2.【答案】5 【解析】因为|(2)| |2| |5| 5izizz,所以复数 z 的模为5. 【解题探究】本题考查复数的基本运算和复数的模的求法.解答时可有三条途径选择:途径一,可先求得 5 2 2 zi i ,再求出模;途径二,可用待定系数法先设出 z=a+bi 再求解;途径三,可由复数模的运算性质求解. 3.【答案】48 【解析】由题意,得 1 8 6 n ,所以 n 的值为 48. 【解题探究】本题考查统计中的分层抽样,统计的考查每年必考,高频考查抽样方法中分层抽样,总体分布中的 频率分布直方图,以及总体特征数中的方差,应熟悉这些问题的求解. 4.【答案】6
12、 【解析】由于x4时,y=x+26,不符合,故由3x=18,求得x=6. 【解题探究】本题涉及的考点为分段函数和算法中的伪代码,考查了选择结构.江苏高考中算法的考查通常以 流程图或伪代码的形式出现,两类问题都应该予以重视. 5.【答案】 3 10 【解析】利用枚举法可得,从5个球中任意取出2个球共有10种不同方法,而从不含红球的3个球中任取2个球共 有3种不同方法,所以取出的2球中不含红球的概率是 3 10 . 【解题探究】本题考查的是古典概型,考查学生利用枚举法解决计数问题的能力.取出2球中不含红球即从2个 白球和1个黄球中取即可.江苏高考中必答题部分的古典概型问题,通常均可用枚举法得到处理
13、. 6.【答案】y=3x 【解析】由 222 2 22 4 cab e aa ,得3ba,所以双曲线的新近线方程为3 b yxx a . 【解题探究】本题涉及的考点有双曲线的离心率和渐近线方程,主要考查学生的运算能力.江苏高考填空题中 双曲线为高频考点,对双曲线的几何性质要有准确的掌握. 7.【答案】 3 5 【解析】因为 31 2sincossin 22 ,所以5sin3cos,因为cos0,所以 3 tan 5 . 【解题探究】本题涉及的考点有两角和与差的余弦展开公式和同角三角函数关系式,前一个为江苏高考C级考 点,每年必考,应熟练掌握. 8.【答案】 4 e 【解析】易求切点为(1,e)
14、,切线斜率为 2e,所以切线方程为 y-e=2e(x-1),它与两坐标轴的交点分别为 1 (0, e),0 2 ,所以与坐标轴围成的三角形的面积 1 1e e 2 24 S . 【解题探究】本题考查了积的导数公式和导数的几何意义,对于曲线的切线问题通常可分已知切点和未知切 点两类,当切点未知时,应先设出切点坐标.本题已知切点横坐标,从而易求出切点坐标和切线的斜率,从而得到求解. 9.【答案】25 【解析】令m=x-1,n=y-2(m0,n0),则x=m+1,y=n+2,所以mn=1,则 (1)(6)(2)(8)82161782172 8225xymnmnmnmnmn,当且仅当 1 2 m ,n
15、=2 时取等 号. 【解题探究】本题考查的是利用基本不等式求最值,属于多元变量的最值问题.对于本题首先可以利用消元,将 其变为单元函数的最值问题;亦可先双换元,再利用基本不等式直接求解.处理多元变量的最值问题方法较多,有时 难度也较大,复习时需要进行方法的整理与归纳. 10.【答案】14 【解析】由题意,得 426 642aaa,所以 24 222 32a qaa q,所以求出 q2=1 或 q2=2,又因为 S=2,所以 g-1, 又 q1,所以 q2=2,因此 24 62 114SqqS. 【解题探究】本题考查等差数列的概念,等比数列中基本量的求法,以及等比数列性质的应用.如本题利用性质
16、24 62 1SqqS,可使得运算得到简化. 11.【答案】 4 9 【解析】作出轴截面(如右图所示),圆锥的轴截面为正ABC,球的轴截面为ABC 的内切圆 O,连结 AO 并延 长交 BC 于 M,连结 OC,作 ONAC 于 N.设球的半径为 r,圆锥的高 AM-AO+OM=3r,底面半径 CM=3r,所以球的 体积与圆锥的体积之比为 3 1 2 2 4 4 3 1 9 ( 3 )3 3 r V V rr . 【解题探究】本题考查球与圆锥的体积求法.对于旋转体问题,部分学生会感到陌生,我们常常通过研究它的轴 截面而轻松获解.立体几何的体积计算江苏高考几乎年年必考,且以旋转体与多面体为载体交
17、替考查,学生对于此 类问题易出错,可适当进行强化训练. 12.【答案】3 【 解 析 】 由cos20cos12AB ACAB ACAA, 得 3 cos 5 A , 设AM=x,AN=y, 由 余 弦 定 理 得 22 364 422 555 xyxyxyxyxy,所以 xy5,所以 3 cos3 5 AMANAMANxyAxy(当且仅当 x=y 时取等号). 【解题探究】本题考查了向量的数量积,余弦定理以及利用基本不等式求最值.三角,向量与基本不等式相结合 作为填空题中的压轴题在模拟考试和高考中都较为常见,应予以关注. 13.【答案】 13 (, 3, 9 【解析】 易求圆 22 :(1)
18、(2)10Cxy关于原点对称的圆C的方程为 22 (1)(2)10xy,要满足题意, 只需直线 1 与圆C有公共点即可,从而 2 |225| 10 1 kk k ,可解得 13 (, 3, 9 k . 【解题探究】本题考查了直线与圆的位置关系,圆关于点的对称圆的求法以及等价转化的数学思想.在处理填 空题中与圆有关的问题时,常利用等价转化的思想将题中陌生的条件转化为我们所熟悉的问题,再加以求解 14.【答案】2 【解析】由题意,易求 当 1xc,所以 a=2c,所以椭圆的离心率 1 2 e . 【解题探究】 本题主要考查椭圆方程,直线的方程,直线与椭圆的位置关系,椭圆的几何性质,特别是椭圆中离心
19、 率的求法问题等,着重考查学生分析问题能力和数学运算的能力. 19.【解析】 (1)当 n2 时, 22 1 (1)(1) 22 nnn nnnn aSSn . 当 n=1 时, 11 1aS满足上式. 所以 n an. (2)设 33 n n nn an c ,则 1 11 112 333 nn nnn nnn cc . 因为 * nN,所以 1 0 nn cc ,从而 n c为单调递减数列. 又因为 3 n n a 的整数解恰有两个,而 123 121 , 399 ccc, 所以 1 2 , 9 9 (3)方法 1:由 1 2 nn bbn ,得 1 21(2) nn bbnn , 两式相
20、减得: 11 21(2) nnn bbbn . 从而得: 21 21 nnn bbb . 两式相减得: 211 230(2) nnn bbbn . 所以 2111 24220(2) nnnnnn bbbbbbn , 由 1223 21,22bbbb且 23 41bb可得: 123 20bbb, 记 21 2 nnnn Mbbb ,则 1 20(2) nn MMn ,且 1 0M , 所以 * 0 n MnN. 所以 * 21 20 nnn bbbn N. 所以数列 n b为等差数列. 方法 2:因为 n an,所以 1 2 nn bbn . 当 n=1 时, 12 21bb;当 n=2 时,
21、23 22bb. 又因为 23 41bb,解得 123 147 , 999 bbb. 因为 1 2 nn bbn ,所以, 1 1222 2 3939 nn bnbn , 所以 1 1212 2(1) 3939 nn bnbn . 因为 1 1 9 b ,所以 1 12112 110 39939 b , 所以 12 0 39 n bn,可得 12 39 n bn. 因为 1 1 3 nn bb ,所以数列 n b为等差数列 【解题探究】本题考查了数列的通项公式求法,数列的单调性研究,数列的递推公式,以及等差数列的证明等问 题.在第(2)问求解时,应把集合语言“ * |, 3 n n a nn
22、N中恰有两个元素”转化为“不等式 3 n n a 恰有两个整数解” 再进行求解;第(3)问途径一是通过多次差分,最终构造出恒为0的常数列,途径二是通过待定系数法构造等比数列求 解,这些都是由递推式求通项公式的常见处理方法. 20.【解析】 (1)当lnx0时,即x1时,xa恒成立,所以a1; 当lnx0时,即x1时,xa恒成立,所以a1,从而a=1. 所以实数a的值为1. (2)因为 g(x)=2(x-a)nx+x,所以 2 ( )2ln3 a g xx x , 令( )( )h xg x ,则 2 22 ( )0 a h x xx , 所以( )g x 在(0,)上为单调增函数. 又因为 3
23、3 2 2 3 2 3221 2320,23230 2 a a aa aae geaeg eaa ee e , 所以,由零点存在性定理得,存在唯一实数 0 (0,)x ,使得 0 0gx . 由得,( )g x 在(0,+)上为单调增函数,且 g(x0)=0, 所以当00, 所以g(x)在(0,x0)上单调减,在(x0,+)上单调增,所以 0000 2* min g xg xxa lnxx . 由 g(x0)=0,得 0 0 2 2ln30 a x x ,所以 0000 22lnxaxxx, 将其代入(*)式,得 000 2()lng xxaxx 00000 2lnlnxxxxx 2 000
24、2lnln1xxx . 又因为曲线 g(x)恒在 x 轴上方,所以 g(x0)0,又 x00, 所以 2 00 2lnln10xx ,即 00 2ln1 ln10xx, 所以 0 1 1ln 2 x ,从而 0 1 xe e . 【解题探究】本题考查不等式恒成立问题,利用导数研究函数的性质,函数中的找点问题,虚拟零点的处理问题 等.(2)中( )g x 在(0,+)上为单调增函数,要找一个自变量使( )g x 为负,注意到 2 ( )2ln3 a g xx x 中 2 0 a x , 故只需令 2lnx+3=0 即找到点 3 2 e ,而对于右端要找一个自变量使( )g x 为正,显然自变量越
25、大越好,考虑 x1 时, 22 ( )2ln32ln212 aa g xxxnxa xx ,再令 2lnx-2a=0,即找到点 ea,利用放缩找点策略常常能快速高效的 找到符合条件的点;而对于中的虚拟零点问题常通过消参或变超越式为平凡式加以处理. 21.A选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 【解析】 依题意, 13 2013 22 02 3131 22 NM， 由逆矩阵公式得, 1 13 44 () 31 44 NM 所以 13 4 4 44 0 4 3 31 44 ,即有 a=4,b=0. 【解题探究】本题主要考查矩阵对应的变换矩阵的乘法运算求逆矩阵在历年江苏高考中,矩阵题主要考查
26、了矩阵的运算(乘法逆矩阵)矩阵的变换和特征值特征向量等,复习时对这些考点要注意全面覆盖. B.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 【解析】以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位将直线 l 的极坐标方程sin2 2 4 化为直角坐标方程是 y=x-4, 圆 C 的极坐标方程 =4cos 化为直角坐标方程是 22 40xyx. 圆 C 的圆心(2,0)到直线 x-y-4=0 的距离为 2 2 2 d . 又圆C的半径r=2, 所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 22 22 2rd. 【解题探究】本小题主要考查直线和圆的极坐标方程,解决此
27、类问题通常首选化普通方程求解.当然在复习中 要重视将参数方程极坐标方程化为普通方程,也不要忽视将普通方程化为极坐标方程的指导,还要加强对直线参 数方程中参数的几何意义的理解 C.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 【解析】(1)当 x1 时,2(1)42,1,2xxxx ， 当0x1时,2(1)42,0,1)xxxx ， 当x0时, 22 2(1)4,0 33 xxxx . 综上所述,不等式的解集为 2 ,2 3 . (2)由题意,得 min ( )4f x， 考虑 32 , ,) ( ) | 2|2,0, ) 23 ,(,0) xa xa f xxxaax xa ax x ， 所以
28、f(x)在(-,a)单调递减,在(a,+)单调递增, 所以 min ( )( )f xf aa. 所以a4. 【解题探究】本题主要考查绝对值不等式性质与解法利用不等式及性质求最值的问题.复习中不要忽视柯西 不等式在求解最值中的应用,关注利用柯西不等式解题的基本步骤和书写格式. 22.【解析】 (1)记事件 M 为“他们分别选择了三个不同场景”,该试验中所含基本事件总数为 3 464n , 事件 M 中所含基本事件数为 3 4 24mA, 所以事件 A 发生的概率 3 4 3 243 (A) 8184 A P. 答:他们分别选择了三个不同场景的概率为 3 8 . (2)X=0,1,2,3,则有
29、3 3 327 (0) 644 P， 12 3 3 327 (1) 644 C P X ， 2 3 3 C39 (X2) 644 P ， 3 3 3 1 (3) 644 C P X . 所以X的概率分布表为: X的数学期望 2727913 ()0123 646464644 E X . 【解题探究】 本题考查了分步计数原理,古典概型,概率分布列,数学期望等.第(1)问是基于分步计数原理的古典 概型问题;第(2)问既可以看作古典概型,利用古典概型的概率公式求解,也可以看作独立重复试验,利用二项分布的 知识求解. 23. 【解析】(1)证明:因为 PA=PC=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 P
30、OAC,且2 3PO .连接 OB,因为 2 2 ABBCAC,所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC, 1 2 2 OBAC. 所以 222 POOBPB,所以 POOB. 又因为OBAC=O,所以PO平面ABC. (2) 以 O 为坐标原点,OB的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由已知得 (0,0,0),(2,0,0),(0, 2,0),(0,2,0),(0,0,2 3),(0,2,2 3)OBACPAP. 设( ,2,0)(02)M aaa ,则( ,4,0)AMaa. 设平面PAM的法向量为n=(x,y,z), 由 0 0 AP n AM n 得 2
31、2 30 (4)0 yz axa y ， 令y=3a,得z=-a,x=3(a-4),所以平面PAM的一个法向量为( 3(4), 3 ,),aaan又 (0,2, 2 3)PC ， 记PC与平面PAM所成角的为, 则由题意得 222 2 32 33 sin|cos,| 4 4163(4)3 aa PC aaa n, 化简,得(a+4)(3a-4)=0, 解得a= 4 3 或a=-4(舍去). 所以 8 3 4 34 , 333 n，取平面 PAC 的一个法向量(2,0,0)OB . 所以 8 32 3 3 cos, 2641616 2 339 OB n， 又,0, OBn,所以向量OB与向量 n 的夹角为 150 , 又因为二面角 M-PA-C 显然为锐二面角, 所以二面角M-P4-C的大小为30 . 【解题探究】本题考查线面垂直的证明,利用空间向量求直线与平面所成的角,二面角等.空间向量题型首先要 建立合适的空间直角坐标系,相关点的坐标要正确表述,关注直线方向向量所成角的余弦值与异面直线所成角的余 弦值之间的关系,关注平面法向量的求解,关注平面法向量所成角的余弦值与二面角的余弦值之间的关系.
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