1、天一大联考天一大联考 2019-2020 学年海南省高三年级第三次模拟考试学年海南省高三年级第三次模拟考试 数学数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指 定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1.已知集合 2 |60Ax xx， 2 |4Bx x，则AB （ ） A2,3 B(2,3 C 2,3) D2,3 2.已知复数z满足1 21 izi，则z （ ） A 5 2 B 10 2 C3 D 3 2 2 3.函数3sin 2 6 yx 的图象的一条对称轴方程为（ ） A 6 x B 2 x C 2 3 x D 5 6 x 4.已知函数， (2),0, ( ) 2,0 x k xx f x k x ，则“1k ”是“( )f x单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不
3、必要条件 5.九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？”其意思为：“有一 女子很会织布， 每天织的布都是前一天的 2 倍， 5 天共织布 5 尺。 问： 每天分别织多少布？” 则上述问题中， 该女子第 3 天织布的尺数为（ ） A 20 31 B10 31 C 5 16 D 1 5 6.函数 2 ( )1sin 1 x f xx e 的图象的大致形状是（ ） A B C D 7.2020 年初，新型冠状病毒（19COVID）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的 治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示
4、： 周数（x） 1 2 3 4 5 治愈人数（y） 2 17 36 93 142 由表格可得y关于x的二次回归方程为 2 6yxa，则此回归模型第 4 周的残差（实际值与预报值之差） 为（ ） A5 B4 C1 D0 8.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ba 的左、 右焦点分别为 1(- , 0) Fc， 2( , 0)( 0)F cc ， 点P在双曲线上， 且 2 PF垂直于x轴。若直线 1 PF的方程为 3 () 4 yxc， 12 PFF的面积为 6，则a（ ） A3 B1 C 3 2 D 2 3 3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，
5、每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9.设a，b，c为实数且ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A 11 ab B20201 a b Clnlnab D 22 11a cb c 10.已知向量( 3,1)a ，(cos,sin)b，0, 2 ，则下列结论正确的有（ ） A1b B若a b，则3tan = Ca b的最大值为 2 Dab的最大值为 3 11.如图，四棱锥PABCD中，平面PAD底
6、面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形， 且60BAD，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有（ ） A直线PB与平面AMC平行 B直线PB与直线AD垂直 C线段AM与线段CM长度相等 DPB与AM所成角的余弦值为 2 4 12.已知函数 3 ( )f xxaxb， 其中a，bR， 则下列选项中的条件使得 f x仅有一个零点的有 （ ） A( )abf x为奇函数 B 2 ln1ab C3a， 2 4 0b D0a， 3 2 0 6 a b 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.某地A，B，C三
7、所学校分别有教师 72，144，216 人。当地教育部门组织教研活动，计划用分层抽样 的方法从这三所学校的教师中抽取若干人组成领导小组，若从学校B抽取 8 名教师，则学校A和C共抽取 的教师人数为_. 14. 6 1 2 x x 的展开式中常数项为_. 15.已知圆 22 280 xxy 的圆心是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F， 过点F的直线交该抛物线的准 线于点A，与该抛物线的一个交点为B，且3FAFB，则|AB _. 6.三棱锥PABC中，1PAPBPCABBC， 且平面PAC平面ABC， 则AC _； 若球O与该三棱锥除PB以外的 5 条棱均相切，则球O的半径为_. 四、解答题：
8、本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.对于由正整数构成的数列 n A， 若对任意m，nN “且mn， mn AA也是 n A中的项， 则称 n A 为Q数列”。设数列 n a|满足 1 6a ， 2 812a （1）请给出一个 n a的通项公式，使得 n a既是等差数列也是“Q数列”，并说明理由； （）根据你给出的通项公式，设 n a的前n项和为 n S，求满足100 n S 的正整数n的最小值. 18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 4 2 B sin AC
9、sin（）. （I）求 tan B； （）若1b，求ac的取值范围. 19.手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片，闪存芯片有两个独立的性能指标：数据传输速度和使 用寿命，数据传输速度的单位是/GB s，使用寿命指的是完全擦写的次数（单位：万次）.某闪存芯片制造 厂为了解产品情况，从一批闪存芯片中随机抽取了 100 件作为样本进行性能测试，测试数据经过整理得到 如下的频率分布直方图（每个分组区间均为左闭右开），其中a，b，c成等差数列且2ca. （1）估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数。 （I）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数。（每组数据以中间值为代表） （）规定数据传输速度不低
10、于1.2/GB s为优，使用寿命不低于 10 万次为优，且两项指标均为优的闪存 芯片为S级产品，仅有一项为优的为A级产品，没有优的为B级产品。现已知样本中有 45 件B级产品， 用样本中不同级别产品的频率代替每件产品为相应级别的概率，从这一批产品中任意抽取 4 件，求其中至 少有 2 件S级产品的概率。 20.如图，已知三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 AACC平面ABC， 1 AAAC，ACBC. （I）证明： 11 ACAB； （）设22ACCB， 1 60A AC，求二面角 11 CABB的余弦值. 21.已知椭圆 22 22 1(0) xy Eab ab ：的离心率 1 2
11、e ，直线 20lxym：与E相交于A，B两点， 当0m时，15AB （）求椭圆E的标准方程. （）在椭圆E上是否存在点P，使得当4 4m （， ）时，APB的平分线总是平行于y轴？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 22.已知函数 23 1 ( )ln(1) 2 f xxxxax，aR. （I）若0a，证明：当10x 时( )0f x ，当0x时( )0f x ； （）若0x是( )f x的极大值点，求a的值. 天一大联考天一大联考 2019-2020 学年海南省高三年级第三次模拟考试学年海南省高三年级第三次模拟考试 数学答案数学答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题
12、共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。 1.【答案】C 【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算. 【解析】| 23Axx ，|2 Bx x或2x，2,3)AB . 2.【答案】B 【命题意图】本题考查复数的概念和基本运算。 【解析】 由12(1)izi， 得 1 2(1 2 )(1)13 1(1)(1)22 iii zi iii ， 所以 22 1310 | 222 z . 3.【答案】D 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质. 【解析】令2() 62 xkk Z，得 23 k x ，取1k ，得 5 6 x . 4.【答案】D 【命题意图】本题考查函数的
13、单调性和充分必要条件的判断. 【解析】 若f x（ ）单调递增， 则0k 且 0 022kk（）， 解得01k， 因为 “1k ” 与 “01k” 没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5.【答案】A 【命题意图】本题考查等比数列的概念和性质。 【解析】 设第n天织布的尺数为 n a， 则 n a是公比为2的等比数列， 所以 5 1 152 1 2 5 1 2 a aaa ， 解得 1 5 31 a ，所以 2 31 20 2 31 aa. 6.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象. 【解析】令 2 ( )1 1 x g x e ，则 222 ()111 111 x xxx e
14、gx eee ，函数( )g x为奇函数，故 函数f x（ ）是偶函数，排除A，B；当0x时，0sinx ，1 x e ，所以0g x （ ），0f x （ ），故选 C. 7.【答案】A 【命题意图】本题考查回归分析的应用. 【解析】设 2 tx，则 1 (149 1625)11 5 t ， 1 (2 173693 142)58 5 y ， 58 6 118a ，所以 2 68yx.令4x，得 2 444 936 485eyy . 8.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系. 【解析】根据题意知 12 2FFc，直线 1 PF的斜率为 3 4 ，则 2 12
15、 12 3 tan 4 PF PFF FF ，则有 2 3 2 PFc， 则 22 1212 5 2 PFPFFFc， 则 12 2aPFPFc， 则双曲线的离心率2 c e a .又因为 12 PFF的 面积为 13 26 22 Scc，整理得 2 3b ，得 2222 43acba，解得1a . 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 9.【答案】BD 【命题意图】本题考查不等式的概念和函数的基本性质. 【解析】对于A，若0ab，则 11 ab ，所以A错误；对于B，因为0ab，所以20201 a b ，故B 正确；对于C
16、，函数ylnx的定义域为0（ ，+ ），而a，b不一定是正数，所以C错误；对于D，因为 2 10c ，所以 22 11a cb c，所以D正确. 10.【答案】AC 【命题意图】本题考查平面向量的基本运算和三角函数的性质. 【解析】对于A， 22 |cossin1b，A正确；对于B，若/ab，则3sincos0， 3 tan 3 ，B错误； 对于C，3cossin2sin 3 a b ， 最大值为 2，C正确； 对于D， 作图可知，当 2 ，即 0,1b 时，ab取得最大值3，D错误. 11.【答案】ABD 【命题意图】本题考查空间线面位置关系的判断. 【解析】如图，连接MN，易知MNPB，又
17、MN 面AMC，PB面AMC，A正确.在菱形ABCD 中，60BAD，BAD为等边三角形。 设AD的中点为O， 连接OB，OP， 则O P A D，OBAD， AD平面POB，ADPB，B正确。平面PAD 平面ABCD，POB为直角三角形，设 4AD ，则 2 03OPB，2 6PB， 1 6 2 MNPB.在MAN中，2 3AMAN， 6MN ，可得 2 cos 4 AMN，故异面直线PB与AM所成角的余弦值为 2 4 ，在MAN中可判 断AMCM，C错误， D正确. 12.【答案】BD 【命题意图】本题考查利用导数研究函数性质. 【解析】由题知 2 3fxxa（ ）.对于A，由f x（ ）
18、是奇函数，知0b，因为0a，所以f x（ ）存在两个 极值点，易知f x（ ）有三个零点，A错误；对于B，因为 2 11b ，所以0a，0fx （ ），所以f x（ ）单 调递增，则f x（ ）仅有一个零点，B正确；对于C，若取2b，则f x（ ）的极大值为14f （），极小值 为10f（），此时f x（ ）有两个零点，C错误；对于 D，f x（ ）的极大值为 2 () 333 aaa fb ，极 小值为 2 () 333 aaa fb.因为0a，所以 33 22 4 0 276 aa bb，所以 3 2 4 27 a b ，则 2 33 aa b 或 2 33 aa b ， 从而()0 3
19、a f 或()0 3 a f， 可知f x（ ）仅有一个零点， D正确. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.【答案】16 【命题意图】本题考查分层抽样方法的应用. 【解析】 设从学校A和C分别抽取的教师人数为x和y， 由题意可知 8 72144216 xy ， 所以4x，12y ， 16xy. 14.【答案】240 【命题意图】本题考查二项式定理的应用 【解析】 6 1 2 x x 的展开式通项为 6 3 r6 2 6 ( 1) 2Cr r r x .令6 30r，得2r ，所以常数项为 42 6 2C240. 15.【答
20、案】 32 3 【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和几何性质. 【解析】 圆 22 280xxy 即 22 19xy（）， 圆心坐标为10（， ）， 则1 2 p ， 抛物线方程为 2 4yx， 所以| 2DF .如图，3FAFB， 所以|:| 3:1AFFB ， 又|:| |:|DFBCAFAB， 所以2:| 3:4BC ， 得 8 | | 3 BCBF，所以 32 | 4| 3 ABBF. 16.【答案】2；2 1 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征. 【解析】如图，设M为AC的中点，因为PAPC，所以PMAC，又因为平面PAC平面ABC， 所以PM平面ABC，所以PMMB，又易知
21、PAC，ABC为全等的三角形，所以PMMB， 从而可得 2 2 PM ，2AC .设 1 O， 2 O分别为对应面的内心， 分别过 1 O， 2 O作MP，MB的平行线， 交于点O， 即O为所求的球心， 易知 12 OOMO是正方形， 设RtPAC内切圆的半径为r， 球O的半径为R， 由图可知2OMRr，而 22 2 r ，所以2 1R . 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.【命题意图】本题考查数列的概念和等差数列的基本运算. 【解析】（I）给出的通项公式为2 4 n an. 因为对任意 * nN，
22、 1 2(1)4242 nn aann ， 所以 n a是公差为 2 的等差数列. 对任意 * ,m nN，且mn， 2 24242(2)4 mnm n aamnmna ， 所以 n a是“Q数列”. （）因为 n a是等差数列，所以 2* (624) 5 2 n nn Snn n N. 因为 n S单调递增，且 2 7 75 784100S ， 2 8 85 8104100S ， 所以n的最小值为 8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容： 33 n an， 2 39 22 n Snn，n的最小值为 7； 6 n an， 2 33 n Snn，n的最小值为 6. 18.【命题意图】本题
23、考查三角恒等变换与余弦定理的应用. 【解析】（I）因为AB C，所以 sin A Csin B（）. 所以 2 sin4sin2sincos 222 BBB B ， 因为0B，所以0 22 B ，所以sin0 2 B ， 所以 1 tan 22 B . 于是 2 2 1 2tan2 4 22 tan 3 1 1 tan 1 2 2 B B B . （）由（I）知 4 3 tan B ，又0,B， 根据同角三角函数关系可得 4 5 sin B ， 3 cos 5 B . 根据余弦定理得 2222 616 () 55 bacacacac， 又 2222 1641 ()()()() 555 acac
24、acacac， 所以 22 ()55acb，即5ac ，当且仅当 5 2 ac时取等号. 又因为1acb ， 所以ac的取值范围是1, 5 . 19.【命题意图】本题考查频率分布直方图的理解，样本数字特征的计算及离散型随机变量的分布列。 【解析】（I）由题意得210 0.4 2.2 2.25.2a bc ， 又2bac，2ca，解得0.8a，1.2b，1.6c . 因为前四组的频率之和为0.40.8 1.62.20.10.5（）， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为 l.2. （）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.5 0.1 8.5 0.3 9.5 0.35 10.5 0
25、.2 11.5 0.059.3. （）样本中数据传输速度为优的产品有0.5 10050件， 使用寿命为优的产品有0.20.0510025（）件， 至少有一项为优的产品有100 4555件，所以S级产品有5025 5520件. 故任意一件产品为S级产品的概率为 1 5 . 则从这一批产品中任意抽取 4 件，其中S级产品的数量服从二项分布 1 4, 5 B . 故所求的概率为 43 01 44 414113 10.1808 555625 PCC . 20.【命题意图】本题考查空间位置关系的证明以及二面角的计算，空间向量的应用. 【解析】（I）连接 1 AC， 1 AAAC，平行四边形 11 AAC
26、C为菱形， 11 ACAC. 平面 11 AACC 平面ABC，平面 11 AACC平面ABCAC，BC 平面ABC，BCAC， BC平面 11 AACC. 11 / /BCBC， 11 BC平面 11 AACC， 111 BCAC. 又 1111 ACBCC， 1 AC平面 11 ABC. 1 AB 平面 11 ABC， 11 ACAB. （）取 11 AC的中点为M，连接CM. 由 1 60A AC ， 可知 11 CMAC，CMAC.又BC 平面 11 AACC， 故可知C为坐标原点，CA，CB， CM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则(0,0,0)C， 1(1,0, 3)
27、 A，(2,0,0)A，(0,1,0)B， 1( 1,1, 3) B . 由（I）知，平面 11 ABC的一个法向量为 1 (1,0, 3)CA . 设平面 1 ABB的法向量为, ,nx y z，则 1 0 0 n AB n AB . ( 2,1,0)AB ， 1 ( 3,1, 3)AB ， 20 330 xy xyz . 令1x ，得2y ， 3 3 z ，即 3 1,2, 3 n . 1 1 1 23 cos, 4| |16 2 3 CA n CA n CAn ， 结合图可知，二面角 11 CABB的余弦值为 3 4 . 21.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，椭圆与直线的位
28、置关系. 【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，因为离心率 1 2 e ， 所以2ac， 2222 43bccc， 由 22 22 1 43 20 xy cc xy 解得3xc . 不妨设 3 3 , 2 Acc ， 3 3 , 2 Bcc ，则 22 |12315ABcc. 所以1c，从而2a， 2 3b . .所以椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy . （）假设存在点( , )P x y，设 11 ,A x y， 22 ,B x y. 由 22 1 43 20 xy xym ，消去y得 22 42120xmxm. 因为44m ，所以 22 416120mm ， 且 12 2 m xx
29、， 2 12 12 4 m x x . 由APB的平分线平行于y轴，得0 APBP kk， 所以 12 12 0 yyyy xxxx ，即 12 12 22 0 xmxm yy xxxx ， 可得 121 212 22(2 )(2 )0x xxx xmy xmyxx， 所以 2 (2 )12 2(2 )0 222 mxm mym my x ， 整理得(32 )1280xy mxy. 当m变化时，上式恒成立， 所以 320 1280 xy xy ，解得 1 3 2 x y 或 1 3 2 x y . 故满足条件的P点的坐标为 3 1, 2 或 3 1, 2 . 22.【命题意图】本题考查导数的计
30、算，利用导数研究函数的性质. 【解析】（I）当0a时， 2 1 1 2 f xln xxx（ ） （），定义域为1, . 2 1 ( )1 11 x fxx xx . 当1x时，( )0fx ， 所以 f x在1, 上单调递增. 又因为(0)0f， 所以当10x 时( )0f x ，当0x时，( )0f x . （）若0a，由（I）知，当0x时， 2 1 ( )ln(1)0(0) 2 f xxxxf. 这与0x是f x（ ）的极大值点矛盾. 若0a， 322 2 13(31)331 ( )13 1113 axaxaxa fxxaxx xxxa ，1x. 令 ( )0fx ，可得0x或 31 3
31、 a x a . 若 1 3 a ，则 31 0 3 a a . 当 31 1 3 a x a 时，( )0fx ，当 31 3 a x a 时，( ) 0fx . 所以( )f x在 31, 3 a a 上单调递减，与0x是( )f x的极大值点矛盾. 若 1 0 3 a，则 31 0 3 a a . 当 31 1 3 a x a 时，( ) 0fx ，当 31 3 a x a 时，( )0fx . 所以( )f x在 31 1, 3 a a 上单调递增，与0x是( )f x的极大值点矛盾. 若 1 3 a ，则 31 0 3 a a . 当10x 时， ( )0fx ，当 0x 时，( )0fx . 所以( )f x在1,0上单调递增，在0,上单调递减. 此时0x是( )f x的极大值点. 综上所述，若0x是( )f x的极大值点，则 1 3 a .
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