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    2020年山西省中考数学预测卷二解析版

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    2020年山西省中考数学预测卷二解析版

    1、绝密启用前绝密启用前 2020 年年山西省中考数学山西省中考数学预测预测卷卷二二 注意事项: 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上,在试卷上作答无效,选择题需使用 2B 铅笔填涂 第第 I 卷卷 选选 择择 题题 ( 共共 30 分分 ) 一一 、选选 择择 题题 ( 本本 大大 题题 共共 10 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 30 分分 , 在在 每每 个个 小小 题题 给给 出出 的的 四四 个个 选选 项项 中中 , 只只 有有 一 项 符 合 题 目 要一 项 符 合 题 目 要 求求 , 请 选 出 并 在 答 题请

    2、选 出 并 在 答 题 卡卡 上上 将 该 项 涂 黑将 该 项 涂 黑 ) 1(2019邵阳)下列各数中,属于无理数的是( ) A 1 3 B1.414 C 2 D 4 2(2018 安徽)下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. 3(2018 深圳)某旅店一共 70 个房间,大房间每间住 8 个人,小房间每间住 6 个人,一共 480 个 学生刚好住满,设大房间有 个,小房间有 个.下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 4 (2018湖州)如图,已知在ABC 中,BAC90 ,点 D 为 BC 的中点,点 E 在 AC 上,将CDE 沿DE折叠, 使得点C恰好落在BA的

    3、延长线上的点F处, 连结AD, 则下列结论不一定正确的是 ( ) A. AE=EF B. AB=2DE C. ADF 和ADE 的面积相等 D. ADE 和FDE 的面积相等 5.(2019吉林)如图,由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( ) A B C D 6(2018泰安)不等式组有 3 个整数解,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7 (2018盐城) 盐通铁路沿线水网密布, 河渠纵横, 将建设特大桥梁 6 座, 桥梁的总长度约为 146000 米,将数据 146000 用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 8(2018宜宾)一元二次方程 x

    4、22x=0 的两根分别为 x1和 x2,则 x1x2为( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 0 9 (2018重庆 A 卷) 如图, 在平面直角坐标系中, 菱形 ABCD 的顶点 A, B 在反比例函数(, ) 的图象上, 横坐标分别为 1, 4, 对角线轴 若菱形 ABCD 的面积为 , 则 k 的值为 ( ) A. B. C. 4 D. 5 10(2018宜宾)4在ABC 中,若 O 为 BC 边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依 据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF=3,点 P 在以 DE 为直径的 半圆上运动,则 PF2

    5、+PG2的最小值为( ) A. B. C. 34 D. 10 第第 II卷卷 非非 选选 择择 题题 ( 共共 90 分分 ) 二二 、 填填 空空 题题 ( 本本 大大 题题 共共 5 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 15 分分 ) 11(2018 成都)已知,则代数式的值为_. 12(2019新疆)同时掷两枚质地均匀的骰子,两枚骰子点数之和小于 5 的概率是_ 13(2019江西)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文 明程度如图,某路口的斑马线路段 ABC 横穿双向行驶车道,其中 AB=BC=6 米,在绿灯亮 时,小明共用 1

    6、1 秒通过 AC,其中通过 BC 的速度是通过 AB 速度的 1.2 倍,求小明通过 AB 时 的速度设小明通过 AB 时的速度是 x 米/秒,根据题意列方程得:_ 14 (2019江西)在平面直角坐标系中,A,B,C 三点的坐标分别为(4,0), (4,4), (0,4), 点 P 在 x 轴上,点 D 在直线 AB 上,若 DA=1,CPDP 于点 P,则点 P 的坐标为_ 15(2019海南)如图,将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 (0 90 )得到 AE,直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转 (0 90 )得到 AF,连接 EF若 AB=3,AC=2,且 +=B,则 E

    7、F=_ 三三 、 解解 答答 题题 ( 本本 大大 题题 共共 8 个个 小小 题题 , 共共 75 分分 .解解 答答 应应 写写 出出 文文 字字 说说 明明 , 证证 明明 过过 程程 或或 演演 算算 步步 骤骤 ) ) 16.( 本 题 共 2 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 10 分 ) (1)(2018娄底)计算: . (2)(2019南京)解方程: 2 3 1 11 x xx 17(本题 7 分)(2019无锡)如图,在ABC 中,AB=AC,点D、E 分别在AB、AC 上,BD=CE, BE、CD 相交于点O 求证:(1)DBCECB; (2)OBOC 18(本题

    8、 9 分)(2019河北)某球室有三种品牌的 4 个乒乓球,价格是 7,8,9(单位:元)三 种从中随机拿出一个球,已知 P(一次拿到 8 元球)= 1 2 (1)求这 4 个球价格的众数; (2)若甲组已拿走一个 7 元球训练,乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练 所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同?并简要说明理由; 乙组先随机拿出一个球后放回,之后又随机拿一个,用列表法(如图)求乙组两次都拿到 8 元球的概率 又拿 先拿 19(本题 8 分)(2019南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生 分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买

    9、 2 支钢笔和 3 个笔记本共 38 元,购买 4 支钢笔和 5 个笔记本共 70 元 (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元? (2)经与商家协商,购买钢笔超过 30 支时,每增加一支,单价降低 0.1 元;超过 50 支,均按 购买 50 支的单价销售,笔记本一律按原价销售,学校计划奖励一、二等奖学生共计 100 人,其 中一等奖的人数不少于 30 人,且不超过 60 人,这次奖励一等学生多少人时,购买奖品金额最 少,最少为多少元? 20(本题 9 分)(2019河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高 度如图所示,炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上,在

    10、A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34 ,再 沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处,测得塑像顶部 D 的仰角为 60 ,求炎帝塑像 DE 的高度 (精确到 1m参考数据:sin340.56,cos34 =0.83,tan340.67, 31.73) 21(本题 8 分)(2019陕西)问题提出:问题提出: (1)如图 1,已知ABC,试确定一点 D,使得以 A,B,C,D 为顶点的四边形为平行四边形, 请画出这个平行四边形; 问题探究:问题探究: (2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC,且 使 BPC=90 ,求满足条件的点 P

    11、到点 A 的距离; 问题解决:问题解决: (3)如图 3,有一座塔 A,按规定,要以塔 A 为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行 四边形的景区BCDE 根据实际情况, 要求顶点B是定点, 点B到塔A的距离为50米, CBE=120 , 那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 BCDE?若可以,求出满足要求的 平行四边形 BCDE 的最大面积;若不可以,请说明理由 (塔 A 的占地面积忽略不计) 22.(本题 11 分) (2019宁夏)如图,在ABC 中,A=90 ,AB=3,AC=4,点 M,Q 分别是边 AB, BC 上的动点(点 M 不与 A,B 重合) ,且 MQ

    12、BC,过点 M 作 BC 的平行线 MN,交 AC 于点 N, 连接 NQ,设 BQ 为 x (1)试说明不论 x 为何值时,总有QBMABC; (2)是否存在一点 Q,使得四边形 BMNQ 为平行四边形,试说明理由; (3)当 x 为何值时,四边形 BMNQ 的面积最大,并求出最大值 23.(本题 13 分)(2019河北)如图,若 b 是正数,直线 l:y=b 与 y 轴交于点 A;直线 a:y=xb 与 y 轴交于点 B;抛物线 L:y=x2+bx 的顶点为 C,且 L 与 x 轴右交点为 D (1)若 AB=8,求 b 的值,并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标; (2)当点 C

    13、在 l 下方时,求点 C 与 l 距离的最大值; (3)设 x00,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在 l,a 和 L 上,且 y3是 y1,y2的平均 数,求点(x0,0)与点 D 间的距离; (4)在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接 写出 b=2019 和 b=2019.5 时“美点”的个数 答案答案卷卷 第第 I 卷卷 选选 择择 题题 ( 共共 30 分分 ) 一一 、选选 择择 题题 ( 本本 大大 题题 共共 10 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 30 分分 , 在在 每每 个个

    14、小小 题题 给给 出出 的的 四四 个个 选选 项项 中中 , 只只 有有 一 项 符 合 题 目 要一 项 符 合 题 目 要 求求 , 请 选 出 并 在 答 题请 选 出 并 在 答 题 卡卡 上上 将 该 项 涂 黑将 该 项 涂 黑 ) 1(2019邵阳)下列各数中,属于无理数的是( ) A 1 3 B1.414 C 2 D 4 【答案】C 【解析】 4=2 是有理数;2是无理数,故选 C 【名师点睛】本题考查了无理数概念. 2(2018 安徽)下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据因式分解的步骤:先提公因式,再用公式法分解即可求得答案注

    15、意分解要 彻底 【详解】A. ,故 A 选项错误; B. ,故 B 选项错误; C. ,故 C 选项正确; D. =(x-2)2,故 D 选项错误, 故选 C. 【名师点睛】本题考查了提公因式法,公式法分解因式注意因式分解的步骤:先提公因式,再用 公式法分解注意分解要彻底 3(2018 深圳)某旅店一共 70 个房间,大房间每间住 8 个人,小房间每间住 6 个人,一共 480 个 学生刚好住满,设大房间有 个,小房间有 个.下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】大房间有 个,小房间有 个,根据等量关系:大小共 70 个房间,共住 480 人,列 方程组即

    16、可. 【详解】大房间有 个,小房间有 个, 由题意得:, 故选 A. 【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,弄清题意,找出等量关系列出方程组是解此类问 题的关键. 4 (2018湖州)如图,已知在ABC 中,BAC90 ,点 D 为 BC 的中点,点 E 在 AC 上,将CDE 沿DE折叠, 使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处, 连结AD, 则下列结论不一定正确的是 ( ) A. AE=EF B. AB=2DE C. ADF 和ADE 的面积相等 D. ADE 和FDE 的面积相等 【答案】C 【解析】分析:先判断出BFC 是直角三角形,再利用三角形的外角判断出 A 正确,进而判断出

    17、 AE=CE,得出 CE 是ABC 的中位线判断出 B 正确,利用等式的性质判断出 D 正确 详解:如图,连接 CF, 点 D 是 BC 中点, BD=CD, 由折叠知,ACB=DFE,CD=DF, BD=CD=DF, BFC 是直角三角形, BFC=90 , BD=DF, B=BFD, EAF=B+ACB=BFD+DFE=AFE, AE=EF,故 A 正确, 由折叠知,EF=CE, AE=CE, BD=CD, DE 是ABC 的中位线, AB=2DE,故 B 正确, AE=CE, SADE=SCDE, 由折叠知,CDEFDE, SCDE=SFDE, SADE=SFDE,故 D 正确, C 选

    18、项不正确, 故选:C 【名师点睛】本题考查了折叠的性质,直角三角形的判定和性质,三角形的中位线定理,作出辅 助线是解本题的关键 5.(2019吉林)如图,由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( ) A B C D 【答案】D 【解析】从上面看可得四个并排的正方形,如图所示:,故选 D 【名师点睛】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图 6(2018泰安)不等式组有 3 个整数解,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:解不等式组,可得不等式组的解,根据不等式组有 3 个整数解,可得答案 详解:不等式组,由 x1,解得:x4

    19、, 由 4(x1)2(xa) ,解得:x2a, 故不等式组的解为:4x2a, 由关于 x 的不等式组有 3 个整数解, 得:72a8,解得:6a5 故选 B 【名师点睛】本题考查了解一元一次不等式组,利用不等式的解得出关于 a 的不等式是解题的关键 7 (2018盐城) 盐通铁路沿线水网密布, 河渠纵横, 将建设特大桥梁 6 座, 桥梁的总长度约为 146000 米,将数据 146000 用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 分析:科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n

    20、的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时, n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数 详解:将 146000 用科学记数法表示为:1.46 105故选:A 【名师点睛】 本题考查了科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式, 其中 1|a| 10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 8(2018宜宾)一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2,则 x1x2为( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】分析:根据根与系数的关系可得出 x1x2=0,此题得解 详解:一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x

    21、1和 x2, x1x2=0 故选 D 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之积等于 是解题的关键 9 (2018重庆 A 卷) 如图, 在平面直角坐标系中, 菱形 ABCD 的顶点 A, B 在反比例函数(, ) 的图象上, 横坐标分别为 1, 4, 对角线轴 若菱形 ABCD 的面积为 , 则 k 的值为 ( ) A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设 A(1,m),B(4,n),连接 AC 交 BD 于点 M,BM=4-1=3,AM=m-n,由菱形的面 积可推得 m-n= ,再根据反比例函数系数的特性可知 m=4n,从而可求出 n 的值,即可得到 k 的

    22、值. 【详解】设 A(1,m),B(4,n),连接 AC 交 BD 于点 M, 则有 BM=4-1=3,AM=m-n, S菱形ABCD=4BMAM, S菱形ABCD= , 4 3(m-n)= , m-n= , 又点 A,B 在反比例函数, k=m=4n,n= ,k=4n=5, 故选 D. 【名师点睛】本题考查了反比例函数 k 的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等,熟记菱形的对角 线互相垂直平分是解题的关键. 10(2018宜宾)4在ABC 中,若 O 为 BC 边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依 据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF

    23、=3,点 P 在以 DE 为直径的 半圆上运动,则 PF2+PG2的最小值为( ) A. B. C. 34 D. 10 【答案】D 【解析】分析:设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN,则 MN、PM 的长度是定值, 利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值,再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论 详解:设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN 交半圆于点 P,此时 PN 取最小值 DE=4,四边形 DEFG 为矩形, GF=DE,MN=EF, MP=FN= DE=2, NP=MN-MP=EF-MP=1, PF2+PG2=2P

    24、N2+2FN2=2 12+2 22=10 故选 D 【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系,利用三角形三边 关系找出 PN 的最小值是解题的关键 第第 II卷卷 非非 选选 择择 题题 ( 共共 90 分分 ) 二二 、 填填 空空 题题 ( 本本 大大 题题 共共 5 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 15 分分 ) 11(2018 成都)已知,则代数式的值为 _. 【答案】0.36 【解析】分析:原式分解因式后,将已知等式代入计算即可求出值 详解:x+y=0.2,x+3y=1, 2x+4y=1.2,即 x+2y=0.6, 则原式=(

    25、x+2y)2=0.36 故答案为:0.36 【名师点睛】本题考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12(2019新疆)同时掷两枚质地均匀的骰子,两枚骰子点数之和小于 5 的概率是_ 【答案】 1 6 【解析】画树状图为: 共有 36 种等可能的结果数,其中两枚骰子点数的和是小于 5 的结果数为 6, 两枚骰子点数之和小于 5 的概率是 1 6 ,故答案为: 1 6 【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求 出 n,再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 13(2019江西

    26、)斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文 明程度如图,某路口的斑马线路段 ABC 横穿双向行驶车道,其中 AB=BC=6 米,在绿灯亮 时,小明共用 11 秒通过 AC,其中通过 BC 的速度是通过 AB 速度的 1.2 倍,求小明通过 AB 时 的速度设小明通过 AB 时的速度是 x 米/秒,根据题意列方程得:_ 【答案】 66 1.2xx =11 【解析】设小明通过 AB 时的速度是 x 米/秒, 由题意可得: 66 1.2xx =11, 故答案为: 66 1.2xx =11 【名师点睛】此题考查由实际问题抽象分式方程,关键是根据题意列出分式方程解答 14

    27、 (2019江西)在平面直角坐标系中,A,B,C 三点的坐标分别为(4,0), (4,4), (0,4), 点 P 在 x 轴上,点 D 在直线 AB 上,若 DA=1,CPDP 于点 P,则点 P 的坐标为_ 【答案】(2,0)或(2-2 2,0)或(2+22,0) 【解析】A,B 两点的坐标分别为(4,0),(4,4),ABy 轴, 点 D 在直线 AB 上,DA=1,D1(4,1),D2(4,-1) 如图: ()当点 D 在 D1处时,要使 CPDP,即使COP1P1AD1, 1 11 OPCO PAAD ,即 4 41 OP OP ,解得:OP1=2,P1(2,0); ()当点 D 在

    28、 D2处时,C(0,4),D2(4,-1),CD2的中点 E(2, 3 2 ), CPDP,点 P 为以 E 为圆心,CE 长为半径的圆与 x 轴的交点, 设 P(x,0),则 PE=CE,即 2222 33 (2)(0)2(4) 22 x,解得:x=2 22, P2(2-2 2,0),P3(2+22,0), 综上所述:点 P 的坐标为(2,0)或(2-2 2,0)或(2+22,0) 【名师点睛】本题考查了相似三角形的性质. 15(2019海南)如图,将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 (0 90 )得到 AE,直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转 (0 AB 以点 O 为圆心,

    29、OB 长为半径作O,O 一定于 AD 相交于 P1,P2两点, 连接 BP1,P1C,P1O,BPC=90 ,点 P 不能再矩形外, BPC 的顶点 P1或 P2位置时,BPC 的面积最大, 作 P1EBC,垂足为 E,则 OE=3, AP1=BE=OB-OE=5-3=2, 由对称性得 AP2=8 (3)可以,如图所示,连接 BD, A 为BCDE 的对称中心,BA=50,CBE=120 , BD=100,BED=60 , 作BDE 的外接圆O,则点 E 在优弧BD上,取BED的中点 E,连接 EB,ED, 则 EB=ED,且BED=60 ,BED 为正三角形 连接 EO 并延长,经过点 A

    30、至 C,使 EA=AC,连接 BC,DC, EABD, 四边形 ED 为菱形,且CBE=120, 作 EFBD,垂足为 F,连接 EO,则 EFEO+OA-EO+OA=EA, SBDE 1 2 BD EF 1 2 BD EA=SEBD, S平行四边形BCDES 平行四边形BCDE=2SEBD=1002 sin60 =50003(m2) , 所以符合要求的BCDE 的最大面积为 50003m2 【名师点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的判定和性质,圆周角定理,三角形的 面积等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题 22.(本题 11 分) (2019宁夏)如图,

    31、在ABC 中,A=90 ,AB=3,AC=4,点 M,Q 分别是边 AB, BC 上的动点(点 M 不与 A,B 重合) ,且 MQBC,过点 M 作 BC 的平行线 MN,交 AC 于点 N, 连接 NQ,设 BQ 为 x (1)试说明不论 x 为何值时,总有QBMABC; (2)是否存在一点 Q,使得四边形 BMNQ 为平行四边形,试说明理由; (3)当 x 为何值时,四边形 BMNQ 的面积最大,并求出最大值 【解析】 (1)MQBC, MQB=90 , MQB=CAB,又QBM=ABC, QBMABC (2)当 BQ=MN 时,四边形 BMNQ 为平行四边形, MNBQ,BQ=MN,

    32、四边形 BMNQ 为平行四边形 (3)A=90 ,AB=3,AC=4, BC 22 ABAC5, QBMABC, QBQMBM ABACBC ,即 345 xQMBM , 解得,QM 4 3 x,BM 5 3 x, MNBC, MNAM BCAB ,即 5 3 3 53 x MN , 解得,MN=5 25 9 x, 则四边形 BMNQ 的面积 1 2 (5 25 9 x+x) 4 3 x 32 27 (x 45 32 )2 75 32 , 当 x 45 32 时,四边形 BMNQ 的面积最大,最大值为 75 32 【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质

    33、,掌 握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键 23.(本题 13 分)(2019河北)如图,若 b 是正数,直线 l:y=b 与 y 轴交于点 A;直线 a:y=xb 与 y 轴交于点 B;抛物线 L:y=x2+bx 的顶点为 C,且 L 与 x 轴右交点为 D (1)若 AB=8,求 b 的值,并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标; (2)当点 C 在 l 下方时,求点 C 与 l 距离的最大值; (3)设 x00,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在 l,a 和 L 上,且 y3是 y1,y2的平均 数,求点(x0,0)与点 D 间的距离; (4)在 L

    34、和 a 所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接 写出 b=2019 和 b=2019.5 时“美点”的个数 【答案】(1)b=4,对称轴为 x=2,L 的对称轴与 a 的交点为(2,2);(2)点 C 与 l 距离的 最大值为 1;(3)点(x0,0)与点 D 间的距离为 1 2 .(4)故 b=2019 时“美点”的个数为 4040 个, b=2019.5 时“美点”的个数为 1010 个 【解析】(1)当 x=0 吋,y=xb=b,B(0,b), AB=8,而 A(0,b),b(b)=8,b=4 L:y=x2+4x,L 的对称轴 x=2, 当 x=2 时,

    35、y=x4=2, L 的对称轴与 a 的交点为(2,2); (2)y=(x 2 b )2+ 2 4 b ,L 的顶点 C( 2 b , 2 4 b ), 点 C 在 l 下方,C 与 l 的距离为 b 2 4 b = 1 4 (b2)2+11, 点 C 与 l 距离的最大值为 1; (3)由題意得 12 3 2 yy y ,即 y1+y2=2y3, 得 b+x0b=2(x02+bx0), 解得 x0=0 或 x0=b 1 2 但 x00,取 x0=b 1 2 , 对于 L,当 y=0 时,0=x2+bx,即 0=x(xb),解得 x1=0,x2=b, b0,右交点 D(b,0) 点(x0,0)与

    36、点 D 间的距离为 b(b 1 2 )= 1 2 . (4)当 b=2019 时,抛物线解析式 L:y=x2+2019x, 直线解析式 a:y=x2019, 联立上述两个解析式可得:x1=1,x2=2019, 可知每一个整数 x 的值 都对应的一个整数 y 值,且1 和 2019 之间(包括1 和2019), 共有 2021 个整数; 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线, 线段和抛物线上各有 2021 个整数点,总计 4042 个点, 这两段图象交点有 2 个点重复重复,美点”的个数:40422=4040(个); 当 b=2019.5 时, 抛物线解析式 L:y=x2+201

    37、9.5x, 直线解析式 a:y=x2019.5, 联立上述两个解析式可得:x1=1,x2=2019.5, 当 x 取整数时,在一次函数 y=x2019.5 上,y 取不到整数值,因此在该图象上“美点”为 0, 在二次函数 y=x+2019.5x 图象上,当 x 为偶数时,函数值 y 可取整数, 可知1 到 2019.5 之间有 1009 个偶数,并且在1 和 2019.5 之间还有整数 0,验证后可知 0 也 符合, 条件,因此“美点”共有 1010 个 故 b=2019 时“美点”的个数为 4040 个,b=2019.5 时“美点”的个数为 1010 个 【名师点睛】本题考查了二次函数,熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解 题的关键


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