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    四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试数学试题(文科)含答案解析

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    四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试数学试题(文科)含答案解析

    1、2020 年高考(文科)数学三诊试卷年高考(文科)数学三诊试卷 一、选择题(共 12 小题). 1复数( ) A1+i B1i Ci D12i 2设集合 A(x,y)|x2+y21,B(x,y)|x+y1,则 AB 中元素的个数是( ) A0 B1 C2 D3 3已知单位向量 , 满足 ,则 ( )( ) A0 B C1 D2 4有报道称,据南方科技大学、上海交大等 8 家单位的最新研究显示:A、B、O、AB 血型 与 COVID19 易感性存在关联,具体调查数据统计如图: 根据以上调查数据,则下列说法错误的是( ) A与非 O 型血相比,O 型血人群对 COVID19 相对不易感,风险较低

    2、B与非 A 型血相比,A 型血人群对 COVID19 相对易感,风险较高 C与 O 型血相比,B 型、AB 型血人群对 COVID19 的易感性要高 D与 A 型血相比,非 A 型血人群对 COVID19 都不易感,没有风险 5已知 x log321,则 4x( ) A4 B6 C4 D9 6在ABC 中,若 sinB2sinAcosC,那么ABC 一定是( ) A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 7 数学与建筑的结合造就建筑艺术品, 2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界, 如图 若 将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在 y 轴上的双曲线0) 上支的一部分,且上

    3、焦点到上顶点的距离为 2,到渐近线距离为,则此双曲线的离 心率为( ) A2 B3 C D2 8已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)f(x),若 f(1)1,f(2019) ln(a1),则实数 a 的取值范围为( ) A(1,2) B(,e+1) C(e+1,+) D(1,e+1) 9某社区有 3 个防疫志愿者服务队,每位社区居民参加每个服务队的可能性相同,该社区 的甲、 乙两位居民均参加其中一个服务队, 则这两位居民参加不同服务队的概率为 ( ) A B C D 10 已知函数 f (x) sin (x+)(0,) 的最小正周期为 , 且关于 中心对称,则下列结论正确的是

    4、( ) Af(1)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(1) Cf(2)f(0)f(1) Df(2)f(1)f(0) 11如图,教室里悬挂着日光灯管 AB,AB90cm,灯线 ACBD,将灯管 AB 绕着过 AB 中点 O 的铅垂线 OO顺时针旋转 60至 AB,且始终保持灯线绷紧,若旋转后该灯 管升高了 15cm,则 AC 的长为( ) A30cm B40cm C60cm D75cm 12 已知x为实数, x表示不超过x的最大整数, 若函数f (x) xx, 则函数 的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题 13已知,则 sin 14曲线 y2xx3在 x1 的处的切线方程为

    5、 15已知 F1,F2是椭圆 C:的两个焦点,P 是椭圆 C上的一点, F1PF2120,且F1PF2的面积为 ,则 b 16 在一个半径为 2 的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器, 要使该容器所盛液 体尽可能多,则该容器的高应为 三、解答题 17质量是企业的生命线,某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件,并按质量指标值进行统 计分析,得到表格如表: 质量指标值 等级 频数 频率 60,75) 三等品 10 0.1 75,90) 二等品 30 b 90,105) 一等品 a 0.4 105,120) 特等品 20 0.2 合计 n 1 (1)求 a,b,n; (2)从质量指标值在90

    6、,120)的产品中,按照等级分层抽样抽取 6 件,再从这 6 件中 随机抽取 2 件,求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18若数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a11,an+12Sn(nN*) (1)求 Sn; (2)设 bnlog3Sn,求使得 0.99 成立的最小自 然数 n 19如图,四边形 ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,点 E、点 F 分别是线段 AD、PB 的 中点,PAAB2 (1)证明:EF平面 PCD; (2)求三棱锥 FPCD 的体积 20已知动直线 l 过抛物线 C:y24x 的焦点 F,且与抛物线 C 交于 M,N 两点,且点 M 在 x 轴上方,O 为坐

    7、标原点,线段 MN 的中点为 G (1)若直线 OG 的斜率为,求直线 l 的方程; (2)设点 P(x0,0),若FMP 恒为锐角,求 x0的取值范围 21已知函数 f(x)ax(a+2)lnx+2,其中 aR (1)当 a4 时,求函数 f(x)的极值; (2)试讨论函数 f(x)在(1,e)上的零点个数 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22 如图, 在极坐标系中, 曲线 C1是以 C1(4, 0) 为圆心的半圆, 曲线 C2是以 为圆心的圆,曲线 C1、C2都过极点 O (1)分别写出半圆

    8、C1,C2的极坐标方程; (2)直线 l:与曲线 C1,C2分别交于 M、N 两点(异于极点 O),P 为 C2上的动点,求PMN 面积的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x2|+|x+1| (1)解关于 x 的不等式 f(x)5; (2) 若函数 f (x) 的最小值记为 m, 设 a, b, c 均为正实数, 且 a+4b+9cm, 求 的最小值 参考答案 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1复数( ) A1+i B1i Ci D12i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值 解:

    9、故选:A 2设集合 A(x,y)|x2+y21,B(x,y)|x+y1,则 AB 中元素的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】可画出圆 x2+y21 和直线 x+y1 的图象,从而可看出它们交点的个数,从而得 出 AB 中的元素个数 解:画出 x2+y21 和 x+y1 的图象如下: 可看出圆 x2+y21 和直线 x+y1 有两个交点, AB 的元素个数为 2 故选:C 3已知单位向量 , 满足 ,则 ( )( ) A0 B C1 D2 【分析】直接把已知代入数量积求解即可 解:因为单位向量 , 满足 ,则 ( ) 1201 故选:C 4有报道称,据南方科技大学、上海交大等 8 家

    10、单位的最新研究显示:A、B、O、AB 血型 与 COVID19 易感性存在关联,具体调查数据统计如图: 根据以上调查数据,则下列说法错误的是( ) A与非 O 型血相比,O 型血人群对 COVID19 相对不易感,风险较低 B与非 A 型血相比,A 型血人群对 COVID19 相对易感,风险较高 C与 O 型血相比,B 型、AB 型血人群对 COVID19 的易感性要高 D与 A 型血相比,非 A 型血人群对 COVID19 都不易感,没有风险 【分析】根据频率分布直方图,利用频率、频数与样本容量的关系,患者占有比例即可 解答 解:根据 A、B、O、AB 血型与 COVID19 易感性存在关联

    11、,患者占有比例可知: A 型 37.75%最高,所以风险最大值,比其它血型相对易感; 故而 D 选项明显不对 故选:D 5已知 x log321,则 4x( ) A4 B6 C4 D9 【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 解:x log321,xlog23, 4x 9, 故选:D 6在ABC 中,若 sinB2sinAcosC,那么ABC 一定是( ) A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 【分析】由三角形的内角和定理得到 B(A+C),代入已知等式左侧,利用诱导公 式及两角和与差的正弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一 个角的正弦函数,

    12、利用特殊角的三角函数值得到 AC,利用等角对等边即可得到三角形 为等腰三角形 解:sinBsin(A+C)sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC, cosAsinCsinAcosCsin(CA)0,即 CA0,CA, ac,即ABC 为等腰三角形 故选:B 7 数学与建筑的结合造就建筑艺术品, 2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界, 如图 若 将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在 y 轴上的双曲线0) 上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为 2,到渐近线距离为,则此双曲线的离 心率为( ) A2 B3 C D2 【分析】利用已知条件求出方程组,得到 a,c

    13、,即可求解双曲线的离心率 解:双曲线0)的上焦点到上顶点的距离为 2,到渐近线距离为 , 可得:,解得 a1,c3,b2, 所以双曲线的离心率为:e3 故选:B 8已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)f(x),若 f(1)1,f(2019) ln(a1),则实数 a 的取值范围为( ) A(1,2) B(,e+1) C(e+1,+) D(1,e+1) 【分析】根据题意,分析可得 f(x+4)f(x+2)f(x),即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,据此可得 f(2019)f(1),进而可得 ln(a1)1,变形可得 0a 1e,解可得 a 的取值范围,即可得答案 解:根

    14、据题意,函数 f(x)满足 f(x+2)f(x),则有 f(x+4)f(x+2)f(x), 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,则 f(2019)f(1+4505)f(1), 又由 f(2019)ln(a1)且 f(1)1, 则有 ln(a1)1,变形可得 0a1e, 解可得:1ae+1; 故 a 的取值范围为(1,e+1); 故选:D 9某社区有 3 个防疫志愿者服务队,每位社区居民参加每个服务队的可能性相同,该社区 的甲、 乙两位居民均参加其中一个服务队, 则这两位居民参加不同服务队的概率为 ( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n329,这两位居民参加不同服务队包含的基本事件

    15、总数 m 6,由此能求出这两位居民参加不同服务队的概率 解:某社区有 3 个防疫志愿者服务队,每位社区居民参加每个服务队的可能性相同, 该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队, 基本事件总数 n329, 这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数 m6, 则这两位居民参加不同服务队的概率 p 故选:A 10 已知函数 f (x) sin (x+)(0,) 的最小正周期为 , 且关于 中心对称,则下列结论正确的是( ) Af(1)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(1) Cf(2)f(0)f(1) Df(2)f(1)f(0) 【分析】根据条件求出函数的解析式,结合函数的单调性的性质进行转

    16、化判断即可 解:函数的最小周期是 ,得 2, 则 f(x)sin(2x+), f(x)关于中心对称, 2()+k,kZ, 即 k+,kZ, , 当 k0 时, 即 f(x)sin(2x+), 则函数在,上递增,在,上递减, f(0)f(), 12, f()f(1)f(2), 即 f(2)f(1)f(0), 故选:D 11如图,教室里悬挂着日光灯管 AB,AB90cm,灯线 ACBD,将灯管 AB 绕着过 AB 中点 O 的铅垂线 OO顺时针旋转 60至 AB,且始终保持灯线绷紧,若旋转后该灯 管升高了 15cm,则 AC 的长为( ) A30cm B40cm C60cm D75cm 【分析】设

    17、 AB与 OO交于点 N,过点 A作 AMAC 于 M,连接 MN,由等边 三角形求出 AM,由勾股定理求得 AC 的值 解:设 AB与 OO交于点 N, 过点 A作 AMAC 于 M,连接 MN,如图所示; 则 CMAC15, AMN 中,ANAB45,MN45,AMN60, 所以 AM45; 在 RtAMC 中,由勾股定理得, (AC15)2+452AC2, 解得 AC75(cm) 故选:D 12 已知x为实数, x表示不超过x的最大整数, 若函数f (x) xx, 则函数 的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】函数的零点个数,即方程的零点个数,也就是两函 数 yf(x)与

    18、y的图象的交点个数,画出图象,数形结合得答案 解:函数的零点个数,即方程的零点个数, 也就是两函数 yf(x)与 y的交点个数 由 y,得 y 可知当 x1 时,y0,函数单调递减,当 x1 时,y0,函数单调递增 作出两函数 yf(x)与 y的图象如图: 由图可知,函数的零点个数为 2 个 故选:B 二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13已知,则 sin 【分析】将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式 即可求解 解:, 两边平方可得:cos2+sin22cossin,可得 1sin , sin 故答案为: 14曲线 y2xx3在 x1 的

    19、处的切线方程为 x+y+20 【分析】根据导数的几何意义求出函数在 x1 处的导数,从而得到切线的斜率,再利 用点斜式方程写出切线方程即可 解:y23x2 y|x11 而切点的坐标为(1,1) 曲线 y2xx3在 x1 的处的切线方程为 x+y+20 故答案为:x+y+20 15已知 F1,F2是椭圆 C:的两个焦点,P 是椭圆 C上的一点, F1PF2120,且F1PF2的面积为 ,则 b 2 【分析】根据正余弦定理可得 PF1 PF216 且 4c2(2a)216,解出 b 即可 解:F1PF2的面积PF1 PF2sin120 PF1 PF24,则 PF1 PF216, 又根据余弦定理可得

    20、 cos120,即 4c2PF12+PF22+16(2a) 232+16, 所以 4b216,解得 b2, 故答案为:2 16 在一个半径为 2 的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器, 要使该容器所盛液 体尽可能多,则该容器的高应为 【分析】设正四棱柱的高为 h,底面边长为 a,用 h 表示出 a, 写出正四棱柱容器的容积,利用导数求出 V 取最大值时对应的 h 值 解:设正四棱柱的高为 h,底面边长为 a,如图所示; 则 h2+2a2(22)2, 所以 a28h2, 所以正四棱柱容器的容积为 Va2h(8h2)hh3+8h,h(0,4); 求导数得 Vh2+8, 令 V0,解得 h,

    21、 所以 h(0,)时,V0,V(h)单调递增; h(,4)时,V0,V(h)单调递减; 所以 h时,V 取得最大值 所以要使该容器所盛液体尽可能多,容器的高应为 故答案为: 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分 17质量是企业的生命线,某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件,并按质量指标值进行统 计分析,得到表格如表: 质量指标值 等级 频数 频率 60,75) 三等品 10 0.1 75,90) 二等品 30 b 90,105) 一等品

    22、a 0.4 105,120) 特等品 20 0.2 合计 n 1 (1)求 a,b,n; (2)从质量指标值在90,120)的产品中,按照等级分层抽样抽取 6 件,再从这 6 件中 随机抽取 2 件,求至少有 1 件特等品被抽到的概率 【分析】(1)由 100.1100,得 n100,由此能求出 a,b (2)设从“特等品”产品中抽取 x 件,从“一等品”产品中抽取 y 件,由分层抽样得: ,解得 x2,y4,在抽取的 6 件中,有特等品 2 件,记为 A1,A2,有一 等品 4 件,记为 B1,B2,B3,B4,由此利用列举法能求出至少有 1 件特等品被抽到的概 率 解:(1)由 100.1

    23、100,即 n100, a1000.440, b301000.3 (2)设从“特等品”产品中抽取 x 件,从“一等品”产品中抽取 y 件, 由分层抽样得:, 解得 x2,y4, 在抽取的 6 件中,有特等品 2 件,记为 A1,A2, 有一等品 4 件,记为 B1,B2,B3,B4, 则所有的抽样情况有 15 种,分别为: A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4, B3B4, 其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种,分别为: A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2

    24、B1,A2B2,A2B3,A2B4, 至少有 1 件特等品被抽到的概率为:p 18若数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a11,an+12Sn(nN*) (1)求 Sn; (2)设 bnlog3Sn,求使得 0.99 成立的最小自 然数 n 【分析】(1)利用数列的递推关系式,推出数列Sn是等比数列,然后求解即可 (2)化简数列的通项公式,然后利用裂项消项法求解数列的和,结合不等式推出 n 的范 围,然后求解即可 解:(1)数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a11,an+12Sn(nN*)所以 Sn+13Sn, 所以Sn是等比数列,首项为 1,公比为 3 等比数列Sn3n1 (2)bnl

    25、og3Snn1, 1, 0.99 成立,即 10.99,解得 n99, 所以最小自然数 n 为 100 19如图,四边形 ABCD 是正方形,PA平面 ABCD,点 E、点 F 分别是线段 AD、PB 的 中点,PAAB2 (1)证明:EF平面 PCD; (2)求三棱锥 FPCD 的体积 【分析】(1)取 PC 的中点 G,连接 DG,FG利用正方形的性质、三角形中位线定理 可得:DEBC,且 DEBC于是四边形 DEFG 为平行四边形,可得 EFDG,即可证 明 EF平面 PCD (2)根据 EF平面 PCD,可得 F 到平面 PCD 的距离等于点 E 到平面 PCD 的距离,可 得 VFP

    26、CDVEPCD VAPCDVPACD由 PA平面 ABCD,可得 VPACDPA SACD,即可得出 【解答】(1)证明:取 PC 的中点 G,连接 DG,FG四边形 ABCD 为正方形,且 DEBC,FGBC,且 FG BC DEBC,且 DEBC 四边形 DEFG 为平行四边形,EFDG,EF平面 PCD,DG平面 PCD,EF 平面 PCD (2)解:EF平面 PCD,F 到平面 PCD 的距离等于点 E 到平面 PCD 的距离, VFPCDVEPCD VAPCDVPACD PA平面 ABCD,VPACDPASACD2 VFPCD 20已知动直线 l 过抛物线 C:y24x 的焦点 F,

    27、且与抛物线 C 交于 M,N 两点,且点 M 在 x 轴上方,O 为坐标原点,线段 MN 的中点为 G (1)若直线 OG 的斜率为,求直线 l 的方程; (2)设点 P(x0,0),若FMP 恒为锐角,求 x0的取值范围 【分析】(1)由抛物线的方程可得焦点 F 的坐标,设直线 l 的方程与抛物线联立求出两 根之和及两根之积,进而可得中点 G 的坐标,求出直线 OG 的斜率,再由题意可得直线 中参数的值,进而求出直线方程; (2)FMP 恒为锐角,等价于0,设 M 的坐标,求出向量的代数式, 使其大于 0 恒成立,令函数 h(t),分两种情况讨论函数大于 0 时的 x0的范围 解:(1)由题

    28、意得 F(1,0),设直线 l 的方程为:xty+1,设 M(x1,y1),N(x2, y2), 线段 MN 的中点 G(x0,y0), 联立直线与抛物线的方程:, 整理可得:y24ty40,可得 y1+y24t,y1y24, 所以 y02t,x0ty0+12t2+1, 即 G(2t2+1,2t),所以 kOG , 由题意可得,解得 t或 t1, 所以直线 l 的方程为:xy10,或 2xy20; (2)FMP 恒为锐角,等价于0, 设 M(,y1),F(1,0),P(x0,0), (x0, y1) , (1, y1) , 则 (x0) (1) +y12+y12+(1)x00 恒成立, 令 t

    29、,则 t0, 原式等价于 t2+3t+(1t)x00,对任意的 t0 恒成立, 令 h(t)t2+(3x0)t+x0, (3x0)24x0x0210x0+90,解得 1x09, ,解得:0x01, 又 x01,故 0x01, 综上所述:x0的取值范围0,1)(1,9) 21已知函数 f(x)ax(a+2)lnx+2,其中 aR (1)当 a4 时,求函数 f(x)的极值; (2)试讨论函数 f(x)在(1,e)上的零点个数 【分析】(1)把 a4 代入后对函数求导,然后结合导数可求函数的单调性,进而可求 极值; (2)先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对 a 进行分类讨论,确定导数符号,然

    30、 后结合导数与函数的性质可求 解: (1)当 a4 时,f(x)4x6lnx+2, x0, 易得 f(x)在(0,),(1,+)上单调递增,在()上单调递减, 故当 x时,函数取得极大值 f()6ln2,当 x1 时,函数取得极小值 f(1)4, (2), 当 a0 时,f(x)在(1,e)上单调递减,f(x)f(1)a0,此时函数在(1,e) 上没有零点; 当 a2 时,f(x)在(1,e)上单调递增,f(x)f(1)a2,此时函数在(1,e) 上没有零点; 当 0 即时, f (x) 在 (1, e) 上单调递减, 由题意可得, 解可得,0, 当即时,f(x)在(1,)上单调递减,在()上

    31、单调递增, 由于 f(1)a0,f(e)a(e1), 令 g(a)f()2(a+2)lna+2(a+2)lna(1+ln2)a+42ln2, 令 h(a),则0, 所以 h(a)在()上递减,h(a)h(2)10,即 g(a)0, 所以 g(a)在()上递增,g(a)g()2, 即 f()0, 所以 f(x)在(1,e)上没有零点, 综上,当 0a时,f(x)在(1,e)上有唯一零点, 当 a0 或 a时,f(x)在(1,e)上没有零点 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22 如图, 在极坐标系中,

    32、 曲线 C1是以 C1(4, 0) 为圆心的半圆, 曲线 C2是以 为圆心的圆,曲线 C1、C2都过极点 O (1)分别写出半圆 C1,C2的极坐标方程; (2)直线 l:与曲线 C1,C2分别交于 M、N 两点(异于极点 O),P 为 C2上的动点,求PMN 面积的最大值 【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 (2)利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果 解:(1)曲线 C1是以 C1(4,0)为圆心的半圆, 所以半圆的极坐标方程为, 曲 线C2是 以为 圆 心 的 圆 , 转 换 为 极 坐 标 方 程 为 (2)由(1

    33、)得:|MN| 显然当点 P 到直线 MN 的距离最大时,PMN 的面积最大 此时点 P 为过 C2且与直线 MN 垂直的直线与 C2的一个交点, 设 PC2与直线 MN 垂直于点 H, 如图所示: 在 RtOHC2中,| , 所以点 P 到直线 MN 的最大距离 d, 所以 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x2|+|x+1| (1)解关于 x 的不等式 f(x)5; (2) 若函数 f (x) 的最小值记为 m, 设 a, b, c 均为正实数, 且 a+4b+9cm, 求 的最小值 【分析】(1)将 f(x)写为分段函数的形式,然后根据 f(x)5,利用零点分段法解 不等式即可; (2)利用绝对值三角不等式求出 f(x)的最小值 m,然后由 a+4b+9cm,根据+ +(a+4b+9c),利用基本不等式求出的最小值 解:(1)f(x)|x2|+|x+1| f(x)5,或1x2 或, 2x3,不等式的解集为x|2x3 (2)f(x)|x2|+|x+1|(x2)(x+1)|1 f(x)的最小值为 1,即 m3,a+4b+9c3 3, 当且仅当 时等号成立, 最小值为 3


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