1、数学试题数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只分在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|y= ，集合 Bx|3x3，则 AB（ ） A3，3 B3，+） C0，3 D0，+） 2若复数 z 满足 z（i1）2i（i 为虚数单位） ，则 z 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3已知平面向量 =（2，3） ， =（x，4） ，若 ( )，则 x（ ） A1 2 B1 C2 D3 4从只读过飘的 2 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中
2、任选 2 人在班内进行读后 分享，则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为（ ） A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 5若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离为（ ） A8 B9 C10 D11 6甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以 后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人 说法错误，则下列结论正确的是（ ）来源:学*科*网 A丙被录用了 B乙被录用了 C甲被录用了 D无法确定谁被录用了 7已知 = 2020 1 ， = ( 1 ) 2020， = 20201 ，则（ ） Aca
3、b Bacb Cbac Dabc 8若 l，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面 ，则“l”是“lm”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知等比数列an中，若 a5+a78，则 a4（a6+2a8）+a3a11的值为（ ） A8 B16 C64 D128 10已知函数 f（x）2（|cosx|+cosx） sinx 给出下列四个命题： f（x）的最小正周期为 ； f（x）的图象关于直线 = 4对称； f（x）在区间 4 ， 4上单调递增； f（x）的值域为2，2 其中所有正确的编号是（ ） A B C D 11函数() = ( 2 1
4、+ 1)图象的大致形状是（ ） A B C D 12已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左，右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c， 0） ，又点(， 32 2 )若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN|4b，则双曲 线 C 的离心率的取值范围为（ ） A( 13 3 ，5) B(5，13) C(1，5) (13，+ ) D(1， 13 3 ) (5，+ ) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分将答案填在答题纸上分将答案填在答题纸上 13某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意
5、向，拟采用分层抽样的方向，从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年 级、 三年级、 四年级的本科生人数之比为 4： 5： 5： 6， 则应从一年级本科生中抽取 名 学生 14已知曲线 f（x）（ax1）ex在点（0，1）处的切线方程为 yx1，则实数 a 的值 为 15 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个 面包分给 5 个人， 使每人所得份量成等差数列， 且较大的三份之和的1 7是较小的两份之和， 则最小一份的量为 16已知三棱锥 DABC 四个顶点均在半径为 R 的球面上，且 = = 2，AC2，若 该三
6、棱锥体积的最大值为4 3，则这个球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50 名学生 的数学成绩，按成绩分组：第 1 组75，80） ，第 2 组80，85） ，第 3 组85，90） ，第 4 组 90，95） ，第 5 组95，100，得到的频率分布直方图如图所示 （1）由频率分布直方图，估计这
7、 50 名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到 0.01） ； （2）该校高一年级共有 1000 名学生，若本次考试成绩 90 分以上（含 90 分）为“优秀” 等次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1， E、F 分别为 A1C1、BC 的中点 （1）求证：平面 ABE平面 B1BCC1； （2）求证：C1F平面 ABE； （3）求三棱锥 EABC 的体积 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的焦距为 2，过点(1， 2 2 ) （1）求椭圆 C 的标准方
8、程； （2） 设椭圆的右焦点为 F， 定点 P （2， 0） ， 过点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点，以线段 AP 为直径的圆与直线 x2 的另一个交点为 Q，证明：直线 BQ 恒过一 定点，并求出该定点的坐标 21已知函数 f（x）2lnx+a（x24x+3） （1）若 a= 4 3，求 f（x）的单调区间； （2）证明： （i）lnxx1； （ii）对任意 a（，0） ，f（x）0 对 x（3;2 ，+）恒成立 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 （ 为参数
9、） ，直线 C2的方程为 = 3 3 ，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|2x+2m|（m0） （）当 m1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若xR，tR，使得 f（x）+|t1|t+1|，求实数 m 的取值范围 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只分在每小题给出的四个选项中只 有一项是
10、符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|y= ，集合 Bx|3x3，则 AB（ ） A3，3 B3，+） C0，3 D0，+） 先计算集合 A，然后对集合 A 和集合 B 取交集即可 Ax|x0； AB0，3 故选：C 考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算 2若复数 z 满足 z（i1）2i（i 为虚数单位） ，则 z 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 由 z（i1）2i，得 z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 1 故选：B 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3已知平面向量
11、=（2，3） ， =（x，4） ，若 ( )，则 x（ ） A1 2 B1 C2 D3 根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出 x 的值 向量 = (2，3)， = (，4)， 若 ( )，则 （ ）0， 即 2 =0， 所以（22+32）（2x+34）0， 解得 x= 1 2 故选：A 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的计算问题，是基础题 4从只读过飘的 2 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人在班内进行读后 分享，则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为（ ） A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 基本事件总数 n= 5 2 = 10， 选中的 2人都读过 红楼梦
12、包含的基本事件个数m= 3 2 =3， 由此能求出选中的 2 人都读过红楼梦的概率 从只读过飘的 2 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人在班内进行读后 分享， 基本事件总数 n= 5 2 = 10， 选中的 2 人都读过红楼梦包含的基本事件个数 m= 3 2 =3， 则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为 p= = 3 10 =0.3 故选：D 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 5若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离为（ ） A8 B9 C10 D11 根据抛物线的性质得出 M 到准线 x1
13、 的距离为 10，故到 y 轴的距离为 9 抛物线的准线为 x1， 点 M 到焦点的距离为 10， 点 M 到准线 x1 的距离为 10， 点 M 到 y 轴的距离为 9 故选：B 本题考查了抛物线的性质，属于基础题 6甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以 后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人 说法错误，则下列结论正确的是（ ） A丙被录用了 B乙被录用了 C甲被录用了 D无法确定谁被录用了 利用反证法，即可得出结论 假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立； 假设甲说的是假话，即丙没有被录
14、用，则丙说的是真话， 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用； 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立 故选：C 本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 7已知 = 2020 1 ， = ( 1 ) 2020， = 20201 ，则（ ） Acab Bacb Cbac Dabc 利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 = 2020 1 log202010， = (1 ) 2020（0，1） ， = 2020 1 1， 所以 abc 故选：D 本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 8若 l，m 是两条
15、不重合的直线，m 垂直于平面 ，则“l”是“lm”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 当 l，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面 ，若“l” ，则“lm” ， 所以“l”能推出“lm” ； 当 l，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面 ，若“lm” ，则“l“或“l 在平面 内” ， 所以“lm”不能推出“l” ； 由充要条件的定义可得： 若 l，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面 ，则“l”是“lm”的充分而不必要 条件， 故选：A 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件
16、和必要条件的定义是解决本题 的关键 9已知等比数列an中，若 a5+a78，则 a4（a6+2a8）+a3a11的值为（ ） A8 B16 C64 D128 根据等比数列an中，等比中项的定义，化简求解本式即可 等比数列an中， a4（a6+2a8）+a3a11a4a6+2a4a8+a3a11= 52+ 257+ 72= (5+ 7)2， a5+a78， a4（a6+2a8）+a3a118264 故选：C 本题主要考查等比数列和等比中项的应用，属于基础题 10已知函数 f（x）2（|cosx|+cosx） sinx 给出下列四个命题： f（x）的最小正周期为 ； f（x）的图象关于直线 = 4
17、对称； f（x）在区间 4 ， 4上单调递增； f（x）的值域为2，2 其中所有正确的编号是（ ） A B C D 根据周期，对称轴，单调性的性质进行判断 f（+x）2（|cos（+x）|+cos（+x） ） sin（+x）2（|cosx|cosx） sinxf（x） ， 则 f（x）的最小正周期不是 ，错，则排除 C 选项； f（ 2 ）2（|cos（ 2 ）|+cos（ 2 ） ） sin（ 2 ）2（|sinx|+sinx） cosxf（x） ， f（x）的图象不关于直线 = 4对称，错，排除 AD 选项 f （x） 在区间 4 ， 4时， f （x） 2 （|cosx|+cosx） s
18、inx4cosxsinx2sin2x， 在 4 ， 4上单调 递增，对，排除 A 选项； 故选：B 本题考查三角函数的周期，对称，单调性，可通过排除法排除选项，属于中档题 11函数() = ( 2 1+ 1)图象的大致形状是（ ） A B 来源:学科网 ZXXK C D 由函数的奇偶性可排除 BD，由 f（1）0，可排除 A，进而得出正确选项 由() = 1 1+ ，可得() = 1 1+ () = 1 +1 () = ()，且函数 的定义域为 R， 则函数 f（x）为偶函数，故可排除选项 B，D； 又(1) = 1 1+ 10，故可排除 A 故选：C 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数
19、形结合思想，属于基础题 12已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左，右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c， 0） ，又点(， 32 2 )若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN|4b，则双曲 线 C 的离心率的取值范围为（ ） A( 13 3 ，5) B(5，13) C(1，5) (13，+ ) D(1， 13 3 ) (5，+ ) 原问题等价于 （|MF2|+|MN|）min4b， 又|MF2|+|MN|2a+|MF1|+|MN|2a+|NF1|2a+ 32 2 即可得 4a2+3b28ab 2或 2 3即可 双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足
20、|MF2|+|MN|4b， 即（|MF2|+|MN|）min4b， 又|MF2|+|MN|2a+|MF1|+|MN|2a+|NF1|2a+ 32 2 2a+ 32 2 4b4a2+3b28ab 3 +4 80 2或 2 3 e21+ 2 2，e5或 1e 13 3 故选：D 本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了转化思想，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分将答案填在答分将答案填在答题纸上题纸上 13某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为
21、 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年 级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生 先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所 求 根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 4 4:5:5:6 = 1 5， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300 1 5 =60， 故答案为：60 本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应 各层的样本数之比，属于基础题 14已知曲线 f（x）（ax1）ex在点（0，1）处的切线方程为 yx1，则实数 a 的值 为 2
22、先对函数求导数，然后令 f（0）1，解出 a 的值即可 f（x）（a+ax1）ex， f（0）a11，a2 故答案为：2 本题考查了学生对导数的几何意义的理解及利用方程思想解决问题的能力 属于基础题 15 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个 面包分给 5 个人， 使每人所得份量成等差数列， 且较大的三份之和的1 7是较小的两份之和， 则最小一份的量为 5 3 由题意设等差数列an的公差是 d0，首项是 a1，根据等差数列的前 n 项和公式、通项 公式列出方程组，求出公差 d 和首项 a1，即可得到答案 设等差数列an的公差是 d0，首项是 a1， 由题
23、意得， 51+ 54 2 = 100 (3+ 4+ 5) 1 7 = 1+ 2 ， 则 51+ 10 = 100 (31+ 9) 1 7 = 21+ ，解得 1= 5 3 = 55 6 ， 所以 a1= 5 3， 所以最小的一份为5 3， 故答案为：5 3 本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和公式，以及方程思想，是数列在实 际生活中的应用，属于基础题 16已知三棱锥 DABC 四个顶点均在半径为 R 的球面上，且 = = 2，AC2，若 该三棱锥体积的最大值为4 3，则这个球的表面积为 289 16 先根据题意求面积，由题意可知底面积，求出高，求出半径，求出表面积 因为 = =
24、2，AC2， 则 ABBC，且ABC 外接圆的半径为 1， 因为该三棱锥体积的最大值为4 3， 则 V= 1 3 = 1 3 1 = 4 3， 则 h4，即点 D 到平面 ABC 的距离最大为 4， 设球的半径为 R，则 R21+（4R）2， 解之得 R= 17 8 ， 则表面积为289 16 ， 故答案为：289 16 本题考查四面体的体积，外接球的表面积，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c
25、3，求 a+b 的取值范围 （1）由正弦定理化简已知等式可得 a2+b2c2ab，根据余弦定理可求 cosC 的值，结合 范围 C（0，） ，可求 C 的值 （2） 由余弦定理， 基本不等式可求 a+b6， 又根据两边之和大于第三边可得 a+bc3， 即可求解 a+b 的取值范围 （1）由; ; = :， 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （a+b）22ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 可得： （a+b）236，来源:学
26、科网 ZXXK 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式等在解三角形中的综合应用，考查了 转化思想，属于基础题 18某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50 名学生 的数学成绩，按成绩分组：第 1 组75，80） ，第 2 组80，85） ，第 3 组85，90） ，第 4 组 90，95） ，第 5 组95，100，得到的频率分布直方图如图所示 （1）由频率分布直方图，估计这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数（保留到 0.01） ； （2）该校高一年级共有 1000 名学生，若本次
27、考试成绩 90 分以上（含 90 分）为“优秀” 等次，则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 （1）设这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 m，n，前 2 组的频率之和为 0.4 0.5，前 3 组的频率之和为 0.70.5，从而 85m90，由 0.4+0.06（m85）0.5， 能求出这 50 名学生数学成绩的中位数由频率分布直方图的性质能求出平均数 （2）样本中 90 分及以上的频率，以该校高一年级 1000 名学生中，根据频率分布直方图 估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数 （1）设这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 m，n
28、， 因为前 2 组的频率之和为 0.40.5， 因为前 3 组的频率之和为 0.70.5，所以 85m90， 由 0.4+0.06（m85）0.5，得 m86.67 n77.550.01+82.550.07+87.550.06+92.550.04+97.550.0287.25， 所以，这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 86.67，87.25 （2）因为样本中 90 分及以上的频率为（0.04+0.02）50.3， 所以该校高一年级 1000 名学生中， 根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为 0.31000 300 人 本题考查中位数、平均数、频数的求
29、法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1， E、F 分别为 A1C1、BC 的中点 （1）求证：平面 ABE平面 B1BCC1； （2）求证：C1F平面 ABE； （3）求三棱锥 EABC 的体积 （1）证明 ABB1BCC1，可得平面 ABEB1BCC1； （2）证明 C1F平面 ABE，只需证明四边形 FGEC1为平行四边形，可得 C1FEG； （3）利用 VEABC= 1 3SABCAA1，可求三棱锥 EABC 的体积 （1）证明：三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，
30、 BB1AB， ABBC，BB1BCB，BB1，BC平面 B1BCC1， AB平面 B1BCC1， AB平面 ABE， 平面 ABE平面 B1BCC1； （）证明：取 AB 中点 G，连接 EG，FG，则 F 是 BC 的中点， FGAC，FG= 1 2AC， E 是 A1C1的中点， FGEC1，FGEC1， 四边形 FGEC1为平行四边形， C1FEG， C1F平面 ABE，EG平面 ABE， C1F平面 ABE； （3）解：AA1AC2，BC1，ABBC， AB= 3， VEABC= 1 3SABCAA1= 1 3 （1 2 3 1）2= 3 3 本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥
31、 EABC 的体积的计算，正确运用线面平 行、垂直的判定定理是关键 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的焦距为 2，过点(1， 2 2 ) （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设椭圆的右焦点为 F， 定点 P （2， 0） ， 过点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆交于 A， B 两点，以线段 AP 为直径的圆与直线 x2 的另一个交点为 Q，证明：直线 BQ 恒过一 定点，并求出该定点的坐标 （1）由题知 = 1 1 2 + 1 22 = 1，求出 a，b，然后求解椭圆 C 的方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）因为直线 l 的斜率不为零，令 l 的
32、方程为：xmy+1 由 = + 1 2 2 + 2= 1， 利用韦达定理， 结合 AQPQ， 求出 BQ 的方程为： 1 = 21 22 ( 2)， 然后求解直线 BQ 恒过定点，定点坐标 （1）由题知 = 2 2= 1 1 2 + 1 22 = 1 解得 a22，b21， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）因为直线 l 的斜率不为零，令 l 的方程为：xmy+1 由 = + 1 2 2 + 2= 1得（m 2+2）y2+2my10， 则1+ 2= 2 2+2，1 2= 1 2+2， 因为以 AP 为直径的圆与直线 x2 的另一个交点为
33、 Q，所以 AQPQ，则 Q（2，y1） 则= 21 22 ，故 BQ 的方程为： 1= 21 22 ( 2)， 由椭圆的对称性，则定点必在 x 轴上，所以令 y0， 则 = 1(22) 21 + 2 = 1(21) 21 + 2 = 12+1 21 + 2， 而1+ 2= 2 2+2，1 2= 1 2+2，12 = 1+2 2 ， 所以 = 1+2 2 +1 21 + 2 = 1 2 + 2 = 3 2， 故直线 BQ 恒过定点，且定点为(3 2，0) 本题考查椭圆的定义，椭圆方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化 思想以及计算能力，是中档题 21已知函数 f（x）2lnx+a
34、（x24x+3） （1）若 a= 4 3，求 f（x）的单调区间； （2）证明： （i）lnxx1； （ii）对任意 a（，0） ，f（x）0 对 x（3;2 ，+）恒成立 （1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出， （2） （i）令 g（x）lnxx+1， （x0） ，g（1）0利用导数研究其单调性最值即可得 出 （ii）由（i）可知，lnxx1，则 f（x）2（x1）+a（x24x3） ，只要证明 a（x 1） （x 32 ）0 即可 （1）解：当 a= 4 3时，f（x）2lnx+ 4 3（x 24x+3） ， f（x）= 2 + 4 3（2x4）= 2(1)(23) 3 ，x
35、0， 令 f（x）0，可得 x 3 2或 0x 1 2，令 f（x）0，可得 1 2 x 3 2， 来源:Zxxk.Com f（x）的单调递增区间为（0，1 2）和（ 3 2，+） ，单调递减区间为（ 1 2， 3 2） ； （2）证明： （i）设 g（x）lnx（x1） ， g（x）= 1 1= 1 ， g（x）0，得 x1， 令 g（x）0，0x1；令 g（x）0，x1， g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， g（x）m axg（1）0， lnxx1； （ii）当 x1 时，由（i）可知，lnxx1， 则 f（x）2（x1）+a（x24x3） ， 若 a （， 0） ，
36、 则 2 （x1） +a （x24x3） （x1）（ax+23a） a （x1）（x 32 ） ， 当 x（3;2 ，+）时，a（x1） （x 32 ）0， 则当 x（3;2 ，+）时，f（x）0， 故对任意 a（，0） ，f（x）0 对 x（3;2 ，+）恒成立 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，确定函数的单调性，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 （ 为参数） ，直线 C2的方程为 = 3 3 ，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线
37、C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 （1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转 化为极坐标方程 （2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果 （1）曲线 C1的参数方程为 = 3 + 2 = 2 + 2 （ 为参数） ， 转化为普通方程：( 3)2+ ( 2)2= 4， 即2+ 2 23 4 + 3 = 0， 则 C1的极坐标方程为2 23 4 + 3 = 0， 直线 C2的方程为 = 3 3 ， 直线 C2的极坐标方程 = 6 ( ) （2）设 P（1，1） ，Q（2，2） ， 将 =
38、 6 ( )代入2 23 4 + 3 = 0， 得：25+30， 123， |OP|OQ|123 本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的 转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|2x+2m|（m0） （）当 m1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若xR，tR，使得 f（x）+|t1|t+1|，求实数 m 的取值范围 （）分段去绝对值解不等数组后在相并可得； （）f（x）+|t1|t+1|f（x）|t+1|t1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解 再利用分段函数的单调性求得
39、 f（x）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|t 1|的最大值，然后将问题转化为 f（x）的最大值（|t+1|t1|）的最大值可得 （）当 m1 时，|x1|2x+2|1 1 + 3 1或 11 3 1 1或 1 3 1， 解得2x 2 3，所以原不等式的解集为2， 2 3 （）f（x）+|t1|t+1|f（x）|t+1|t1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解来源:Zxxk.Com f（x）= + 3， 3 ， 3， ，根据分段函数的单调性可知：xm 时，f（x） 取得最大值 f（m）2m， |t+1|t1|（t+1）（t1）|2，2|t+1|t1|2，即|t+1|t1|的最大 值为 2 所以问题转化为 2m2，解得 0m1 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
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