2018-2019学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷（文科）含详细解答

1、研究变量 x，y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； 用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好； 在回归直线方程中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均 增加 0.2 个单位 若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r0.9462，则变量 y 和 x 之间的负相关很强，以上 正确说法的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2 （3 分）下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A高二年级有 21 个班，1 班 51 人，2 班 53 人，三班 52 人，由此推测各班都超过 50 人 B猜想数列，的通项公式为 an（nN+）

2、 C半径为 r 的圆的面积 Sr2，则单位圆的面积 S D由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 3 （3 分）若 z+iz（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B2 C D3 4 （3 分）已知 x，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为： x+，则 （ ） A B C D 5（3 分） 设 a， bR， 现给出下列五个条件： a+b2a+b2a+b2ab1logab 0，其中能推出： “a，b 中至少有一个大于 1”的条件为（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 6 （3 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结

3、果为，则判断框内可填入的条件 是（ ） Ai100？ Bi100？ Ci101？ Di102？ 7 （3 分） 在同一平面直角坐标系中， 将曲线 ycos2x 按伸缩变换变换为 （ ） Aycosx By3cos Cy2cosx Dycos3x 8 （3 分）参数方程（ 为参数）的普通方程为（ ） Ay2x21 Bx2y21 Cy2x21 （|x|） Dx2y21 （|x|） 9 （3 分）正整数按如表的规律排列，则上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为（ ） A20052 B20062 C2005+2006 D20052006 10 （3 分）已知 zC，|z2|1，则|z+2+

4、5i|的最大值和最小值分别是（ ） 第 3 页（共 19 页） A+1 和1 B3 和 1 C5和 D和 3 11 （3 分）已知椭圆+x2l（a1）的离心率 e，P 为椭圆上的一个动点，则 P 与定点 B（1，0）连线距离的最大值为（ ） A B2 C D3 12 （3 分）过抛物线（t 为参数）的焦点的弦长为 2，则弦长所在直线的倾斜角为 （ ） A B或 C D或 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知复数 zlg（m2+2m14）+（m2m6）i，若复数 z 是实数，则实数 m 14 （3 分）具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如表所示： X 0 1 2 3 y 1 1

5、m 8 若 y 与 x 的回归直线方程为 3x，则 m 的值是 15 （3 分） 如果 M 为椭圆上的动点， N 为椭圆上的动点， 那么的最大值为 16 （3 分）如图所示，在三棱锥 SABC 中，SASB，SBSC，SCSA，且 SA，SB，SC 和底面 ABC 所成的角分别为 1，2，3，SBC，SAC，SAB 的面积分别为 S1，S2， S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是 第 4 页（共 19 页） 三、解答题三、解答题 17当实数 m 为何值时，复数 zm2m6+（m2+5m+6）i 分别是 （1）虚数； （2）纯虚数； （3）实数 18 （1）求证：+2+； （2

6、）已知 a0，b0，且 a+b2，求证：和中至少有一个小于 2 19为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校 共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参 加社区服务的时间的统计数据如表： 超过 1 小时 不超过 1 小时 男 m 8 女 12 8 （1）求 m，n； （2）能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有 关？ 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20某地区某农产品近几年的产量统计如表： 年份 2013

7、2014 2015 2016 2017 2018 年份代码 t 1 2 3 4 5 6 年产量 y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （ 1 ） 根 据 表 中 数 据 ， 建 立y关 于t的 线 性 回 归 方 程； 第 5 页（共 19 页） （2）若近几年该农产品每千克 的价格 v（单位：元）与年产量 y 满足的函数关系式为 v4.50.3y，且每年该农产品都 能售完 根据（1）中所建立的回归方程预测该地区 2019（t7）年该农产品的产量； 当 t（1t7）为何值时，销售额 S 最大？ 21在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为， （ 为参数） 以坐标原点为

8、 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cossin）1 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）已知直线 l 与 y 轴交于点 M，且与曲线 C 交于 A，B 两点，求|的值 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（t 为参数且 t0， （0， ） ） ，曲线 C2的参数方程为（ 为参数且 （） ） 以 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 1+cos（0， ） ） ，曲线 C4的极坐标方程为 cos1 （）求 C3与 C4的交点到极点的距离； （） 设 C1与 C2交于 P 点， C1与 C3交于

9、Q 点， 当 在 （0，） 上变化时， 求|OP|+|OQ| 的最大值 第 6 页（共 19 页） 2018-2019 学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）研究变量 x，y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； 用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好； 在回归直线方程中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均 增加 0.2 个单位 若变量 y 和 x 之间的相关系数为

10、r0.9462，则变量 y 和 x 之间的负相关很强，以上 正确说法的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】可用残差平方和判断模型的拟合效果，可判断；由相关指数 R2来刻画回归效 果，R2越大说明拟合效果越好，可判断；由线性回归直线的方程特点，可判断；由 相关系数 r 的绝对值趋向于 1，可判断 【解答】解：可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效 果越好，故正确； 用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故错误； 在回归直线方程中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时， 预报变量 平均增加 0.2 个单位，故正确； 若变量 y 和 x 之间的相

11、关系数为 r0.9462，r 的绝对值趋向于 1， 则变量 y 和 x 之间的负相关很强，故正确 故选：C 【点评】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、 相关指数和系数的大小和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题 2 （3 分）下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A高二年级有 21 个班，1 班 51 人，2 班 53 人，三班 52 人，由此推测各班都超过 50 第 7 页（共 19 页） 人 B猜想数列，的通项公式为 an（nN+） C半径为 r 的圆的面积 Sr2，则单位圆的面积 S D由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 【分析】根据归纳推理，类比推

12、理和演绎推理的定义分别进行判断即可 【解答】解：对于 A，高一参加军训有 12 个班，1 班 51 人，2 班 53 人，三班 52 人，由 此推测各班都超过 50 人，是归纳推理， 对于 B，归纳出an的通项公式，是归纳推理 对于 C，半径为 r 的圆的面积 Sr2，则单位圆的面积 S，演绎推理的； 对于 D，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，为类比推理； 故选：C 【点评】本题主要考查命题真假的判断，涉及归纳推理，类比推理和演绎推理的判断， 根据相应的定义是解决本题的关键比较基础 3 （3 分）若 z+iz（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B2 C D3 【分析】把已知等式

13、变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商 求解 【解答】解：z+iz，z（1i）， 则 z， |z| 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题 4 （3 分）已知 x，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为： x+，则 （ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【分析】根据所给的三组数据，求出平均数，得到数据的样本中心点，再根据线性回归 直线过样本中心点，即可求出系数 的值 【解答】解：根据表中数据， 计算 3， 5， 且线性回归方程 x+过点（ ， ） ， 所

14、以 故选：D 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的语言问题，是基础题 5（3 分） 设 a， bR， 现给出下列五个条件： a+b2a+b2a+b2ab1logab 0，其中能推出： “a，b 中至少有一个大于 1”的条件为（ ） A B C D 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可 【解答】解：当 ab1 时，满足 a+b2，但此时推不出结论， 若 a1，b1，则 a+b2，与 a+b2，矛盾，即 a+b2，可以推出， 当 a，b时，满足条件 a+b2，则不可以推出， 若 a2，b1满足 ab1，但不能推出结论， 由 logab0 得 logabloga1，若 a1，

15、则 0b1，若 0a1，则 b1，可以推出 结论 故可能推出的有， 故选：D 【点评】 本题主要考查合情推理的应用， 利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键 比 较基础 6 （3 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内可填入的条件 是（ ） 第 9 页（共 19 页） Ai100？ Bi100？ Ci101？ Di102？ 【分析】直接利用程序框图的应用和裂项相消法的应用求出结果 【解答】解：根据程序框图： 执行第一次循环时，S0，i1 所以：S0+， 执行第二次循环时：S， ， 当 i100 时，S， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，循环结构的应用，主要

16、考察学生的运 算能力和转换能力，属于基础题型 7 （3 分） 在同一平面直角坐标系中， 将曲线 ycos2x 按伸缩变换变换为 （ ） Aycosx By3cos Cy2cosx Dycos3x 【分析】把伸缩变换的式子变为用 x，y表示 x，y，再代入原方程即可求出 【解答】解：伸缩变换， xx，yy， 代入 ycos2x，可得ycosx，即 ycosx 故选：A 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键 8 （3 分）参数方程（ 为参数）的普通方程为（ ） Ay2x21 Bx2y21 Cy2x21 （|x|） Dx2y21 （|x|） 【分析

17、】先得 x，再消去 可得 【解答】解：xsin（+）.， x21+sin，y22+sin， y2x21（|x|） ， 故选：C 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 9 （3 分）正整数按如表的规律排列，则上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为（ ） A20052 B20062 C2005+2006 D20052006 【分析】由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的 数则满足列数减 1 的平方再加 1由此能求出上起第 2005 行，左起第 2006 列的数 【解答】解：由给出排列规律可知， 第一列的每个数为所该数所在行数的平方， 而第一行的

18、数则满足列数减 1 的平方再加 1 依题意有，左起第 2006 列的第一个数为 20052+1， 故按连线规律可知， 上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为 20052+200520052006 故选：D 第 11 页（共 19 页） 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答其中分析出数的 排列规律是解答的关键 10 （3 分）已知 zC，|z2|1，则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是（ ） A+1 和1 B3 和 1 C5和 D和 3 【分析】根据复数运算的几何意义，求出最值 【解答】解：zC，|z2|1，设 zx+yi，则表示 z 在以（2，0）为圆心

19、 1 为半径的圆 上， 则|z+2+5i|表示 z 到 （2， 5） 的距离， 所以它的最大值为， 和最小值； 故选：A 【点评】本题考查了复数运算的几何意义的运用；关键是明确已知等式和所求的几何意 义 11 （3 分）已知椭圆+x2l（a1）的离心率 e，P 为椭圆上的一个动点，则 P 与定点 B（1，0）连线距离的最大值为（ ） A B2 C D3 【分析】利用椭圆的离心率求出 a，然后设出 P，然后利用两点间距离公式，转化求解最 值即可 【解答】解：椭圆+x2l（a1）的离心率 e， 可得：，解得 a， 椭圆方程为：+x2l，设 p（cos，sin） ， 则 P 与定点 B （1， 0）

20、 连线距离： ， 当 cos时，取得最大值： 故选：C 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 12 （3 分）过抛物线（t 为参数）的焦点的弦长为 2，则弦长所在直线的倾斜角为 （ ） A B或 C D或 【分析】消参变普通方程后与直线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义列式可得 斜率 k 和倾斜角 【解答】解：由消去 t 得 y2x，F（，0） ， 显然所求直线有斜率，设弦长所在直线的方程为：yk（x）并代入 y2x 得 k2x2 （k2+）x+0， 根据抛物线的定义得 x1+x2+p+2， 解得 k23， k， 倾斜角为 或 故选：B 【点评】

21、本题考查了抛物线线的参数方程，属中档题 二、填空题二、填空题 13 （3 分）已知复数 zlg（m2+2m14）+（m2m6）i，若复数 z 是实数，则实数 m 3 【分析】由对数式的真数大于 0，复数的虚部等于 0 列式求解 【解答】解：由题意， ，解得 m3 故答案为：3 【点评】本题考查复数的基本概念，考查对数函数的定义域的求法，是基础题 14 （3 分）具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如表所示： X 0 1 2 3 y 1 1 m 8 第 13 页（共 19 页） 若 y 与 x 的回归直线方程为 3x，则 m 的值是 4 【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回

22、归直线必过样本的中心点可得 答案 【解答】解：由题意， 1.5， ， 样本中心点是坐标为（1.5，） ， 回归直线必过样本中心点，y 与 x 的回归直线方程为 3x， 31.51.5， m4 故答案为：4 【点评】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点 15 （3 分） 如果 M 为椭圆上的动点， N 为椭圆上的动点， 那么的最大值为 15 【分析】借助椭圆的参数方程，通过三角函数的有界性可求结果 【解答】解：设 M（5cos，3sin） ，N（3cos，5sin） ， 那么15coscos+15sinsin 15cos（） 当 2k，kZ 时，的最大值为：15 故答案为：15

23、 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是基础题 16 （3 分）如图所示，在三棱锥 SABC 中，SASB，SBSC，SCSA，且 SA，SB，SC 和底面 ABC 所成的角分别为 1，2，3，SBC，SAC，SAB 的面积分别为 S1，S2， S3， 类 比 三 角 形 中 的 正 弦 定 理 ， 给 出 空 间 图 形 的 一 个 猜 想 是 第 14 页（共 19 页） 【分析】由类比推理猜想结论，结论不一定正确 【解答】解：在DEF 中，由正弦定理，得 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体 SABC 中，我们猜想成立 故答案为： 【点评】本题考查了类比

24、推理属于基础题 三、解答题三、解答题 17当实数 m 为何值时，复数 zm2m6+（m2+5m+6）i 分别是 （1）虚数； （2）纯虚数； （3）实数 【分析】 （1）由虚部不为 0 求解； （2）由实部为 0 且虚部不为 0 求解； （3）由虚部为 0 求解 【解答】解： （1）由 m2+5m+60，得 m2 且 m3； （2）由，得 m3； （3）由 m2+5m+60，得 m2 或 m3 【点评】本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题 18 （1）求证：+2+； 第 15 页（共 19 页） （2）已知 a0，b0，且 a+b2，求证：和中至少有一个小于 2 【分析】

25、（1）利用分析法，和两边平方法， （2）利用了反证法，假设假设2，2，推得即 a+b2，这与已知 a+b2 矛 盾，故假设不成立，从而原结论成立 【解答】解： （1）要证+2+， 只需证（+）2（2+）2； 即证 13+213+2， 即证 而上式显然成立，故原不等式成立 （2）证明：假设2，2， a0，b0， 1+b2a，1+a2b， 1+b+1+a2（a+b） 即 a+b2 这与已知 a+b2 矛盾，故假设不成立，从而原结论成立 【点评】本题主要考查了推理论证的两种方法分析法和反证法，属于中档题 19为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校 共有学生 960

26、 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参 加社区服务的时间的统计数据如表： 超过 1 小时 不超过 1 小时 男 m 8 女 12 8 （1）求 m，n； （2）能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有 关？ 附： P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 第 16 页（共 19 页） 【分析】 （1）由已知，该校有女生 400 人，故，得 m20，（3 分）从而 n20+8+12+848（5 分） （2）计算粗观测值，结合临界值可得 【解答】 【解】 （1）由已知，该校

27、有女生 400 人，故，得 m20，（3 分） 从而 n20+8+12+848（5 分） （2）作出列联表如下： 超过 1 小时的人数 不超过 1 小时的人数 合计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 （11 分） 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关 （12 分） 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 20某地区某农产品近几年的产量统计如表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码 t 1 2 3 4 5 6 年产量 y（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （ 1 ） 根

28、 据 表 中 数 据 ， 建 立y关 于t的 线 性 回 归 方 程； （2）若近几年该农产品每千克 的价格 v（单位：元）与年产量 y 满足的函数关系式为 v4.50.3y，且每年该农产品都 能售完 根据（1）中所建立的回归方程预测该地区 2019（t7）年该农产品的产量； 当 t（1t7）为何值时，销售额 S 最大？ 第 17 页（共 19 页） 【分析】 （1）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程； （2）由（1）回归方程，计算 t7 时得 2019 年该农产品的产量； 求得销售额 S，得 y7.5，此时函数 S 取得最大值，根据 y 的取值范围得 t7 时，即

29、2019 年销售额最大 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由题 意 可 知 ， （ 1+2+3+4+5+6 ） 3.5 ， （6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.4）7， （ti ） （yi ）（2.5）（0.4）+（1.5）（0.3）+0+0.50.1+1.5 0.2+2.50.42.8， （2.5） 2+（1.5）2+（0.5）2+0.52+1.52+2.52 17.5； 0.16， 又 70.163.56.44， 得 y 关于 t 的线性回归方程为 0.16x+6.44； （2）由（1）知 0.16x+6.44，当 t7 时， 0.167+6.447.56， 预测 2018 年该农

30、产品的产量为 7.56 万吨； 当年产量为 y 时，销售额 S（4.50.3y）y103（0.3y2+4.5y）103（万元） ， 当 y7.5 时，函数 S 取得最大值，又因 y6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56， 计算得当 y7.56，即 t7 时，即 2019 年销售额最大 【点评】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查转 化思想，是中档题 21在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为， （ 为参数） 以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cossin）1 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程

31、； （2）已知直线 l 与 y 轴交于点 M，且与曲线 C 交于 A，B 两点，求|的值 第 18 页（共 19 页） 【分析】 （1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的极坐标方程为 （cossin）1 转换为直角坐标方程为：xy10 曲线 C 的参数方程为， （ 为参数） 转换为直角坐标方程为：x2+y29 （2）点 M（0，1） ， 故直线的参数方程为：（t 为参数） ， 代入圆的方程转换为：， （t1和 t2为 A、B 对应的参数） ， 所以： 故： 【点评】本题考查的知识要点：参

32、数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（t 为参数且 t0， （0， ） ） ，曲线 C2的参数方程为（ 为参数且 （） ） 以 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 1+cos（0， ） ） ，曲线 C4的极坐标方程为 cos1 （）求 C3与 C4的交点到极点的距离； （） 设 C1与 C2交于 P 点， C1与 C3交于 Q 点， 当 在 （0，） 上变化时， 求|OP|+|OQ| 的最大值 【分析】 （）联

33、立 C3，C4的极坐标方程消去极角后，解关于极径的一元二次方程可得 C3与 C4的交点到极点的距离； （）分别联立 C1与 C2，C1与 C3的极坐标方程解得 P，Q 两点的极径，即|OP|，|OQ| 再相加求最大值 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （）联立曲线 C3，C4的极坐标方程得 210， 解得 ，即交点到极点的距离为 （）曲线 C1的极坐标方程为 ， （，0） ， 曲线 C2的极坐标方程为 2sin，（0，） ，联立得 2sin，（0，） ， 即|OP|2sin，（0，） ， 曲线 C1与曲线 C3的极坐标方程联立得 1+cos，（0，） ， 即|OQ|1+cos，（0，） ， 所以|OP|+|OQ|1+2sin+cos1+sin（+） ，其中 的终边经过点（2，1） ， 当 +2k，kZ，即 arcsin时，|OP|+|OQ|取得最大值 1+ 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题