1、湖南湖北四校湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考届高三学情调研联考文科数学试题卷文科数学试题卷 本试卷共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 考生注意：考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝考试顺利 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项
2、中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.已知集合04PxRx， 3QxR x，则PQ U（ ） A.3,4 B.3,4 C.,4 D.3, 2.x，y互为共轭复数，且 2 346xyxyii则xy（ ） A.2 B.1 C.2 2 D.4 3.如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等 的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒 （大小忽略不计，取31.732） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A.20 B.27 C.54 D
3、.64 4.如图，在ABC中，点D在线段BC上，且3BDDC ，若ADABAC uuu vuu u vuuu v，则 （ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.2 5.已知定义在R上的函数 21 x m f x （m为实数）为偶函数，记 0.5 log3af， 2 log 5bf， 2cfm，则, , a b c的大小关系为（ ） A.abc B.cba C.cab D.acb 6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为（ ） A.2 3 B. 6 C.2 2 D.2 7.已知双曲线 22 22
4、:10,0 xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 ,0Fc， 2 ,0F c，又点 2 3 , 2 b Nc a . 若双曲线C左支上的任意一点M均满足 2 4MFMNb，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ） A. 13 , 5 3 B. 13 1,5, 3 U C. 1, 513,U D. 5, 13 8.为计算 11111 1 23499100 S L，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A.1ii B.2ii C.3ii D.4ii 9.已知ABC的内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 3 coscos 5 aBbAc，则tan AB的最大值为 （
5、） A. 3 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 3 10.已知函数 22 2sincossin0 24 r f xxx 在区间 2 5 , 36 上是增函数，且在区间 0,上恰好取得一次最大值 1，则w的取值范围是（ ） A. 3 0, 5 B. 1 3 , 2 5 C. 1 3 , 2 4 D. 1 5 , 2 2 11.过双曲线 22 22 10 xy ab ab 右焦点F的直线交两渐近线于A、B两点，若 0OA AB uur uu u r ，O为坐 标原点，且OAB内切圆半径为 31 2 a ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 3 3 B. 3 C. 4 3 3 D. 31 12
6、.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC ，ABC是边长为 2 的正三角形， ,E F分别是,PA AB的中点， 90CEF，则球O的体积为（ ） A. 68 B. 64 C. 62 D. 6 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.命题“ 0 0,x， 00 ln1xx”的否定是 . 14.观察分析下表中的数据： 多面体 面积（F） 顶点数（V） 棱数（E） 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中,F V E所满足的等式是 . 15.设函数 1 x f xex，函数
7、 g xmx，若对于任意的 1 2,2x ，总存在 2 1,2x ，使得 12 f xg x，则实数m的取值范围是 . 16.某小商品生产厂家计划每天生产A型、B型、C型三种小商品共 100 个， 生产一个型小商品需 5 分钟， 生产一个B型小商品需 7 分钟，生产一个C型小商品需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一 个A型小商品可获利润 8 元，生产一个B型小商品可获利润 9 元，生产一个C型小商品可获利润 6 元.该厂 家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是 元. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一一）必考题：必考题：60 分分. 17.已知数列 , nn ab满足： 1 1 4 a ，1 nn ab， 1 2 1 n n n b b a . （1）证明： 1 1 n b 是等差数列，并求数列 n b的通项公式； （2）设 1223341nnn Sa aa aa aa a L，求实数a为何值时4 nn aSb恒成立. 18.如图，ABCD是边长为 2 的菱形，60DAB，EB 平面ABCD，FD
9、平面ABCD， 24EBFD. （1）求证：EFAC； （2）求几何体EFABCD的体积. 19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由 密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时间是 1 分钟内，否则派下一个人.3 个人中只 要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的 测试记录，绘制了如下的频率分布直方图. （1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求a、b的值，并求出甲在 1 分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙
10、，丙解密成功的概率分别为 1 1 91 1,2,3 1010 n n n PPn ，其中 i P表示第i个出场选手解密成功的概率，并且 1 P定义为甲抽样中 解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. 求该团队挑战成功的概率； 该团队以 i P从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X的可能 值及其概率. 20.如图，设抛物线 2 1: 40Cymx m的准线l与x轴交于椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点 21 ,F F为 2 C的左焦点.椭圆的离心率为 1 2 e ，抛物线 1 C与椭圆 2 C交于x轴上方一点P，连接 1 PF
11、并延长 其交 1 C于点Q，M为 1 C上一动点，且在,P Q之间移动. （1）当 3 2 a b 取最小值时，求 1 C和 2 C的方程； （2）若 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直 线MP的方程. 21.已知函数 ln x f xax e ，其中a为常数. （1）若直线 2 yx e 是曲线 yf x的一条切线，求实数a的值； （2）当1a时，若函数 ln x g xf xb x 在1,上有两个零点.求实数b的取值范围. （二二）选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
12、第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 xt yt ， （t为参数） ，曲线 2 1: 1Cyx.以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4 2sin 4 -. （1）若直线l与x，y轴的交点分别为,A B，点P在 1 C上，求BA BP uu r uur 的取值范围； （2）若直线l与 2 C交于M N,两点，点Q的直角坐标为2,1，求QMQN的值. 23.选修 45：不等式选讲 已知函数 223f xxxm，Rm. （1）当2m时，求不等式
13、3f x 的解集； （2）若,0x ，都有 2 fxx x 恒成立，求m的取值范围. 湖南湖北四校湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考届高三学情调研联考 文科数学试题卷参考答案及解析文科数学试题卷参考答案及解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A D C B B C B A D 1.B 【解析】由题意得，0,4P ，3,3Q ，3,4PQ
14、U，故选 B. 2.C 【解析】设xabi，yabi，代入得 2 22 2346aabii，所以 2 24a， 22 36ab，解得1a ，1b ，所以2 2xy. 3.B 解析：设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为 31 22 xx，设落在小正方形内的米粒数大约为 N，则 2 2 31 22 200 xx N x ，解得：27N . 4.A 【解析】 3313 4444 ADABBDABBCABACABACAB， 所以 1 4 ， 3 4 ，从而求得 1 3 . 5.D 解析：函数 f x是偶函数， f xfx在R上恒成立，0m，当0x时，易得 21 x f x 为增函数， 0.52 l
15、og3log 3aff， ， 2 log 5bf， 2cf， 22 log 32log 5Q，acb 6.C 由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥PABC， 故1AC ，2PA，5BCPC，2 2AB ，2 3PB ， 1 2 11 2 ABCPAC SS ， 1 2 2 22 2 2 PAB S ， 1 2 326 2 PBC S ， 该多面体的侧面最大面积为2 2.故选 C. 7.B 解析：双曲线C左支上的任意一点M均满足 2 4MFMNb， 即 2 min 4MFMNb， 又 2 212 3 222 2 b MFMNaMFMNaNFa a 2 22 3 24438 2 b
16、ababab a 34802 bab aba 或 2 3 b a 2 2 2 1 b e a ， 5e 或 13 1 3 N 8.B 详解：由 11111 1 23499100 S 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因 此在空白框中应填入2ii ，选 B. 9.C 【解析】 3 coscos 5 aBbAcQ由正弦定理，得 3 sincossincossin 5 ABBAC， sinsinCABCABQ， 3 sincossincossincoscossin 5 ABBAABAB， 整理，得sincos4sincosABBA，同除以coscosAB，得tan4tanAB ，由此
17、可得 2 tantan3tan3 tan 1 1tantan14tan 4tan tan ABB AB ABB B B ，A、B是三角形内角， 且tan A与tanB同 号，A、B都是锐角，即tan0A，tan0B， 11 4tan24tan4 tantan BB BB 33 tan 1 4 4tan tan AB B B ， 当且仅当 1 4tan tan B B ，即 1 tan 2 B 时，tan AB的最大值为 3 4 . 10.B 解析： 2 2cos1 cos1 sin 242 x xx Q， 2 sin1 sinsinsinf xxxxx. 令 2 2 xk可得 2 2 k x
18、， f xQ在区间0,上恰好取得一次最大值， 0 2 解得 1 2 . 令 2 2 22 kxk，解得： 2 2 22 kk x ， f xQ在区间 2 5 , 36 上是增函 数， 2 32 53 65 ，解得 3 5 .综上， 13 25 .故选：B. 11.A 解析：因为0ab，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为M，则M在AOB平分线OF上， 过点M分别作MNOA于N，MTAB于T，由FAOA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近 线的距离为b得FAb，又OFc，所以OAa， 31 2 NAMNa ，所以 33 2 NOa ，所 以tan 3 3 MNb AOF aNO ，得
19、2 32 1 3 b e a .故选 A. 12.D 解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生. 设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB中点， EFPB，且 1 2 EFPBx，ABCQ为边长为 2 的等边三角形， 3CF又90CEF 2 3CEx， 1 2 AEPAx AEC中余弦定理 22 43 cos 2 2 xx EAC x ，作PDAC于D，PAPCQ， DQ为AC中点， 1 cos 2 AD EAC PAx ， 22 431 42 xx xx ， 2 212x ， 2 1 2 x， 2 2 x ，2PAPBPC，又2ABBCAC，,
20、PA PB PC 两两垂直，22226R， 6 2 R， 3 446 6 6 338 VR，故选 D. 方法二：PAPBPCQ，ABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥， PBAC，又E，F分别为PA、AB中点， EFPB，EFAC，又EFCE，CEACCI，EF平面PAC，PB 平面PAC， PAB，2PAPBPC，PABC为正方体一部分，22226R ，即 6 2 R ， 3 446 6 6 338 VR，故选 D. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.0,x ，ln1xx 14.2FVE 解析：凸多面体的面
21、数为F.顶点数为V和棱数为E， 正方体：6F ，8V ，12E ，得8 6 122FVE ； 三棱柱：5F ，6V ，9E ，得5 6 92F VE ； 三棱锥：4F ，4V ，6E ，得44 62FVE . 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F.V和棱数E满足如下关系：2FVE 再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论：2FVE 故答案为：2FVE 15. 1 , 2 解析： 1 x f xexQ， x fxxe，对于任意的2,2x ，当2,0x 时， 0fx ，当 0,2x时， 0fx ，即 f x在2,0上为减函数，在0,2上为增函数.0x 为 f x在
22、2,2上的极小值点，也是最小值点且最小值为2,2， 对于任意的 1 2,2x ， 1 min 1f x ，而总存在 2 1,2x ，使得 12 f xg x， 12 minmin f xg x. g xmx，0m时， 2 0g x，不合题意， 0m时， 22 ,2g xmxmm，此时1m，不合题意，0m时， 22 2 ,g xmxm m， 2 min 2g xm，21m， 1 2 m . 16.850【解析】依题意，每天生产的玩具A型商品x个、B商品y个、C商品的个数等于：100xy， 所以每天的利润896 10023600Txyxyxy . 约束条件为： * 574 100600 1000
23、0,0, , xyxy xy xyx yN ，整理得 * 3200 100 , xy xy x yN .目标函数为23600Txy.如 图所示，做出可行域. 初始直线 0:2 30lxy，平移初始直线经过点A时，T有最大值.由 3200 100 xy xy 得 50 50 x y .最优解为 50,50A，此时 max 850T（元）.即最大日利润是 850 元. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选
24、考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17.（1） 1 1 1122 nn n nnnnn bb b aabbb Q， 1 1 11 2 n n b b ， 1 211 1 111 n nnn b bbb .数列 1 1 n b 是以4为首项，1为公差的等差数列. 1 4(1)3 1 n nn b ， 12 1 33 n n b nn . （2） 1 1 3 nn ab n Q. 12231 11111 4 55 6344444 nnn n Sa aa aa a nnnn 2 13682 4 4334 nn ananann aSb nnnn .由条件可知 2 13680anan
25、 恒成立 即可满足条件， 设 2 1328f nanan， 当1a 时， 380f nn 恒成立， 当1a 时， 由二次函数的性质知不可能成立.当1a 时， 对称轴 3231 10 2121 a aa ， f n在1,为单 调递减函数. 113684150faaa ， 15 4 a，时4 n aSb恒成立.综上知：1a 时，4 n aSb 恒成立. 18.【解析】 （1）连接DB，DF 平面ABCD，EB 平面ABCD，EBFD，E，F，D，B四 点共面，ACEB，设DBACOI，ABCDQ为菱形，ACDB.DBEBBI，AC平 面EFDB，EF Q平面EFDB，ACEF. （2）EBFDQ，
26、EBBD，EFDB为直角梯形， 在菱形ABCD中，60DAB，2AB ，2BD ， 3AOCO，梯形EFDB的面积 242 6 2 S ，AC Q平面EFDB， 11 4 3 33 EFABCDC EFDBA EFDB VVVSAOSCO . 19.解析： （1）甲解密成功所需时间的中位数为 47， 0.01 5 0.014 55 0.034 5 0.0447450.5b ， 解得0.026b； 0.04 3 0.032 55 0.010 100.5a ， 解得0.024a； 甲在 1 分钟内解密成功的频率是1 0.01 100.9f （2）由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为 1
27、 0.9P ； 第二个出场选手解密成功的概率为 2 91 0.910.91 1010 P ， 第三个出场选手解密成功的概率为 2 3 91 0.920.929 1010 P ， 所以该团队挑战成功的概率为0.9 0.1 0.91 0.1 0.09 0.9290.999361P （或令“该团队挑战成功”的事件为A， “挑战不成功”的事件为A， 1 0.9 1 0.91 1 0.9290.1 0.09 0.0710.000639P A， 该团队挑战成功的概率为 11 0.00016390.999361P AP A 由可知按 i P从小到大的顺序的概率分别 1 p， 2 p， 3 p， 根据题意知X
28、的取值为 1，2，3； 则10.9P X ，21 0.90.910.091P X ， 31 0.9 1 0.910.1 0.090.009P X . 20.（1）因为 1 , 2 c cm e a ，则2 ,3am bm，所以 3 2 a b 取最小值时1m， 此时抛物线 2 1: 4Cyx ，此时 2 2,3ab，所以椭圆 2 C的方程为 22 1 43 xy ； （2）因为 1 , 2 c cm e a ，则2 ,3am bm，设椭圆的标准方程为 22 22 1 43 xy mm ， 0011 ,P x yQ x y由 22 22 2 1 43 34 xy mm ymx 得 22 3161
29、20xmxm，所以 0 2 3 xm 或 0 6xm（舍去） ， 代入抛物线方程得 0 2 6 3 ym，即 22 6 , 33 mm P ， 于是 1 5 3 m PF ， 21 7 2 3 m PFaPF， 12 6 2 3 m FFm，又 12 PFF的边长恰好是三个连续的自然 数，所以3m.此时抛物线方程为 2 12yx ， 1 3,0 ,2,2 6FP，则直线PQ的方程为 2 63yx.联立 2 2 63 12 yx yx ，得 1 9 2 x 或 1 2x （舍去） ，于是 9 , 3 6 2 Q .所以 2 2 925 22 63 6 22 PQ ， 设 2 ,3 6,2 6 1
30、2 t Mtt 到直线PQ的距离为d， 则 2 667 5 3 022 dt ， 当 6 2 t 时， max 6755 6 3024 d，所以MPQ的面积最大值为 1255 6125 6 22416 .此时 42 :66 33 MP yx . 21.（1）函数 f x的定义域为0,， 1axae fx exex ，曲线 yf x在点 00 ,x y处的切线 方程为 2 yx e .由题意得 0 0 00 12 , 2 ln a exe x xax ee 解得1a ， 0 xe.所以a的值为 1. （2）当1a时， ln x fxx e ，则 11xe fx exex ，由 0fx ，得xe，
31、由 0fx ， 得0xe，则 f x有最小值为 0f e ，即 0f x ，所以 ln ln xx g xxb ex ，0x ， 由已知可得函数 ln ln xx yx xe 的图象与直线yb有两个交点， 设 ln ln0 xx h xxx xe ，则 2 22 11 ln1lnxexeexx h x xxeex ， 令 2 lnxexe exx ， 2 2 2 eexex xex xx ， 由 2 20exex ，可知 0x，所以 x在0,上为减函数， 由 0e，得0xe时， 0x，当xe时， 0x， 即当0xe时， 0h x，当xe时， 0h x， 则函数 h x在0,e上为增函数，在,
32、e 上为减函数， 所以，函数( )h x在xe处取得极大值 1 h e e ， 又 1 1h e ， 322 3 31 341h eee ee ， 所以，当函数 g x在1,上有两个零点时，b的取值范围是 11 b ee ， 即 1 1 ,b e e . 22.（1）由题意可知：直线l的普通方程为10xy ，1,0A，0, 1B 1 C的方程可化为 22 10xyy，设点 P 的坐标为cos ,sin，0， cossin12sin10,21 4 BA BP uur uur （2）曲线 2 C的直角坐标方程为： 22 228xy直线l的标准参数方程为 2 2 2 2 1 2 xm ym （m为
33、参数） ，代入 2 C得： 2 270mm设,M N两点对应的参数分别为 12 ,m m 1212 2,70mmmm 故 12 ,m m异号 12 2QMQNmm 23.答案： （1）当2m时， 410 3 2232 10 2 3 45 2 xx f xxxx xx 当 413 0 x x 解得 1 0 2 x当 3 0,13 2 x恒成立. 当 453 3 2 x x 解得 3 2 2 x ，此不等式的解集为 1 2, 2 . （2） 430 3 22330 2 3 43 2 xm x f xxxmmx xm x ， 当,0x 时， 3 30 2 223 3 43 2 mx f xxxm xm x 当 3 0 2 x时， 3f xm ，当 3 ,43 2 xf xxm 单调递减， f x的最小值为3 m 设 2 0g xxx x 当 2 0,2 2xx x ，当且仅当 2 x x 时，取等号 2 2 2x x 即2x 时， g x取得最大值2 2. 要使 2 fxx x 恒成立，只需32 2m ，即2 23m.
浙公网安备33030202001339号