1、绥阳县绥阳县 2020 届高三春季学期第一次模拟考试数学试题届高三春季学期第一次模拟考试数学试题(文科文科) 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已知集合 U1， 2， 3， 4， 5， 6， A2， 4， B3， 4， 则 （UA） （UB） （ ） A3，5，6 B1，5，6 C2，3，4 D1，2，3，5，6 2已知 i 为虚数单位，则 2+3 (12) =（ ） A7 5 + 4 5 B7 5 4 5 C4 5 + 7
2、 5 D4 5 7 5 3已知向量 =（2，4） ， =（k，3） ，且 与 的夹角为 135，则 k（ ） A9 B1 C9 或 1 D1 或 9 4已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线的倾斜角为 ，且 = 5 5 ，则 该双曲线的离心率为（ ） A5 B 5 2 C2 D4 5为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测 验（指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标 雷达图，则下面叙述正确的是（ ） A乙的数据分析素养优于甲 B乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C甲的六大素养整体水平优于乙 D
3、甲的六大素养中数据分析最差 6已知 Sn为等比数列an的前 n 项和，a516，a3a432，则 S8（ ） A21 B24 C85 D85 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A16+4 3 B16+4 C32+8 3 D16+8 3 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内 容是：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：42+2，63+3，83+5， 那么在不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 16的概率为（ ） A 1 21 B 2 21 C 1 15 D 2 15 9将函数 f（x）2sin（3x+）
4、（0）图象向右平移 8个单位长度后，得到函数的图 象关于直线 x= 3对称，则函数 f（x）在 8 ， 8上的值域是（ ） A1，2 B3，2 C 2 2 ，1 D2，2 10甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说： 我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 11如图，在圆锥 SO 中，AB，CD 为底面圆的两条直径，ABCDO，且 ABCD，SO OB3，SE= 1 4 ，异面直线 SC 与 OE 所成角的正切值为（ ） A 22 2 B 5 3 C13 16 D 11 3 12定义在 R 上的偶函数
5、f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x3，2时，f（x）x 2，则（ ） A( 6)( 6) Bf（sin 3）f（cos 3） C( 4 3 )( 4 3 ) Df（2020）f（2019） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知实数 x，y 满足 + + 2 0 2 2 0 1 ，则 z3x+y 的最小值是 14函数 f（x）x2xlnx 的图象在 x1 处的切线方程为 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 =（4，n） ， =（Sn，n+3） 若 ，则数列 1 前 2020 项和为 16已知 F 为抛物线
6、C：x28y 的焦点，P 为 C 上一点，M（4，3） ，则PMF 周长的最 小值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17在ABC 中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b（a2+c2b2）a2ccosC+ac2cosA （1）求角 B 的大小； （2）若ABC 外接圆的半径为23 3 ，
7、求ABC 面积的最大值来源:Zxxk.Com 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，BAD60， AB4，E 是 PA 的中点，AC，BD 交于点 O （1）求证：OE平面 PBC； （2）求三棱锥 EPBD 的体积 19 网络看病就是国内或者国外的单个人、 多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网 对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修 复的一种新兴的看病方式 因此， 实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式， 最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者 中各随机抽取 1
8、5 名，将他们分成两组，每组 15 人，分别对网络看病，实地看病两种方 式进行满意度测评，根据患者的评分（满分 100 分）绘制了如图茎叶图： （1） 根据茎叶图判断患者对于网络看病、 实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由； （2）若将大于等于 80 分视为“满意” ，根据茎叶图填写下面的列联表： 满意 不满意 总计 网络看病 实地看病 总计 并根据列联表判断能否有 90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？ （3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取 2 人，求这 2 人平分都低于 90 分的概 率 附2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0）
9、0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的上顶点为 B，圆 C：x2+y24 与 y 轴的正半轴交 于点 A，与 C 有且仅有两个交点且都在 x 轴上， | | = 3 2 (O 为坐标原点） 来源:学科网 ZXXK （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知点(1， 3 2)， 不过 D 点且斜率为 1 2的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点， 证明： 直线 DM 与直线 DN 的斜率互为相反数 21已知函数
10、f（x）= 1 2 2 axlnx（aR） （1）若 a2 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）设 g（x）f（x）+ 3 2 2+1，若函数 g（x）在1 ，上有两个零点，求实数 a 的取 值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为 = 1 3， = 2 + 4 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负 半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的
11、极坐标方程为 = 22( 4) （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 P（1，2） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|+|PA|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x0，y0，z0，x2+y2+z21，证明： （1） （x+y）2+（y+z）2+（x+z）24； （2）1 + 1 + 1 1 + 2 + 2 + 2 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的
12、1 已知集合 U1， 2， 3， 4， 5， 6， A2， 4， B3， 4， 则 （UA） （UB） （ ） A3，5，6 B1，5，6 C2，3，4 D1，2，3，5，6 先求补集，再求交集 UA1，3，5，6， UB1，2，5，6， 所以（UA）（UB）1，5，6 故选：B 本题考查集合交并补，属于基础题 2已知 i 为虚数单位，则 2+3 (12) =（ ） A7 5 + 4 5 B7 5 4 5 C4 5 + 7 5 D4 5 7 5 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 2+3 (12) = 2+3 2+ = (2+3)(2) (2+)(2) = 7 5 + 4 5 故选：A
13、本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 3已知向量 =（2，4） ， =（k，3） ，且 与 的夹角为 135，则 k（ ） A9 B1 C9 或 1 D1 或 9 由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出 k 的值来源:学+科+网 由题意可得 cos135= | | |= 212 4+162+9 = 2 2 ， 求得 k9，或 k1， 故选：C 本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题 4已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线的倾斜角为 ，且 = 5 5 ，则 该双曲线的离心率为（ ） A5 B 5 2 C2 D4 由倾斜角的余弦值，求出正切值
14、，即 a，b 的关系，求出双曲线的离心率 设双曲线的半个焦距为 c，由题意 0，） 又 cos= 5 5 ，则 sin= 25 5 ，tan2， =2，所以离心率 e= =1 + ( ) 2 = 5， 故选：A 本题考查双曲线的性质，属于基础题 5为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测 验（指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标 雷达图，则下面叙述正确的是（ ） A乙的数据分析素养优于甲 B乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C甲的六大素养整体水平优于乙 D甲的六大素养中数据分析最差 根据所给的雷达图逐个选项分析即可
15、 A 选项，乙的数据分析素养得分为 4 分，甲的数据分析素养得分 5 分，故 A 错误； B 选项，乙的数学建模素养得分为 3 分，甲的数学建模素养得分为 4 分，故 B 错误； C 选项，6 项素养中有 5 项甲比乙好，故 C 正确， D 选项，甲的六大素养中数学抽象、数学建模和数学运算最差，数据分析为 5 分，最好， 故 D 错误 故选：C 本题考查了统计图雷达图的识别和应用，属于基础题 6已知 Sn为等比数列an的前 n 项和，a516，a3a432，则 S8（ ） A21 B24 C85 D85 由等比数列的性质求得 a1q416，a12q532，通过解该方程求得它们的值，易求首项 和
16、公比，根据等比数列的前 n 项和公式解答即可 设等比数列an的公比为 q， a516，a3a432， a1q416，a12q532， q2， 则 a11， 则 S4= 11(2)4 1+2 = 85， 故选：D 本题主要考查等比数列的前 n 项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的 关键 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A16+4 3 B16+4 C32+8 3 D16+8 3 首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面为一个半球，上面为一个直三棱 锥体构成的组合体 如图所示： 下面的球的半径为 2，直三棱
17、锥的底面为腰长为 2 的等腰直角三角形，高为 2， 故 V= 1 2 4 3 23+ 1 3 1 2 2 2 2 = 16+4 3 故选：A 本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换的应用，几何体的体积和表面积公式的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内 容是：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：42+2，63+3，83+5， 那么在不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率为（ ） A 1 21 B 2 21 C 1 15 D 2 15 先求出从不
18、超过 18 的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果， 然后再求出其和等 于 16 的结果，根据等可能事件的概率公式可求 不超过18的素数有2， 3， 5， 7， 11， 13， 17共7个， 从中随机选取两个不同的数共有7 2 = 21， 其和等于 16 的结果（3，13） ， （5，11）2 种等可能的结果， 故概率 P= 2 21 故选：B 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可 以用分步计数得到 9将函数 f（x）2sin（3x+） （0）图象向右平移 8个单位长度后，得到函数的图 象关于直线 x= 3对称，则函数 f（x）在 8 ， 8上的值域
19、是（ ） A1，2 B3，2 C 2 2 ，1 D2，2 由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函 数的值域，求得结果 把函数 f（x）2sin（3x+） （0）图象向右平移 8个单位长度后， 可得 y2sin（3x 3 8 +）的图象； 再根据得到函数的图象关于直线 x= 3对称， 3 3 3 8 +k+ 2，kZ， = 7 8 ，函数 f（x）2sin（3x+ 7 8 ） 在 8 ， 8上，3x+ 7 8 2， 5 4 ，sin（3x 8） 2 2 ，1， 故 f（x）2sin（3x 8）2，2，即 f（x）的值域是2，2， 故选：D 本题主要考查函
20、数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦 函数的值域，属于中档题 10甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说： 我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 根据题意四人中只有一个人说的是真话，逐个分析，只有丁说的是真话是，符合题意， 得到年纪最大的是丙； 假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而 已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲； 假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知 只有一个人
21、说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙； 假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已 知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙； 假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说 谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的 只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙； 故选：C 本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的推理能力，是基础题 11如图，在圆锥 SO 中，AB，CD 为底面圆的两条直径，ABCDO，且 ABCD，SO OB3，SE= 1 4 ，异面直线
22、 SC 与 OE 所成角的正切值为（ ） A 22 2 B 5 3 C13 16 D 11 3 可过点 S 作 SFOE，交 AB 于点 F，并连接 CF，从而可得出CSF 为异面直线 SC 与 OE 所成的角，根据条件即可求出 = 32， = = 10，这样即可得出 tanCSF 的值 如图，过点 S 作 SFOE，交 AB 于点 F，连接 CF，则CSF 即为异面直线 SC 与 OE 所 成的角， = 1 4， = 1 3 ， 又 OB3， = 1 3 = 1， SOOC，SOOC3， = 32；SOOF，SO3，OF1， = 10；OC OF，OC3，OF1， = 10， 等腰SCF 中
23、， = (10)2(32 2 )2 32 2 = 11 3 故选：D 本题考查了异面直线所成角的定义及求法， 直角三角形的边角的关系， 正切函数的定义， 平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题 12定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x3，2时，f（x）x 2，则（ ） A( 6)( 6) Bf（sin 3）f（cos 3） C( 4 3 )( 4 3 ) Df（2020）f（2019） 根据函数的周期性以及 x3，2的解析式，可作出函数 f（x）在定义域上的图象， 由此结合选项判断即可 由 f（x+2）f（x） ，得 f（x）是周期函数且周期为 2
24、， 先作出 f（x）在 x3，2时的图象，然后根据周期为 2 依次平移，并结合 f（x）是 偶函数作出 f（x）在 R 上的图象如下， 因为3 4 3，所以03 2 2 31，所以 f（sin3）f（cos3） ， 所以 f（sin3）f（cos3） ，故选项 B 正确 故选：B 本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档 题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知实数 x，y 满足 + + 2 0 2 2 0 1 ，则 z3x+y 的最小值是 8 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应
25、的直线；结合图象知当直线过 M 时， z 取得最小值 画出不等式组 + + 2 0 2 2 0 1 表示的可行域如图阴影区域所示 = 1 + + 2 = 0M（3，1） 平移直线 3x+y0，易知当直线 z3x+y 经过点 M（3，1）时， 目标函数 z3x+y 取得最小值， 且 zmin3（3）+18 故答案为：8 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值是中档题 14函数 f（x）x2xlnx 的图象在 x1 处的切线方程为 xy0 先将 x1 代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后 利用点斜式写出切线方程 由题意得 f（x）2xlnx1 则
26、 f（1）1，f（1）1 故切线方程为 y1x1， 即 xy0 故答案为：xy0 本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键同 时也考查了学生的运算能力，属于基础题 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 =（4，n） ， =（Sn，n+3） 若 ，则数列 1 前 2020 项和为 4040 2021 由 ，可得 =4Snn（n+3）0，可得 Sn= (+3) 4 ，n1 时，a1S11当 n 2 时，anSnSn1可得： 1 = 2 (+1) =2（1 1 +1） 利用裂项求和方法即可得 出 ， =4Snn（n+3）0， Sn= (+3) 4 ，n1 时
27、，a1S11 当 n2 时，anSnSn1= (+3) 4 (1)(+2) 4 = +1 2 1 = 2 (+1) =2（1 1 +1） 数列 1 前2020项和2 （1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 2020 1 2021） 2 （1 1 2021） = 4040 2021 故答案为：4040 2021 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 16已知 F 为抛物线 C：x28y 的焦点，P 为 C 上一点，M（4，3） ，则PMF 周长的最 小值是 5+17 由题意画出图形，过 M 作准线的垂线，交抛物线于 P，则PM
28、F 的周长最小，然后结合 两点间的距离公式求解 如图，F 为抛物线 C：x28y 的焦点，P 为 C 上一点，M（4，3） ， 抛物线 C：x28y 的焦点为 F（0，2） ，准线方程为 y2 过 M 作准线的垂线，交抛物线于 P，则PMF 的周长最小 最小值为 5+(4)2+ (3 2)2=5+17 故答案为：5+17 本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中 档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考
29、生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17在ABC 中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b（a2+c2b2）a2ccosC+ac2cosA （1）求角 B 的大小； （2）若ABC 外接圆的半径为23 3 ，求ABC 面积的最大值 （1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可求 cosB，进而可求 B； （2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解 ac 的范围，然后结合三角 形的面积公式即可求解 （1）因为 b（a2+c2b2）ca2cosC+ac2cosA
30、， 2abccosBac2cosC+ac2cosA， 即 2bcosBacosC+ccosA 由正弦定理可得，2sinBcosBsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB， 所以 cosB= 1 2， 因为 B（0，） ，所以 B= 1 3 ； （2）由正弦定理可得，b2RsinB= 23 3 2 3 2 =2， 由余弦定理可得，b2a2+c22accosB， 即 a2+c2ac4， 因为 a2+c22ac， 所以 4a2+c2acac，当且仅当 ac 时取等号，即 ac 的最大值 4， 所以ABC 面积 S= 1 2 = 3 4 3即面积的最大值3 本题综合考查了正弦定理，余
31、弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于 中档试题 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，BAD60， AB4，E 是 PA 的中点，AC，BD 交于点 O （1）求证：OE平面 PBC； （2）求三棱锥 EPBD 的体积 （1）连接 OE，利用三角形中位线定理得到 OEPC，再利用线面平行的判定定理即可 证出 OE平面 PBC； （2） 利用分割体积法得到 VEPBDVPABDVEABD= 1 3 1 3 ， 利用底面 ABCD 为菱形且BAD60， 求出 SABD， 即可求出三棱锥 EPBD 的体积 （1）证明：如图所示： ， 点 O，E
32、 分别是AC，PA 的中点， OE 是PAC 的中位线， OEPC， 又OE平面 PBC，PC平面 PBC， OE平面 PBC； （2）解：PAAB4，AE2， 底面 ABCD 为菱形，BAD60， SABD= 1 2 4 4 60 = 43， 三棱锥 EPBD 的体积 VEPBDVPABDVEABD= 1 3 1 3 = 1 3 43 4 1 3 43 2 = 83 3 本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了三棱柱体积，是中档题 19 网络看病就是国内或者国外的单个人、 多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网 对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修
33、 复的一种新兴的看病方式 因此， 实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式， 最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者 中各随机抽取 15 名，将他们分成两组，每组 15 人，分别对网络看病，实地看病两种方 式进行满意度测评，根据患者的评分（满分 100 分）绘制了如图茎叶图： （1） 根据茎叶图判断患者对于网络看病、 实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由； （2）若将大于等于 80 分视为“满意” ，根据茎叶图填写下面的列联表： 满意 不满意 总计 网络看病 实地看病 总计 并根据列联表判断能否有 90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？
34、（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取 2 人，求这 2 人平分都低于 90 分的概 率 附2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706来源:学科网 ZXXK 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）可分别从满意度平分、中位数、平均数及茎叶图的对称情况入手分析，答案从一个 角度或多个角度均可； （2）由题意完成 22 列联表，求得 K2的值，结合临界值表得结论； （3）利用列举法列出从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取
35、 2 人的所有可能情况， 得到其中这 2 人评分都低于 90（分）的情况，再由古典概型概率计算公式求解 （1）对实地看病满意度更高，理由如下： （i）由茎叶图可知：在网络看病中，有 66.7%的患者满意度评分低于 80（分） ；在实地 看病中，有 66.7%的患者评分高于 80（分） ，因此患者对实地看病满意度更高 （ii）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为 73（分） ，实地看病评分的中位数 为 87（分） ，因此患者对实地看病满意度更高 （iii）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于 80（分） ；实地看病的满意度的 评分平均分高于 80（ ）分） ，因此患者对实地看病满意
36、度更高 （iV）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎 6 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分 布；实地看病的评分分布在茎 8，上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布，又两种看病方式 打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的 满意度更高 以上给出了 4 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可； （2）参加网络看病满意度调查的 15 名患者中共有 5 名对网络看病满意，10 名对网络看 病不满意； 参加实地看病满意度调查的 15 名患者中共有 10 名对实地看病满意， 5 名对实 地看病不满意 故完成列联表如下： 满意 不满意 总计 网络看病 5 10 15
37、 实地看病 10 5 15 总计 15 15 30 于是2= 30(101055)2 15151515 3.332.706， 有 90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关； （3）网络看病的评价的分数依次为 82，85，85，88，92，由小到大分别记为 a，b，c， d，X， 从网络看病的评价 “满意” 的人中随机抽取 2 人， 所有可能情况有： （a， b） ， （a， c） ， （a， d） ， （a，X） ； （b，c） ， （b，d） ， （b，X） ； （c，d） ， （c，X） ； （d，X）共 10 种， 其中，这 2 人评分都低于 90（分）的情况有： （82，85） ，
38、 （82，85） ， （82，88） ； （85，85） ， （85，88） ； （85，88）共 6 种， 故由古典概型公式，得这 2 人评分都低于 90（分）的概率 = 6 10 = 3 5 本题考查茎叶图，考查利用列举法求随机事件发生的概率，考查独立性检验，考查计算 能力，是中档题 20已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的上顶点为 B，圆 C：x2+y24 与 y 轴的正半轴交 于点 A，与 C 有且仅有两个交点且都在 x 轴上， | | = 3 2 (O 为坐标原点） （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知点(1， 3 2)， 不过 D 点且斜率为 1 2的直线 l 与椭圆
39、 C 交于 M， N 两点， 证明： 直线 DM 与直线 DN 的斜率互为相反数 （1）根据条件可得 a2，进而得到 b= 3，即可得到椭圆方程； （2）设直线 MN 的方程为 y= 1 2x+m，联立 = 1 2 + 2 4 + 2 3 = 1 ，分别表示出直线 DM 和直 线 DN 的斜率，相加利用根与系数关系即可得到 （1）圆 C：x2+y24 与 C 有且仅有两个交点且都在 x 轴上，所以 a2， 又| | = 3 2 ， 2 = 3 2 ，解得 b= 3，故椭圆 C 的方程为 2 4 + 2 3 = 1； （2）设直线 MN 的方程为 y= 1 2x+m，联立 = 1 2 + 2 4
40、 + 2 3 = 1 ，整理可得 4x24mx+4m2 120， 则（4m）244（4m212）48（4m2）0，解得2m2， 设点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则 x1+x2m，x1x2m23， 所以 kDM+kDN= 13 2 1+1 + 23 2 2+1 = 1 21+ 3 2 1+1 + 1 22+ 3 2 2+1 = 12+(2)(1+2)+23 (1+1)(2+1) = 32+22+23 (1+1)(2+1) =0， 故直线 DM 与直线 DN 的斜率互为相反数 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程 21已知函数 f（x）= 1
41、2 2 axlnx（aR） （1）若 a2 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）设 g（x）f（x）+ 3 2 2+1，若函数 g（x）在1 ，上有两个零点，求实数 a 的取 值范围 （1）当 a2 时，f（x）x2 1 = 221 ，由 f（x）0，可求 f（x）的单调 递减区间，由 f（x）0，可求 f（x）的单调递增区间； （2）函数 g（x）f（x）+ 3 2 2 +12x2ax+1lnx 在1 ，上有两个零点等价于 a 2x+ 1 在1 ，上有两解，构造函数 h（x）2x+ 1 ，x1 ，利用导数， 可分析求得实数 a 的取值范围 （1）当 a2 时，f（x）= 1 2 2 2x
42、lnx定义域为（0，+） ，则 f（x）x 2 1 = 221 1 分 令 f（x）0，解得 x= 2 +1，或 x= 2+1（舍去） ， 所以当 x（0，2 +1）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（2 +1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； 故函数的单调递减区间为（0，2 +1） ，单调递增区间为（2 +1，+）4 分 （2）设 g（x）f（x）+ 3 2 2+12x2ax+1lnx， 函数 g（x）在1 ，上有两个零点等价于 a2x+ 1 在1 ，上有两解6 分 令 h（x）2x+ 1 ，x1 ， 则 h（x）= 222+ 2 ，7 分 令 t（x）2x22+lnx，x1 ， 显然，t（x）在区间1 ，上单调递增 又 t（1）0， 所以当 x1 ，1)时，有 t（x）0，即 h（x）0，当 x（1，e时
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