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    2020中考数学压轴专练专题03:因动点产生的直角三角形问题(教师版)

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    2020中考数学压轴专练专题03:因动点产生的直角三角形问题(教师版)

    1、 1 中考数学压轴:专题中考数学压轴:专题 03 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 【类型综述】 解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并 验根 一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三 角形,这样列比例方程比较简便 【方法揭秘】 我们先看三个问题: 1已知线段 AB,以线段 AB 为直角边的

    2、直角三角形 ABC 有多少个?顶点 C 的轨迹是什么? 2已知线段 AB,以线段 AB 为斜边的直角三角形 ABC 有多少个?顶点 C 的轨迹是什么? 3已知点 A(4,0),如果OAB 是等腰直角三角形,求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1,点 C 在垂线上,垂足除外如图 2,点 C 在以 AB 为直径的圆上,A、B 两点除外如图 3,以 OA 为边画两个正方形, 除了 O、 A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点, 都是符合题意的点 B, 共 6 个 如图 4,已知 A(3, 0),B(1,4),如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标 我

    3、们可以用几何的方法,作 AB 为直径的圆,快速找到两个符合条件的点 C 如果作 BDy 轴于 D,那么AOCCDB 2 设 OCm,那么 34 1 m m 这个方程有两个解,分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 【典例分析】 例 1 如图 1,已知抛物线 E1:yx2经过点 A(1,m),以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B(2,2),点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、B (1)求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式; (2)如图 1,在第一象限内,抛物线 E1上是否存在点 Q,使得以点 Q、B、B为顶点的三角形为直角 三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明

    4、理由; (3)如图 2,P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点,连结 OP 并延长与抛物线 E2相交于 点 P,求PAA与PBB的面积之比 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1判断点 P 是线段 OP的中点是解决问题的突破口,这样就可以用一个字母表示点 P、P的坐标 2分别求线段 AABB,点 P 到 AA的距离点 P到 BB的距离,就可以比较PAA与PBB的面积之 比 3 满分解答满分解答 (1)当 x1 时,yx21,所以 A(1, 1),m1 设抛物线 E2的表达式为 yax2,代入点 B(2,2),可得 a 1 2 所以 y 1 2 x2 (2)点 Q 在第一象限内的抛

    5、物线 E1上,直角三角形 QBB存在两种情况: 图 3 图 4 如图 3,过点 B 作 BB的垂线交抛物线 E1于 Q,那么 Q(2, 4) 如图 4,以 BB为直径的圆 D 与抛物线 E1交于点 Q,那么 QD 1 2 BB2 设 Q(x, x2),因为 D(0, 2),根据 QD24 列方程 x2(x22)24 解得 x3此时 Q( 3,3) 图5 图6 4 考点伸展考点伸展 第(2)中当BQB90 时,求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法: 方法二,由勾股定理,得BQ2BQ2BB2 所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242 方法三,作 QHBB 于 H,那么 QH2BH

    6、 BH 所以(x22)2(x2) (2x) 例 2 如图 1,二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点,与 y 轴交于点 C,连结 BC动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动,动点 Q 以每秒 2个单位长度的速度从点 B 向 点 C 运动,P、Q 两点同时出发,连结 PQ,当点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点同时停止运动设运动的时间 为 t 秒 (1)求二次函数的解析式; (2)如图 1,当BPQ 为直角三角形时,求 t 的值; (3)如图 2,当 t2 时,延长 QP 交 y 轴于点 M,在抛物线上是否存在一点 N,使得 PQ

    7、 的中点恰为 MN 的中点,若存在,求出点 N 的坐标与 t 的值;若不存在,请说明理由 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1分两种情况讨论等腰直角三角形 BPQ 2 如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点, 那么 MQNP, 以 MQ、 NP 为直角边可以构造全等的直角三角形, 从而根据直角边对应相等可以列方程 满分解答满分解答 5 图 3 图 4 图 5 (3)如图 5,设 PQ 的中点为 G,当点 G 恰为 MN 的中点时,MQNP 作 QEy 轴于 E,作 NFx 轴于 F,作 QHx 轴于 H,那么MQENPF 由已知条件,可得 P(t1, 0),Q(3t,t) 由 QEPF,可得 x

    8、QxNxP,即 3txN(t1)解得 xN2 将 x2 代入 y(x1)(x3),得 y3所以 N(2,3) 由 QH/NF,得 QHPH NFPF ,即 (3)(1) 32(1) ttt t 整理,得 t29t120解得 933 2 t 因为 t2,所以取 933 2 t 考点伸展考点伸展 第(3)题也可以应用中点坐标公式,得 (1)(3) 1 22 PQ G xx tt x 所以xN2xG2 例 3 如图 1,在 RtABC 中,ACB90 ,AB13,CD/AB,点 E 为射线 CD 上一动点(不与点 C 重合) , 6 联结 AE 交边 BC 于 F,BAE 的平分线交 BC 于点 G

    9、 (1)当 CE3 时,求 SCEFSCAF的值; (2)设 CEx,AEy,当 CG2GB 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当 AC5 时,联结 EG,若AEG 为直角三角形,求 BG 的长 图 1 思路点拨思路点拨 1第(1)题中的CEF 和CAF 是同高三角形,面积比等于底边的比 2第(2)题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形 3第(3)题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论 满分解答满分解答 所以EMAEAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4 7 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 第(3)题的第种情况,当AEG90 时的核心问题是说理 GAGB 如果用

    10、四点共圆,那么很容易 如图 6,由 A、C、E、G 四点共圆,直接得到24 上海版教材不学习四点共圆,比较麻烦一点的思路还有: 如图 7,当AEG90 时,设 AG 的中点为 P,那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中 线,所以 PCPEPAPG 所以122,325 如图 8,在等腰PCE 中,CPE180 2(45), 又因为CPE180 (13),所以132(45)所以124 所以24B所以GABB所以 GAGB 8 图 7 图 8 例 4 如图 1,二次函数 ya(x22mx3m2)(其中 a、m 是常数,且 a0,m0)的图像与 x 轴分别交 于 A、 B

    11、 (点 A 位于点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C(0,3), 点 D 在二次函数的图像上, CD/AB, 联结 AD 过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分DAE (1)用含 m 的式子表示 a; (2)求证: AD AE 为定值; (3) 设该二次函数的图像的顶点为 F 探索: 在 x 轴的负半轴上是否存在点 G, 联结 GF, 以线段 GF、 AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点 G 即可,并用含 m 的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙通过二次函

    12、数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后,点 D 的坐标 也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中,第(1)题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 来源:ZXXK 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4) ,因此过点 F 作 AD 的平行线 与 x 轴的交点,就是要求的点 G 满分解答满分解答 9 图 2 图 3 (3)如图 3,由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4), 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G

    13、 来源:ZXXK 证明如下:作 FFx 轴于 F,那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADGF 所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m,点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展考点伸展 第(3)题中的点 G 的另一种情况,就是 GF 为直角三角形的斜边 10 此时 5334 AEADGF 因此 34GFm 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm 例 5 如图 1,抛物线 2 13 4 42 yxx与 x 轴交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧) ,与 y 轴交于点 C, 连结 BC, 以 BC 为一边, 点 O 为对称

    14、中心作菱形 BDEC, 点 P 是 x 轴上的一个动点, 设点 P 的坐标为(m, 0), 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q (1)求点 A、B、C 的坐标; (2) 当点 P 在线段 OB 上运动时, 直线 l 分别交 BD、 BC 于点 M、 N 试探究 m 为何值时, 四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由; (3)当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 Q,使BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第(2)题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长,再根据 M

    15、QDC 列方程 2 第 (2) 题要判断四边形 CQBM 的形状, 最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图, 先得到结论 3第(3)题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似 三角形 满分解答满分解答 11 图 2 图 3 (3)存在两个符合题意的点 Q,分别是(2,0),(6,4) 考点伸展考点伸展 第(3)题可以这样解:设点 Q 的坐标为 1 ( ,(2)(8) 4 xxx 如图 3,当DBQ90 时, 1 2 QGBH GBHD 所以 1 (2)(8) 1 4 82 xx x 解得 x6此时 Q(6,4) 如图 4,当BDQ90 时,

    16、 2 QGDH GDHB 所以 1 4(2)(8) 4 2 xx x 解得 x2此时 Q(2,0) 12 图 3 图 4 例 6 如图 1,抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C (1)求点 A、B 的坐标; (2) 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当ACD 的面积等于ACB 的面积时, 求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4, 0),M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三 个时,求直线 l 的解析式 图 1 思路点拨思路点拨 1根据同底等高的三角形面积

    17、相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点 D 有两个 2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时,符合AMB90 的点 M 有 2 个;当直线 l 与圆相切时,符合 AMB90 的点 M 只有 1 个 3灵活应用相似比解题比较简便 满分解答满分解答 (1)由 2 333 3(4)(2) 848 yxxxx , 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1 (2)ACD 与ACB 有公共的底边 AC,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,点 B、D 到直线 AC 的 距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有

    18、对应的点 D 13 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H 由 BD/AC,得DBGCAO所以 3 4 DGCO BGAO 所以 39 44 DGBG,点 D 的坐标为 9 (1,) 4 因为 AC/BD,AGBG,所以 HGDG 而 DHDH,所以 DG3DG 27 4 所以 D的坐标为 27 (1,) 4 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第(3)题中的直线 l 恰好经过点 C,因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式 在 RtEGM 中,GM3,GE5,所以 EM4 在 RtECO 中,CO3,EO4,所以 CE5 因此三角形EGMECO,GEMCEO所以直线 C

    19、M 过点 C 【变式训练】 1 如图, 点 M 是直线 y=2x+3 上的动点, 过点 M 作 MN 垂直于 x 轴于点 N, y 轴上是否存在点 P, 使得MNP 14 为等腰直角三角形,则符合条件的点 P 有(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 【解析】 当 M 运动到(1,1)时,ON=1,MN=1, 因此,符合条件的点 P 坐标是(0,0),(0, ),(0,3),(0,1) 15 故答案选 C, 2如图,在矩形中,是边上的一个动点,当点 在 (不含两点) 上运动时,若是以为斜边的直角三角形,则等于( ) A B 或

    20、 C D或 【答案】D 【解析】 故选 D 3如图,在ABC 中,AB=2,AO=BO,P 是直线 CO 上的一个动点,AOC=60 ,当PAB 是以 BP 为直 角边的直角三角形时,AP 的长为( ) 16 A,1,2 B ,2 C,1 D,2 【答案】C 【解析】 当APB=90 时, 情况一: (如图) , 情况二:如图 2, 17 AO=BO,APB=90 , PO=AO, AOC=60 , AOP 为等边三角形, AP=AO=1; 当ABP=90 时(如图 3) , 4如图,是的直径,弦, 是弦 的中点,若动点 以的速度从 点出 发沿着方向运动,设运动时间为,连结,当是直角三角形时,

    21、 (s)的值为 A B1 C 或 1 D或 1 或 【答案】D 【解析】 18 析:若BEF 是直角三角形,则有两种情况:BFE=90 ,BEF=90 ;在上述两种情况所得到的直角 三角形中,已知了 BC 边和B 的度数,即可求得 BE 的长;AB 的长易求得,由 AE=AB-BE 即可求出 AE 的长,也就能得出 E 点运动的距离,根据时间=路程 速度即可求得 t 的值 解答:解:AB 是O 的直径, ACB=90 ; 当BEF=90 时; 同可求得 BE=0.5cm,此时 AE=AB-BE=3.5cm; E 点运动的距离为:3.5cm,故 t=1.75s; 当 E 从 B 回到 O 的过程

    22、中,在运动的距离是:2(4-3.5)=1cm,则时间是:1.75+ = s 综上所述,当 t 的值为 1s 或 1.75s 和 s 时,BEF 是直角三角形 故选 D 5若 D 点坐标(4,3),点 P 是 x 轴正半轴上的动点,点 Q 是反比例函数 12 (0)yx x 图象上的动点,若 PDQ 为等腰直角三角形,则点 P 的坐标是_ 【答案】 19197 5,0 ,0,0 72 【解析】3 4=12, 点 D 在反比例 y= 12 x (x0)图象上, 19 当 QP=QD,PQD=90 ,如图 1,作 QAx 轴于 A,DHx 轴与 H,QBDH 于 B, DP= 2PQ=10, 在 R

    23、tDPH 中,DH=3, PH= 2 2 10-3 =1, 来源:ZXXK OP=5, P 点坐标为(5,0); 当 DP=DQ,PDQ=90 ,如图 2,作 QAx 轴于 A,DHx 轴与 H,QBDH 于 B, 来源:ZXXK 易证得DPHQDB,则 BQ=DH=3,BD=PH, Q 点坐标为(7, 12 7 ), BD=3 12 7 = 9 7 , 20 PH= 9 7 , OP=4 9 7 = 19 7 , P 点坐标为(19 7 ,0); 当 PD=PQ,DPQ=90,如图 3,作 QAx 轴于 A,DHx 轴与 H, P 点坐标为(1 97 2 ,0). 故答案为(5,0)、( 1

    24、9 7 ,0)、 ,(1 97 2 ,0). 6如图,长方形 ABCD 中,A=ABC=BCD=D=90 ,AB=CD=6,AD=BC=10,点 E 为射线 AD 上的 一个动点,若ABE 与ABE 关于直线 BE 对称,当ABC 为直角三角形时,AE 的长为_ 【答案】2 或 18 【解析】 21 解:如图 在 RTCB A中,AC=8, AE= AE=CE- AC=10-8=2; 如图 22 7如图,BOC=60 ,点 A 是 BO 延长线上的一点,OA=10cm,动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速度 移动,动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1cm/s 的速度移动,

    25、如果点 P,Q 同时出发,用 t(s)表示移动的时间, 当 t=_s 时,POQ 是等腰三角形;当 t=_s 时,POQ 是直角三角形 【答案】或 10 【解析】 如图,当 PO=QO 时,POQ 是等腰三角形 PO=AOAP=102t,OQ=1t 当 PO=QO 时,102t=t 23 解得 t=; 如图,当 PO=QO 时,POQ 是等腰三角形 PO=APAO=2t10,OQ=1t, 当 QO=2OP 时,t=2 (2t10) 解得 t=; 如图,当 PQOC 时,POQ 是直角三角形,且 2QO=OP PO=APAO=2t10,OQ=1t, 当 2QO=OP 时,2t=2t10 方程无解

    26、. 故答案为:(1). 或 10 (2). 8如图,AB 是O 的直径,弦 BC=6cm,AC=8cm若动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发沿着 BA 的方 向运动,点 Q 以 1cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AC 的方向运动,当点 P 到达点 A 时,点 Q 也随之停止运 24 动设运动时间为 t(s),当APQ 是直角三角形时,t 的值为_ 【答案】, 【解析】 【分析】 应分两种情况进行讨论:当 PQAC 时,APQ 为直角三角形,根据APQABC,可将时间 t 求出; 当 PQAB 时,APQ 为直角三角形,根据APQACB,可将时间 t 求出 【详解】 当点 P 到达

    27、点 A 时,点 Q 也随之停止运动, 0t5, 如图 1,当 PQAC 时,PQBC,则 25 9如图,已知抛物线的对称轴为直线,且抛物线与 轴交于 、 两点,与 轴 交于 点,其中,. (1)若直线经过 、 两点,求直线和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上找一点 ,使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小,求出点的坐标; (3)设点 为抛物线的对称轴上的一个动点,求使为直角三角形的点 的坐标. 【答案】 (1)抛物线的解析式为,直线的解析式为.(2); (3) 的坐标为 或或或. 【解析】 26 (2)直线与对称轴的交点为 ,则此时的值最小,把代入直线得, .即当点 到点 的距离与到

    28、点 的距离之和最小时 的坐标为. (注: 本题只求 坐标没说要求证明为何此时的值最小, 所以答案未证明的值最小的原因) . (3)设,又, , 若点 为直角顶点,则,即:解得:, 若点 为直角顶点,则,即:解得:, 若点 为直角顶点,则,即:解得: ,. 综上所述 的坐标为或或或. 10如图所示,已知抛物线经过点 A (2,0) 、 B (4,0) 、 C (0,8) ,抛物线 y a x 2 b x c (a0)与直线 y x 4 交于 B , D 两点 27 (1)求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标; (2) 点 P 为抛物线上的一个动点, 且在直线 BD 下方, 试求出 BDP 面

    29、积的最大值及此时点 P 的坐标; (3) 点 Q 是线段 BD 上异于 B 、 D 的动点, 过点 Q 作 QF x 轴于点 F , 交抛物线于点 G 当 QDG 为直角三角形时,求点 Q 的坐标 【答案】 (1) (-1,-5); (2) ( 3 2 ,- 35 4 ); (3) (2,-2)或 (3,-1) 试题解析: (1)设抛物线的解析式为 y=a(x+2) (x-4) ,将点 C 的坐标代入得:-8a=-8,解得:a=1, 抛物线的解析式为 y=x2-2x-8 将 y=x-4 代入抛物线的解析式得:x2-2x-8=x-4,解得:x=4 或 x=-1, 将 x=-1 代入 y=x-4

    30、得:y=-5 D(-1,-5) (2)如图所示: 28 (3)设直线 y=x-4 与 y 轴相交于点 K,则 K(0,-4) ,设 G 点坐标为(x,x2-2x-8) ,点 Q 点坐标为(x, x-4) B(4,0) , OB=OK=4 OKB=OBK=45 QFx 轴, DQG=45 若QDG 为直角三角形,则QDG 是等腰直角三角形 当QDG=90 时,过点 D 作 DHQG 于 H, 当DGQ=90 ,则 DH=QH 29 -x2+3x+4=x+1,解得 x=-1(舍去)或 x=3, Q2(3,-1) 综上所述,当QDG 为直角三角形时,点 Q 的坐标为(2,-2)或(3,-1) 11如

    31、图,抛物线 y=ax25ax+c 与坐标轴分别交于点 A,C,E 三点,其中 A(3,0) ,C(0,4) ,点 B 在 x 轴上, AC=BC, 过点 B作 BDx 轴交抛物线于点D, 点 M, N 分别是线段CO, BC上的动点, 且CM=BN, 连接 MN,AM,AN (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标; (2)当CMN 是直角三角形时,求点 M 的坐标; (3)试求出 AM+AN 的最小值 【答案】 (1)抛物线解析式为 y= x2+ x+4;D 点坐标为(3,5) ; (2)M 点的坐标为(0,)或(0,) ; (3)AM+AN 的最小值为 【解析】 30 (2)在 RtOBC

    32、中,BC=5, 设 M(0,m) ,则 BN=4m,CN=5(4m)=m+1, MCN=OCB, 当时,CMNCOB,则CMN=COB=90 , 即,解得 m=,此时 M 点坐标为(0,) ; 当时,CMNCBO,则CNM=COB=90 , 即,解得 m=,此时 M 点坐标为(0,) ; 综上所述,M 点的坐标为(0,)或(0,) ; 31 12如图所示,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过点 A(2,0) 、B(4,0) 、C(0,8) ,与直线 y=x 4 交于 B,D 两点 (1)求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标; (2)点 P 为直线 BD 下方抛物线上的一个动点,试求

    33、出BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标; (3)点 Q 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,过点 Q 作 QFx 轴于点 F,交抛物线于点 G,当QDG 为直角 三角形时,直接写出点 Q 的坐标 32 【答案】 (1)y=(x+2) (x4) ,D 的坐标是(1,5) ; (2)P( ,) ; (3)点 Q 的坐标为(2, 2)或(3,1) 【解析】 (2)如图所示: 过点 P 作 PEy 轴,交直线 AB 与点 E,设 P(x,x22x8) ,则 E(x,x4) PE=x4(x22x8)=x2+3x+4 33 SBDP=SDPE+SBPE= PE(xpxD)+PE(xBxE)=PE(x

    34、BxD)= (x2+3x+4)= (x) 2+ 当 x=时,BDP 的面积的最大值为 P(,) QG=2DH,QG=x2+3x+4,DH=x+1, x2+3x+4=2(x+1) ,解得:x=1(舍去)或 x=2, Q1(2,2) 当DGQ=90 ,则 DH=QH 34 x2+3x+4=x+1,解得 x=1(舍去)或 x=3, Q2(3,1) 综上所述,当QDG 为直角三角形时,点 Q 的坐标为(2,2)或(3,1) 13如图,抛物线与直线交于 A、B 两点.点 A 的横坐标为3,点 B 在 y 轴上,点 P 是 y 轴 左侧抛物线上的一动点,横坐标为 m,过点 P 作 PCx 轴于 C,交直线

    35、 AB 于 D. (1)求抛物线的解析式; (2)当 m 为何值时,; (3)是否存在点 P,使PAD 是直角三角形,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)y=x2+4x-1; (2)m=,-2,或-3 时 S 四边形OBDC=2SSBPD 【解析】试题分析: (1)由 x=0 时带入 y=x-1 求出 y 的值求出 B 的坐标,当 x=-3 时,代入 y=x-1 求出 y 的 值就可以求出 A 的坐标,由待定系数法就可以求出抛物线的解析式; (2)连结 OP,由 P 点的横坐标为 m 可以表示出 P、D 的坐标,可以表示出 S四边形OBDC和 2SBPD建立方程

    36、求出其解即可 35 (3)如图 2,当APD=90 时,设出 P 点的坐标,就可以表示出 D 的坐标,由APDFCD 就可与求出 结论,如图 3,当PAD=90 时,作 AEx 轴于 E,就有,可以表示出 AD,再由PADFEA 由相似三角形的性质就可以求出结论 (2)P 点横坐标是 m(m0) ,P(m,m2+4m-1) ,D(m,m-1) 如图 1,作 BEPC 于 E, BE=-m CD=1-m,OB=1,OC=-m,CP=1-4m-m2, PD=1-4m-m2-1+m=-3m-m2, 解得:m1=0(舍去) ,m2=-2,m3= 如图 1,作 BEPC 于 E, BE=-m PD=1-

    37、4m-m2+1-m=2-4m-m2, 解得:m=0(舍去)或 m=-3, 36 m=,-2,或-3 时 S 四边形OBDC=2SBPD; 如图 2,当APD=90 时,设 P(a,a2+4a-1) ,则 D(a,a-1) , AP=m+4,CD=1-m,OC=-m,CP=1-4m-m2, DP=1-4m-m2-1+m=-3m-m2 解得:m=1 舍去或 m=-2,P(-2,-5) 如图 3,当PAD=90 时,作 AEx 轴于 E, AEF=90 CE=-3-m,EF=4,AF=4 PD=1-m-(1-4m-m2)=3m+m2 PCx 轴,PCx 轴, DCF=90 , DCF=AEF, AE

    38、CD AD=(-3-m) PADFEA, 37 m=-2 或 m=-3 P(-2,-5)或(-3,-4)与点 A 重合,舍去, P(-2,-5) 考点:二次函数综合题. 14 (本小题满分 12 分)已知:直线与轴交于 A,与轴交于 D,抛物线与 直线交于 A、E 两点,与轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1,0) (1)求抛物线的解析式; (2)动点 P 在x轴上移动,当PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标 (3)在抛物线的对称轴上找一点 M,使的值最大,求出点 M 的坐标 (2)设点 E 的横坐标为 m,则它的纵坐标为 则 E(,) 又点 E 在直线上, 解得(舍去) , E

    39、的坐标为(4,3) y x O D E A B C 38 ()当 A 为直角顶点时 过 A 作交轴于点,设 易知 D 点坐标为(,0) 由得 即, ()同理,当为直角顶点时,点坐标为(,0) ) (3)抛物线的对称轴为 B、C 关于对称, 要使最大,即是使最大 由三角形两边之差小于第三边得,当 A、B、M 在同一直线上时的值最大 y x O D E A B C P1 F P2 P3 M 39 易知直线 AB 的解折式为 由 得 M(,) 【解析】略 15如图,抛物线与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相交于点 C,抛物线的对称轴与 x 轴相 交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点

    40、 P、M、C 不在同一条直线上) 分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线,垂足分别为 D、E,连接点 MD、ME (1)求点 A,B 的坐标(直接写出结果) ,并证明MDE 是等腰三角形; (2)MDE 能否为等腰直角三角形?若能,求此时点 P 的坐标;若不能,说明理由; (3)若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点 P、M、C 不在同一条直线上)”改为“P 是抛物线在 x 轴 下方的一个动点”,其他条件不变,MDE 能否为等腰直角三角形?若能,求此时点 P 的坐标(直接写出结 果) ;若不能,说明理由 【答案】 (1)A(1,0) ,B(5,0) ,证明见解析 (2)MDE 能成为等

    41、腰直角三角形,此时点 P 坐标为( ,3) (3)能。此时点 P 坐标为(,) 。 【解析】 试题分析: (1)在抛物线解析式中,令 y=0,解一元二次方程,可求得点 A、点 B 的坐标。如答图 1 所示, 作辅助线, 构造全等三角形AMFBME, 得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF 的中点, 从而得到 MD=ME, 问题得证。 40 在中,令 y=0,即,解得 x=1 或 x=5, A(1,0) ,B(5,0) 。 如答图 1 所示,分别延长 AD 与 EM,交于点 F, (2)首先分析,若MDE 为等腰直角三角形,直角顶点只能是点 M。如答图 2 所示,设直线 PC 与对称轴 交于点

    42、 N,证明ADMNEM,得到 MN=AM,从而求得点 N 坐标为(3,2) ;利用点 N、点 C 坐标, 求出直线 PC 的解析式;最后联立直线 PC 与抛物线的解析式,求出点 P 的坐标。 能。 ,抛物线的对称轴是直线 x=3,M(3,0) 令 x=0,得 y=4,C(0,4) 。 MDE 为等腰直角三角形,有 3 种可能的情形: 若 DEEM, 由 DEBE,可知点 E、M、B 在一条直线上,而点 B、M 在 x 轴上,因此点 E 必然在 x 轴上。 由 DEBE,可知点 E 只能与点 O 重合,即直线 PC 与 y 轴重合,不符合题意。 故此种情况不存在。 41 若 DEDM,与同理可知

    43、,此种情况不存在。 若 EMDM,如答图 2 所示, 直线 PC 解析式为 y=2x4。 将 y=2x4 代入抛物线解析式得:,解得:x=0 或 x= 。 当 x=0 时,交点为点 C;当 x= 时,y=2x4=3。 P( ,3) 。 综上所述,MDE 能成为等腰直角三角形,此时点 P 坐标为( ,3) 。 (3)当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时,解题思路与(2)完全相同: 来源:Z。xx。k.Com 如答题 3 所示,设对称轴与直线 PC 交于点 N, 42 直线 PC 解析式为 y= x4。 将 y= x4 代入抛物线解析式得:,解得:x=0 或 x=。 当 x=0 时,交点为

    44、点 C;当 x=时,y= x4=。P(,) 。 综上所述,MDE 能成为等腰直角三角形,此时点 P 坐标为(,) 。 16如图,直线与抛物线相交于 和,点 P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点,过点 P 作轴于点 D,交抛物线于点 C 求抛物线的解析式; 是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; 连接 AC,直接写出为直角三角形时点 P 的坐标 43 【答案】 (1); (2)当时,线段 PC 最大且为; (3)为直角三角形时,点 P 的 坐标为或 【解析】 在直线上, , , ,在抛物线上, ,解得, 抛物线的解析式为; 为直角

    45、三角形, 44 若点 P 为直角顶点,则, 由题意易知,轴,因此这种情形不存在; 若点 A 为直角顶点,则, 如图 1,过点作轴于点 N,则, 过点 A 作直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易知,为等腰直角三角形, , , , 设直线 AM 的解析式为:, 则:,解得, 45 若点 C 为直角顶点,则 , 抛物线的对称轴为直线, 如图 2,作点关于对称轴的对称点 C, 则点 C 在抛物线上,且, 当时, , 点、均在线段 AB 上, 综上所述,为直角三角形时,点 P 的坐标为或 17如图,抛物线 y=x2x+与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C (1)求该抛物线的对称轴和线段 AB 的长; (2)如图 1,已知点 D(0,) ,点 E 是直线 AC 上访抛物线上的一动点,求AED 的面积的最大值; (3)如图 2,点 G 是线段 AB 上的一动点,点 H 在第一


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