1、2020 年高考（理科）数学（年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题. 1集合 A1，0，1，A 的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2在平面区域 M（x，y）|内随机取一点 P，则点 P 在圆 x2+y22 内部的概率 （ ） A B C D 3已知直线 l，m，平面 、，给出下列命题： l，l，m，则 lm； ，m，则 m； ，则 ； lm，l，m，则 其中正确的命题有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4已知 mR，“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数” 的（ ）
2、A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若函数 f（x）cosx+ax 为增函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A1，+） B1，+） C（1，+） D（1，+） 6一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 7我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其 意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处 可分别填入的是（ ） A i7？ ss ii+1 B i128？ ss i2i C i7？ ss i
3、i+1 D i128？ ss i2i AA BB CC DD 8若展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的常数项为（ ） A1 B5 C10 D20 9复数 i3（1+i）2（ ） A2 B2 C2i D2i 10已知等比数列an的公比为正数，且 a3 a92a52，a21，则 a1（ ） A B C D2 11设 F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左，右焦点若在双曲线右支上 存在一点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲 线的离心率为（ ） A B C D 12已知以 T4 为周期的函数 f（x），其中 m0，若方程 3f （x）x
4、恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为（ ） A（，） B（，） C（，） D（，） 二、填空题 13已知 tanx2，求 cos2x 14若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且，则 3r+s 的值为 15已知 A，B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y22px（p0）上，若|AF|+|BF|4，线段 AB 的中点到直线 x的距离为 1，则 p 的值为 16观察下列算式： 131， 233+5， 337+9+11， 4313+15+17+19 若某数 n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则 n 三、 解答题： 共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步
5、骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分） 17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bsin2Aasin（A+C）0 （）求角 A； （）若 a3，ABC 的面积为，求的值 18如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损， 其中，频率分布直方图的分组区间分别为50，60），60，70），70，80），80，90）， 90，100），据此解答如下问题 （1）求全班人数及分数在80，100之间的频率； （2）现从分数在80，100之间的试卷中任取 3 份分
6、析学生失分情况，设抽取的试卷分数 在90，100的份数为 X，求 X 的分布列和数学望期 19如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 的中点，O 为 AE 的中点，以 AE 为折痕将ADE 向上折起，使 D 到 P，且 PCPB （1）求证：PO面 ABCE （2）求 AC 与面 PAB 所成角 的正弦值 20已知椭圆过点（0，1），且离心率为 直线 l 与 x 轴正半轴 和 y 轴分别交于点 Q、P，与椭圆分别交于点 M、N，各点均不重合且满足 （1）求椭圆的标准方程； （2）若 1 + 23，试证明：直线 l 过定点并求此定点 21已知函数 f（x）lnxax2+bx
7、+1 的图象在 x1 处的切线 l 过点（，） （1）若函数 g（x）f（x）（a1）x（a0），求 g（x）最大值（用 a 表示）； （2）若 a4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x22，证明：x1+x2 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 C1：为参数） ， 曲线 C2： 1 （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （）射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的交
8、点为 B，求|AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M （1）求 M 的值； （2）正数 a，b，c 满足 a+2b+cM，求证：+1 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1集合 A1，0，1，A 的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】根据题意，列举出 A 的子集中，含有元素 0 的子集，进而可得答案 解：根据题意，在集合 A 的子集中， 含有元素 0 的子集有0、0，1、0，1、1
9、，0，1，四个； 故选：B 2在平面区域 M（x，y）|内随机取一点 P，则点 P 在圆 x2+y22 内部的概率 （ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即 可得到结论 解：如图示： 作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB， 则三角形的面积为 S121， 点 P 取自圆 x2+y22 内部的面积为圆面积的 ，即， 则根据几何概型的概率公式可得， 则点 P 取自圆 x2+y22 内部的概率等于 故选：B 3已知直线 l，m，平面 、，给出下列命题： l，l，m，则 lm； ，m，则 m； ，则 ； lm，l，m，则 其中正确的命题
10、有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用线面平行的性质定理判断；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质 定理可判断；若 ，则 与 平行或相交，可判断；利用面面垂直的判 定定理可判断 解：由线面平行的性质定理可知正确； 由面面平行的性质定理可知，因为 m，所以 m，即正确； 若 ，则 与 平行或相交，即错误； 由面面垂直的判定定理可知正确 所以正确的命题有， 故选：C 4已知 mR，“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据函数的性质求出 m
11、的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 即可 解：若函数 yf（x）2x+m1 有零点，则 f（0）1+m1m1， 当 m0 时，函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立， 若 ylogmx 在（0，+）上为减函数，则 0m1，此时函数 y2x+m1 有零点成立， 即必要性成立， 故“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数”的必要不充 分条件， 故选：B 5若函数 f（x）cosx+ax 为增函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A1，+） B1，+） C（1，+） D（1，+） 【分析】由 题意可得，f（x）sinx+a0
12、 恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即 可求解 解：由 题意可得，f（x）sinx+a0 恒成立， 故 asinx 恒成立， 因为1sinx1， 所以 a1 故选：B 6一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是 2 的正三棱锥砍去一个三 棱锥得到的几何体据此即可得到体积 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是 2 的正三棱锥砍去一个三棱锥 得到的几何体 故选：D 7我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其 意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此
13、规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处 可分别填入的是（ ） A i7？ ss ii+1 B i128？ ss i2i C i7？ ss ii+1 D i128？ ss i2i AA BB CC DD 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知该程序的作用是累加并输出 S 的值，由此得出结论 解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第 1 次循环：S1，i4， 第 2 次循环：S1，i8， 第 3 次循环：S1，i16， 依此类推，第 7 次循环：S1，i256， 此时不满足条件，退出循环， 其中判断框内应填入的
14、条件是：i128？， 执行框应填入：ss， 应填入：i2i 故选：B 8若展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的常数项为（ ） A1 B5 C10 D20 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得展开式中的常数项的值 解：令 x1 可得展开式的各项系数之和为 2n32， n5， 故其展开式的通项公式为 Tr+1 x105r，令 105r0，求得 r2， 可得常数项为10， 故选：C 9复数 i3（1+i）2（ ） A2 B2 C2i D2i 【分析】复数 i 的幂的计算，直接乘积展开可得结果 解：i3（1+i）2（i）（2i）2， 故选
15、：A 10已知等比数列an的公比为正数，且 a3 a92a52，a21，则 a1（ ） A B C D2 【分析】设等比数列的公比为 q，根据等比数列的通项公式把 a3 a92a25化简得到关于 q 的方程，由此数列的公比为正数求出 q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比 q 的值 和 a21 即可求出 a1的值 解：设公比为 q，由已知得 a1q2 a1q82（a1q4）2， 即 q22，又因为等比数列an的公比为正数， 所以 q，故 a1 故选：B 11设 F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左，右焦点若在双曲线右支上 存在一点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距
16、离等于双曲线的实轴长，则该双曲 线的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量 关系，进而求出离心率 解：依题意|PF2|F1F2|，可知三角形 PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线 PF1的投影是 其中点， 由勾股定理知可知|PF1|2 4b 根据双曲定义可知 4b2c2a，整理得 c2ba， 代入 c2a2+b2整理得 3b24ab0，求得 ； e 故选：B 12已知以 T4 为周期的函数 f（x），其中 m0，若方程 3f （x）x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为（ ） A（，） B（，） C（，） D
17、（，） 【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当 x（1，1，3，5，7，9上时，f（x） 的图象为半个椭圆根据图象推断要使方程恰有 5 个实数解，则需直线 yx 与第二个 椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点把直线分别代入椭圆方程，根据可求得 m 的范 围 解：当 x（1，1时，将函数化为方程 x2+1（y0）， 实质上为一个半椭圆，其图象如图所示， 同时在坐标系中作出当 x（1，3得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象， 由图易知直线 yx 与第二个椭圆（x4）2+1（y0）相交， 而与第三个半椭圆（x8）2+1 （y0）无公共点时，方程恰有 5 个实数解， 将 yx 代入（x4）2+1
18、 （y0）得，（9m2+1）x272m2x+135m20， 令 t9m2（t0）， 则（t+1）x28tx+15t0，由（8t）2415t （t+1）0，得 t15，由 9m215， 且 m0 得 m，同样由 yx 与第三个椭圆（x8）2+1 （y0）由0 可计算 得 m， 综上可知 m（，） 故选：A 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知 tanx2，求 cos2x 【分析】已知 tanx2，根据弦切互化公式得 cos2x；而 cos2x 2cos2x1，代入求出值即可 解：tanx2，cos2x； 所以 cos2x2cos2x121 故答案为 14若 D 点在
19、三角形 ABC 的边 BC 上，且，则 3r+s 的值为 【分析】 根据即可得出， 然后根据平面向量基本定理即可得出 r， s 的值，从而得出 3r+s 的值 解：如图， ， ， 根据平面向量基本定理得， 故答案为： 15已知 A，B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y22px（p0）上，若|AF|+|BF|4，线段 AB 的中点到直线 x的距离为 1，则 p 的值为 1 或 3 【分析】分别过 A、B 作交线 l：x的垂线，垂足分别为 C、D，设 AB 中点 M 在准 线上的射影为点 N， 连接 MN， 根据抛物线的定义， 得|AF|+|BF|AC|+|BD|4， 梯形 ACDB 中，中位线
20、MN（|AC|+|BD|）2，由线段 AB 的中点到直线 x的距离为 1，设 M （x 0，y 0 ），可得|x 0 |1，由此求得 p 值 解：分别过 A、B 作交线 l：x的垂线，垂足分别为 C、D， 设 AB 中点 M 在准线上的射影为点 N，连接 MN， 设 A（x1，y1 ），B（x2，y2 ），M（x0，y0 ） 根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|AC|+|BD|4， 梯形 ACDB 中，中位线 MN（|AC|+|BD|）2， 可得 x0+2，x02 ， 线段 AB 的中点到直线 x的距离为 1，可得|x0|1， |2p|1，解得 p1 或 p3， 故答案为：1 或 3 16观
21、察下列算式： 131， 233+5， 337+9+11， 4313+15+17+19 若某数 n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则 n 45 【分析】由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有 n 个整数而前面 n 1 个等式共含有 1+2+（n1）个数，可得 22021，解出 即可得出 解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有 n 个正奇数 而前面 n1 个等式共含有 1+2+（n1）个奇数， 22021， 即 n（n1）2021，而 454419802021.464520702021 n45， 故答案为：45 三、 解答题： 共 70
22、分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分） 17在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bsin2Aasin（A+C）0 （）求角 A； （）若 a3，ABC 的面积为，求的值 【分析】（）由 bsin2Aasin（A+C）0 得 bsin2AasinBbsinA，得 2cosA1，所 以 （）由ABC 的面积为及bc6，由余弦定理得 b2+c22bccosA9， ，即可得 解：（）由 bsin2Aasin（A+C）0 得 bsin2Aasin
23、BbsinA 又 0A，所以 sinA0，得 2cosA1，所以 （）由ABC 的面积为及， 得，即 bc6 又 a3，从而由余弦定理得 b2+c22bccosA9， 所以 所以 18如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损， 其中，频率分布直方图的分组区间分别为50，60），60，70），70，80），80，90）， 90，100），据此解答如下问题 （1）求全班人数及分数在80，100之间的频率； （2）现从分数在80，100之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数 在90，100的份数为 X，求 X 的分布列和数学望期 【分析】（1）由
24、茎叶图先分析出分数在50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中 该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在80，100之间的频数，即可得到分 数在80，100之间的频率； （2）由（1）知，分数在80，100之间有 10 份，分数在90，100之间有 0.012510 324 份由题意，X 的取值为 0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到 X 的分布列和 数学期望 解：（1）由茎叶图知，分数在50，60）之间的频数为 4，频率为 0.0125100.125， 全班人数为人 分数在80，100之间的频数为 32481010， 分数在80，100之间的频率为0.3125； （2）由（1）知
25、，分数在80，100之间有 10 份，分数在90，100之间有 0.012510 324 份 由题意，X 的取值为 0，1，2，3，则 P（X0），P（X1）， P（X2），P（X3）， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望 E（X）0+1+2+31.2 19如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 的中点，O 为 AE 的中点，以 AE 为折痕将ADE 向上折起，使 D 到 P，且 PCPB （1）求证：PO面 ABCE （2）求 AC 与面 PAB 所成角 的正弦值 【分析】（1）取 BC 的中点 F，连 OF，PF，证明 OFBC，BCPF，得到 BC面
26、POF 从而证明 BCPO，可得 PO面 ABCE （2）作 OGBC 交 AB 于 G，OGOF 如图，建立直角坐标系，设平面 PAB 的法向量 为，得到 AC 与面 PAB 所成 角 的正弦值 sin|cos| 解：（1）PAPE，OAOEPOAE（1） 取 BC 的中点 F，连 OF，PF，OFAB，OFBC 因为 PBPCBCPF，所以 BC面 POF 从而 BCPO（2） 由（1）（2）可得 PO面 ABCE （2）作 OGBC 交 AB 于 G，OGOF 如图，建立直角坐标系， 设平面PAB的法向量为AC与 面 PAB 所成角 的正弦值 sin|cos| 20已知椭圆过点（0，1）
27、，且离心率为 直线 l 与 x 轴正半轴 和 y 轴分别交于点 Q、P，与椭圆分别交于点 M、N，各点均不重合且满足 （1）求椭圆的标准方程； （2）若 1 + 23，试证明：直线 l 过定点并求此定点 【分析】（1）根据题意列出关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c 的值，从而求出椭圆 的标准方程； （2）由题意设 P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线 l 的方程 为 xt（ym），由已知条件推出， 所以 1 + 23，即 y1y2+m（y1+y2）0，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上 式，即可得到直线 l 过定点 解：（1）由题意可知，解得
28、：， 椭圆的标准方程为：； （2）由题意设 P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2）， 设直线 l 的方程为 xt（ym）， 由知，（x1，y1m）1（x0x1，y1），y1my11， 由题意 10， 同理由知， 1 + 23，y1y2+m（y1+y2）0 ， 联立方程，消去 x 得：（t2+3）y22mt2y+t2m230， 需4m2t44（t2+3）（t2m23）0 ， 且有， 把代入得：t2m23+m 2mt20，（mt）21， 由题意 mt0，mt1，满足式， 直线 l 的方程为 xty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点 21已知函数 f（x）lnxax
29、2+bx+1 的图象在 x1 处的切线 l 过点（，） （1）若函数 g（x）f（x）（a1）x（a0），求 g（x）最大值（用 a 表示）； （2）若 a4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x22，证明：x1+x2 【分析】（1）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得 b 0，得到 f（x）和 g（x）的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值； （2）求得 f（x）的解析式，由条件化简可得 2（x1+x2）2+（x1+x2）x1x2ln（x1x2）， 令 tx1x2，t0，设 h（t）tlnt，求得导数和单调区间，可得 h（t）的最小值，进而 运
30、用因式分解，即可得到结论 解：（1）函数 f（x）lnxax2+bx+1 的导数为： f（x）ax+b， 可得图象在 x1 处的切线 l 的斜率为 k1a+b， 切点为（1，1+ba）， 由切线经过点（，）， 可得 1a+b， 化简可得，b0， 则 f（x）lnxax2+1，g（x）lnxax2+1（a1）x（x0，a0）， g（x）ax（a1） ， 当 0x时，g（x）0，g（x）递增；当 x时，g（x）0，g（x）递减 可得 g（x）maxg（）lna+11+lna； （2）证明：a4 时，f（x）lnx+2x2+1， f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x22， 可得 lnx1+2
31、x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x22， 化为 2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）x1x2ln（x1x2）， 即有 2（x1+x2）2+（x1+x2）x1x2ln（x1x2）， 令 tx1x2，t0，设 h（t）tlnt， h（t）1，当 t1 时，h（t）0，h（t）递增；当 0t1 时，h（t）0， h（t）递减 即有 h（t）在 t1 取得最小值 1， 则 2（x1+x2）2+（x1+x2）1， 可得（x1+x2+1）（2x1+2x21）0， 则 2x1+2x210， 可得 x1+x2 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题
32、作答，如果多做，则按所做的 第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 C1：为参数） ， 曲线 C2： 1 （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 C1，C2的极坐标方程； （）射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的交点为 B，求|AB| 【分析】（）由可得 C1，C2的极坐标方程； （）求出 A，B 的极径，即可求|AB| 解：（）曲线为参数）可化为普通方程：（x1）2+y21， 由可得曲线 C1的极坐标方程为 2cos，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1+sin2）2 （）射线与曲线 C1的交点
33、 A 的极径为， 射线与曲线 C2的交点 B 的极径满足，解得 ， 所以 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M （1）求 M 的值； （2）正数 a，b，c 满足 a+2b+cM，求证：+1 【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解 （2）利用 1 的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可 解：（1）由绝对值不等式得|x2|x+3|x2（x+3）|5， 若不等式|x2|x+3|m+1|有解， 则满足|m+1|5，解得6m4 M4 （2）由（1）知正数 a，b，c 满足足 a+2b+c4，即（a+b）+（b+c）1 +（a+b）+（b+c）（+）（1+1+）（2+2 ）41， 当且仅当即 a+bb+c2，即 ac，a+b2 时，取等号 +1 成立
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