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    江西省五市八校2020届高三第二次联考文科数学试题(含答案)

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    江西省五市八校2020届高三第二次联考文科数学试题(含答案)

    1、江西省五市八校江西省五市八校 2020 届高三第二次联考文科数学试卷届高三第二次联考文科数学试卷 命题人:江西省乐平中学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 记全集1,2,3,4,5,6,7,8U , 集合1,2,3,5,2,4,6AB, 则图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A4,6,7,8 B2 C7,8 D1,2,3,4,5,6 2设i是虚数单位,若复数z满足49z ii ,则其共轭复数z ( ) A94i B94i C94i D94i 3点( 3,4)在直线:10l axy 上,则直线l的倾斜角为( ) A30 B45

    2、 C60 D120 4为了更好地支持“中小型企业”的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当的减免,某机构调查了当 地的中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,下面三个结论: 样本数据落在区间300,500)的频率为 0.45; 如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策,估计有 55%的当地中小型企业能享受到减 免税政策; 样本的中位数为 480 万元 其中正确结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 5若 n a为等差数列, n S是其前n项和,且 11 22 3 s 则 6 tan a的值为( ) A3 B3 C 3 3 D 3 3 6定义运算:

    3、12 142 3 3 4 aa a aa a aa ,将函数 3cos 2 ( ) 1sin 2 x f x x 的图像向右平移(0)m m 个单位,所得 图像对应的函数为偶函数,则m的最小值是( ) A 3 B 2 3 C 4 3 D 7 3 7已知 (10 770 0,0 xy xy xy ,表示的平面区域为D,若“( , ),2x yxya R”为假命题,则实数a的 取值范围是( ) A5,) B2,) C1,) D0,) 8若直线 5 2 yx与曲线ln(21)ymxx相切于点(0,0)O,则m( ) A0 B 5 2 C 7 2 D 9 2 92019 年 4 月,习近平总书记专程前

    4、往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作,为了进一步解决“两不愁,三 保障”的突出问题,当地安排包括甲、乙在内的 4 名专家对石柱具的A、B、C、D,4 乡镇进行调研, 要求每个乡镇安排一名专家,则甲安排在A乡镇,乙不在B乡镇的概率为( ) A 1 8 B 1 12 C 1 4 D 1 6 10已知球O表面上的四点A,B,C满足2ACBC,2AB ,若四面体PABC体积的最大值为 2 3 ,则球O的表面积为( ) A 25 4 B 25 9 C 25 16 D8 11已知点 1 F, 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左,右焦点,过原点O且倾斜角为 60的直线 l与椭圆C

    5、的一个交点为M,且 1212 | |MFMFMFMF,则椭圆C的离心率为( ) A31 B23 C 1 2 D 2 2 12已知函数 2 1 ,0 ( )1 21,0 x x f xx xxx ,函数 1 ( )(1) 2 f xfxkxk恰有三个不同的零点,则k的 取值范围是( ) A 9 ( 22,0 2 B 9 ( 22,0 2 C 1 ( 22,0 2 D 1 ( 22,0 2 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上 13生活中,我们还常用“水滴石穿” 、 “有志者,事竟成”

    6、、 “坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保 持信心、 坚持不懈地努力 在这些熟语里,“石穿” 、“事成” 、“胜利” 分别 “水滴” 、“有志” 、“坚持” 的_ 条件,这正是我们努力的信心之源,激励着我们直面一切困难与挑战,不断取得进步, (填“充分不必要、 必要不充分、充要或者既不充分也不必要” 14已知圆C的圆心坐标为(1,0),且y轴被C截得的弦长为4 2,则圆C的方程为_ 15如图,一栋建筑物AB的高为(3010 3)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间 的地面点M(,B M D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是 15和 60,在楼顶A处测得塔 顶C的仰角为

    7、 30,则通信塔CD的高为_ 16如图所示,在直角梯形ABCD中,ABCD,90DAB,4ADAB,1CD,动点P在 边BC上,且满足APmABnAD(,m n均为正实数 ,则 11 mn 的最小值为_ 三、解答题:本题共三、解答题:本题共 6 小题,每小题小题,每小题 12 分分 17 某公司为了增加某产品的销售利润, 调查了该产品年宣传费用投入x(万元) 与该产品年销售利润y(万 元)的近 5 年具体数据,如下表: 年宣传费用投入x(万元) 1 3 5 7 9 年销售利润y(万元) 2 4 8 11 15 (1)求线性回归方程 ybxa; (2)如果该产品明年宣传费用投入 11 万元,顸测

    8、该产品明年销售利润为多少? 参考公式:回归直线方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 11 2 22 11 , nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy baybx xxxnx ,x、y为样本平均 18, ,a b c分别为ABC的内角, ,A B C的对边,已知(sin4sin)8sinaABA (1)若1, 6 bA ,求sinB; (2)已知 3 C ,当ABC的面积取得最大值时,求ABC的周长 19 在三棱柱 111 ABCABC中,侧面 11 AACC 底面ABC, 11 2AAACACABBC,且点O为 AC中点 (1)证明: 1 AO 平而ABC

    9、; (2)求三棱锥 1 CABC的体积 20已知抛物线 2 :2C ypx过点(1,1)A (1)求抛物线C的方程; (2)过点(3, 1)P的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合) ,设直线AM,AN 的斜率分别为 1 k, 2 k,求证: 12 kk为定值 21已知函数 2 ( )lnf xaxx,其中aR ()讨论( )f x的单调性; ()当1a 时,证明: 2 ( )1f xxx; ()求证:对任意正整数n,都有 2 111 111 222n e , (其中2.7183e为自然对数的底 数) 选考题:请考生在第选考题:请考生在第 22、23 题中任选一题解答如果多选,

    10、则按所做的第一题计分题中任选一题解答如果多选,则按所做的第一题计分 22选修 4-4:坐标系与参数方程 据说,年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师,日久生情,彼此爱慕,其父国 王知情后大怒,将笛卡尔流放回法国,并软禁公主笛卡尔回法国后染上黑死病,连连给公主写信,死前最 后一封信只有一个公式:(1 sin )(0)aa,国王不懂,将这封信交给了公主,公主用笛卡尔教她的 坐标知识,画出了这个图形“心形线” ,明白了笛卡尔的心意,登上国王宝座后,派人去寻笛卡尔,其逝久 矣(仅是一个传说)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周 上滚动时,这个定

    11、点的轨迹,因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中,方程(1 sin )(0)aa表 示的曲线 1 C就是一条心形线, 如图 以极轴Ox所在直线为x轴, 极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中, 已知曲线 2 C的参数方程为 13 , 3 3 xt yt (t为参数) (1)求曲线 2 C的极坐标方程; (2)若曲线 1 C与 2 C相交于A、O、B三点,求线段AB的长 23、选修 4-5:不等式选讲 已知函数( ) |31|33|f xxx (1)求不等式( )10f x 的解集; (2)正数, a b满足2ab,证明:( )f xab 参考答案参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    12、11 12 C B C D B B A D D A A D 11 A 【 解 析 】 将 1212 |M FM FM FM F两 边 平 方 , 易 得 12 0MF MF, 即 1212 1 | 2 MFMFOMFFc又60MOF, 2 MFc, 1 3MFc,23acc, 31 c e a 故选 A 12 【详解】 1 ( )(1) 2 g xfxkxk恰有 3 个不同零点,方程 1 (1)(1) 2 fxk x恰有 3 个不同实根,令 1xt,则方程 1 ( ) 2 f tkt 恰有三个不同实根,即函数 yf x 与 1 2 ykx 的图象恰有 3 个不 同交点,画出函数图象如下图: 当

    13、0k 即0k 时有三个交点, 当 1 2 ykx 与 2 ( )21(0)f xxxx相切时可求得22k , 当 1 2 ykx 与 1 ( ) 1 x f x x ,0x 相切时可求得 1 2 k ,故由图可得220k 或 1 2 k 时函数 ( )yf x与 1 2 ykx 的图象恰有 3 个不同交点,即函数 1 ( )(1) 2 g xfxkxk恰有 3 个不同 零点,故选 D 13必要不充分 14 22 (1)9xy 1560m 16 7 3 4 15 【详解】作AECD,垂足为E,则: 在AMC中,20 6 sin15 AB AM ,105AMC,30ACM, 20 6 sin105

    14、sin30 AC , 6020 3AC , 30 10 3sin3060CDACm 16 【解析】依题意得DCAB, 1 4 ADACDCACAB, 1 44 n APmABnADmABn ACABmABnAC , ,C P B三点共线, 1 4 n mn ,即 3 1 4 mn, 又m,n均是正实数, 1111373737 23 444444 mnmn mn mnmnnmnm , 当且仅当 3 4 mn nm ,即 42 3 8 3 4 3 m n 时取最小值 17解: (1)因为 13579 5 5 x , 248 11 15 8 5 y , 所以 5 1 5 2 1 66 1.65 40

    15、 ii i i i xxyy b xx , 又因为 8 1.65 50.25aybx ,故线性回归方程为1.650.25yx (2)当1x 时,1.65 110.2517.9y , 故可预测该产品明年销售利润为 17.9 万元 18 (1) 1 sin 8 B (2)513 【详解】 (1)由(sin4sin)8sinaABA,得(4 )8a aba, 即48ab 因为1b ,所以4a 由 41 sin sin 6 B ,得 1 sin 8 B (2)因为482 44ababab, 所以4ab,当且仅当44ab时,等号成立 因为ABC的面积 11 sin4sin3 223 SabC 所以当44

    16、ab时,ABC的面积取得最大值, 此时 222 4124 1 cos13 3 c ,则13c , 所以ABC的周长为513 19 【解析】试题解析: (1) 11 AAAC,且O为AC的中点 1 AOAC, 又平面 1A AA CC 平面ABC,平面 11 AACC 平面ABCAC, 且 1 AO 平面 11 AACC, 1 AO 平面ABC BC 平面ABC, 1 AOBC (2) 11 ACAC, 11 AC 平面ABC,AC 平面ABC, 11 AC平面ABC 即 1 C到平面ABC的距离等于 1 A到平面ABC的距离 由(1)知 1 AO 平面ABC且 22 11 3AOAAAO 三棱

    17、锥 1 CABC的体积: 11 1 111 2331 332 CABCAABCABC VVSAO 20 【详解】 (1)由题意得21p ,所以抛物线方程为 2 yx (2)设 11 ,M x y, 22 ,N xy,直线MN的方程为(1)3xt y, 代入抛物线方程得 2 30ytyt 所以 2 1212 (2)80,3tyyt y yt 所以 1212 12 22 1212121212 11111111 1111111312 yyyy k k xxyyyyy yyytt , 所以 12 ,k k是定值 21 【详解】 (1)函数( )f x的定义域为(0,), 2 2 ( )2 aax fx

    18、x xx 当0a 时,( )0fx,所以( )f x在(0,)上单调递增, 当0a 时,令( )0fx,解得: 2 a x 当0 2 a x时,( )0fx,所以( )f x在0, 2 a 上单调递减; 当 2 a x 时,( )0fx,所以( )f x在, 2 a 上单调递增, 综上,当0a 时,函数( )f x在(0,)上单调递增; 当0a 时,函数( )f x 0, 2 a 上单调递减,在, 2 a 上单调递增; (2)当1a 时, 2 ( )lnf xxx 要证明 2 ( )1f xxx,即证ln1xx,即ln10xx , 设( )ln1g xxx则 1 ( ) x g x x ,令(

    19、 )0g x得,1x , 当(0,1)x时,( )0g x,当(1,)x时,( )0g x 所以1x 为极大值点,也为最大值点 所以( )(1)0g xg,即ln10xx 故当1a 时, 2 ( )1f xxx; (3)由(2)ln1xx(当且仅当1x 时等号成立) , 令 * 1 1 2n xnN ,则 111 ln 111 222 nnn , 所以 22 11 1 22 1111111 ln 1ln 1ln 111ln 1 2222222 1 2 n n nn e , 即 2 111 ln 1ln 1ln 1ln 222n e 所以 2 111 111 222n e 22解: (1)由 1

    20、3 , 3 3 xt yt 有 3 1 3 13 y x , 3 3 yx,即 2 C是过原点且倾斜角为 6 的直线, 2 C的极坐标方程为() 6 R (2)由 , 6 (1 sin )a 有 , 2 , 6 a , 2 6 a A 由 7 , 6 (1sin )a 有 3 , 2 7 , 6 a 37 , 26 Ba | 2ABa 23 【详解】 (1)当1x时,( )13336210f xxxx , 解得2x,所以2x; 当 1 1 3 x 时,( )1333410,f xxxx ; 当 1 3 x 时,( )31336210f xxxx , 解得 4 3 x ,所以 4 3 x 综上,不等式( )10f x 的解集为 4 (, 2, 3 (2)证明:因为, a b为正数,则( )f xab 等价于( )2f xabab对任意的xR恒成立 又因为( ) |31|33| 4f xxx,且2ab,所以只需证1ab , 因为1 2 ab ab ,当且仅当1ab时等号成立 所以( )f xab成立


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