1、20192019- - 20202020 学年苏州学年苏州高三高三第二学期调研第二学期调研数学数学试卷试卷 2020.03 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡 相应位置上. 1. 已知1,3,4A， 3,4,5B ，则AB _. 2. 若复数z满足1 2 3 4i zi （i是虚数单位），则z _. 3. 执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是_. 4. 若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则x_. 5. 在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中 随机取
2、2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是_. 6. 先把一个半径为 5，弧长为6t的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水 倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实 心圆锥，则此球的半径为_. 7. 若双曲线 22 1 54 xy 的左焦点在抛物线 2 2ypx的准线上，则p的值为_. 8. 在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPB PCAB ，则 PA PB PB PC _. 9. 已知直线 2ykx 与曲线lnyxx相切，则实数k的值为_. 10. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab
3、 ab ，直线 6 3 yb与椭圆C交于A，B两点，若OAOB，则椭 圆离心率的值等于_. 11. 已知正项数列 n a的前n项和为 n S， 2 1 2a ，且当2n时， 1 n a 为 n S和 1n S 等差中项，则 32 S的值为 _. 12. 设，为锐角， tantan1a ，若的最大值为 4 ，则实数a的值为_. 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C： 22 24xay上两个动点，且 2 3AB . 若直线l：y x 上存在点P，使得PA PBOC ，则实数a的取值范围为_. 14. 已知函数 x f xe， 若函数 2 222 a g xxf xa x f x 有
4、6 个零点， 则实数a的取值范 围为_. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sinsin1ABC. （1）求sincosAB的值； （2）若2ab，求sinA的值. 16. 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90ABC， 1 ABAA，M，N分别是AC， 11 BC的中点. 求证：（1）/ /MN平面 11 ABB A； （2） 1 ANAB. 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的右焦
5、点为 1,0F，并且点 2 1, 2 在椭圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点,0P m，Q为直线2x上 的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为 1 k， 2 k， 0 k，若 120 2kkk，求m的值. 18. 如图，PQ为某公园的一条道路， 一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与PQ相切， 记其圆心为O， 切点为G. 为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两 点，其中C、O、G三点共线且满足CACB，记道路CA、CB长之和为L. 设ACO，求出L关于的函数关系式 L； 设
6、2ABx米，求出L关于x的函数关系式 L x. 若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少. 19. 设 x f xaea， 2 g xaxx（a为与自变量x无关的正实数）. （1）证明：函数 f x与 g x的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； （2）是否存在实数k，使得 ln1 f xak x axx 对任意的 1 , 2 x 恒成立，若存在，求出k的取值 范围，否则说明理由. 20. 定义： 对于一个项数为 * 2,m mmN 的数列 n a， 若存在 * kN且km， 使得数列 n a的前k 项和与剩下项的和相等 （
7、若仅为 1 项， 则和为该项本身） ， 我们称该数列是 “等和数列” .例如： 因为32 1； 所以数列 3，2，1 是“等和数列”请解答以下问题： （1）判断数列 2，-4，6，-8 是否是“等和数列”，请说明理由； （2）已知等差数列 n a共有r项（3r ，且r为奇数）， 1 1a ， n a的前n项 n S满足 1 111 nn nsnsn nnr ，判断 n a是不是“等和数列”，并证明你的结论. （3） n b是公比为q项数为 *, 3m mNm的等比数列 n b， 其中2q .判断 n b是不是 “等和数列” ， 并证明你的结论. 附加题 21.选做题本题包括 A、B、C 三小题
8、，请选定其中两小题作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，直线20xy在矩阵 1 2 a A b 对应的变换作用下得到的直线仍为 20xy ，求矩阵A. B. 选修 4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为 3 R .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐 标系，曲线C的参数方程为 2sin 1 cos2 x y （为参数）. 求直线l与曲线C交点P的直角坐标. C. 选修 4-5：不等式选讲 已知x，y，z均为正数，且 1113 112xyyz . 求证：4910
9、xyz. 必做题第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. 如图， 在三棱锥DABC中，DA平面ABC，90CAB， 且1A CA D ，2AB ，E为BD 的中点. （1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值； （2）求二面角A CEB的余弦值. 23. 在自然数列 1，2，3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余nk个元素变动位置，得到不 同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为 n P k. （1）求 3 1P； （2）求 4 4 0k P k ； （3）证明 1 00 nn nn kk kP knPk ，并求出 0
10、n k kP k 的值. 参考答案参考答案 一、填空题 1. 3,4 2. 5 3. 7 4. 2 5. 3 10 6. 3 9 7. 6 8. 1 2 9. 1ln2 10. 2 2 11. 8 12. 3 2 2 13. 22 2, 22 2 14. 2 , 1 21 e e 二、解答题 15.（1）因为AB C，所以 sinsinABC， 从而1sinsinsinsinABCABAB sincoscossinsincoscossinABABABAB 2sincosAB， 故 1 sincos 2 AB ； （2）由2ab及正弦定理得，sin2sinAB， 故 1 sincos2sinco
11、ssin2 2 ABBBB， 且sin2sin1AB，所以 1 sin 2 B ， 又易得ab，从而AB，故0, 6 B ，即20, 3 B ，所以2 6 B ， 即 12 B ， 此时sin2sin2sin 1246 A 62 2sincoscossin 46462 . 16.（1）证明：取AB的中点P，连结PM， 1 PB. 因为M，P分别是AB，AC的中点， 所以/PMBC，且 1 2 PMBC. 在直三棱柱 111 ABCABC中， 11 / /BCBC， 11 BCBC， 又因为N是 11 BC的中点， 所以 1 / /PMB N，且 1 PMB N. 所以四边形 1 PMNB是平行
12、四边形， 所以 1 / /MNPB， 而MN 平面 11 ABB A， 1 PB 平面 11 ABB A， 所以/ /MN平面 11 ABB A. （2）证明：因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱，所以 1 BB 面 111 ABC， 又因为 1 BB 面 11 ABB A， 所以面 11 ABB A 面 111 ABC， 又因为90ABC，所以 1111 BCB A， 面 11 ABB A面 11111 ABCB A， 11 BC 平面 111 ABC， 所以 11 BC 面 11 ABB A， 又因为 1 AB 面 11 ABB A， 所以 111 BCAB，即 11 NBAB， 连
13、结 1 AB，因为在平行四边形 11 ABB A中， 1 ABAA， 所以 11 ABAB， 又因为 111 NBABB，且 11 ,AB NB 面 1 AB N， 所以 1 AB 面 1 AB N， . 而AN 面 1 AB N， 所以 1 ABAN. 17. 解：（1）因为椭圆C的两个焦点为 1 1,0F 和 2 1,0F，点 2 1, 2 在此椭圆上. 所以 22 2222 21 101 102 2 22 a ，1c， 所以1c， 2a ， 2 11b ， 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （2）由已知直线l：yk xm，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 0 2,Q
14、y， 由 2 2 1 2 yk xm x y 得 22222 124220kxmk xk m. 所以 2 12 2 4 12 mk xx k ， 22 12 2 22 12 k m x x k . 因为 10 1 1 2 yy k x ， 20 2 2 2 yy k x ， 0 0 2 y k m 且 120 2kkk， 所以 10200 12 2 222 yyyyy xxm ， 整理得 0 12 211 20 222 kkmy mxx ， 因为点 0 2,Qy不在直线l上，所以 0 20kkmy， 所以 12 211 0 222mxx ，整理得 1 212 2240x xmxxm， 将 2
15、12 2 4 12 mk xx k ， 22 12 2 22 12 k m x x k 代入上式解得1m， 所以1m. 18. 解：（1）在Rt CDO中，ACO，所以 20 sin CO ， 所以 20 20 sin CG ， 在Rt AGC中 20 20 2020sin sin coscossincos CG AC ， 所以 4040sin 2 sincos LAC ， 其中0, 2 ， 设ACy，则在Rt AGC中 22 CGyx，由Rt CDO与Rt AGC相似得， COOD CAAG ， 即 22 2020yx yx ，即 22 2020xyxxy， 即 22 20x yxxy，即2
16、0x yxxy， 即 2 400xyxxy， 化简得 3 2 400 400 xx CAy x ， 3 2 2800 2 400 xx L xCA x ， 其中20,x. （2）选择（1）中的第一个函数关系式 40 1 sin4040sin 2 sincossincos LAC 研究. 22 2 40 cos sincos1 sincossin sincos L 322 2 40 sinsincos sincos 32322 22 40 sin2sin140 sinsinsin1 sincossincos 2 2 40 sin1 sinsin1 sincos . 令 0L，得 51 sin 2
17、 . 令 0 51 sin 2 ，当 0 0,时， 0L，所以 L递减； 当 0, 2 时， 0L，所以 L递增，所以当 51 sin 2 时， L取得最小值，新建道路 何时造价也最少. （说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式 3 2 2800 400 xx L x x 求解，仿此给分） 19.（1）证明：因为 0 00faea， 00g，所以 x f xaea， 2 g xaxx的图像存在一个公共的定点0,0O. 因为 x fxae， 2gxax，所以 0fa， 0ga，所以在定点0,0O处有一条公切线， 为直线y ax ； （2）假设存在实数k，使得 ln1 f xak x ax
18、x 对任意的 1 , 2 x 恒成立， 即存在实数k，使得ln x kexxx对任意的 1 , 2 x 恒成立. 令 ln x h xexxx， 1 , 2 x ， 则 ln2 x h xex， 1 , 2 x ， 令 ln2 x m xex， 1 , 2 x ，则 11 x x xe mxe xx ， 1 , 2 x ， 因为0x，0 x e ，且y x ， x ye在 1 , 2 x 上单调递增， 所以1 x yxe在 1 , 2 x 上单调递增， 因为 1 1 2 2 12 10 22 e e ， 1 110e ， 所以存在唯一实数 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0 10 x x e
19、 ，即 0 0m x，且 0 0 x xe， 所以 h x在 0 x处取得最小值 000 00 ln2ln2 xxx h xexee 0 1 2 0 139 220 224 x exeee， 所以 ln x h xexxx在 1 , 2 x 上单调递增， 所以 1ln2 1 22 h xhe ， 因为ln x kexxx对任意的 1 , 2 x 恒成立，所以 ln2 1 2 ke ， 所以存在 ln2 1 , 2 ke ，使得 ln1 f xak x axx 对任意的 1 , 2 x 恒成立. 20. 解：（1）2468 ， 数列 2，-4，6，-8 是“等和数列”. （2）由 1 11 nn
20、 nSnSn n ， * nN，两边除以 1n n，得 1 1 1 nn SS nn ，即 1 1 1 nn SS nn ， 所以，数列 n S n 为等差数列且 1 1 1 S ，11 n S nn n ， 所以， 2 n Sn. 假设存在k使得数列 n a的前k项和与剩下项的和相等， 即 krk SSS，所以2 kr SS. 22 2kr* 在*中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边 2 2k一定是偶数， 所以*不可能有解，从而假设错误， n a不是“等和数列”. （3）设 n B为 n b的前n项和， 假设 n b是“等和数列”， 则存在 * kN且km，使得 kmk
21、BBB成立，即2 km BB， 于是 11 211 11 km bqbq qq 成立，即21 km qq ， 因为2q ，所以 1 212 kkk qqq ， 又mk，即1mk，所以 1km qq ， 所以21 km qq ，与21 km qq 产生矛盾. 所以假设不成立，即 n b不是“等和数列”. 21A 解：设,P x y是直线 20xy 上任意一点，其在矩阵 1 2 a A b 对应的变换下得到 1 22 axxay bybxy 仍在直线上， 所以得220xaybxy， 与20xy比较得 11 21 b a ， 解得 0 1 b a ，故 11 02 A . B 解：直线l的普通方程为
22、3yx， 曲线C的直角坐标方程为 2 1 2,2 2 yxx ， 联立解方程组得 0 0 x y 或 2 3 6 x y ， 根据x的范围应舍去 2 3 6 x y ， 故P点的直角坐标为0,0. C 证：因为x，y，z均为正数，所以1x， 1y， 1z 均为正数， 由柯西不等式得 111 14191 111 xyz xyz 2 12336， 当且仅当 222 14191xyz时，等式成立. 因为 1113 1112xyz ， 所以 2 141913624 3 xyz， 所以4910xyz. 22. 解：因为DA平面ABC，90CAB，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系Ax
23、yz. 因为1ACAD，2AB ， 所以0,0,0A，1,0,0C，0,2,0B，0,0,1D， 因为点E为线段BD的中点， 所以 1 0,1, 2 E . （1） 1 0,1, 2 AE ，1, 2,0BC ， 所以 24 cos, 55 5 4 AE BC AE BC AE BC ， 所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为 4 5 . （2）设平面ACE的法向量为 1 , ,nx y z， 因为1,0,0AC ， 1 0,1, 2 AE ， 所以 1 0n AC， 1 0n AE，即0x且 1 0 2 yz，取1y ，得0x，2z ， 所以 1 0,1, 2n 是平面ACE的一个法向量.
24、设平面BCE的法向量为 2 , ,nx y z， 因为1, 2,0BC ， 1 0, 1, 2 BE ， 所以 2 0nBC， 2 0nBE， 即20xy且 1 0 2 yz ，取1y ，得2x，2z ， 所以 2 2,1,2n 是平面BCE的一个法向量. 所以 12 12 12 35 cos, 559 n n n n n n ， 所以二面角A CEB的余弦值为 5 5 . 23.（1）因为数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 或 3，2，1 或 2，1，3， 所以 3 13P； （2） 4 444444 0 01234 k P kPPPPP 011112 4
25、33424 0 19860 124CCCCCC ； （3）把数列 1，2，n中任取其中k个元素位置不动，则有 k n C种；其余nk个元素重新排列，并且使 其余nk个元素都要改变位置，则有 0 k nnn k P kC P， 故 00 0 nn k nnn k kk kP kkC P ，又因为 1 1 kk nn kCnC ， 所以 11 111 0000 00 nnnn kk nnn knn kn kkkk kPkC PnCPnPkk ， 令 0 ( ) n nn k akPkk ，则 1nn ana ，且 1 1a . 于是 23411231 234 nnn a a aaaaaana ， 左右同除以 2341n a a aa ，得2 3 4! n ann ， 所以 0 ! n n k kPnk .
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