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    2018-2019学年湖南省怀化市高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

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    2018-2019学年湖南省怀化市高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

    1、2018-2019 学年湖南省怀化市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中,分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填涂在答题卡上只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填涂在答题卡上. 1 (5 分)复数的共轭复数是( ) A2+i B2i C2+i D2i 2 (5 分)设集合 Ax|x0,Bx|x25x140,则 AB 等于( ) Ax|0x5 Bx|2x7 Cx|2x5 Dx|0x7 3 (5 分)设 R,则“,是“sin”的( ) A必要不充分条件 B

    2、充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)已知向量 (1,2) , (x,2) ,且 ,则| + |( ) A5 B C4 D 5 (5 分)已知等比数列an中 a33,则 a1a5等于( ) A9 B5 C6 D无法确定 6 (5 分)已知点 A(2,3)在抛物线 C:y22px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( ) A B1 C D 7 (5 分)将函数 ysin(x)图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴 的方程是( ) Ax Bx C Dx 8 (5 分)为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元) ,以便引导学生树立正确的消 费观

    3、 在某校抽取样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在6,14) 内的频数为( ) 第 2 页(共 21 页) A780 B680 C648 D460 9 (5 分)如图所示的三视图表示的四棱锥的体积为,则该四校锥的最长的棱的长度为 ( ) A4 B2 C6 D4 10 (5 分)函数 y(ex+e x)sinx 的部分图象大致为( ) A B C D 11 (5 分)在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家, 第 3 页(共 21 页) 且这三家至少有一个参会国

    4、入住,则这样的安排方法共有( ) A96 种 B124 种 C130 种 D150 种 12 (5 分)已知 O 为坐标原点,双曲线1(a0,b0)上有 A,B 两点满足 OAOB,且点 O 到直线 AB 的距离为 c,则双曲线的离心率为( ) A B C D 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)二项式(x+)8的展开式中的系数为 14 (5 分)设 xy 满足约束条件,则 zx+2y 的最大值为 15 (5 分)已知函数 f(x),若 f(f(1) )4a2则实数 a 的取值范围 是 16 (5 分)已知函数 f(

    5、x)lnxax2bx,若 x1 是函数 f(x)的极大值点,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 (10 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S44S2,2a1+1a2 ()求数列an的通项公式; ()设数列 bn,求bn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且bsinAacosB 2a0 ()求B 的大小; ()若 b,ABC 的面积为,求 a,c 的值 19 (12 分)如

    6、图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB60,AB 2AD,PD底面 ABCD ()证明:PABD; ()若 PDAD,求二面角 APBC 的余弦值 第 4 页(共 21 页) 20 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0) 、F2 (1,0) ,椭圆的离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求F1AB 的面积的最大值 21 (12 分)某生产企业研发了一种新产品,该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单 价 x 和月销售量 y 之间的一组数据,如表所示: 销售单价 x (

    7、元) 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 y (万 件) 11 10 8 6 5 ()根据统计数据,求出 y 关于 x 的回归直线方程,并预测月销售量不低于 12 万件时 销售单价的最大值; ()生产企业与网店约定:若该新产品的月销售量不低于 10 万件,则生产企业奖励网 店 1 万元;若月销售量不低于 8 万件且不足 10 万件,则生产企业奖励网店 5000 元;若 月销售量低于 8 万件,则没有奖励现用样本估计总体,从上述 5 个销售单价中任选 2 个销售单价,下个月分别在两个不同的网店进行销售,求这两个网店下个月获得奖励的 总额 X 的分布列及其数学期望 参考公式:对于一组数据(

    8、x1,y1) , (x2,y2) ,(xn,yn) ,其回归直线 x+ 的斜 率和截距的最小二估计分别为 , 参考数据:392,502.5 第 5 页(共 21 页) 22 (12 分)已知函数 f(x)aexx+b,g(x)xln(x+1) , (a,bR,e 为自然对数 的底数) ,且曲线 yf(x)与 yg(x)在坐标原点处的切线相同 (1)求 f(x)的最小值; (2)若 x0 时,f(x)kg(x)恒成立,试求实数 k 的取值范围 第 6 页(共 21 页) 2018-2019 学年湖南省怀化市高二(下)期末数学试卷(理科)学年湖南省怀化市高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试

    9、题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中,分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填涂在答题卡上只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填涂在答题卡上. 1 (5 分)复数的共轭复数是( ) A2+i B2i C2+i D2i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解:复数2i 的共轭复数为2+i 故选:C 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题 2 (5 分)设集合 Ax|x0,Bx|x25x140,则

    10、 AB 等于( ) Ax|0x5 Bx|2x7 Cx|2x5 Dx|0x7 【分析】求出关于 B 的不等式,求出 A、B 的交集即可 【解答】解:Ax|x0, Bx|x25x140(2,7) , ABx|0x7, 故选:D 【点评】本题考查了解不等式问题,考查集合的交集的运算,是一道基础题 3 (5 分)设 R,则“,是“sin”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解:设 R,若“时,则“sinsin”故“,能推出“sin ” , 若“sin”则“+2k,kZ;或 5+2k,kZ; 故:

    11、 “sin”不能推出“, 第 7 页(共 21 页) 由充要条件可判断:R, “,是“sin”的充分不必要条件, 故选:B 【点评】本题考查了充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 4 (5 分)已知向量 (1,2) , (x,2) ,且 ,则| + |( ) A5 B C4 D 【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质,列出方程求出 x 的值,再求模长 【解答】解:向量 (1,2) , (x,2) , 且 , x+2(2)0, 解得 x4; + (5,0) , | + |5 故选:A 【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算性质的应用问题,是基础题目 5 (5 分)已知等比数

    12、列an中 a33,则 a1a5等于( ) A9 B5 C6 D无法确定 【分析】根据题意,根据等比中项的性质可得 a1a5(a3)29,即可得答案 【解答】解:根据题意,等比数列an中 a33, 则 a1a5(a3)29; 故选:A 【点评】本题考查等比数列的性质,涉及等比中项的计算,属于基础题 6 (5 分)已知点 A(2,3)在抛物线 C:y22px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( ) A B1 C D 【分析】利用点 A(2,3)在抛物线 C:y22px 的准线上,确定焦点 F 的坐标,即可 求出直线 AF 的斜率 【解答】解:点 A(2,3)在抛物线 C:y2

    13、2px 的准线上, 第 8 页(共 21 页) 2, F(2,0) , 直线 AF 的斜率为 故选:C 【点评】本题考查抛物线的性质,考查直线斜率的计算,考查学生的计算能力,属于基 础题 7 (5 分)将函数 ysin(x)图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴 的方程是( ) Ax Bx C Dx 【分析】根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律,可得所得函数的解析式为 ysin (x+) ,再根据正弦函数的图象的对称性可得 x+k+,kz,由此求得所得函 数图象的一条对称轴的方程 【解答】解:将函数 ysin(x)图象向左平移个单位,所得函数图象的解析式 为 ysin(x+)sin

    14、(x+) , 令 x+k+,kz,可得对称轴方程为 xk+,kz, 故选:A 【点评】本题主要考查函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称 性,属于基础题 8 (5 分)为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元) ,以便引导学生树立正确的消 费观 在某校抽取样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在6,14) 内的频数为( ) A780 B680 C648 D460 第 9 页(共 21 页) 【分析】根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于 1,求出样本数据落在6, 14)内的频率,即可求出对应的频数 【解答】解:根据题意,得 样本数据落在6,

    15、14)内的频率是 1(0.02+0.03+0.03)40.68; 样本数据落在6,14)内的频数是 10000.68680 故选:B 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应灵活应用频率分布直方图中 各个小长方形的面积之和等于 1 的条件,是基础题 9 (5 分)如图所示的三视图表示的四棱锥的体积为,则该四校锥的最长的棱的长度为 ( ) A4 B2 C6 D4 【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥 PABCD,其中 PA底面 ABCD,底面是边 长为 4,2 的长方形,高 PA4可得最长的棱长为 PC 【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥 PABCD, 其中 PA底面 AB

    16、CD,底面是边长为 4 与 a 的长方形,高 PA4.解得 a2 则最长的棱长为 PC6 故选:C 第 10 页(共 21 页) 【点评】本题考查了四棱锥的三视图、勾股定理、空间线面位置关系,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题 10 (5 分)函数 y(ex+e x)sinx 的部分图象大致为( ) A B C D 【分析】先函数的奇偶性和对称性,然后利用极限思想进行排除即可 【解答】解:函数 f(x)(ex+e x)sinxf(x) ,图象是奇函数,图象关于原点 对称,排除 B,D, 当 x0 且 x0,f(x)0,排除 A, 故选:C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数

    17、奇偶性和对称性的关系以及极 限思想是解决本题的关键 11 (5 分)在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将 其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家, 且这三家至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有( ) A96 种 B124 种 C130 种 D150 种 第 11 页(共 21 页) 【分析】由题意知五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参 会国入住,可以把 5 个国家人分成三组,一种是按照 1、1、3;另一种是 1、2、2;当按 照 1、1、3 来分时共有 C53A33,当按照 1、2、

    18、2 来分时注意其中包含一个平均分组的问 题,不要出错 【解答】解:五个参会国要在 a、b、c 三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会 国入住, 可以把 5 个国家人分成三组, 一种是按照 1、1、3;另一种是 1、2、2 当按照 1、1、3 来分时共有 C53A3360, 当按照 1、2、2 来分时共有A3390, 根据分类计数原理知共有 60+90150, 故选:D 【点评】本题考查排列组合与分类计数原理,是一个基础题,对于复杂一点的计数问题, 有时分类以后,每类方法并不都是一步完成的,必须在分类后又分步,综合利用两个原 理解决 12 (5 分)已知 O 为坐标原点,双曲线1(a0,b0)

    19、上有 A,B 两点满足 OAOB,且点 O 到直线 AB 的距离为 c,则双曲线的离心率为( ) A B C D 【分析】 当 A, B 所在直线斜率不存在时, AB 方程为 xc, 由题意, 求得 e; 当 A,B 所在直线斜率存在时,设直线方程为 ykx+m,联立直线方程与双曲线方程,结 合题意得到: (a2c2b4) (1+k2)0,由此也可得双曲线的离心率为 【解答】解:当 A,B 所在直线斜率不存在时,AB 方程为 xc, 由题意,即 b2c2a2ac, 得 e2e10,求得 e; 当 A,B 所在直线斜率存在时,设直线方程为 ykx+m, 第 12 页(共 21 页) 联立,得(b

    20、2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则, y1y2(kx1+m) (kx2+m) 由点 O 到直线 AB 的距离为 c,得,即 m2k2c2+c2 又 OAOB,x1x2+y1y2, 则(a2b2) (k2c2+c2)+a2b2+a2k2b20, 整理得: (a2c2b4) (1+k2)0, a2c2b40,即 a2c2(c2a2)20, 即,则 e 双曲线的离心率为 故选:A 【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查直线与双曲线位置关系的应用,考查计算能 力,是中档题 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满

    21、分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)二项式(x+)8的展开式中的系数为 56 【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于2,求得 r 的值,即可 求得展开式中的系数 【解答】解:二项式(x+)8的展开式的通项公式为 Tr+1x8 2r,令 82r2, 求得 r5, 可得展开式中的系数为 56, 故答案为:56 第 13 页(共 21 页) 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题 14 (5 分)设 xy 满足约束条件,则 zx+2y 的最大值为 3 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合求得最优 解,联立

    22、方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案 【解答】解:由满足约束条件,做出可行域如图, 化目标函数 zx+2y 为直线方程的斜截式 yx+ 由图可知,当直线 yx+过可行域内的点 A、B 时, 直线在 y 轴上的截距最大,z 最大 则 zmax3 故答案为:3 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 15 (5 分)已知函数 f(x),若 f(f(1) )4a2则实数 a 的取值范围 是 (1,4) 【分析】运用解析式转化不等式为 16+12a4a2,球即可 第 14 页(共 21 页) 【解答】解:函数 f(x), f(1)3+14,f(f(1) )f(4

    23、)16+12a, 若 f(f(1) )4a2,则 16+12a4a2, 即 a23a40,解得1a4 故答案为: (1,4) 【点评】本题考查了分段函数的运用,不等式的求解即可,属于中档题 16 (5 分)已知函数 f(x)lnxax2bx,若 x1 是函数 f(x)的极大值点,则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】f(x)的定义域为(0,+) ,f(x)axb,由 f(1)0,得 b1a所 以 f(x),由此能求出 a 的取值范围 【解答】解:f(x)的定义域为(0,+) ,f(x)axb,由 f(1)0,得 b1 a 所以 f(x) 若 a0,由 f(x)0,得 x1 当 0x1 时,f

    24、(x)0,此时 f(x)单调递增; 当 x1 时,f(x)0,此时 f(x)单调递减 所以 x1 是 f(x)的极大值点 若 a0,由 f(x)0,得 x1,或 x 因为 x1 是 f(x)的极大值点,所以1,解得1a0 综合:a 的取值范围是 a1 故答案为:a1 【点评】本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用,解题时要认真审题,仔细解答, 注意合理地进行等价转化 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S44S2,2a

    25、1+1a2 ()求数列an的通项公式; 第 15 页(共 21 页) ()设数列 bn,求bn的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)通过联立 S44S2与 2a1+1a2,可求出首项和公差,进而利用等差数列的 通项公式计算即得结论; (2)通过(1)裂项,进而并项相加即得结论 【解答】解: (1)S44S2,2a1+1a2, 4a1+6d4(2a1+1) ,2a1+1a1+d, 解得:a11,d2, an2n1; (2)由(1)可知, 并项相加,得 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,考查裂项相消法,注意 解题方法的积累,属于中档题 18 (12 分)已知 a,b,c

    26、分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且bsinAacosB 2a0 ()求B 的大小; ()若 b,ABC 的面积为,求 a,c 的值 【分析】 ()由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知可得 sin(B)1, 结合 B 的范围即可得解 B 的值 ()由已知利用三角形面积公式可求 ac2,由余弦定理可得:a2+c25,联立即可求 得 a,c 的值 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: ()bsinAacosB2a0 由正弦定理可得:sinBsinAsinAcosB2sinA0, sinBcosB2,可得 sin(B)1, B(0,) ,B(,) ,可得:B, B6 分 第 16

    27、 页(共 21 页) ()ABC 的面积为acsinBacsin, ac2, b,B,由余弦定理可得:a2+c22accos7,解得:a2+c25, 联立可得:a1,c2,或 a2,c112 分 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦 定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB60,AB 2AD,PD底面 ABCD ()证明:PABD; ()若 PDAD,求二面角 APBC 的余弦值 【分析】 ()因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得 BD,利用

    28、勾股定 理证明 BDAD,根据 PD底面 ABCD,易证 BDPD,根据线面垂直的判定定理和性 质定理,可证 PABD; ()建立空间直角坐标系,写出点 A,B,C,P 的坐标,求出向量,和 平面 PAB 的法向量,平面 PBC 的法向量,求出这两个向量的夹角的余弦值即可 【解答】 ()证明:因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得 BD, 从而 BD2+AD2AB2,故 BDAD 又 PD底面 ABCD,可得 BDPD 所以 BD平面 PAD故 PABD ()如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长, 射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0) ,B

    29、(0,0) ,C(1,0) ,P(0,0,1) (1,0) ,(0,1) ,(1,0,0) , 第 17 页(共 21 页) 设平面 PAB 的法向量为 (x,y,z) ,则 即, 因此可取 (,1,) 设平面 PBC 的法向量为 (x,y,z) ,则, 即: 可取 (0,1,) ,cos 故二面角 APBC 的余弦值为: 【点评】此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和判定定理,以及应用空间向量求 空间角问题,查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力 20 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0) 、F2 (1,0) ,椭圆的离心率为 (1)求椭

    30、圆 C 的标准方程; (2)过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求F1AB 的面积的最大值 【分析】 (1)由椭圆的焦点,离心率 e,列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的 方程 (2)设直线 l 的方程为 xty+1,代入 2x2+3y26 得得(2t2+3)y2+4ty40, 由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性,结合已知条件能求出F1PQ 面积 的最小值 第 18 页(共 21 页) 【解答】解: (1)椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0) 、 F2(1,0) , 2c2,c1,又e,a2b2+c2, 椭圆 C 的标准方程为:

    31、 (2)设直线 l 的方程为 xty+1,代入 2x2+3y26 得得(2t2+3)y2+4ty40, y1+y2,y1y2, F1AB 的面积 s2c|y1y2|y1y2|, 令 u1,+) ,则 s, y2u+在1,+)上是增函数, 当 1,即 t0 时,F1AB 的面积的最小值是 【点评】题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,注意韦达定理、弦 长公式、换元法、函数单调性的合理运用属于中档题 21 (12 分)某生产企业研发了一种新产品,该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单 价 x 和月销售量 y 之间的一组数据,如表所示: 销售单价 x (元) 9 9.5 10 10.

    32、5 11 月销售量 y (万 件) 11 10 8 6 5 ()根据统计数据,求出 y 关于 x 的回归直线方程,并预测月销售量不低于 12 万件时 销售单价的最大值; ()生产企业与网店约定:若该新产品的月销售量不低于 10 万件,则生产企业奖励网 店 1 万元;若月销售量不低于 8 万件且不足 10 万件,则生产企业奖励网店 5000 元;若 月销售量低于 8 万件,则没有奖励现用样本估计总体,从上述 5 个销售单价中任选 2 个销售单价,下个月分别在两个不同的网店进行销售,求这两个网店下个月获得奖励的 第 19 页(共 21 页) 总额 X 的分布列及其数学期望 参考公式:对于一组数据(

    33、x1,y1) , (x2,y2) ,(xn,yn) ,其回归直线 x+ 的斜 率和截距的最小二估计分别为 , 参考数据:392,502.5 【分析】 ()分别求得 x,y 的平均数,计算 , ,可得所求回归直线方程; ()考虑 X2,1.5,1,0.5,0 万元,求得对应的概率,再由数学期望公式,计算可 得所求 【解答】解: () (9+9.5+10+10.5+11)10, (11+10+8+6+5)8, 3.2, 8(3.2)1040, y 关于 x 的回归直线方程为: 3.2x+40 要使月销售量不低于 12 万件,则有3.2x+4012, 解得 x8.75, 销售单价的最大值为 8.75

    34、 元 () 由题意得销售单价共有 5 个, 其中使得月销售量不低于 10 万件有有 2 个, 记为 a1, a2, 月销售量不低于 8 万元且不足 10 万元的有 1 个,记为 b, 月销售量低于 8 万元的有 2 个,记为 c1,c2, 从中任取 2 件,基本事件个数 n10, 可得 X2,1.5,1,0.5,0 万元, 第 20 页(共 21 页) P(X2);P(X1.5)0.2;P(X1);P(X0.5);P(X 0) X 的分布列为 X 0 0.5 1 1.5 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 可得 E(X)00.1+0.50.2+10.4+1.50.2+20.11 【

    35、点评】本题考查线性回归直线方程的求法,注意运用方程思想,考查离散型随机变量 的概率分布列和数学期望的求法,考查运算能力,属于中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)aexx+b,g(x)xln(x+1) , (a,bR,e 为自然对数 的底数) ,且曲线 yf(x)与 yg(x)在坐标原点处的切线相同 (1)求 f(x)的最小值; (2)若 x0 时,f(x)kg(x)恒成立,试求实数 k 的取值范围 【分析】 (1)据导数的几何意义和最值和函数的单调性的关系即可求出; (2)构造函数,再分类讨论,根据导数和单调性的关系即可求出 【解答】解: (1)因为 f(x)aex1, 依题意,f(0

    36、)g(0) ,且 f(0)0,解得 a1,b1, 所以 f(x)ex1,当 x0 时,f(x)0;当 x0 时,f(x)0 故 f(x)的单调递减区间为(,0) ,单调递增区间为(0,+) 当 x0 时,f(x)取得最小值为 0 (2)由(1)知,f(x)0,即 exx+1,从而 xln(x+1) ,即 g(x)0 设 F(x)f(x)kg(x)ex+kln(x+1)(k+1)x1, 则, 当 k1 时,因为 x0,(当且仅当 x0 时等号成立) 此时 F(x)在0,+)上单调递增,从而 F(x)F(0)0,即 f(x)kg(x) 当 k1 时,由于 g(x)0,所以 g(x)kg(x) ,

    37、又由(1)知,f(x)g(x)0,所以 f(x)g(x)kg(x) ,故 F(x)0, 即 f(x)kg(x) (此步也可以直接证 k1) 第 21 页(共 21 页) 当 k1 时,令,则, 显然 h (x) 在0, +) 上单调递增, 又 h (0) 1k0, 所以 h(x)在上存在唯一零点 x0, 当 x(0,x0)时,h(x)0,h(x)在0,x0)上单调递减, 从而 h(x)h(0)0,即 F(x)0,所以 F(x)在0,x0)上单调递减, 从而当 x(0,x0)时,F(x)F(0)0,即 f(x)kg(x) ,不合题意 综上,实数 k 的取值范围为(,1 【点评】本题考查了导数和函数的单调性,考查了运算能力,转化能力,解决问题的能 力,属于中档题


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