1、2018 年湖北省各地市中考二次函数 压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一解答题（共 11 小题）1 （潜江、江汉油田、天门、仙桃市）抛物线 y= x2+ x1 与 x 轴交于点37A，B （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D将抛物线位于直线l：y=t（t ）上方的部分沿直线 l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得254图形组成一个“M”形的新图象（1）点 A，B，D 的坐标分别为 ， ， ；（2）如图，抛物线翻折后，点 D 落在点 E 处当点 E 在ABC 内（含边界）时，求 t 的取值范围；（3）如图，当 t=0 时，若 Q 是“M” 形新图象上一动点
2、，是否存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2 （黄石）已知抛物线 y=a（x 1） 2 过点（3，1） ，D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B（0， ） ，且BDC=90，求点 C 的坐4标；（3）如图，直线 y=kx+4k 与抛物线交于 P、Q 两点求证：PDQ=90；求PDQ 面积的最小值3 （荆门）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于原点及点 A，且经过点B（4 ，8） ，对称轴为直线 x=2（1）求抛物线的解析式；（2）设直线 y=kx+4 与抛物线两交点的
3、横坐标分别为 x1，x 2（x 1x 2） ，当时，求 k 的值；（3）连接 OB，点 P 为 x 轴下方抛物线上一动点，过点 P 作 OB 的平行线交直线 AB 于点 Q，当 SPOQ ：S BOQ =1：2 时，求出点 P 的坐标（坐标平面内两点 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2）之间的距离 MN=）4 （宜昌）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A，B 的坐标分别为A（ 6， 0） ，B （0 ，4） 过点 C（6，1）的双曲线 （k0）与矩形 OADByx的边 BD 交于点 E（1）填空：OA= ，k= ，点 E 的坐标为；（2）当 1t6 时，经过点 M（t1
4、， t2+5t ）与点 N（t3， t2+3t ）317的直线交 y 轴于点 F，点 P 是过 M，N 两点的抛物线 y= x2+bx+c 的顶点当点 P 在双曲线 上时，求证：直线 MN 与双曲线 没有公共点；kxky当抛物线 y= x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求 t 的值；1当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，求 t 的取值范围，并求在运动过程中直线 MN 在四边形 OAEB 中扫过的面积5 （孝感）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 和点 B 的坐标分别为A（ 2， 0） ，B （0 ，6） ，将 RtAOB 绕点 O 按顺时针方
5、向分别旋转 90，180得到 RtA 1OC，RtEOF抛物线 C1 经过点 C，A ，B；抛物线 C2 经过点C， E，F（1）点 C 的坐标为 ，点 E 的坐标为 ；抛物线 C1 的解析式为 抛物线 C2 的解析式为 ；（2）如果点 P（x，y ）是直线 BC 上方抛物线 C1 上的一个动点若PCA= ABO 时，求 P 点的坐标；如图 2，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 M，交抛物线 C2 于点 N，记h=PM+NM+ BM，求 h 与 x 的函数关系式，当5 x2 时，求 h 的取值范围6 （恩施州）如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点
6、坐标为（1，0） ，OC=2，OB=3 ，点 D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以 B、C、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M 2、M 3 使得 M 1BC、M 2BC、M 3BC的面积均为定值 S，求出定值 S 及 M1、M 2、M 3 这三个点的坐标7 （武汉）抛物线 L：y= x2+bx+c 经过点 A（0，1） ，与它的对称轴直线 x=1 交于点 B（1）直接写出抛物线 L 的解析式；（2）如图 1，过定点的直线 y=kxk+4（k0）与抛物线 L 交于点 M、N若BMN 的面积等于 1，求
7、k 的值；（3）如图 2，将抛物线 L 向上平移 m（m0）个单位长度得到抛物线 L1，抛物线 L1 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线 L1 于另一点 DF 为抛物线 L1 的对称轴与 x 轴的交点，P 为线段 OC 上一点若PCD 与POF 相似，并且符合条件的点 P 恰有 2 个，求 m 的值及相应点 P 的坐标8 （十堰）已知抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（0、4）与 x 轴交于1另一点 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 S PBO=SPBC ，求证：APBC；（3）在抛物线上是否存在点
8、D，直线 BD 交 x 轴于点 E，使ABE 与以A，B ，C，E 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由9 （襄阳）直线 y= x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，顶点为 D 的抛物线 y=2x2+2mx3m 经过点 A，交 x 轴于另一点 C，连接 BD，AD，CD，如图所示34（1）直接写出抛物线的解析式和点 A，C ，D 的坐标；（2）动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长的速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q在 CA 上以每秒 3 个单位长的速度由点 C 向点 A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也
9、随之停止运动，设运动时间为 t 秒PQ 交线段 AD 于点 E当DPE=CAD 时，求 t 的值；过点 E 作 EMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点N，当 PN=EM 时，求 t 的值10 （随州）如图 1，抛物线 C1：y=ax 22ax+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C已知点 A 的坐标为（ 1，0） ，点 O 为坐标原点，OC=3OA，抛物线 C1 的顶点为 G（1）求出抛物线 C1 的解析式，并写出点 G 的坐标；（2）如图 2，将抛物线 C1 向下平移 k（k 0）个单位，得到抛物线 C2，设 C2与 x 轴的交点为
10、 A、B ，顶点为 G，当ABG 是等边三角形时，求 k 的值：（3）在（2）的条件下，如图 3，设点 M 为 x 轴正半轴上一动点，过点 M 作 x轴的垂线分别交抛物线 C1、C 2 于 P、Q 两点，试探究在直线 y=1 上是否存在点N，使得以 P、Q、N 为顶点的三角形与AOQ 全等，若存在，直接写出点M，N 的坐标：若不存在，请说明理由11 （咸宁）如图，直线 y= x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B抛物线 y=4x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C38（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于
11、点 Q设点 P 的横坐标为 m，PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y 与 m 的函数关系式，并求出 PQ 与 OQ的比值的最大值；（3）点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD，设ODC 外接圆的圆心为 M，当 sinODC 的值最大时，求点 M 的坐标2018 年湖北省各地市中考二次函数 压轴题精编（解析）一解答题（共 11 小题）1 （潜江、江汉油田、天门、仙桃市）抛物线 y= x2+ x1 与 x 轴交于点37A，B （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D将抛物线位于直线l：y=t（t ）上方的部分沿直线 l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得25
12、4图形组成一个“M”形的新图象（1）点 A，B，D 的坐标分别为 ， ， ；（2）如图，抛物线翻折后，点 D 落在点 E 处当点 E 在ABC 内（含边界）时，求 t 的取值范围；（3）如图，当 t=0 时，若 Q 是“M” 形新图象上一动点，是否存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【学会思考】 （1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A、B 的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点 D 的坐标；（2）由点 D 的坐标结合对称找出点 E 的坐标，根据点 B、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，再利用一次函数图象上
13、点的坐标特征即可得出关于 t 的一元一次不等式组，解之即可得出 t 的取值范围；（3）假设存在，设点 P 的坐标为（ m，0） ，则点 Q 的横坐标为 m，分 m12或 m3 及 m3 两种情况，利用勾股定理找出关于 m 的一元二次方程，1212解之即可得出 m 的值，进而可找出点 P 的坐标，此题得解解：（1）当 y=0 时，有 x2+ x1=0，73解得：x 1= ， x2=3，点 A 的坐标为（ ，0） ，点 B 的坐标为（3，0） y= x2+ x1= （x 2 x）1= （x ） 2+ ，377745点 D 的坐标为（ ， ） 45故答案为：（ ，0） ；（3，0） ；（ ， ） 1
14、22（2）点 E、点 D 关于直线 y=t 对称，点 E 的坐标为（ ，2t ） 745当 x=0 时，y= x2+ x1=1，3点 C 的坐标为（ 0，1 ） 设线段 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b，将 B（3，0） 、C （0，1）代入 y=kx+b，解得： ，线段 BC 所在直线的解析式为 y= x13点 E 在ABC 内（含边界） ， ，解得： t 516248（3）当 x 或 x3 时，y= x2+ x1；73当 x3 时，y= x2 x+12假设存在，设点 P 的坐标为（ m，0） ，则点 Q 的横坐标为 m当 m 或 m3 时，点 Q 的坐标为（m， x2+ x1） （如
15、图 1） ，137以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，CPPQ，CQ 2=CP2+PQ2，即 m2+（ m2+ m） 2= m2+1+ m2+（ m2+ m1） 2，37437整理，得：m 1= ，m 2= ，4515点 P 的坐标为（ ，0）或（ ，0） ；73734当 m3 时，点 Q 的坐标为（m， x2 x+1） （如图 2） ，12以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，CPPQ，CQ 2=CP2+PQ2，即 m2+（ m2 m+2） 2= m2+1+ m2+（ m2 m+1） 2，37437整理，得：11m 228m+12=0，解得：m 3= ，m 4=2，61点 P
16、的坐标为（ ，0 ）或（1，0） 综上所述：存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P，点 P 的坐标为（ ，0） 、 （ ，0） 、 （1，0）或（ ，0） 734573452 （黄石）已知抛物线 y=a（x 1） 2 过点（3，1） ，D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B（0， ） ，且BDC=90，求点 C 的坐4标；（3）如图，直线 y=kx+4k 与抛物线交于 P、Q 两点求证：PDQ=90；求PDQ 面积的最小值【学会思考】 （1）将点（3，1）代入解析式求得 a 的值即可；（2）设点 C 的坐标为（x 0，y 0） ，其中 y
17、0= （x 01） 2，作 CFx 轴，证4BDODCF 得 = ，即 = = 据此求得 x0 的值即可得；14（3）设点 P 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 为（x 2，y 2） ，联立直线和抛物线解析式，化为关于 x 的方程可得 ，据此知（ x11） （x 21）=16，由PM=y1= （x 11） 2、QN=y 2= （x 21） 2、DM= |x11|=1x1、DN=|x 21|=x21 知44PMQN=DMDN=16，即 = ，从而得PMDDNQ，据此进一步求解可得；过点 D 作 x 轴的垂线交直线 PQ 于点 G，则 DG=4，根据 SPDQ = DGMN 列12出关于 k
18、的等式求解可得解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1 ，解得：a= ，4所以抛物线解析式为 y= （x 1） 2；4（2）由（1）知点 D 坐标为（1，0） ，设点 C 的坐标为（ x0，y 0） ， （x 01 、y 00） ，则 y0= （x 01） 2，4如图 1，过点 C 作 CFx 轴，BOD=DFC=90、DCF+CDF=90，BDC=90，BDO+CDF=90 ，BDO=DCF，BDO DCF， = ， = = ，14解得：x 0=17，此时 y0=64，点 C 的坐标为（ 17，64） （3）证明：设点 P 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 为（x 2，y 2）
19、， （其中x1 1x 2，y 10，y 20） ，由 ，得：x 2（4k +2）x+4k15=0 ， ，（x 11） （x 21）=16，如图 2，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，则 PM=y1= （x 11） 2，QN=y 2= （x 21） 2，44DM=|x11|=1x1、DN= |x21|=x21，PMQN=DMDN=16， = ，又PMD=DNQ=90，PMD DNQ，MPD=NDQ ，而MPD+ MDP=90，MDP+ NDQ=90，即PDQ=90 ；过点 D 作 x 轴的垂线交直线 PQ 于点 G，则点 G 的坐标为（1，4） ，所以 DG=4，S PDQ
20、 = DGMN= 4|x1x2|= =8 ，12211()x2k当 k=0 时，S PDQ 取得最小值 163 （荆门）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于原点及点 A，且经过点B（4 ，8） ，对称轴为直线 x=2（1）求抛物线的解析式；（2）设直线 y=kx+4 与抛物线两交点的横坐标分别为 x1，x 2（x 1x 2） ，当时，求 k 的值；（3）连接 OB，点 P 为 x 轴下方抛物线上一动点，过点 P 作 OB 的平行线交直线 AB 于点 Q，当 SPOQ ：S BOQ =1：2 时，求出点 P 的坐标（坐标平面内两点 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2）
21、之间的距离 MN=）【学会思考】 （1）先利用对称轴公式得出 b=4a，进而利用待定系数法即可得出结论；（2）先利用根与系数的关系得出，x 1+x2=4（k1） ， x1x2=16，转化已知条件，代入即可得出结论；（3）先判断出 OB=2PQ，进而判断出点 C 是 OB 中点，再求出 AB 解析式，判断出 PCAB，即可得出 PC 解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论解：（1）根据题意得， ， ，抛物线解析式为 y= x2+x；14（2）直线 y=kx+4 与抛物线两交点的横坐标分别为 x1，x 2， x2+x=kx+4，1x 24（k 1）x16=0，根据根与系数的关系得，x 1+
22、x2=4（k1） ，x 1x2=16， ，2（x 1x2）=x 1x2，4（x 1x2） 2=（x 1x2） 2，4（x 1+x2） 24x1x2=（x 1x2） 2，416 （k 1） 2+64=162，k=1；（3）如图，取 OB 的中点 C，BC= OB，12B（4，8） ，C （2，4） ，PQ OB，点 O 到 PQ 的距离等于点 O 到 OB 的距离，S POQ ：S BOQ =1：2，OB=2PQ，PQ=BC， PQOB，四边形 BCPQ 是平行四边形，PCAB，抛物线的解析式为 y= x2+x，14令 y=0， x2+x=0，14x=0 或 x=4，A（4 ，0） ，B（4，8
23、） ，直线 AB 解析式为 y=x+4，设直线 PC 的解析式为 y=x+m，C （2，4） ，直线 PC 的解析式为 y=x+2，联立解得， （舍）或 ，P（ 2 ，2 +2） 4 （宜昌）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A，B 的坐标分别为A（ 6， 0） ，B （0 ，4） 过点 C（6，1）的双曲线 （k0）与矩形 OADByx的边 BD 交于点 E（1）填空：OA= ，k= ，点 E 的坐标为；（2）当 1t6 时，经过点 M（t1， t2+5t ）与点 N（t3， t2+3t ）317的直线交 y 轴于点 F，点 P 是过 M，N 两点的抛物线 y= x2+bx+
24、c 的顶点当点 P 在双曲线 上时，求证：直线 MN 与双曲线 没有公共点；kxky当抛物线 y= x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求 t 的值；1当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，求 t 的取值范围，并求在运动过程中直线 MN 在四边形 OAEB 中扫过的面积【学会思考】 （1）根据题意将先关数据带入（2）用 t 表示直线 MN 解析式，及 b，c，得到 P 点坐标带入双曲线 解kyx析式，证明关于 t 的方程无解即可；根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点 B 和在 BD 上时的情况；由中部分结果，用 t 表示 F、P 点的纵坐标，求出 t 的取
25、值范围及直线 MN在四边形 OAEB 中所过的面积解：（1）A 点坐标为（ 6，0）OA=6过点 C（6 ，1 ）的双曲线 k= 6kyxy=4 时， x=点 E 的坐标为（ ，4）32故答案为：6，6， （ ，4）32（2）设直线 MN 解析式为：y 1=k1x+b1由题意得：解得抛物线 y= 过点 M、N解得抛物线解析式为：y= x2x+5t21顶点 P 坐标为（ 1，5t ）3P 在双曲线 y= 上6x（5t ）（1）=632t=此时直线 MN 解析式为：联立8x 2+35x+49=0=35 24848=122515360直线 MN 与双曲线 y= 没有公共点6x当抛物线过点 B，此时抛
26、物线 y= x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点14=5t2，得 t= 65当抛物线在线段 DB 上，此时抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点 ，得 t= 10t= 或 t=65点 P 的坐标为（ 1，5t ）32y P=5t 32当 1t6 时，y P 随 t 的增大而增大此时，点 P 在直线 x=1 上向上运动点 F 的坐标为（0， ）y F=当 1t4 时，随者 yF 随 t 的增大而增大此时，随着 t 的增大，点 F 在 y 轴上向上运动1t4当 t=1 时，直线 MN：y=x+3 与 x 轴交于点 G（ 3，0） ，与 y 轴交于点 H（0，3）当 t=4 时，
27、直线 MN 过点 A3当 1t4 时，直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为S=5 （孝感）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 和点 B 的坐标分别为A（ 2， 0） ，B （0 ，6） ，将 RtAOB 绕点 O 按顺时针方向分别旋转 90，180得到 RtA 1OC，RtEOF抛物线 C1 经过点 C，A ，B；抛物线 C2 经过点C， E，F（1）点 C 的坐标为 （6，0） ，点 E 的坐标为 （2，0） ；抛物线 C1 的解析式为 y= 抛物线 C2 的解析式为 y= ；（2）如果点 P（x，y ）是直线 BC 上方抛物线 C1 上的一个动点若PCA= ABO
28、 时，求 P 点的坐标；如图 2，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 M，交抛物线 C2 于点 N，记h=PM+NM+ BM，求 h 与 x 的函数关系式，当5 x2 时，求 h 的取值范围【学会思考】 （1）根据旋转的性质，可得 C，E ，F 的坐标，根据待定系数法法求解析式；（2）根据 P 点直线 CA 或其关于 x 轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；根据图象上的点满足函数解析式，可得 P、N、M 纵坐标，根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据 x 取值范围讨论 h 范围解：（1）由旋转可知，OC=6 ，O
29、E=2，则点 C 坐标为（ 6，0 ） ， E 点坐标为（2，0） ，分别利用待定系数法求 C1 解析式为：y= ，C2 解析式为：y=故答案为：（6，0） ， （2，0） ，y= ，y=（2）若点 P 在 x 轴上方，PCA=ABO 时，则 CA1 与抛物线 C1 的交点即为点 P设直线 CA1 的解析式为：y=k 1x+b1解得直线 CA1 的解析式为：y= x+213联立：解得 或 （不符合题意，舍）根据题意，P 点坐标为（ ） ；若点 P 在 x 轴下方， PCA=ABO 时，则 CA1 关于 x 轴对称的直线 CA2 与抛物线 C1 的交点即为点 P设直线 CA2 解析式为 y=k2
30、x+b2解得直线 CA2 的解析式为：y= x213联立解得 或 （不符合题意，舍）由题意，点 P 坐标为（ ）41,39符合条件的点 P 为（ ）或（ ） ；41,39设直线 BC 的解析式为：y=kx+b解得设直线 BC 的解析式为：y=x 6过点 B 做 BDMN 于点 D，如图，则 BM= 2BD =2BD=2|x|=2xMh=PM+NM+ =（y PyM）+（y NyM）+2|x|=y PyM+yNyM2x= x24x6（x6）+ x2+6（x6）+（ 2x）11=x26x+12h=（x +3） 2+21当 x=3 时，h 的最大值为 215 x2当 x=5 时， h=（ 5+3）
31、2+21=17当 x=2 时，h=（ 2+3） 2+21=20h 的取值范围是：17h 216 （恩施州）如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点坐标为（1，0） ，OC=2，OB=3 ，点 D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以 B、C、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M 2、M 3 使得 M 1BC、M 2BC、M 3BC的面积均为定值 S，求出定值 S 及 M1、M 2、M 3 这三个点的坐标【学会思考】 （1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，
32、再由 A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边形 BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出 P 坐标即可；（3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式，确定出所求 M 坐标，且求出定值 S的值即可解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3 ，0） ，C （0，2） ，设抛物线解析式为 y=a（x +1） （x3） ，把 C（
33、0，2）代入得：2=3a，即 a= ，23则抛物线解析式为 y= （x+1） （x 3）= x2+ x+2；234（2）抛物线 y= （x+1） （x 3）= x2+ x+2= （x 1） 2+ ，83D（1， ） ，8当四边形 CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C （0，2） ，得到 P（4， ） ；23当四边形 CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C （0，2） ，得到 P（2， ） ；当四边形 BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C （0，2） ，得到 P（2， ） ；1（3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b，把 B（3，0） ，C （0，2）代入得：
34、 ，2k解得： ，=-2kby= x+2，3设与直线 BC 平行的解析式为 y= x+b，23联立得： ，消去 y 得：2x 26x+3b6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，=368（3b6）=0，解得：b= ，即 y= x+ ，72372此时交点 M1 坐标为（ ， ） ；5可得出两平行线间的距离为 ，同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 的直线方程为 y= x+ ，231联立解得：M 2（ ， ） ，M 3（ ， ） ，2121此时 S= 947 （武汉）抛物线 L：y= x2+bx+c 经过点 A（0，1） ，与它的对称轴直线 x=1 交于点 B（1）直接写出抛物线 L 的
35、解析式；（2）如图 1，过定点的直线 y=kxk+4（k0）与抛物线 L 交于点 M、N若BMN 的面积等于 1，求 k 的值；（3）如图 2，将抛物线 L 向上平移 m（m0）个单位长度得到抛物线 L1，抛物线 L1 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线 L1 于另一点 DF 为抛物线 L1 的对称轴与 x 轴的交点，P 为线段 OC 上一点若PCD 与POF 相似，并且符合条件的点 P 恰有 2 个，求 m 的值及相应点 P 的坐标【学会思考】 （1）根据对称轴为直线 x=1 且抛物线过点 A（0，1）求解可得；（2）根据直线 y=kxk+4=k（x 1）+4 知直线所
36、过定点 G 坐标为（1，4） ，从而得出 BG=2，由 SBMN =SBNG SBMG = BGxN BGxM=1 得出 xNxM=1，联立直线和2抛物线解析式求得 x= ，根据 xNxM=1 列出关于 k 的方程，解之可28k得；（3）设抛物线 L1 的解析式为 y=x2+2x+1+m，知 C（0，1+m） 、D（2，1+m） 、F（1，0） ，再设 P（0，t） ，分PCDPOF 和PCD POF 两种情况，由对应边成比例得出关于 t 与 m 的方程，利用符合条件的点 P 恰有 2 个，结合方程的解的情况求解可得解：（1）由题意知 ，解得：b=2、c=1，抛物线 L 的解析式为 y=x2+
37、2x+1；（2）如图 1，y=kxk+4=k（x1）+4，当 x=1 时，y=4 ，即该直线所过定点 G 坐标为（ 1，4） ，y= x2+2x+1=（x1） 2+2，点 B（1，2） ，则 BG=2，S BMN =1，即 SBNG SBMG = BGxN BGxM=1，12x NxM=1，由 得 x2+（k2）xk+3=0，解得：x= = ，则 xN= 、x M= ，由 xNxM=1 得 =1，k=3，k0，k=3；（3）如图 2，设抛物线 L1 的解析式为 y=x2+2x+1+m，C （0，1+m） 、D （2，1 +m） 、F （1，0） ，设 P（ 0，t） ，当PCD FOP 时，
38、= ， = ，1tt 2（ 1+m） t+2=0；当PCD POF 时， = ，PCDOF = ，1tt= （m+1） ；3（）当方程有两个相等实数根时，= （1+m ） 28=0，解得：m=2 1（负值舍去） ，此时方程有两个相等实数根 t1=t2= ，方程有一个实数根 t= ，m=2 1，2此时点 P 的坐标为（ 0， ）和（0， ） ；2（）当方程有两个不相等的实数根时，把代入，得： （m+1） 2 （m+1）+2=0，93解得：m=2（负值舍去） ，此时，方程有两个不相等的实数根 t1=1、t 2=2，方程有一个实数根 t=1，m=2，此时点 P 的坐标为（0，1）和（0，2） ；综上
39、，当 m=2 1 时，点 P 的坐标为（0， ）和（0， ） ；2当 m=2 时，点 P 的坐标为（0，1）和（0，2） 8 （十堰）已知抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（0、4）与 x 轴交于另一点 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 S PBO=SPBC ，求证：APBC；（3）在抛物线上是否存在点 D，直线 BD 交 x 轴于点 E，使ABE 与以A，B ，C，E 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由【学会思考】 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令 y=
40、0 求抛物线与 x 轴的交点 C 的坐标，作POB 和PBC 的高线，根据面积相等可得 OE=CF，证明OEGCFG ，则 OG=CG=2，根据三角函数列式可得 P 的坐标，利用待定系数法求一次函数 AP 和 BC 的解析式，k 相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析 A，B ，C，E 中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与ABE 有可能相似，即ABC 和BCE ，当ABE 与以 A，B，C 中的三点为顶点的三角形相似，如图 2，根据存在公共角BAE=BAC ，可得ABEACB，列比例式可得 E 的坐标，利用待定系数法求直线 BE 的解析式，与抛物线列方程组可得交点 D 的坐标；当ABE
41、 与以 B，C 、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图 3，同理可得结论解：（1）把点 A（2，0） ，B（0、 4）代入抛物线 y= x2+bx+c 中得：1，解得： ，抛物线的解析式为：y= x2x4；1（2）当 y=0 时， x2x4=0，解得：x=2 或 4，C （4，0） ，如图 1，过 O 作 OEBP 于 E，过 C 作 CFBP 于 F，设 PB 交 x 轴于 G，S PBO =SPBC ， ，OE=CF，易得OEGCFG，OG=CG=2，设 P（ x， x2x4） ，过 P 作 PMy 轴于 M，1tanPBM= = = ，1BM=2PM，4+ x2x4=2x，1x26x=0，x1=0（舍） ，x 2=6，P（6，8） ，易得 AP 的解析式为： y=x+2，BC 的解析式为：y=x 4，AP BC；（3）以 A，B，C ，E 中的三点为顶点的三角形有 ABC、ABE、ACE 、BCE，四种，其中ABE 重合，不符合条件， ACE 不能构成三角形，当ABE 与以 A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC 和BCE，当ABE 与以 A，B，C 中的三点为顶点的三角形相似，如图 2，BAE=BAC ，ABE ABC，ABE=ACB=45 ，ABEACB ， ，ABEC ，256
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