1、2018 年湖南省各地市中考二次函数 压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一解答题（共 13 小题）1 （长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CBCD ，则该四边形 “十字形” （填“是”或“不是”）（2）如图 1，A，B，C ，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，ADB CDB= ABD CBD ，当 6AC 2+BD27 时，求 OE的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax
2、2+bx+c（a ，b，c 为常数，a 0，c 0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧） ，B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0， ac） ，记“ 十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB ，COD， AOD，BOC 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ； ；“十字形”ABCD 的周长为 12 12S34102 （常德市）如图，已知二次函数的图象过点 O（ 0，0） A（8，4） ，与 x 轴交于另一点 B，且对称轴是直线 x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA
3、 于 N，当ANM 面积最大时，求 M 的坐标；（3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx 轴于C，当以 O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P点的坐标3 （株洲市）如图，已知二次函数 y=ax25 x+c（a0）的图象抛物线与 x 轴3相交于不同的两点 A（x 1，0 ） ，B （x 2，0） ，且 x1x 2，（1）若抛物线的对称轴为 x= 求的 a 值；3（2）若 a=15，求 c 的取值范围；（3）若该抛物线与 y 轴相交于点 D，连接 BD，且OBD=60 ，抛物线的对称轴l 与 x 轴相交点 E，点 F 是
4、直线 l 上的一点，点 F 的纵坐标为 3+ ，连接 AF，12a满足ADB=AFE，求该二次函数的解析式4 （永州市）如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式；（2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，
5、求PON 的面积5 （岳阳市）已知抛物线 F：y=x 2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交点为（ ，0） （1）求抛物线 F 的解析式；（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m 0 ）与抛物线 F 相交于点 A（x 1，y 1）和点B（x 2，y 2） （点 A 在第二象限） ，求 y2y1 的值（用含 m 的式子表示） ；（3）在（2）中，若 m= ，设点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 243判断AAB 的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P，使得以点 A、B 、A、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由6 （郴州市）如
6、图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 BC，PB，PC ，设PBC 的面积为 S求 S 关于 t 的函数表达式；求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标7 （湘潭市）如图，点 P 为抛物线 y= x2 上一动点14（1
7、）若抛物线 y= x2 是由抛物线 y= （x+2） 21 通过图象平移得到的，请写出14平移的过程；（2）若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为（0，1） ，过点 P 作 PM l 于 M问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立？若存在，求出点 F 的坐标：若不存在，请说明理由问题解决：如图二，若点 Q 的坐标为（1，5） ，求 QP+PF 的最小值8 （张家界市）如图，已知二次函数 y=ax2+1（a 0，a 为实数）的图象过点A（ 2， 2） ，一次函数 y=kx+b（k0，k，b 为实数）的图象 l 经过点B（0 ，2）
8、（1）求 a 值并写出二次函数表达式；（2）求 b 值；（3）设直线 l 与二次函数图象交于 M，N 两点，过 M 作 MC 垂直 x 轴于点 C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段 MN 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明理由9 （邵阳市）如图所示，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y=ax2+bx+c 的图象函数y=x2+2x+1 的图象的顶点为点 A函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点 C，D （点 D 位于点 C 的左侧） （1）求函数 y=a
9、x2+bx+c 的解析式；（2）从点 A，C ，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点 M 是线段 BC 上的动点，点 N 是ABC 三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的 RtAMN，使AMN 的面积为ABC 面积的 ？若存在，求13tanMAN 的值；若不存在，请说明理由10 （怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于A（ 1， 0） ，B （3 ，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；（2）请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，
10、求出点 M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由11 （湘西州）如图 1，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bx（a 、b 为常数，a 0 ）与x 轴相交于另一点 A（3，0） 直线 l：y=x 在第一象限内和此抛物线相交于点B（5 ，t） ，与抛物线的对称轴相交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴上找一点 P，使以点 P、O 、C 为顶点的三角形与以点 A、O 、B 为顶点的三角形相似，求满足条件的点 P 的坐标；（3）直线 l 沿着 x 轴向
11、右平移得到直线 l，l 与线段 OA 相交于点 M，与 x 轴下方的抛物线相交于点 N，过点 N 作 NEx 轴于点 E把MEN 沿直线 l折叠，当点 E 恰好落在抛物线上时（图 2） ，求直线 l的解析式；（4）在（3）问的条件下（图 3） ，直线 l与 y 轴相交于点 K，把MOK 绕点 O顺时针旋转 90得到MOK，点 F 为直线 l上的动点当 MFK 为等腰三角形时，求满足条件的点 F 的坐标12 （衡阳市）如图，已知直线 y=2x+4 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、B ，抛物线过A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D（1）
12、若抛物线的解析式为 y=2x2+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点N求点 M、N 的坐标；是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；（2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P 、D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由13 （娄底市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与两坐标轴相交于点 A（ 1，0） 、B（3 ，0） 、C （0，3） ，D 是抛物线的顶点，E 是线段 AB 的中点（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：当 x1，y0 时，
13、求BDF 的面积的最大值；当AEF=DBE 时，求点 F 的坐标2018 年湖南省各地市中考 二次函数 压轴题精析一解答题（共 13 小题）1 （长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CBCD ，则该四边形 不是 “十字形” （填“是”或“不是”）（2）如图 1，A，B，C ，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，ADB CDB= ABD CBD ，当 6AC 2+BD27 时，求 OE的取值范围；（3）
14、如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a ，b，c 为常数，a 0，c 0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧） ，B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0， ac） ，记“ 十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB ，COD， AOD，BOC 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ； ；“十字形”ABCD 的周长为 12 12S3410【学会思考】 （1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出ADB +CAD= ABD+CAB，进而判断出AED= AEB=90，即：ACBD，再判
15、断出四边形 OMEN 是矩形，进而得出 OE2=2 （AC 2+BD2） ，即可14得出结论；（3）由题意得，A（ ，0） ，B （0，c ） ，C （ ，0） ，D （0 ，ac ） ，求出 S= ACBD= （ac+c ） ，S 1= OAOB= ，S 2= OCOD=1221，S 3= OAOD= ，S4= OBOC= ，进而建立方程+ = + ，求出 a=1，再求出b=0，进而判断出四边形 ABCD 是菱形，求出 AD=3 ，进而求出 c=9，即可得10出结论【解】：（1）菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是：“ 十字形” ，平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形
16、不是“十字形” ，故答案为：菱形，正方形；如图，当 CB=CD 时，在ABC 和 ADC 中， ，ABCADC（SSS） ，BAC=DAC，AB=AD，ACBD，当 CBCD 时，四边形 ABCD 不是“十字形” ，故答案为：不是；（2）ADB +CBD= ABD+CDB，CBD=CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180AED=180 AEB，AED= AEB=90，ACBD，过点 O 作 OMAC 于 M，ONBD 于 N，连接 OA，OD，OA=OD=1，OM 2=OA2AM2，ON 2=OD2DN2，AM= AC，DN= BD，四边形12OMEN 是矩形，ON=ME，OE
17、2=OM2+ME2，OE 2=OM2+ON2=2 （AC 2+BD2） ，146AC 2+BD27，2 OE 22 ，43 OE 2 ，1 （OE0） ；（3）由题意得，A（ ，0） ，B （0，c ） ，C （ ，0） ，D （0 ，ac ） ，a 0 ，c 0，OA= ，OB= c，OC= ，OD= ac，AC= ，BD=acc，S= ACBD= （ac+c） ，S 1= OAOB= ，S 2= OCOD=1221，S3= OAOD= ，S 4= OBOC= ， ， ，123 + = + ， =2，4aa=1，S=c ，S 1= ，S 4= ， ，2S=S 1+S2+2 ，1c = +2
18、， =c ，c = ，4b=0，A（ ，0） ，B（0，c） ，C（ ，0） ，d （0，c） ，c四边形 ABCD 是菱形，4AD=12 ，1AD=3 ，0即：AD 2=90，AD 2=c2c，c 2c=90，c= 9 或 c=10（舍） ，即：y=x 292 （常德市）如图，已知二次函数的图象过点 O（ 0，0） A（8，4） ，与 x 轴交于另一点 B，且对称轴是直线 x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若 M 是 OB 上的一点，作 MNAB 交 OA 于 N，当ANM 面积最大时，求 M 的坐标；（3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQx 轴与抛物线交于 Q过 A 作 ACx
19、 轴于C，当以 O，P，Q 为顶点的三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P点的坐标【学会思考】 （1）先利用抛物线的对称性确定 B（6，0） ，然后设交点式求抛物线解析式；（2）设 M（ t，0） ，先其求出直线 OA 的解析式为 y= x，直线 AB 的解析式为12y=2x12，直线 MN 的解析式为 y=2x2t，再通过解方程组 得 N（ t，43t） ，接着利用三角形面积公式，利用 SAMN =SAOM SNOM 得到 SAMN = 4t23 12t t，然后根据二次函数的性质解决问题；1（3）设 Q（m， m2 m） ，根据相似三角形的判定方法，当 = 时，143PQOC
20、OA ，则| m2 m|=2|m|；当 = 时， PQO CAO，则| m214m|= |m|，然后分别解关于 m 的绝对值方程可得到对应的 P 点坐标2【解】：（1）抛物线过原点，对称轴是直线 x=3，B 点坐标为（6，0） ，设抛物线解析式为 y=ax（x 6） ，把 A（8，4 ）代入得 a82=4，解得 a= ，14抛物线解析式为 y= x（ x6） ，即 y= x2 x；143（2）设 M（ t，0） ，易得直线 OA 的解析式为 y= x，12设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把 B（6，0） ，A（8，4 ）代入得 ，解得 ，直线 AB 的解析式为 y=2x12，MNAB，
21、设直线 MN 的解析式为 y=2x+n，把 M（ t，0）代入得 2t+n=0，解得 n=2t，直线 MN 的解析式为 y=2x2t，解方程组 得 ，则 N（ t， t） ，432S AMN =SAOM SNOM= 4t t t1223= t2+2t= （t3） 2+3，当 t=3 时，S AMN 有最大值 3，此时 M 点坐标为（ 3，0） ；（3）设 Q（m， m2 m） ，14OPQ=ACO，当 = 时， PQOCOA，即 = ，PQ=2PO，即 | m2 m|=2|m|，143解方程 m2 m=2m 得 m1=0（舍去） ，m 2=14，此时 P 点坐标为（14，0） ；解方程 m2
22、m=2m 得 m1=0（舍去） ，m 2=2，此时 P 点坐标为（2，0） ；当 = 时， PQOCAO，即 = ，PQ= PO，即 | m2 m|= |m|，1243解方程 m2 m= m 得 m1=0（舍去） ，m 2=8（舍去） ，143解方程 m2 m= m 得 m1=0（舍去） ，m 2=4，此时 P 点坐标为（4，0） ；综上所述，P 点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0） 3 （株洲市）如图，已知二次函数 y=ax25 x+c（a0）的图象抛物线与 x 轴3相交于不同的两点 A（x 1，0 ） ，B （x 2，0） ，且 x1x 2，（1）若抛物线的对称轴为 x= 求的 a
23、 值；3（2）若 a=15，求 c 的取值范围；（3）若该抛物线与 y 轴相交于点 D，连接 BD，且OBD=60 ，抛物线的对称轴l 与 x 轴相交点 E，点 F 是直线 l 上的一点，点 F 的纵坐标为 3+ ，连接 AF，12a满足ADB=AFE，求该二次函数的解析式【学会思考】 （1）根据抛物线的对称轴公式代入可得 a 的值；（2）根据已知得：抛物线与 x 轴有两个交点，则0，列不等式可得 c 的取值范围；（3）根据 60的正切表示点 B 的坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则 c= ，从而得 A 和 B 的坐标，表示 F 的坐标，作辅助线，构建直角ADG，根据
24、已知的角相等可得ADG AFE，列比例式得方程可得 a 和 c 的值【解】：（1）抛物线的对称轴是：x= = = ，解得：a= ；352（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x 25 +c，x二次函数与 x 轴有两个交点，0，=b 24ac= 415c，c ；54（3）BOD=90，DBO=60，tan60= = = ，3OB= c，B（ c，0） ，3把 B（ c，0）代入 y=ax25 x+c 中得： -5 +c=0，323ac5c+c=0，23ac0，ac=12 ，c= ，把 c= 代入 y=ax25 x+c 中得：3y=a（x 2 + ）=a （x ） （x ） ，x 1= ，x 2
25、= ，A（ ，0） ，B（ ，0） ，D（0， ） ，AB= = ，AE= ，F 的纵坐标为 3+ ，F（ ， ） ，过点 A 作 AGDB 于 G，BG= AB=AE= ，AG= ，1292aDG=DBBG= = ，ADB=AFE，AGD=FEA=90 ，ADG AFE， ， = ，a=2，c=6，y=2x 25 x+634 （永州市）如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式；（2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标
26、；如果不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，求PON 的面积【学会思考】 （1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小，先求 EF 的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点 G；（3）如图 2，先利用待定系数法求 AB 的解析式为：y=2x+6，设N（m，m 2+2m+3） ，则 Q（m，2m+6） ， （0m
27、3） ，表示 NQ=m2+4m3，证明QMNADB ，列比例式可得 MN 的表达式，根据配方法可得当 m=2 时，MN 有最大值，证明NGPADB，同理得 PG 的长，从而得 OP 的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将 m=2 代入计算即可【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x 1） 2+4，把（0，3）代入得：3=a（ 01） 2+4，a=1，抛物线的表达式为：y=（x1） 2+4=x2+2x+3；（2）存在，如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小，E （0 ，3 ） ，E（2，3） ，易得 EF 的解析式为： y=3x3，
28、当 x=1 时，y=313=0，G（1，0）（3）如图 2，A（1，4） ，B （3，0） ，易得 AB 的解析式为：y= 2x+6，过 N 作 NHx 轴于 H，交 AB 于 Q，设 N（ m，m 2+2m+3） ，则 Q（m，2m+6） ， （1m3） ，NQ=（m 2+2m+3）（2m+6）=m 2+4m3，ADNH，DAB=NQM，ADB=QMN=90 ，QMNADB ， ， ，MN= （m2） 2+ ， 0，当 m=2 时， MN 有最大值；过 N 作 NGy 轴于 G，GPN=ABD，NGP=ADB=90，NGPADB ， = = ，241PG= NG= m，OP=OGPG= m2
29、+2m+3 m=m2+ m+3，1S PON = OPGN= （m 2+ m+3）m，1当 m=2 时，S PON = 2（ 4+3+3）=2 （方法 2：根据 m 的值计算 N 的坐标为（2，3） ，与 E 是对称点，连接 EN，同理得：EP= EN=1，则 OP=2，根据面积公式可得结论） 15 （岳阳市）已知抛物线 F：y=x 2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交点为（ ，0） （1）求抛物线 F 的解析式；（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m 0 ）与抛物线 F 相交于点 A（x 1，y 1）和点B（x 2，y 2） （点 A 在第二象限） ，求 y2y1 的
30、值（用含 m 的式子表示） ；（3）在（2）中，若 m= ，设点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 243判断AAB 的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P，使得以点 A、B 、A、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【学会思考】 （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线 F 的解析式；（2）将直线 l 的解析式代入抛物线 F 的解析式中，可求出 x1、x 2 的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 y1、y 2 的值，做差后即可得出 y2y1 的值；（3）根据 m 的值可得出点 A、B 的坐标，利用对称性求出点 A的坐标利用两点间的
31、距离公式（勾股定理）可求出 AB、AA、AB 的值，由三者相等即可得出AAB 为等边三角形；根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点 P，设点P 的坐标为（x ，y） ，分三种情况考虑：（i）当 AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点 P 的坐标；（ii）当 AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点 P 的坐标；（iii）当 AA为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点 P 的坐标综上即可得出结论【解】：（1）抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，0）和（ ，0） ，3 ，解得： ，抛物线 F 的解析式为 y=x2+
32、x3（2）将 y= x+m 代入 y=x2+ x，得：x 2=m，3解得：x 1= ，x 2= ，y 1= +m，y 2= +m，313y 2y1=（ +m）（ +m）= （m0） 23（3）m= ，4点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 的坐标为（ ，2） 233点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，点 A的坐标为（ ， ） 23AAB 为等边三角形，理由如下：A（ ， ） ，B（ ，2） ，A （ ， ） ，23332AA= ，AB= ，AB= ，88AA=AB=AB，AAB 为等边三角形AAB 为等边三角形，存在符合题意的点 P，且以点 A、B 、A、P 为顶点的菱形分三种情况，设点P
33、 的坐标为（x ，y） （i）当 AB 为对角线时，有 ，解得： ，点 P 的坐标为（ 2 ， ） ；3（ii）当 AB 为对角线时，有 ，解得： ，点 P 的坐标为（ ， ） ；2310（iii ）当 AA为对角线时，有 ，解得： ，点 P 的坐标为（ ， 2） 3综上所述：平面内存在点 P，使得以点 A、B 、A、P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的坐标为（2 ， ） 、 （ ， ）和（ ，2） 331036 （郴州市）如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横
34、坐标为 t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 BC，PB，PC ，设PBC 的面积为 S求 S 关于 t 的函数表达式；求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标【学会思考】 （1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，由点 A、B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分 t=2 和 t2 两种情况考虑：当 t=2 时，由
35、抛物线的对称性可得出此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形，再根据点 C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点 P、M 的坐标；当 t2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合 CEPE 可得出此时不存在符合题意的点 M；（3）过点 P 作 PFy 轴，交 BC 于点 F，由点 B、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，根据点 P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表达式；利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直线 BC 的距离的最
36、大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论【解】：（1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 y=x2+bx+c，解得： ，抛物线的表达式为 y=x2+2x+3（2）在图 1 中，连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0）两点，抛物线的对称轴为直线 x=1当 t=2 时，点 C、P 关于直线 l 对称，此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形抛物线的表达式为 y=x2+2x+3，点 C 的坐标为（ 0，3 ） ，点 P 的坐标为（2，3） ，点 M 的坐标为（ 1，6） ；当 t2 时，不存在，理由如下：若四边
37、形 CDPM 是平行四边形，则 CE=PE，点 C 的横坐标为 0，点 E 的横坐标为 0，点 P 的横坐标 t=120=2又t2，不存在（3）在图 2 中，过点 P 作 PFy 轴，交 BC 于点 F设直线 BC 的解析式为 y=mx+n（m0） ，将 B（3，0） 、C （0，3）代入 y=mx+n，解得： ，直线 BC 的解析式为 y=x+3点 P 的坐标为（ t，t 2+2t+3） ，点 F 的坐标为（t，t +3） ，PF=t 2+2t+3（t +3）= t2+3t，S= PFOB= t2+ t= （t ） 2+ 1978 0，当 t= 时，S 取最大值，最大值为 32点 B 的坐标
38、为（3，0） ，点 C 的坐标为（0，3） ，线段 BC= =3 ，2P 点到直线 BC 的距离的最大值为 = ，此时点 P 的坐标为（ ， ） 321547 （湘潭市）如图，点 P 为抛物线 y= x2 上一动点14（1）若抛物线 y= x2 是由抛物线 y= （x+2） 21 通过图象平移得到的，请写出14平移的过程；（2）若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为（0，1） ，过点 P 作 PM l 于 M问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立？若存在，求出点 F 的坐标：若不存在，请说明理由问题解决：如图二，若点 Q 的坐标
39、为（1，5） ，求 QP+PF 的最小值【学会思考】 （1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式（2）设出点 P 坐标，利用 PM=PF 计算 BF，求得 F 坐标；利用 PM=PF，将 QP+PF 转化为 QP+QM，利用垂线段最短解决问题【解】：（1）抛物线 y= （x +2） 21 的顶点为（ 2，1）4抛物线 y= （x +2） 21 的图象向上平移 1 个单位，再向右 2 个单位得到抛物4线 y= x2 的图象（2）存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立如图一，过点 P 作 PBy 轴于点 B设点 P 坐标为（ a， a2）14PM=PF= a2+1PB=aRtPBF 中BF=OF=
40、1点 F 坐标为（0，1）由，PM=PFQP+PF 的最小值为 QP+PM 的最小值当 Q、 P、M 三点共线时， QP+PM 有最小值，最小值为点 Q 纵坐标加 M 纵坐标的绝对值QP +PF 的最小值为 68 （张家界市）如图，已知二次函数 y=ax2+1（a 0，a 为实数）的图象过点A（ 2， 2） ，一次函数 y=kx+b（k0，k，b 为实数）的图象 l 经过点B（0 ，2） （1）求 a 值并写出二次函数表达式；（2）求 b 值；（3）设直线 l 与二次函数图象交于 M，N 两点，过 M 作 MC 垂直 x 轴于点 C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段 M
41、N 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明理由【学会思考】 （1）将点 A 的坐标代入二次函数表达式中可求出 a 值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点 B 的坐标代入一次函数表达式中可求出 b 值；（3）过点 M 作 MEy 轴于点 E，设点 M 的坐标为（x ， x2+1） ，则4MC= x2+1，由勾股定理可求出 MB 的长度，进而可证出 MB=MC；4（4）过点 N 作 NDx 轴于 D，取 MN 的中点为 P，过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 N 作 NHMC 于点 H，交 PF 于点 Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出 PQ= MH，
42、进而可得出12PF= MN，由此即可得出以 MN 为直径的圆与 x 轴相切12【解】：（1）二次函数 y=ax2+1（a0，a 为实数）的图象过点 A（2，2） ，2=4a+1，解得：a= ，4二次函数表达式为 y= x2+1（2）一次函数 y=kx+b（k0，k，b 为实数）的图象 l 经过点 B（0，2） ，2=k0+b，b=2（3）证明：过点 M 作 MEy 轴于点 E，如图 1 所示设点 M 的坐标为（ x， x2+1） ，则 MC= x2+1，44ME=|x|，EB=| x2+12|=| x21|，MB= ，= ，= ，= ，= x2+14MB=MC（4）相切，理由如下：过点 N 作
43、 NDx 轴于 D，取 MN 的中点为 P，过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点N 作 NHMC 于点 H，交 PF 于点 Q，如图 2 所示由（3）知 NB=ND，MN=NB+MB=ND+MC 点 P 为 MN 的中点，PQMH ，PQ= MH12ND HC，NHDC ，且四个角均为直角，四边形 NDCH 为矩形，QF=ND，PF=PQ +QF= MH+ND= （ND+MH+HC）= （ND +MC）= MN121212以 MN 为直径的圆与 x 轴相切9 （邵阳市）如图所示，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y=ax2+bx+c 的图象函数y=x2+2x+1 的图象的顶点为点 A函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点 C，D （点 D 位于点 C 的左侧） （1）求函数 y=ax2+bx+c 的解析式；（2）从点 A，C ，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形，求构造的三角形
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