1、自主练习八自主练习八 班级：班级： 姓名：姓名： 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1在2，9，0，2 四个数中，最小的数是（ A ） A9 B2 C0 D2 2如图的几何体的俯视图是（ C ） A B C D 3下列命题是真命题的是( D ) A对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C四条边相等的四边形是正方形 D对角线相等且相互平分的四边形是矩形 4如图，PA、PB 分别切O 于 A、B，APB60，O 半径为 2，则 PA 的长为（ C ） A3 B4 C D 4 题图
2、5 题图 5 根据如图所示的程序计算函数 y 的值， 若输入的 x 值是3 和 2 时， 输出的 y 值相等， 则 b 等于( A ) A. 5 B. 5 C. 7 D. 7 6估计的值应在（ C ） A2.5 和 3 之间 B3 和 3.5 之间 C3.5 和 4 之间 D4 和 4.5 之间 7 孙子算经是唐初作为“算学”教科书的著名的算经十书之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度 和乘除法则， 中卷举例说明筹算分数法和开平方法， 都是了解中国古代筹算的重要资料， 下卷收集了一些 算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数甲得 乙中半，可满四十八；
3、乙得甲太半，亦满四十八问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有 若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文如果乙得到甲所有钱的 2 3 ，那么乙也共有钱 48 文问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组( A ) A 1 48 2 2 48 3 xy yx += += B 1 48 2 2 48 3 yx xy += += C 1 48 2 2 48 3 xy yx = = D 1 48 2 2 48 3 yx xy = = 8 如图，等腰 RtABC 与等腰 RtCDE 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 k1：3，ACB 90，
4、BC4，则点 D 的坐标是（ A ） A （18，12） B （16，12） C （12，18） D （12，16） 9在课外实践中，小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB，采取了如下措施：如图在江边 D 处， 测得信号塔 A 的俯角为 40，若 DE55 米，DECE，CE36 米，CE 平行于 AB，BC 的坡度为 i1： 0.75，坡长 BC140 米，则 AB 的长为（ C ） （精确到 0.1 米，参考数据：sin400.64，cos400.77， tan400.84） A78.6 米 B78.7 米 C78.8 米 D78.9 米 10如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC
5、D的顶点A的坐标为( 1,1)，点B在x轴正半轴上，点D在 第三象限的双曲线 8 y x =上，过点C作/ /CEx轴交双曲线于点E，则CE的长为( B ) A 8 5 B 23 5 C3.5 D5 11若关于 x 的不等式组 + + 2 3 1 3 1 0 3 xx xa 至少有六个整数解，且关于 y 的分式方程 的解为整数，则符合条件的所有整数 a 有（ B ）个 A.0 B.1 C.2 D.3 12如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且 BE a连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩 形 ABCD 的边上，则 a 的值为（ C
6、） y ay y =+ 2 1 2 2 9 题图 10 题图 8 题图 A 5 3 B 3 5 C 5 3 或 5 3 D 3 5 或 5 3 【解答】解：分两种情况： 当点 B落在 AD 边上时，如图 1四边形 ABCD 是矩形， BADB90， 将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 AD 边上， BAEBAEBAD45，ABBE， a1，a； 当点 B落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD 是矩形，BADBCD90，ADBCa 将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 CD 边上， BABE90，ABAB1，EBEBa， DB，ECBCBEaaa 在ADB与
7、BCE 中， ， ADBBCE，即， 解得 a1，a2（舍去） 综上，所求 a 的值为或 二填空题： （本大题二填空题： （本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13计算： () 0 2 1) 2 2 （- 3 14若分式 2 4 2 a a + 的值为 0，则 a 的值为 2 15从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计
8、，该油菜籽种子发芽的概率为 0.8 .（精确到0.1） 16 如图，Rt ABC中，90A=，4AB =，6AC =，D、E分别是AB、AC边上的动点， 且3CEBD=， 则BDE面积的最大值为 3 2 16 题图 17 题图 17已知 A、B、C 三地顺次在同一直线上，甲、乙两人均骑车从 A 地出发，向 C 地匀速行驶甲比乙早 出发 5 分钟，甲到达 B 地并休息了 2 分钟后，乙追上了甲甲、乙同时从 B 地以各自原速继续向 C 地 行驶当乙到达 C 地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回 A 地，而甲也立即提速为原速的 倍继续向 C 地行驶，到达 C 地就停止若甲、乙间的距离 y（米）
9、与甲出发的时间 t（分）之间的函 数关系如图所示，则当甲到达 C 地时，乙距 A 地 6075 米 解：由题意可得，甲乙两人刚开始的速度之差为：900（2314）100（米/分） ， 设甲刚开始的速度为 x 米/分，乙刚开始的速度为（x+100）米/分， 12x（145）（x+100） ，解得，x300，则 x+100400， 则 A、B 两地之间的距离为：300123600（米） ， A、C 两地之间的距离为：400（235）7200（米） ， 当乙到达 C 地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回 A 地，而甲也立即提速为原速的倍继续向 C 地行驶， 后来乙的速度为：400500（米/分
10、） ，甲的速度为 300400（米/分） ， 甲到达 C 地的时间为：23+7200（232）30040025（分钟） ， 当甲到达 C 地时，乙距 A 地：7200（2523）5006075（米） ， 故答案为：6075 18 一副含 30和 45角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起， 边 BC 与 EF 重合， BCEF12cm （如图 1） ， 点 G 为边 BC（EF）的中点，边 FD 与 AB 相交于点 H，现将三角板 DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转 （如图 2） ，在CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长共为 （1218） （结 果保留根号） 【解答
11、】解：如图 1 中，作 HMBC 于 M，设 HMa，则 CMHMa 在 RtABC 中，ABC30，BC12， 在 RtBHM 中，BH2HM2a，BMa， BM+FMBC， a+a12， a66， BH2a1212 如图 2 中，当 DGAB 时，易证 GH1DF，此时 BH1的值最小，易知 BH1BK+KH13+3， HH1BHBH1915， 当旋转角为 60时，F 与 H2重合，易知 BH26， 观察图象可知，在CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长2HH1+HH218 30+6（1212）1218 故答案为（1218）cm 三解答题（共三解答题（共 8 小题小题
12、，共，共 78 分）分） 19 （8）计算： （1） （2xy）2（xy） （4xy） （2） 【解答】解： （1）原式4x24xy+y2（4x2xy4xy+y2） 4x24xy+y24x2+5xyy2 xy4 （2）原式 8 20 （10）如图，O 为等边ABC 的外接圆，ADBC，ADC90，CD 交O 于点 E （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 DE2，求阴影部分的面积 【解答】 （1）证明：连接 AO 并延长交 BC 于 F，如图所示： 则 AFBC，AFC90， ADBC，ADC90，BCD180ADC90， 四边形 AFCD 是矩形，DAF90，AFCD， ADOA，AD
13、 是O 的切线；5 （2）解：连接 AE、OE，如图 2 所示： 由（1）得：AFCD， ACDCAFBAC30，AOE2ACD60， OAOE，AOE 是等边三角形， OAAE，OAE60，DAE30，ADC90， OAAE2DE4，ADDE2， 阴影部分的面积梯形 OADE 的面积扇形 AOE 的面积 （2+4）2610 21（10） 为了增强学生对新冠病毒预防知识的了解， 我校初一年级开展了网上预防知识的宣传教育活动。 为了解这次宣传教育活动的效果，学校从初一年级 1500 名学生中随机抽取部分学生进行网上知识测试 （测试满分 100 分，得分均为整数） ，并根据抽取的学生测试成绩，制作
14、了如下统计图表： 抽取学生知识测试成绩的频数表抽取学生知识测试成绩的频数表 成绩 a（分） 频数（人） 频率 50a60 10 0.1 60a70 15 b 70a80 m 0.2 80a90 40 c 90a100 n d 由图表中给出的信息回答下列问题： （1）m ，n ，并补全频数直方图； （2）如果 80 分以上（包括 80 分）为优秀，请估计初一年级 1500 名学生中成绩优秀的人数； （3） 小强在这次测试中成绩为 85 分， 你认为 85 分一定是这 100 名学生知识测试成绩的中位数吗？请 简要说明理由 解：解： （1）m 20 ，n 15 ， 2 分 补全频数直方图如下： 4
15、 分 （2）825 100 1540 1500= + ， 答：答：全校 1500 名学生中成绩优秀的人数约为 825 人； 7 分 （3） 不一定是， 理由： 将 100 名学生知识测试成绩从小到大排列， 第 50、 51 名的成绩都在分数段 80a90 中，当他们的平均数不一定是 85 分 10 分 22 （10）已知 y|2x+4|+kx，当 x1 时，y5 （1）求这个函数的表达式 （2） 在给出的平面直角坐标系中， 请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3） 已知函数 y的图象如图所示， 结合你所画的函数图象， 直接写出不等式|2x+4|+kx的解集 【解答】
16、解： （1）在函数 y|2x+4|+kx 中，当 x1 时，y5， 6+k5，解得 k1，这个函数的表达式是 y|2x+4|x；2 （2）y|2x+4|x， y，该函数的图象如图所示： 5 由图象可知：当 x2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x2 时 y 随 x 的增大而减小；7 （3）由函数图象可得， 不等式|2x+4|+kx的解集是 x1 或 x010 23 （10）小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣和一款牛仔裤销售非常可观，从 2019 年 月开店以 来，平均每天可卖出毛衣件，牛仔裤件已知道买 件毛衣和 件牛仔裤与买 件毛衣和 件牛仔裤需 要的钱一样多，都为元 （1）买一件毛衣和
17、一件牛仔裤各需要多少钱? （2）双十一将至，小程经营的网店提前对该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当天，毛衣每件售价 降低了，销售量在原来的基础上上涨，牛仔裤每件售价也降低了，但销售量和原来一样，当 天，这两件商品总的销售额为元，求 的值 解：（1） 设买一件毛衣需要 元钱，买一件牛仔裤需要 元钱 依题意有 解得 答：买一件毛衣需要 元钱，买一件牛仔裤需要 元钱(4 分) （2） 依题意有： 解得 故 的值为 (10 分) 24 （10）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数 字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数开合数.设A为一个开合数
18、，将A的百位数字与个位数 字 交 换 位 置 后 得 到 的 新 数 再 与A相 加 的 和 记 为( )A . 例 如 ： 852 是 “ 开 合 数 ” ， 则 ()1110258852852=+=. （1）已知开合数xm10103+=（90 x，且为x整数） ，求( )m的值； （2）三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字， ( ) 3 111 A 是一个整数，且( )A能被个位数字与 百位数字的差整除，请求满足条件的所有A值. 解： （1）由题意得：2 2 31 = + =x( )()444321123123=+= m3 分 （2）设abcA=（91ca，90 b，a，b，c均为
19、整数） ( )babccbaA2221010010100=+= ( ) 3 33 2 111 222 111 b bA = ( ) 3 111 A 是一个整数，90 b 02 =b或8，即0=b或47 分 ( )888= A或( )0= A（不合题意，舍去） 又( )A能被个位数字和百位数字的差整除 ac 888 为整数，=ac1 或 2 或 4 或 6 或 8 又82 =+bac 246=A或345或 14710 分 25 （10）如图，抛物线 2 yxbxc= +与直线 1 2 2 yx=+交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的 坐标为 7 (3, ) 2 点P是y轴右侧的抛物线上一动点
20、，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明 理由 （3）若存在点P，使45PCF=，请直接写出相应的点P的坐标 解： （1）在直线解析式 1 2 2 yx=+中，令0x =，得2y =，(0,2)C 点(0,2)C、 7 (3, ) 2 D在抛物线 2 yxbxc= +上， 2 7 93 2 c bc = + += ， 解得 7 2 b =，2c =， 抛物线的解析式为： 2 7 2 2 yxx= + （2）法一：如图 1， 点 P 的横坐标为 m 且在抛物线上， ， PFCO，
21、当 PFCO 时，以 O，C，P，F 为顶点的四边形是平行四边形， 当 0m3 时， m2+3m2，解得：m11，m22， 即当 m1 或 2 时，四边形 OCPF 是平行四边形， 当 m3 时，2， 解得：（舍去） ， 即当时，四边形 OCFP 是平行四边形； 法二:/ /PFOC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形， 2PFOC=， 将直线 1 2 2 yx=+沿y轴向上、下平移 2 个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求 之交点 由答图 1 可以直观地看出，这样的交点有 3 个 将直线 1 2 2 yx=+沿y轴向上平移 2 个单位，得到直线 1 4 2 yx=
22、+， 联立 2 1 4 2 7 2 2 yx yxx =+ = + ，解得 1 1x =， 2 2x =， 1 1m=， 2 2m =； 将直线 1 2 2 yx=+沿y轴向下平移 2 个单位，得到直线 1 2 yx=，联立 2 1 2 7 2 2 yx yxx = = + ， 解得 3 317 2 x + =， 4 317 2 x =（不合题意，舍去） ， 3 317 2 m + = 当m为值为 1，2 或 317 2 + 时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形 （3）存在理由：设点P的横坐标为m，则 2 7 ( ,2) 2 P mmm+， 1 ( ,2) 2 F mm+ 如答图 2
23、 所示，过点C作CMPE于点M，则CMm=，2EM =， 1 2 F FMyEMm=，tan2CFM= 在Rt CFM中，由勾股定理得： 5 2 CFm= 过点P作PNCD于点N， 则tantan2PNFNPFNFNCFMFN= 45PCF=，PNCN=， 而2PNFN=， 5 2 FNCFm=，25PNFNm=， 在Rt PFN中，由勾股定理得： 22 5 2 PFFNPNm=+= 22 71 (2)(2)3 22 PF PFyymmmmm= += +， 2 5 3 2 mmm+=，整理得： 2 1 0 2 mm=，解得0m =（舍去）或 1 2 m =， 1 (2P， 7) 2 ； 同理求
24、得，另一点为 23 ( 6 P， 13) 18 符合条件的点P的坐标为 1 ( 2 ， 7) 2 或 23 ( 6 ， 13) 18 26 （10） 【问题提出】 （1）如图，在等腰 RtABC 中，斜边 AC4，点 D 为 AC 上一点，连接 BD，则 BD 的最小值为 2 ； 【问题探究】 （2）如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，点 M 是 BC 上一点，且 BM4，点 P 是边 AB 上 一动点，连接 PM，将BPM 沿 PM 翻折得到DPM，点 D 与点 B 对应，连接 AD，求 AD 的最小值； 【问题解决】 （3） 如图， 四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图， 其中BAD
25、ADC135， DCB30， AD2km，AB3km，点 M 是 BC 上一点，MC4km现计划在四边形 ABCD 内选取一点 P，把 DCP 建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区为方便进入商业区，需修建小路 BP、MP，从实用 和美观的角度， 要求满足PMBABP， 且景观绿化区面积足够大， 即DCP 区域面积尽可能小 则 在四边形 ABCD 内是否存在这样的点 P？若存在，请求出DCP 面积的最小值；若不存在，请说明理 由 解： （1）当 BDAC 时，如图 1， ABBC，D 是 AC 的中点， BDAC42，即 BD 的最小值是 2； 故答案为：2；2 （2）如图 2，由题意得：DM
26、MB， 点 D 在以 M 为圆心，BM 为半径的M 上，连接 AM 交M 于点 D，此时 AD 值最小， 过 A 作 AEBC 于 E， ABAC5，BEECBC， 由勾股定理得：AE4， BM4，EM431， AM， DMBM4，ADAMDM4， 即线段 AD 长的最小值是4；6 （3）如图 3，假设在四边形 ABCD 中存在点 P， BADADC135，DCB30， ABC360BADADCDCB60， PMBABP， BPM180PBMPMB180（PBM+ABP）180ABC120， 以 BM 为边向下作等边BMF，作BMF 的外接圆O， BFM+BPM60+120180，则点 P 在
27、上， 过 O 作 OQCD 于 Q，交O 于点 P， 设点 P是上任意一点，连接 OP，过 P作 PHCD 于 H， 可得 OP+PHOQOP+PQ，即 PHPQ， P 即为所求的位置， 延长 CD，BA 交于点 E， BADADC135，DCB30，ABC60， E90，EADEDA45， AD2， AEDE2， BEAE+AB5，BC2BE10，CE5， BMBCMC6，CD52， 过 O 作 OGBM 于 G， BOM2BFM120，OBOM， OBM30， ABOABM+MBO90，OB2， EABOOQE90， 四边形 OBEQ 是矩形， OQBE5， PQOQOP52， SDPC20， 存在点 P，使得DCP 的面积最小，DCP 面积的最小值是（20）km210
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