1、2018-2019 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列式子中，y 是 x 的正比例函数的是（ ） Ay3x By Cy Dy2x1 2 （3 分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A两组对边分别平行 B一组对边平行另一组对边相等 C一组对边平行且相等 D两组对边分别相等 3 （3 分）如图，在 RtABC 中，A90，B30，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E， 垂足为 D，连接 CE，则ACE 的度数为
2、（ ） A15 B30 C45 D不能确定 4 （3 分） 一个弹簧不挂重物时长 8cm， 挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比 如 果挂上 1kg 的物体后，弹簧伸长 2cm 则弹簧总长 y （单位：cm） 关于所挂物体质量 x （单 位：kg）的函数解析式为（ ） Ay2x By0.5x Cy2x+8 Dy0.5x+8 5 （3 分）A 居民区的月底统计用电情况，其中 3 户用电 45 度，5 户用电 50 度，6 户用电 42 度，则平均用电为（ ） A41 度 B42 度 C45.5 度 D46 度 6 （3 分）如图，CD 平分 ACE，且BACD，则得出的结论是（ ） 第 2
3、 页（共 28 页） AADBC BABCD CAC 平分BCD DCA 平分BAD 7 （3 分）已知一组数据：3，3，4，7，8，它的方差为（ ） A4.1 B4.2 C4.3 D4.4 8 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点 B处，若240，则图中1 的度数为（ ） A115 B120 C130 D140 9 （3 分）小李家距学校 3 千米，中午 12 点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学 习用品，12 点 50 分到校下列图象中能大致表示他离家的距离 S（千米）与离家的时间 t（分钟）之间的函数关系的是
4、（ ） A B C D 10 （3 分）某次数学趣味竞赛共有 10 组题目，某班得分情况如下表全班 40 名同学的成 绩的中位数和众数分别是（ ） 人数 2 5 13 10 7 3 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 A75，70 B70，70 C80，80 D75，80 11 （3 分）在同一坐标系中，函数 ykx 与 y3xk 的图象大致是（ ） A B 第 3 页（共 28 页） C D 12 （3 分）已知关于 x 的分式方程1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm1 二、填空题（共二、填空题（共 6 小
5、题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：4x212xy+9y2 14 （3 分）若一组数据 a、b、c、d 的方差是 2，则 a+1、b+1、c+1、d+1 的方差是 15 （3 分）若函数 y，则自变量的取值范围是 16 （3 分）直线 ykx+b 经过点 A（1，1）与点 B（1，5） ，则函数解析式为： 17 （3 分）已知一次函数 ykx+2k4 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，且函数值 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是
6、 18 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论：AED CED：ABEAHD：BHFH：ABHFBCCF2HE其中正确的有 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）计算： （1）0+（） 1+|5 | 20 （6 分）化简求值：，其中：x2 21 （8 分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1） 、 （2）班根据初赛成绩，两个班 各选出 5 名选手参加复赛，两个班各选出 5
7、名选手的复赛成绩如图所示 第 4 页（共 28 页） （1）根据图示填写下表： 班级 中位数 众数 九（1） 85 九（2） 100 （2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为 85 分，请计算九（1）班的平均成绩 （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩好 22 （8 分）如图，AC 是ABCD 的对角线，BACDAC （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB2，AC2，求四边形 ABCD 的面积 23（9 分） 某文化用品商店用 2000 元采购一批书包， 上市后发现供不应求， 很快销售完了 商 店又去采购第二批同样款式的书包，
8、进货单价比第一次的贵 4 元，商店用了 6300 元，所 购数量是第一次的 3 倍 （1）求第一批采购的书包的单价是多少元？ （2）若商店按售价为每个书包 120 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？ 24 （9 分）如图，某容器由 A、B、C 三个长方体组成，其中 A、B、C 的底面积分别为 25cm2、10cm2、5cm2，整个容器容积是长方体 C 的容积的 4 倍（容器各面的厚度均忽略 不计） ，现以速度 v（单位：cm3/s）均匀地向容器内注水，直至注满为止图是注水全 过程中容器内的水面高度 h（单位：cm）与注水时间 t（单位：s）的函数图象 第 5 页（共 28 页） （1）在注
9、水过程中，注满 A 所用的时间为 s，再注满 B 又用了 s （2）求 A 的高度 hA及注水的速度 Vt （3）求注满容器所需时间及容器的高度 25 （10 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD6，BC9，AB4， P、Q 分别为线段 AD、BC 上两点，记 APa，CQb，四边形 PDCQ 的面积为 S （1）请用含 a、b 的式子表示 S （2）当 a、b 满足什么条件时，PQDC （3）在第二问的结论下，若 PDQC，则 CP2+QD2PQ2+DC2+2PDQC；若 PDQC， 则 CP2+QD2PQ2+DC2+PD2+QC2，请从以上
10、两个命题中选择一个进行证明 26 （10 分）如图，已知直线 l1：y2x+4 与坐标轴 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，以 OA 为边在 y 轴右侧作正方形 OACD将直线 l1向下平移 5 个单位得到直线 l2 （1）求直线 l2的解析式，以及 A、B 两点的坐标； （2）已知点 M 在第一象限，且是直线 l2上的点，点 P 是边 CD 上的一动点，设 M（m， 2m1） ，若APM 是等腰直角三角形，求点 M 的坐标； （3）点 Q 是边 OD 上一动点，连接 AQ，过 B 作 AQ 的垂线，垂足为 N，求线段 DN 的 最小值 第 6 页（共 28 页） 第 7 页（共 28
11、页） 2018-2019 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年 级（下）第一次月考数学试卷级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）下列式子中，y 是 x 的正比例函数的是（ ） Ay3x By Cy Dy2x1 【分析】根据正比例函数的定义：形如 ykx（k 是常数，k0）的函数叫做正比例函数， 其中 k 叫做比例系数进行分析即可 【解答】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意； B、是反比例函数，不
12、是正比例函数，故此选项不符合题意； C、不是正比例函数，故此选项不符合题意； D、不是函数，不符合题意； 故选：A 【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握正比例函数的一般形式 2 （3 分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A两组对边分别平行 B一组对边平行另一组对边相等 C一组对边平行且相等 D两组对边分别相等 【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组 对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
13、 即可选出答案 【解答】解：A、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故 A 不符合题意； B、 一组对边平行另一组对边相等， 不能判定该四边形是平行四边形， 也可能是等腰梯形， 故 B 符合题意； C、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，故 C 不符合题意； D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故 D 不符合题意 第 8 页（共 28 页） 故选：B 【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况对于判定定理： “一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形 ”应用时要注意必须是“一组” ，而“一组对边平行 且另一组对边相等”的四边形不一定是平
14、行四边形 3 （3 分）如图，在 RtABC 中，A90，B30，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E， 垂足为 D，连接 CE，则ACE 的度数为（ ） A15 B30 C45 D不能确定 【分析】根据直角三角形的性质求出ACB，根据垂直平分线的性质得到 EBEC，得到 ECBB，结合图形计算，得到答案 【解答】解：，A90，B30， ACB903060， DE 是 BC 的垂直平分线， EBEC， ECBB30， ACE603030， 故选：B 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的 两锐角互余是解题的关键 4 （3 分） 一个弹簧不挂重物时长 8cm
15、， 挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比 如 果挂上 1kg 的物体后，弹簧伸长 2cm 则弹簧总长 y （单位：cm） 关于所挂物体质量 x （单 位：kg）的函数解析式为（ ） Ay2x By0.5x Cy2x+8 Dy0.5x+8 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度+挂上 xkg 重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值 代入即可 【解答】解：挂上 1kg 的物体后，弹簧伸长 2cm， 挂上 xkg 的物体后，弹簧伸长 2xcm， 第 9 页（共 28 页） 弹簧总长 y2x+8 故选：C 【点评】本题考查了列代数式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键 5 （3 分）A 居民区的月底统
16、计用电情况，其中 3 户用电 45 度，5 户用电 50 度，6 户用电 42 度，则平均用电为（ ） A41 度 B42 度 C45.5 度 D46 度 【分析】根据加权平均数的求法可以解答本题 【解答】解：平均用电为：45.5（度） ， 故选：C 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的方法 6 （3 分）如图，CD 平分 ACE，且BACD，则得出的结论是（ ） AADBC BABCD CAC 平分BCD DCA 平分BAD 【分析】由 CD 为平分线，得到一对角相等，根据已知角相等，等量代换得到一对同位 角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证 【解答】解：CD 平
17、分ACE， ACDECD， BACD， ECDB， ABCD， 故选：B 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关 键 7 （3 分）已知一组数据：3，3，4，7，8，它的方差为（ ） A4.1 B4.2 C4.3 D4.4 【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即 可 第 10 页（共 28 页） 【解答】解：这组数据的平均数为5， 这组数据的方差为（35）22+（45）2+（75）2+（85）24.4， 故选：D 【点评】本题考查了平均数和方差：一般地设 n 个数据，x1，x2，xn的平均数为 ，则 方差 S2（x1
18、）2+（x2 ）2+（xn ）2，它反映了一组数据的波动大小， 方差越大，波动性越大，反之也成立 8 （3 分）如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点 B处，若240，则图中1 的度数为（ ） A115 B120 C130 D140 【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出BFEEFB'，B'B90，根据三 角形内角和定理求出CFB'50，进而解答即可 【解答】解：把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点 B处， BFEEFB'，B'B90，
19、 240， CFB'50， 1+EFB'CFB'180， 即1+150180， 解得：1115， 故选：A 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运 用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等 9 （3 分）小李家距学校 3 千米，中午 12 点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学 习用品，12 点 50 分到校下列图象中能大致表示他离家的距离 S（千米）与离家的时间 t（分钟）之间的函数关系的是（ ） 第 11 页（共 28 页） A B C D 【分析】根据小李距家 3 千米，路程随着时间的增大
20、而增大确定合适的函数图象即可 【解答】解：小李距家 3 千米， 离家的距离随着时间的增大而增大， 途中在文具店买了一些学习用品， 中间有一段离家的距离不再增加， 综合以上 C 符合， 故选：C 【点评】本题考查了函数图象，比较简单，了解横、总坐标分别表示什么是解题的关键 10 （3 分）某次数学趣味竞赛共有 10 组题目，某班得分情况如下表全班 40 名同学的成 绩的中位数和众数分别是（ ） 人数 2 5 13 10 7 3 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 A75，70 B70，70 C80，80 D75，80 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可 【解
21、答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第 20、21 个数的平均数， 全班 40 名同学的成绩的中位数是：75； 70 出现了 13 次，出现的次数最多，则众数是 70； 故选：A 【点评】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小） 重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果 中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出 现次数最多的数 第 12 页（共 28 页） 11 （3 分）在同一坐标系中，函数 ykx 与 y3xk 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据图象
22、分别确定 k 的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能 【解答】解：根据图象知：第二个函数一次项系数为正数，故图象必过一、三象限，而 y kx 必过一三或二四象限， A、k0，k0解集没有公共部分，所以不可能，故此选项错误； B、k0，k0解集有公共部分，所以有可能，故此选项正确； C、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误； D、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误 故选：B 【点评】此题主要考查了一次函数图象，一次函数 ykx+b 的图象有四种情况： 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、三象限； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过
23、第一、三、四象限； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第二、三、四象限 12 （3 分）已知关于 x 的分式方程1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm1 【分析】由分式方程的解为非负数得到关于 m 的不等式，进而求出 m 的范围即可 【解答】解：分式方程去分母得：mx1， 即 xm+1， 由分式方程的解为非负数，得到 m+10，且 m+11， 解得：m1 且 m0， 故选：C 第 13 页（共 28 页） 【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方
24、程化为整式方程 的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是 原分式方程的解 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：4x212xy+9y2 （2x3y）2 【分析】利用完全平方公式即可直接分解 【解答】解：原式（2x3y）2 故答案是： （2x3y）2 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，正确理解完全平方式的结构是关键 14 （3 分）若一组数据 a、b、c、d 的方差是 2，则 a+1、b+1、c+1、d+1 的方差是 2 【分析】根据方差的计算公式
25、：一般地设 n 个数据，x1，x2，xn的平均数为 ，则方差 S2（x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2进行计算即可 【解答】解：设一组数据 a、b、c、d 的平均数为 m， 一组新数据 a+1、b+1、c+1、d+1 的平均数为 m+1， 一组数据 a、b、c、d 方差是 2， （am）2+（bm）2+（cm）2+（dm）2）2， （a+1m1）2+（b+1m1）2+（c+1m1）2+（d+1m1）2） （am）2+（bm）2+（cm）2+（dm）2） 2， 故答案为：2 【点评】本题考查了方差的计算，一般地设 n 个数据，x1，x2，xn的平均数为 ，则方 差 S2（x1 ）2+（x2
26、）2+（xn ）2 15 （3 分）若函数 y，则自变量的取值范围是 x且 x3 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可 以求解 【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3x20 且 x30， 解得：x且 x3 第 14 页（共 28 页） 故答案为：x且 x3 【点评】 本题考查的知识点为： 分式有意义， 分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 16 （3 分）直线 ykx+b 经过点 A（1，1）与点 B（1，5） ，则函数解析式为： y 3x+2 【分析】直接利用待定系数法把已知点代入求出答案 【解答】解：把点
27、 A（1，1）与点 B（1，5） ，代入 ykx+b 得： ， 解得：， 故函数解析式为：y3x+2 故答案为：y3x+2 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确解方程组是解题关键 17 （3 分）已知一次函数 ykx+2k4 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，且函数值 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 0k2 【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组 即可得出结论 【解答】解：由已知得：， 解得：0k2 故答案是：0k2 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于 k 的一元一次 不等式组本
28、题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数 的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键 18 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论：AED CED：ABEAHD：BHFH：ABHFBCCF2HE其中正确的有 第 15 页（共 28 页） 【分析】 根据矩形的性质得到BADABCCADC90， ABDC， ADBC， 求得ADECED，推出ABE 和ADH 是等腰直角三角形，求得 AEAB，AD AH，于是得到AE
29、DCED，正确；根据全等三角形的判定定理得到ABE AHD（AAS） ，故正确；由全等三角形的性质得到 BEDH，由等腰三角形的性质 得到OHEAHB67.5，推出EBHOHD，根据全等三角形的性质得到 BH HF，故正确；推出ABH 不是等边三角形，得到 ABBH，于是得到 ABHF，故 错误；过 H 作 HKBC 于 K，得到 KCBC，HKKE，求得 HEEC，推出BC HK+HE，BC2HK+2HEFC+2HE正确 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BADABCCADC90，ABDC，ADBC， ADECED， BAD 的平分线交 BC 于点 E， BAEDAH45， ABE 和
30、ADH 是等腰直角三角形， AEAB，ADAH， ADABAH， ADAE，ABAHDHDC， ADEAED， AEDCED， 正确； 在ABE 和AHD 中， ABEAHD（AAS） ，故正确； BEDH， ABAH， 第 16 页（共 28 页） AHB（18045）67.5， OHEAHB67.5， DHO9067.522.5， EBH9067.522.5， EBHOHD， 在BEH 和HDF 中， BEHHDF（ASA） ， BHHF，故正确； ABAH，BAE45， ABH 不是等边三角形， ABBH， 即 ABHF，故错误； 过 H 作 HKBC 于 K， 可知 KCBC，HKKE
31、， 由上知 HEEC， BCKE 十 EC， 又 KEHKFC，HEEC， 故BCHK+HE，BC2HK+2HEFC+2HE 正确； 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰 直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 第 17 页（共 28 页） 19 （6 分）计算： （1）0+（） 1+|5 | 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义计算即可得到结果 【解答】解：原式1+35812+ 【点评】此题考查了实数的
32、运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （6 分）化简求值：，其中：x2 【分析】把x+1 看成一个整体，即分母为 1，先通分加减，再作乘法化简，然后代入求 值 【解答】解：原式 x（x+1） x2x 当 x2 时， 原式（2）2+2 2 【点评】本题考查了分式的化简求值，把x+1 看成一个整体通分比较简便，但容易出 现x+1的错误 21 （8 分）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1） 、 （2）班根据初赛成绩，两个班 各选出 5 名选手参加复赛，两个班各选出 5 名选手的复赛成绩如图所示 （1）根据图示填写下表： 第 18 页（共 28 页） 班级 中位数 众数 九（1） 85 8
33、5 九（2） 80 100 （2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为 85 分，请计算九（1）班的平均成绩 （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩好 【分析】 （1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班 5 名选手的复赛成绩，然后根据中 位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可； （2）根据平均数计算即可； （3）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好 【解答】解： （1）九（1）班的众数为 85 分， 九（2）班成绩从小到大排列为：70、75、80、100、100， 所以九（2）班成绩的中位数为 80 分， 补全表格如下： 班级 中位数 众数 九（
34、1） 85 85 九（2） 80 100 （2）九（1）班的平均成绩为85（分） ； （3）九（1）班成绩好些 因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数高， 所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好 【点评】本题考查频数分布直方图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用 所学知识解决问题，属于中考常考题型 22 （8 分）如图，AC 是ABCD 的对角线，BACDAC （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB2，AC2，求四边形 ABCD 的面积 第 19 页（共 28 页） 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出DACBCA，再由已知条件得出BAC BCA
35、，即可得出 ABBC，进而证明是菱形即可； （2）连接 BD 交 AC 于 O，证明四边形 ABCD 是菱形，得出 ACBD，OAOCAC ，OBODBD，由勾股定理求出 OB，得出 BD，ABCD 的面积ACBD， 即可得出结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DACBCA， BACDAC， BACBCA， ABBC， 平行四边形 ABCD 是菱形； （2）连接 BD 交 AC 于 O，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OAOCAC，OBODBD， OB1， BD2OB2， ABCD 的面积ACBD222 【点评】本题考查了平行四边形的性质
36、、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计 算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键 23（9 分） 某文化用品商店用 2000 元采购一批书包， 上市后发现供不应求， 很快销售完了 商 第 20 页（共 28 页） 店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一次的贵 4 元，商店用了 6300 元，所 购数量是第一次的 3 倍 （1）求第一批采购的书包的单价是多少元？ （2）若商店按售价为每个书包 120 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？ 【分析】 （1）设第一批采购的书包的单价是 x 元，则第二批采购的书包的单价是（x+4） 元，根据数量总价单价结合第二批购进
37、的数量是第一批的 3 倍，即可得出关于 x 的 分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据数量总价单价及两次购进数量间的关系，可分别求出第一、二批购进书包 的数量，再利用利润销售单价数量进货成本，即可求出结论 【解答】 解：（1） 设第一批采购的书包的单价是 x 元， 则第二批采购的书包的单价是 （x+4） 元， 依题意，得：3， 解得：x80， 经检验，x80 是所列分式方程的解，且符合题意 答：第一批采购的书包的单价是 80 元 （2）第一批购进书包的数量为 20008025（个） ， 第二批购进书包的数量为 25375（个） 120（25+75）200063003700（元） 答：
38、销售完这两批书包，总共获利 3700 元 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 24 （9 分）如图，某容器由 A、B、C 三个长方体组成，其中 A、B、C 的底面积分别为 25cm2、10cm2、5cm2，整个容器容积是长方体 C 的容积的 4 倍（容器各面的厚度均忽略 不计） ，现以速度 v（单位：cm3/s）均匀地向容器内注水，直至注满为止图是注水全 过程中容器内的水面高度 h（单位：cm）与注水时间 t（单位：s）的函数图象 （1）在注水过程中，注满 A 所用的时间为 10 s，再注满 B 又用了 8 s （2）求 A 的高度 hA及
39、注水的速度 Vt （3）求注满容器所需时间及容器的高度 第 21 页（共 28 页） 【分析】 （1）由图象直接可得注水时间； （2）由注满容器 A 与 B 时，注满水的体积与容器容积相等，可分别列出方程，联立求解 二元一次方程组即可； （3）由整个容器容积是长方体 C 的容积的 4 倍，可求得 C 容器的高度，进而求解 【解答】解： （1）由图象可知注满 A 所用的时间为 10s，注满 B 又用了 18109s； 故答案为 10，8； （2）由 A 注满时水的体积和容器容积相等，可得 10vt25hA， vt2.5hA， B 注满时水的体积和容器容积相等，可得 8vt10（12hA） ， h
40、A4， vt10， A 的高度为 4cm，注水的速度为 10cm3/s； （3）由整个容器容积是长方体 C 的容积的 4 倍， 有 25hA+10（12hA）+5hC45hC， hC12， 容器的高度为 4+8+1224cm； 注满 C 容器所需时间为 512106s， 注满整个容器所需时间为 18+624s 【点评】本题考查一次函数图象的应用；能够正确理解图象中（18，12）点的含义，抓 住几何体容积与注水体积相等，是正确解题的关键 25 （10 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD6，BC9，AB4， P、Q 分别为线段 AD、BC 上两点，记 APa，CQb，四边形
41、 PDCQ 的面积为 S 第 22 页（共 28 页） （1）请用含 a、b 的式子表示 S （2）当 a、b 满足什么条件时，PQDC （3）在第二问的结论下，若 PDQC，则 CP2+QD2PQ2+DC2+2PDQC；若 PDQC， 则 CP2+QD2PQ2+DC2+PD2+QC2，请从以上两个命题中选择一个进行证明 【分析】 （1）由题意得：PD6a，由梯形面积公式即可得出答案； （2）PQDC 时，分两种情况：四边形 PQCD 是等腰梯形时，点 Q 与 B 重合，a3， b9； 四边形 PQCD 是平行四边形时，PDCQ，得出 a+b6； （3）若 PDQC，四边形 PQCD 是等腰梯
42、形，点 Q 与 B 重合，a3，b9，则 CP QD，由等腰梯形的性质和勾股定理即可得出答案； 若 PDQC，则四边形 PQCD 是平行四边形，PQCD，a+b6，由平行四边形的性质 和勾股定理即可得出答案 【解答】解： （1）如图 1 所示： 由题意得：PD6a， 四边形 PDCQ 的面积为 S（6a+b）4122a+2b； （2）PQDC 时，分两种情况： 四边形 PQCD 是等腰梯形时， 如图 2 所示： 作 DNBC 于 N， 则 BNAD6， CNBCBN3， CD5， PQCD5， 此时点 Q 与 B 重合，a3，b9； 四边形 PQCD 是平行四边形时，如图 3 所示： 第 23
43、 页（共 28 页） 则 PDCQ， 6ab， a+b6； 综上所述，当 a、b 满足 a3，b9 或 a+b6 时，PQDC （3）若 PDQC，四边形 PQCD 是等腰梯形，如图 4 所示： 此时点 Q 与 B 重合，a3，b9， 则 CPQD， 作 PMBC 于 M，DNBC 于 N， 则 PQAB4，APBM3， CM6， CP42+6252， CP2+QD2252104，PQ2+DC2+2PDQC52+52+239104， CP2+QD2PQ2+DC2+2PDQC； 若 PDQC，则四边形 PQCD 是平行四边形，如图 5 所示： PQCD，a+b6， 作 PMBC 于 M，DNBC
44、 于 N， 则 BNAD6，PQCD5， 则 CP2+QD242+（9a）2+42+（b3）2122+a2+b218a6b122+a2+b212a6 （a+b）86+a2+b212a， PQ2+DC2+PD2+QC252+52+（6a）2+b286+a2+b212a， CP2+QD2PQ2+DC2+PD2+QC2 第 24 页（共 28 页） 【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、梯形面 积公式、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰梯形和平行四边 形的性质是解题的关键 26 （10 分）如图，已知直线 l1：y2x+4 与坐标轴 y 轴交于点
45、A，与 x 轴交于点 B，以 OA 为边在 y 轴右侧作正方形 OACD将直线 l1向下平移 5 个单位得到直线 l2 （1）求直线 l2的解析式，以及 A、B 两点的坐标； （2）已知点 M 在第一象限，且是直线 l2上的点，点 P 是边 CD 上的一动点，设 M（m， 2m1） ，若APM 是等腰直角三角形，求点 M 的坐标； （3）点 Q 是边 OD 上一动点，连接 AQ，过 B 作 AQ 的垂线，垂足为 N，求线段 DN 的 最小值 第 25 页（共 28 页） 【分析】 （1）由直线平移的特点，直接可得解析式； （2）当 M 在正方形内部时，过点 M 作 EFOD，易证 RtAEMR
46、tMFP（AAS） ， 由 AEMF，可求 M；当 M 在正方形外部时，作 GHAC，易证 RtAGMRtMPH （AAS） ，由 AGMH，可求 M 坐标； （3）取 AB 的中点为 K，则 K（1，2） ，在 RtABN 中，KNAB，KD， 在KND 中，可得 NDKDKN，再由若 N 在直线 KD 上，则 NDKDKN，即可求 得 NDKDKN 【解答】解： （1）由题意可得 y2x1， A（0，4） ，B（2，0） ； （2）当 M 在正方形内部时，过点 M 作 EFOD， AMMP，AEMPFM90，EAMPMF， 易证 RtAEMRtMFP（AAS） ， AEMF， M（m，2m1） ， AE4（2m1）52m，MF4m， 52m4m， m1， M（1，1） ； 当 M 在正方形外部时，作 GHAC， AMMP，MGA
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