1、2018-2019 学年湖南省长沙市天心区雅礼天心中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （2 分）下面有 4 个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （2 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a5 Ba5+a5a10 C （3a3）26a6 D （a3）2aa6 3 （2 分）点 P（1，4）关于 x 轴对称点的坐标为（ ） A （1，4） B （1，4） C （1，4） D （1，4）
2、4 （2 分）已知实数 x、y 满足（x3）2+0，则以 x、y 的值为两边长的等腰三角形 的周长是（ ） A13 或 17 B13 C17 D无法确定 5 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，A30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则 CBD 的度数为（ ） A30 B45 C50 D75 6 （2 分）以下叙述中不正确的是（ ） A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 B有一内角为 60的等腰三角形是等边三角形 C等腰三角形一定是锐角三角形 D在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个 角不相等，那么它们
3、所对的边也不相等 第 2 页（共 25 页） 7 （2 分）已经 x+y30，则 2x2y的值为（ ） A64 B8 C6 D12 8 （2 分）已知AOB30，点 P 在AOB 内部，P1与 P 关于 OB 对称，P2与 P 关于 OA 对称，则 P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 9 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，2） ，在坐标轴上确定点 P，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个 A5 B6 C7 D8 10 （2 分）如图，已知 ABA1B，A1B1A1A2，A2B2A2A3，A3B3A3A
4、4，若A70， 则An1AnBn1（n2）的度数为（ ） A B C D 11 （2 分）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 12 （3 分）等腰三角形的顶角是 70，则其底角是 13 （3 分）已知 xm6，xn3，则 x2m+n的值为 14 （3 分）如图，在
5、ABC 中，ABC 与ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC， 分别交 AB、AC 于点 D、E，若 AB6，AC5，则ADE 的周长是 第 3 页（共 25 页） 15 （3 分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则它的顶角为 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 E，交 AC 于 D，DBC30，BD4.6，则 D 到 AB 的距离为 17 （3 分）ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 上任意一点，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F若 BC4，则 DE+DF &nbs
6、p; 三、解答题（共三、解答题（共 8 个小题，共个小题，共 60 分）分） 18 （6 分）计算： （1）x （x） （x）4 （2）yx5+（2x2）2+（2x2）3 19 （10 分）我们规定：ab10a10b，例如 34103104107 （1）试求 123 和 25 的值； （2）想一想（ab）10c与 10a（bc）相等吗？如果相等，请验证你的结论 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，5） ，B（2，0） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的A'BC（其中 A'、B、C分别是 A、B、C 的 对称点，不写画法） ； （2）
7、写出 C的坐标，并求ABC 的面积； （3）在 y 轴上找出点 P 的位置，使线段 PA+PB 的最小 第 4 页（共 25 页） 21 （6 分）已知：如图，D 是ABC 的边 BC 上的一点，且 ABBDADDC，求B， C，BAC，DAC 的度数 22 （10 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数 （2）若 CF2，求 EF 的长 23 （10 分）阅读材料：求 1+2+22+23+24+ +22017+22018的值 解： 设 S1+2+22+23+24+ +22017
8、+22018， 将等式两边同时乘 2， 得 2S2+22+23+24+25+ +22018+22019， ，得 2SS220191，即 S220191， 所以 1+2+22+23+24+ +22017+22018220191 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+ +29+210； （2）1+3+32+33+34+ +3n 1+3n（其中 n 为正整数） 24 （12 分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个 三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形如图，在ABC 中，B2C，线 第 5 页（共 25 页） 段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D
9、，交 BC 于点 E （1）求证：AE 是ABC 的一条特异线； （2）如图，若ABC 是特异三角形，且A30，B 为钝角，求出所有可能的 B 的度数； （3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可） 25 （12 分）等腰 RtACB，ACB90，ACBC，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上 （1）如图 1，求证：BCOCAO （2）如图 2，若 OA5，OC2，求 B 点的坐标 （3）如图 3，点 C（0，3） ，Q、A 两点均在 x 轴上，且 SCQA18分别以 AC、CQ 为 腰在第一、第二象限作等腰 RtCAN、等腰 RtQCM
10、，连接 MN 交 y 轴于 P 点，OP 的 长度是否发生改变？若不变，求出 OP 的值；若变化，求 OP 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市天心区雅礼天心中学八年级（下）学年湖南省长沙市天心区雅礼天心中学八年级（下） 第一次月考数学试卷第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求）分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （2 分）下面有 4 个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D
11、4 个 【分析】根据轴对称图形的概念结合 4 个汽车标志图案的形状求解 【解答】解：由轴对称图形的概念可知第 1 个，第 2 个，第 3 个都是轴对称图形 第 4 个不是轴对称图形，是中心对称图形 故是轴对称图形的有 3 个 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形 2 （2 分）下列运算正确的是（ ） Aa2a3a5 Ba5+a5a10 C （3a3）26a6 D （a3）2aa6 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别 计算得出答案 【解答】解：
12、A、a2a3a5，正确，符合题意； B、a5+a52a5，故此选项错误，不合题意； C、 （3a3）29a6，故此选项错误，不合题意； D、 （a3）2aa7，故此选项错误，不合题意； 故选：A 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握 运算法则是解题关键 3 （2 分）点 P（1，4）关于 x 轴对称点的坐标为（ ） 第 7 页（共 25 页） A （1，4） B （1，4） C （1，4） D （1，4） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 x 轴的对称点的坐标是（x，y） ， 即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就
13、可以求出对称点的坐标 【解答】解：点 P（1，4）关于 x 轴的对称点的坐标是（1，4） ， 故选：B 【点评】 本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系， 是需要识记的内容，比较简单 4 （2 分）已知实数 x、y 满足（x3）2+0，则以 x、y 的值为两边长的等腰三角形 的周长是（ ） A13 或 17 B13 C17 D无法确定 【分析】先根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，再分 x 的值是腰长与底边两种情况讨 论求解 【解答】解：根据题意得，x30，y70， 解得 x3，y7， 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、7， 不能组成三角形
14、； 3 是底边时，三角形的三边分别为 3、7、7， 能组成三角形，3+7+717； 所以，三角形的周长为：17； 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负 数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 求出 x、y 的值是解题的关键，难点在于要分情况 讨论并且利用三角形的三边关系进行判断 5 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC，A30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则 CBD 的度数为（ ） 第 8 页（共 25 页） A30 B45 C50 D75 【分析】根据三角形的内角和定理，求出C，再根据线段垂直平分线的性质，推得A ABD30
15、，由外角的性质求出BDC 的度数，从而得出CBD45 【解答】解：ABAC，A30， ABCACB75， AB 的垂直平分线交 AC 于 D， ADBD， AABD30， BDC60， CBD180756045 故选：B 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角 的性质求得求得BDC60是解答本题的关键本题的解法很多，用底角 7530 更简单些 6 （2 分）以下叙述中不正确的是（ ） A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 B有一内角为 60的等腰三角形是等边三角形 C等腰三角形一定是锐角三角形 D在一个三角形中，如果
16、两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个 角不相等，那么它们所对的边也不相等 【分析】根据等边三角形的性质及判定对各个选项进行分析，从而得到答案 【解答】解：A，正确，符合等边三角形三线合一性质； B，正确，符合等边三角形的判定； C，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形； 第 9 页（共 25 页） D，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质 故选：C 【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用能力 7 （2 分）已经 x+y30，则 2x2y的值为（ ） A64 B8 C6 D12 【分析】根据已知可得 x+y3，再根据同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解
17、：由 x+y30 得 x+y3， 2x2y2x+y238 故选：B 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，整数相加 8 （2 分）已知AOB30，点 P 在AOB 内部，P1与 P 关于 OB 对称，P2与 P 关于 OA 对称，则 P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 【分析】根据轴对称的性质可知：OP1OP2OP，P1OP260，即可判断P1OP2 是等边三角形 【解答】解：根据轴对称的性质可知， OP1OP2OP，P1OP260， P1OP2是等边三角形 故选：D 【点评】主要考查了等边三角形的判定和轴对
18、称的性质轴对称的性质： （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分； （2）对应线段相等，对应角相等 9 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，2） ，在坐标轴上确定点 P，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个 A5 B6 C7 D8 【分析】等腰三角形要判断腰长的情况，本题可先设 P 点的坐标，根据 OA 是底边、腰 第 10 页（共 25 页） 几种情况下手进行讨论即可得出答案 【解答】解：已知AOP 的边 OA，这条边可能是底边也可能是腰 当 OA 是底边时，点 P 是 OA 的垂直平分线与 x 轴，y 轴的交点，这两个点的坐标是（2， 0）和（0，2）满足条件的
19、有两点； 当 OA 是腰时，当 O 是顶角顶点时，以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，与两坐标轴的交 点坐标是（0，2） ， （0，2） ， （2，0） ， （2，0） ； 当 A 是顶角顶点时，以 A 为圆心，以 AO 为半径作圆，与两坐标轴的交点坐标有除原点 以外有两个交点，因而使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 有 8 个 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全 是解决本题的关键 10 （2 分）如图，已知 ABA1B，A1B1A1A2，A2B2A2A3，A3B3A3A4，若A70， 则An1AnBn1（n2）的度数为（ ） A
20、B C D 【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出B1A2A1，B2A3A2及 B3A4A3的度数，找出规律即可得出An1AnBn1的度数 【解答】解：在ABA1中，A70，ABA1B， BA1A70， A1A2A1B1，BA1A 是A1A2B1的外角， B1A2A135； 同理可得， B2A3A217.5，B3A4A317.5， An1AnBn1 故选：C 第 11 页（共 25 页） 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出B1C2A1， B2A3A2及B3A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键 11 （2 分）如图，等腰三角形 ABC 的底边
21、 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】连接 AD，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根 据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关 于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD， ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABC
22、BCAD4AD16，解得 AD8， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， AD 的长为 CM+MD 的最小值， CDM 的周长最短（CM+MD）+CDAD+BC8+48+210 故选：C 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答 此题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 12 （3 分）等腰三角形的顶角是 70，则其底角是 55 【分析】根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解 【解答】解：等腰三角形的顶角是 70， 底角（1
23、8070）55 故答案为：55 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，是基础题，主要利用了两底角相等的性质 13 （3 分）已知 xm6，xn3，则 x2m+n的值为 108 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可 【解答】解：xm6，xn3， x2m+n（xm）2xn623363108 故答案为：108 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则 是解答本题的关键 14 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 与ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC， 分别交 AB、AC 于点 D、E，若 AB6，AC5，则ADE 的周长是 11 【分
24、析】由在ABC 中，BAC 与ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，易 证得BOD 与COE 是等腰三角形，继而可得ADE 的周长等于 AB+AC 【解答】解：在ABC 中，BAC 与ACB 的平分线相交于点 O， ABOOBC，ACOBCO， DEBC， DOBOBC，EOCOCB， ABODOB，ACOEOC， 第 13 页（共 25 页） BDOD，CEOE， ADE 的周长是：AD+DE+AEAD+OD+OE+AEAD+BD+CE+AEAB+AC6+5 11 故答案为：11 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握转化思想与数 形结合思想的应用 1
25、5（3 分） 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30， 则它的顶角为 60或 120 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部， 三角形的边上根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种 情况进行讨论 【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是 120； 当高在三角形外部时，顶角是 60 故答案为：60或 120 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关 系是解题的关键， 本题易出现的错误是只是求出 120一种情况， 把三角形简单的认为是 锐角三角形因此此题属于易错题 16 （3 分）如图，在A
26、BC 中，ACB90，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 E，交 AC 于 D，DBC30，BD4.6，则 D 到 AB 的距离为 2.3 【分析】 先根据线段的垂直平分线的性质得到 DBDA， 则有AABD， 而C90， DBC30，利用三角形的内角和可得A+ABD903060，得到ABD 30，在 RtBED 中根据含 30的直角三角形三边的关系即可得到 DEBD 2.3cm 【解答】解：DE 垂直平分 AB， DBDA， AABD， C90，DBC30， 第 14 页（共 25 页） A+ABD903060， ABD30， 在 RtBED 中，EBD30，BD4.6， DEBD2.3
27、， 即 D 到 AB 的距离为 2.3 故答案为 2.3 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等也考查了含 30的直角三角形三边的关系 17 （3 分）ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 上任意一点，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F若 BC4，则 DE+DF 2 【分析】先设 BDx，则 CD4x，根据ABC 是等边三角形，得出BC60， 再利用三角函数求出 BE 和 CF 的长，即可得出 BE+CF 的值 【解答】解：设 BDx，则 CD4x， ABC 是等边三角形， BC60 BEcos60BDx， 同理可得，CF（4x） ， BE
28、+CFx+（4x）2 故答案为：2 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利 于培养同学们钻研和探索问题的精神 三、解答题（共三、解答题（共 8 个小题，共个小题，共 60 分）分） 18 （6 分）计算： 第 15 页（共 25 页） （1）x （x） （x）4 （2）yx5+（2x2）2+（2x2）3 【分析】 （1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案 【解答】解： （1）原式x2x4 x6； （2）原式x5y+4x48x6 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则运算以及积的乘方运算，正确掌握相 关
29、运算法则是解题关键 19 （10 分）我们规定：ab10a10b，例如 34103104107 （1）试求 123 和 25 的值； （2）想一想（ab）10c与 10a（bc）相等吗？如果相等，请验证你的结论 【分析】 （1）由规定运算可求 12310121031015，25102105107； （2）由规定的运算可分别求出（ab）10c，10a （b c） 【解答】解： （1）12310121031015，25102105107； （2）ab10a10b10a+b， （ab）10c， bc10b10c10b+c， 10a（bc）， ， 10a+b+10c10a10b+c（10a10c） （
30、10b1） ， 当 ac，b0 时，10a+b+10c10a10b+c（10a10c） （10b1）0， 当 ac，b0 时，10a+b+10c10a10b+c（10a10c） （10b1）0 当 ac，b0 时，10a+b+10c10a10b+c（10a10c） （10b1）0， 当 ac，b0 时，10a+b+10c10a10b+c（10a10c） （10b1）0， （ab）10c与 10a（bc）不相等 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查整式的混合运算；根据所规定的运算，利用整式的运算法则解题是关 键 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，5） ，B（
31、2，0） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的A'BC（其中 A'、B、C分别是 A、B、C 的 对称点，不写画法） ； （2）写出 C的坐标，并求ABC 的面积； （3）在 y 轴上找出点 P 的位置，使线段 PA+PB 的最小 【分析】 （1）首先确定 A、B、C 三点关于 y 轴对称的对称点位置，然后再连接即可； （2）根据平面直角坐标系可得 C的坐标，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积 可得ABC 的面积； （3）A 与 A关于 y 轴对称，连接 AB，与 y 轴交点就是 P 的位置 【解答】解： （1）如图所示： （2）C的坐标（4，3） ， A
32、BC 的面积：3523231515332.56.5； （3）连接 AB，与 y 轴的交点就是 P 的位置 第 17 页（共 25 页） 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，以及最短路线，关键是几何图形都可看 做是由点组成， 我们在画一个图形的轴对称图形时， 也就是确定一些特殊点的对称点 在 直线 L 上的同侧有两个点 A、B，在直线 L 上有到 A、B 的距离之和最短的点存在，可以 通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直 线 L 的交点就是所要找的点 21 （6 分）已知：如图，D 是ABC 的边 BC 上的一点，且 ABBDADDC，求B， C，B
33、AC，DAC 的度数 【分析】易得ABD 是等边三角形，那么BADBBAD60，由 ADCD 可 得CCAD，因为ADBC+CAD，那么CCAD30，再根据BAC BAD+CAD 即可求得BAC 的度数 【解答】解：ABBDAD， ABD 是等边三角形， BADBBAD60， ADCD， CCAD， ADBC+CAD， CCAD30， BACBAD+CAD90 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点为：等边三角形的每个内角都是 60；等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 22 （10 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DEA
34、B，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数 （2）若 CF2，求 EF 的长 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （1）根据平行线的性质可得EDCB60，根据三角形内角和定理即可求 解； （2） 根据已知条件得到CDE 是等边三角形， 由等边三角形的性质得到DECECD 60，CDCE，求得 CECF，等量代换即可得到结论；易证EDC 是等边三角形， 再根据直角三角形的性质即可求解 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， B60， DEAB， EDCB60， EFDE， DEF90， F90EDC30； （2）CDCF， 理由：DEAB， CDE 是等边
35、三角形， DECECD60，CDCE， F30， CEFECDF30， CECF， CDCF； ACB60，EDC60， EDC 是等边三角形 EDDC2， DEF90，F30， DF2DE4， 第 19 页（共 25 页） EFDE2 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记 30 度的锐 角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键 23 （10 分）阅读材料：求 1+2+22+23+24+ +22017+22018的值 解： 设 S1+2+22+23+24+ +22017+22018， 将等式两边同时乘 2， 得 2S2+22+23+24+25+ +22018+2
36、2019， ，得 2SS220191，即 S220191， 所以 1+2+22+23+24+ +22017+22018220191 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+ +29+210； （2）1+3+32+33+34+ +3n 1+3n（其中 n 为正整数） 【分析】 （1）直接利用例题将原式变形进而得出答案； （2）直接利用例题将原式变形进而得出答案 【解答】解： （1）设 S1+2+22+23+24+210， 将等式两边同时乘 2 得： 2S2+22+23+24+210+211 ， 得 2SS2111， 即 S2111， 1+2+22+23+24+210 2111 （2）
37、设 S1+3+32+33+34+3n ， 将等式两边同时乘 3 得： 3S3+32+33+34+3n+3n+1， 得 3SS3n+11， 即 S（3n+11） ， 1+3+32+33+34+3n（3n+11） 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算以及提取公因式法分解因式，正确将原式变 形是解题关键 24 （12 分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个 第 20 页（共 25 页） 三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形如图，在ABC 中，B2C，线 段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 BC 于点 E （1）求证：AE 是ABC 的一条特异线； （
38、2）如图，若ABC 是特异三角形，且A30，B 为钝角，求出所有可能的 B 的度数； （3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可） 【分析】 （1）只要证明ABE，AEC 是等腰三角形即可 （2）如图 2 中，当 BD 是特异线时，分三种情形讨论，如图 3 中，当 AD 是特异线时， ABBD，ADDC 根据等腰三角形性质即可解决问题，当 CD 为特异线时，不合题意 （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解 【解答】证明： （1）如图 1 中， DE 是线段 AC 的垂直平分线， EAEC，即EAC 是等腰三角形， EACC， AEBEAC+
39、C2C， B2C， AEBB，即EAB 是等腰三角形， AE 是ABC 是一条特异线 （2）如图 2 中， 第 21 页（共 25 页） 当BD是特异线时， 如果ABBDDC， 则ABCABD+DBC120+15135， 如果 ADAB，DBDC，则ABCABD+DBC75+37.5112.5， 如果 ADDB，DCCB，则 ABCABD+DBC30+6090（不合题意舍弃） 如图 3 中， 当 AD 是特异线时， ABBD， ADDC， 则ABC1802020140 当 CD 为特异线时，不合题意 符合条件的ABC 的度数为 135或 112.5或 140， （3）如
40、图 4，在ABC 中，ABAC，则BC， 当 AD 是特异线， 如果 ADBDCD， 第 22 页（共 25 页） BBADCADC45， BAC90， 如果 ADBD，ACCD， BADB，ADCDAC2B， BAC3B， B+C+BAC180， B36， BAC108， 当 BD 是特异线，如图 5， 当 ADBD，BDBC， BADABD，CBDC2A， A+ABC+ACB180， A36， 等腰三角形的顶角度数为 90，108，36 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键 是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思
41、 考问题，属于中考创新题目 25 （12 分）等腰 RtACB，ACB90，ACBC，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上 第 23 页（共 25 页） （1）如图 1，求证：BCOCAO （2）如图 2，若 OA5，OC2，求 B 点的坐标 （3）如图 3，点 C（0，3） ，Q、A 两点均在 x 轴上，且 SCQA18分别以 AC、CQ 为 腰在第一、第二象限作等腰 RtCAN、等腰 RtQCM，连接 MN 交 y 轴于 P 点，OP 的 长度是否发生改变？若不变，求出 OP 的值；若变化，求 OP 的取值范围 【分析】 （1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点 B
42、作 BDy 轴于 D，再判定CDBAOC（AAS） ，求得 BDCO2，CD AO5，进而得出 OD523，即可得到 B 点的坐标； （3）先过 N 作 NHCM，交 y 轴于 H，再HCNQAC（ASA） ，得出 CHAQ，HN QC， 然后根据点 C （0， 3） ， SCQA18， 求得 AQ12， 最后判定PNHPMC （AAS） ， 得出 CPPHCH6，即可求得 CP3+69（定值） 【解答】解： （1）如图 1，ACB90，AOC90， BCO+ACO90CAO+ACO， BCOCAO； （2）如图 2，过点 B 作 BDy 轴于 D，则CDBAOC90， 在CDB 和AOC 中
43、， ， CDBAOC（AAS） ， BDCO2，CDAO5， OD523， 又点 B 在第三象限， 第 24 页（共 25 页） B（2，3） ； （3）OP 的长度不会发生改变 理由：如图 3，过 N 作 NHCM，交 y 轴于 H，则 CNH+MCN180， 等腰 RtCAN、等腰 RtQCM， MCQ+ACN180， ACQ+MCN360180180， CNHACQ， 又HCN+ACO90QAC+ACO， HCNQAC， 在HCN 和QAC 中， ， HCNQAC（ASA） ， CHAQ，HNQC， QCMC， HNCM， 点 C（0，3） ，SCQA18， AQCO18，即AQ318， AQ12， CH12， NHCM， PNHPMC， 在PNH 和PMC 中， ， PNHPMC（AAS） ， CPPHCH6， 第 25 页（共 25 页） 又CO3， CP3+69（定值） ， 即 OP 的长度始终是 9 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三 角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形 的对应边相等进行推导计算解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有 所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质
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