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    2020年4月届湖北省湖北省黄冈市黄州区高三下学期模拟数学理科试题(含答案)

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    2020年4月届湖北省湖北省黄冈市黄州区高三下学期模拟数学理科试题(含答案)

    1、二、填空题(每题 5 5 分,满分分,满分 2020 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上)  13. 6 1 21xx的展开式中 2 x的系数为     14.我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、 中斜和大斜.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一 个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个数,相减后余数被 4 除,所得的数作为“实”,1 作为 “隅”,开平方后即得面积.所谓“实”、“隅”指的是在方程 2 pxq中,p为“隅”,q为“实”.即若 ABC的大

    2、斜、中斜、小斜分别为, ,a b c,则 2 222 222 1 42 acb Sa c .已知点D是ABC边AB 上一点,3AC ,2BC ,45ACD, 815 tan 7 BCD ,则ABC的面积为     15.过直线7ykx上一动点,M x y向圆C: 22 20xyy引两条切线MA,MB,切点为,A B, 若1,4k,则四边形MACB的最小面积3, 7S 的概率为     16.三棱锥SABC中,点P是Rt ABC斜边AB上一点.给出下列四个命题: 若SA平面ABC,则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形; 若4AC ,4BC ,4SC ,S

    3、C 平面ABC,则三棱锥SABC的外接球体积为32 3; 若3AC ,4BC ,3SC ,S在平面ABC上的射影是ABC内心,则三棱锥SABC的体积为 2; 若3AC ,4BC ,3SA,SA平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的最大角为60. 其中正确命题的序号是     (把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题三、解答题 (本大题共(本大题共 6 6 小题,共小题,共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .)   17.已知等差数列 n a的前n项和为 n S,且满足 46 18aa, 11

    4、 121S. (1)求数列 n a的通项公式; (2)设3 2n nn ba,数列 n b的前n项和为 n T,求 n T. 18.某小学为了了解该校学生课外阅读的情况,在该校三年级学生中随机抽取了 50 名男生和 50 名女生进行 调查,得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本) ,并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直 方图. 如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于 90 本,则称该学生为“书虫”. (1)根据频率分布直方图填写下面2 2列联表,并据此资料,在犯错误的概率不超过5%的前提下,你是 否认为“书虫”与性别有关? 男生 女生 总计 书虫   非书虫 &

    5、nbsp; 总计   附: 2 ()P kk 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 (2)从所抽取的 50 名女生中随机抽取两名,记“书虫”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 19.如图,已知边长为 2 的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直,且60DAB,点 F是BC的中点. (1)求证:BDEF; 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd k (2)求二面角EDFB的余弦值. 20.已知 1 F, 2 F为椭圆E: 22 22 1(0) xy ab

    6、ab 的左、右焦点,点 3 1, 2 P 在椭圆上,且过点 2 F的直线 l交椭圆于,A B两点, 1 AFB的周长为 8. (1)求椭圆E的方程; ( 2 ) 我 们 知 道 抛 物 线 有 性 质 :“ 过 抛 物 线 2 20ypx p的 焦 点 为F的 弦AB满 足 2 | |A FB FA FB F p .”那么对于椭圆E, 问是否存在实数, 使得 2222 AFBFAFBF 成立,若存在求出的值;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 2 1 x f xe . (1)求函数2fx在1x 处的切线方程; (2)若不等式f xyf xymx对任意的0,)x,0,)y都成立,求实数m的取

    7、值范 围. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. .  22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1 3 2 1 xt yt (t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2cos 4 . (1)写出直线l的普通方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程; (2)设直线l与圆C相交于,A B两点,求|AB. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 |2|f xx. (1)求不等式242fxf x的解集; (2)当0a

    8、时,不等式 1f axaf xa恒成立,求实数a的取值范围. 试卷答案试卷答案  1.【答案】C【解析】 2 |20 |02Ax xxxx剟?, |22 0 |1Bxxx x剟, |01ABxx剟.故选 C. 2.【答案】A【解析】复数1zi ,|2z , 2 2 12zii, 则 2 2 |22(1) 22121 1(1)(1) zi ziiiii ziii ,故选 A. 3.【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题, 所以命题“0,1x ,ln x ex ”的否定是: 0 0,1x, 0 0 ln x ex .故选 D. 4.【答案】B【解析】 aab 2 30aabaa ba

    9、 b,3a b , 向量ab在向量b方向的投影为 2 ()347 |cos, 22| ab ba bb abab b bb .故选 B. 5.【答案】D【解析】由正弦定理及大边对大角可得: sinsin 22 ab ABabAB RR , 而函数tanyx在0,上不是单调函数, 所以“sinsinAB”是“tantanAB”的既不充分也不必要条件,故选 D. 6.【答案】D【解析】执行程序框图,可得0S ,2n, 满足条件, 1 2 S ,4n,满足条件, 113 244 S ,6n,满足条件, 11111 24612 S ,8n, 由题意,此时应该不满足条件,退出循环, 输出S的值为 112

    10、2 8 123 ,故选 D. 7.【答案】C【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为 2 2 6 3 36 2 r , 圆锥的高 22 (3 5)36h ,圆锥母线 22 666 2l , 截去的底面弧的圆心角为120, 底面剩余部分的面积为 2222 2121 sin12066sin120249 3 3232 Srr , 故几何体的体积为: 11 (249 3) 64818 3 33 VSh, 故选 C. 8.【答案】D【解析】因为cos23sin22sin22sin 2 66 yxxxx , 由 3 222, 262 kxkk Z剟,解得 5 , 36 kxkk Z剟, 即函数的增区间为

    11、5 , 36 kkk Z,所以当0k 时,增区间为, 3 2 ,选 D. 9.【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域,如图所示: 其中2,6A,直线10xmy 过定点1,0D , 当0m时,不等式10x 表示直线10x 及其左边的区域,不满足题意; 当0m时,直线10xmy 的斜率 1 0 m , 不等式10xmy 表示直线10xmy 下方的区域,不满足题意; 当0m时,直线10xmy 的斜率 1 0 m , 不等式10xmy 表示直线10xmy 上方的区域, 要使不等式组所表示的平面区域内存在点 00 ,x y, 使不等式 00 10xmy 成立,只需直线10xmy 的斜率 1 2 AD

    12、 k m ,解得 1 2 m . 综上可得实数m的取值范围为 1 (, 2 ,故选 B. 10.【答案】D【解析】因为 1 10 x fxe ,且 10f, 所以函数 1 2 x f xex 单调递增且有唯一的零点为1m, 所以|1| 1n,02n, 问题转化为:使方程 2 30xaxa在区间0,2上有解, 即 22 3(1)2(1)44 12 111 xxx ax xxx 在区间0,2上有解,而根据“对勾函数”可知函数 4 12 1 yx x 在区间0,2的值域为2,3, 23a,故选 D. 11.【答案】B【解析】依题意可得,抛物线 2 4yx的焦点为1,0F, F关于原点的对称点1,0;

    13、24a, 1 2 a , 所以 1 2 fxxx, 1 2 fx x , 设 00 ,Q xx,则 0 0 0 1 12 x xx ,解得 0 1x ,1,1Q, 可得 22 11 1 ab ,又1c, 222 cab,可解得 51 2 a , 故双曲线的离心率是 151 251 2 c e a ,故选 B. 12.【答案】D【解析】函数 2 0 ( )ln1g xxxaxf x在(0, e内都有两个不同的零点, 等价于方程 2 0 ln1xxaxf x 在(0, e内都有两个不同的根. 111 ( )(1) xxx fxexex e ,所以当0,1x时, 0fx, f x是增函数; 当1,x

    14、e时, 0fx, f x是减函数.因此 01f x. 设 2 ( )ln1F xxxax, 2 121 ( )2 xax F xxa xx , 若 0Fx在0,e无解,则 F x在(0, e上是单调函数,不合题意; 所以 0Fx在0,e有解,且易知只能有一个解. 设其解为 1 x,当 1 0,xx时 0Fx, F x在 1 0,x上是增函数; 当 1, xx e时 0Fx, F x在 1, x e上是减函数. 因为 0 (0, xe,方程 2 0 ln1xxaxf x 在(0, e内有两个不同的根, 所以 1 max 1F xF x,且 0F e . 由 0F e ,即 2 ln10eeae

    15、,解得 2 ae e . 由 1 max 1F xF x,即 2 111 ln11xxax , 所以 2 111 ln0xxax. 因为 2 11 210xax ,所以 1 1 1 2ax x , 代入 2 111 ln0xxax,得 2 11 ln10xx . 设 2 ln1m xxx, 1 20m xx x , 所以 m x在0,e上是增函数, 而 1ln1 1 10m ,由 2 11 ln10xx 可得 1 1m xm,得 1 1xe. 由 1 1 1 2ax x 在1,e上是增函数,得 1 12ae e . 综上所述 2 1ae e ,故选 D. 13.【答案】3【解析】 6 1 21

    16、xx的展开式中 2 x的系数为 21 66 23CC . 14.【答案】 3 15 4 【解析】 tantan tantan()15 1tantan ACDBCD ACBACDBCD ACDBCD , 所以 1 cos 4 ACB ,由余弦定理可知 222 2cos16ABACBCAC BCACB,得4AB . 根据“三斜求积术”可得 2 222 222 1423135 42 4216 S , 所以 3 15 4 S . 15.【答案】 157 3 【解析】由圆的方程得 2 2 11xy, 所以圆心为0, 1,半径为1r ,四边形的面积2 MBC SS, 若四边形MACB的最小面积3, 7S

    17、, 所以 MBC S的最小值为 37 , 22 MBC S , 而 1 | 2 MBC Sr MB ,即|MB的最小值 min |3, 7MB , 此时|MC最小为圆心到直线的距离, 此时 2222 2 |1 7| 1( 3) , 1( 7) 1 d k , 因为0k ,所以7, 15k ,所以1,4k的概率为 157 3 . 16.【答案】【解析】对于,因为SA平面ABC, 所以SAAC,SAAB,SABC,又BCAC, 所以BC 平面SAC,所以BCSC,故四个面都是直角三角形, 正确;对于,若4AC ,4BC ,4SC ,SC 平面ABC, 三棱锥SABC的外接球可以看作棱长为 4 的正

    18、方体的外接球, 222 24444 3R ,2 3R , 体积为 3 4 (2 3)32 3 3 V,正确; 对于,设ABC内心是O,则SO平面ABC,连接OC, 则有 222 SOOCSC,又内切圆半径 1 3451 2 r , 所以2OC , 222 321SOSCOC,故1SO, 三棱锥SABC的体积为 111 3 4 12 332 ABC VSSO ,正确; 对于,若3SA,SA平面ABC, 则直线PS与平面SBC所成的角最大时,P点与A点重合, 在Rt SCA中, 3 tan1 5 ASC,45ASC, 即直线PS与平面SBC所成的最大角为45, 不正确,故答案为. 17.【解析】

    19、(1)设数列 n a的公差为d, 465 218aaa, 5 9a , 111 116 11 11121 2 aa Sa , 6 11a , 65 11 92daa, 5 (5)92(5)21 n aandnn. (2)由(1)可知 1 3 2(21 3)2(1)2 nnn nn bann , 数列 n b的前n项和为 2341 2 23 24 2(1)2n n Tn , 34512 22 23 24 22(1)2 nn n Tnn , 两式作差,得 23412 2 2222(1)2 nn n Tn 1 2222 8 1 2 8(1)2828(1)22 1 2 n nnnn nnn , 2n

    20、n Tn . 18.【解析】 (1)由频率分布直方图可得,男生书虫、非书虫的人数分别为 12,38,女生书虫、非书虫的人数分别为 4, 46,故得如下2 2列联表: 男生 女生 总计 书虫 12 4 16 非书虫 38 46 84 总计 50 50 100 根据列联表中数据可得: 2 2 100 (12 464 38) 4.762 16 84 50 50 K , 由于4.7623.841,所以在犯错误的概率不超过5%的前提下,可以认为“书虫”与性别有关. (2)由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为 4,X的所有可能取值为 0,1,2, 则 2 46 2 50 207 (0) 245 C P

    21、 X C , 11 464 2 50 184 (1) 1225 C C P X C , 4 2 2 50 6 (2) 1225 C P X C , 故X的分布列为 X 0 1 2 P 207 245 184 1225 6 1225 X的数学期望为 20718461964 ()012 24512251225122525 E X . 19.【解析】 (1)证明:取AB的中点O,连结EO,OF,AC,. 由题意知,EOAB又因为平面ABCD平面ABE, 所以EO平面ABCD. 因为BD 平面ABCD,所以EOBD, 因为四边形ABCD为菱形,所以BDAC, 又因为OFAC,所以BDOF, 所以BD

    22、平面EOF.又EF 平面EOF, 所以BDEF. (2)连结DO,由题意知EOAB,DOAB. 又因为平面ABCD平面ABE,所以DO 平面ABE, 又O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 则0,0,0O, 3,0,0E, 33 0, 22 F ,0,1,0B, 33 0, 22 DF , 3,0,3DE . 设平面DEF的一个法向量为 1 , ,nx y z, 则 1 1 0 0 DF n DE n ,即 33 0 22 330 yz xz , 令1x ,所以 1 3 1,1 3 n . 又由(1)可知EO平面ABCD, 所以平面DFB的一个法向量为 2 1,0,0n , 设二面

    23、角EDFB的平面角为,则 12 12 21 cos 7| | n n nn . 20.【解析】 (1)根据椭圆的定义,可得 12 | 2AFAFa, 12 | 2BFBFa, 1 AFB的周长为 111122 |4AFBFABAFBFAFBFa, 48a,得2a, 椭圆E的方程为 22 2 1 4 xy b , 将 3 1, 2 P 代入椭圆E的方程可得 2 3b , 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy . (2)由(1)可知 222 431cab,得 2 1,0F, 依题意可知直线l的斜率不为 0, 故可设直线l的方程为1xmy, 由 22 1 43 1 xy xmy 消去x,整理得

    24、22 34690mymy, 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 2 6 34 m yy m , 12 2 9 34 y y m , 不妨设 1 0y , 2 0y , 22 2222 2111111 11 11 |1|AFxymyymymy , 同理 22 222 11BFmymy , 所以 222 2212 12 1111111 111 AFBFyy mymym 2 2 22 2112 21 222 1212 2 69 4 4 34341114 9 3 111 34 m yyy y mmyy y yy y mmm m 即 2222 4 | 3 AFBFAFBF,所以存在实

    25、数 4 3 , 使得 2222 AFBFAFBF成立. 21.【解析】 (1)设 22 21 x t xfxe ,则 22 2 x t xe , 当1x 时, 2 2 112te , 2 2 122te , 函数2fx在1x 处的切线方程为221yx,即20xy. (2)根据题意可得 22 2 x yx y eemx 对任意的0,)x,0,)y都成立, 当0x时,不等式即为 22 20 yy ee ,显然成立; 当0x时,设 22 ( )2 x yx y g xee , 则不等式 22 2 x yx y eemx 恒成立, 即为不等式 g xmx恒成立, 22222 ( )222222 x y

    26、x yxyyxyyx g xeeeeeeeee (当且仅当0y 时取等号) , 由题意可得 2 22 x emx , 即有 2 22 x e m x 对0,x恒成立, 令 2 22 ( ) x e h x x ,则 22 2 22 1 (1)1 ( )22 xx x xee xe h x xx , 令 0h x,即有 2 11 x xe , 令 2 ( )(1) x m xxe ,则 222 ( )(1) xxx m xexexe , 当0x时, 2 0 x m xxe , m x在0,上单调递增, 又 2 2 (2)(2 1)1me , 2 (1)1 x xe 有且仅有一个根2x, 当2,x

    27、时, 0h x, h x单调递增, 当0,2x时, 0h x, h x单调递减, 当2x时, h x取得最小值, 为 2 2 22 (2)2 2 e h ,2m. 实数m的取值范围(,2. 22.【解析】 (1)将直线l的参数方程 1 3 2 1 xt yt (t为参数)消去参数t, 可得直线l的普通方程为 11 1 23 yx , 即22 32 310xy . 由2cos 4 ,得cossin, 所以 2 cossin, 得 22 xyxy,即 22 111 222 xy . (2)由 1 3 2 1 xt yt 得 13 22 1 1 2 xm ym (m为参数) , 将其代入 22 11

    28、1 222 xy ,得 2 11 0 24 mm, 12 1 2 mm , 12 1 4 m m , 2 22 12121212 115 |44 242 ABmmmmmmm m . 23.【解析】 (1)函数 4,1 (2 )(4) |22|2|3 , 12 4,2 xx fxf xxxxx xx , 当1x时,不等式即42x ,求得6x,6x; 当12x 时,不等式即32x ,求得 2 3 x , 2 2 3 x; 当2x时,不等式即42x,求得2x,2x. 综上所述,不等式的解集为 2 |6 3 x xx 或. (2)当0a时, ()( ) |2|2| |2|2 |(2)(2 )| |22|f axaf xaxa xaxaxaaxaxaa 不等式 1f axaf xa恒成立,|22|1aa, 221aa 或221aa , 解得3a或 1 0 3 a, 实数a的取值范围为 1 (0, 3,) 3 .


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