1、2018-2019 学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 （上）期末数学试卷（理科）一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分 ）分 ） 1 （5 分）已知命题 p：x0R，x02+10，则（ ） Ap：xR，x2+10 Bp：xR，x2+10 Cp：xR，x2+10 Dp：xR，x2+10 2 （5 分）命题“若 ，则 tan1”的逆否命题是（ ） A若 ，则 tan 1 B若 ，则 tan 1 C若 tan 1，则 D若 tan 1，则 3 （5 分）椭圆+1 的焦距为（ ） A2 B8 C4 D12 4
2、 （5 分）抛物线 yx2的准线方程为（ ） Ax Bx Cy Dy 5 （5 分）双曲线 4x2y2+160 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1，则点 P 到另一个 焦点的距离等于（ ） A3 B5 C7 D9 6 （5 分）已知向量 （2，1，3） ， （4，2，x） ，使 成立的 x 与使 成 立的 x 分别为（ ） A，6 B，6 C6， D6， 7 （5 分）已知 f（x）x3，则 f（2）（ ） A4 B6 C8 D12 8 （5 分）椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3 B C D 9 （5 分）曲线 yxex+1 在点（0，1）处的切线方程是（ ） Axy+10 B2
3、xy+10 Cxy10 Dx2y+20 第 2 页（共 19 页） 10 （5 分） 如果椭圆+1 的弦被点 （4， 2） 平分， 则这条弦所在的直线方程是 （ ） Ax2y0 Bx+2y40 C2x+3y120 Dx+2y80 11 （5 分）双曲线1（a0，b0）的两个焦点为 F1，F2，若 P 为其图象上一 点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A （1，2 B （1，2） C （2，+） D2，+） 12 （5 分）如图，平面 ABCD平面 ABEF，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且 AFAD 1，G 是 EF 的中点，则点 B 到平面
4、AGC 的距离为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）命题“若 a0，则 a1”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题 的个数为 14 （5 分）以 yx 为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为 15 （5 分）计算dx 16 （5 分）数 1，m，9 成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 6 小题， 第小题， 第 17 题题 10 分， 第分， 第 18、 19、20、
5、21、 22 题题 12 分， 共分， 共 70 分 解分 解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知命题恒成立；命题 q：方程 表示双曲线 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）斜率为的直线 l 经过抛物线 y22px 的焦点 F（1，0） ，且与抛物线相交于 A、 第 3 页（共 19 页） B 两点 （1）求该抛物线的标准方程和准线方程； （2）求线段 AB 的长 19 （12 分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不
6、计厚度） 设该蓄水池的底面半径 为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成 本为 100 元/平方米， 底面的建造成本为 160 元/平方米， 该蓄水池的总建造成本为 12000 元（ 为圆周率） （）将 V 表示成 r 的函数 V（r） ，并求该函数的定义域； （）讨论函数 V（r）的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 20（12 分） 如图已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PD底面 ABCD， E，F 分别为棱 BC，AD 的中点 （1）若 PD1，求异面直线 PB 和 DE 所成角的大小 （
7、2）若二面角 PBFC 的余弦值为，求四棱锥 PABCD 的体积 21 （12 分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距 离，O 为坐标原点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，证明点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求弦 AB 长度的最小值 第 4 页（共 19 页） 22 （12 分）已知函数 （1）当 a1 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若不等式对于任意 xe 1，e成立，求正实数 a 的 取值范围 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年湖南省株洲市醴陵二中、 醴陵四中联考高二 （上）学年湖南省株洲市醴陵
8、二中、 醴陵四中联考高二 （上） 期末数学试卷（理科）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分 ）分 ） 1 （5 分）已知命题 p：x0R，x02+10，则（ ） Ap：xR，x2+10 Bp：xR，x2+10 Cp：xR，x2+10 Dp：xR，x2+10 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以，命题 p：x0R，x02+10 的否定是p：xR，x2+10， 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，特
9、称命题与全称命题的否定关系，是基础题 2 （5 分）命题“若 ，则 tan1”的逆否命题是（ ） A若 ，则 tan 1 B若 ，则 tan 1 C若 tan 1，则 D若 tan 1，则 【分析】根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若q，则p” ，直接写出它的逆否命 题即可 【解答】解：命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是 “若 tan 1，则 ” 故选：C 【点评】本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命 题之间的关系进行解答，是基础题 3 （5 分）椭圆+1 的焦距为（ ） A2 B8 C4 D12 【分析】由椭圆方程求得 a2，b2的值，
10、再由隐含条件得答案 第 6 页（共 19 页） 【解答】解：由椭圆+1，可知椭圆焦点在 y 轴上， 又 a236，b216，c 椭圆+1 的焦距为 2c4 故选：C 【点评】本题考查椭圆的方程及简单性质，是基础题 4 （5 分）抛物线 yx2的准线方程为（ ） Ax Bx Cy Dy 【分析】先求出抛物线 yx2的标准方程，再求抛物线 yx2的准线方程 【解答】解：抛物线 yx2的标准方程为 x2y， 抛物线 yx2的准线方程为 y 故选：C 【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物 线的简单性质的灵活运用 5 （5 分）双曲线 4x2y2+160 上一点
11、P 到它的一个焦点的距离等于 1，则点 P 到另一个 焦点的距离等于（ ） A3 B5 C7 D9 【分析】先求出 a 的值，然后利用双曲线的定义可求出答案 【解答】解： 将双曲线的方程化为标准方程得，则双曲线的实半轴长为 a4， 半焦距为，双曲线上一点到焦点距离的最小值为， 设点 P 到另一个焦点的距离为 t，则|t1|2a8，由于 t0，解得 t9 因此，点 P 到另一个焦点的距离为 9 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质，考查对双曲线定义的理解，考查计算能力与性质的应 用，属于中等题 6 （5 分）已知向量 （2，1，3） ， （4，2，x） ，使 成立的 x 与使 成 第 7 页（
12、共 19 页） 立的 x 分别为（ ） A，6 B，6 C6， D6， 【分析】利用空间向量垂直和平行的坐标关系分别得到方程，解之即可 【解答】解：向量 （2，1，3） ， （4，2，x） ，使 成立的 x 满足82+3x 0，解得 x； 使 成立的 x 满足，解得 x6； 故选：A 【点评】本题考查了空间向量垂直和平行的坐标关系；熟记公式是关键；属于基础题 7 （5 分）已知 f（x）x3，则 f（2）（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】先求导，再代值计算即可 【解答】解：f（x）x3， 则 f（x）3x2， 则 f（2）3412， 故选：D 【点评】本题考查了导数的运算和导数值的求法
13、，属于基础题 8 （5 分）椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3 B C D 【分析】设椭圆上的点 P（4cos，2sin） ，由点到直线的距离公 式，计算可得答案 【解答】解：设椭圆上的点 P（4cos，2sin） 则点 P 到直线的距离 d； 故选：D 第 8 页（共 19 页） 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解 9 （5 分）曲线 yxex+1 在点（0，1）处的切线方程是（ ） Axy+10 B2xy+10 Cxy10 Dx2y+20 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x0 处的导函数 值，再结合导数的几何意义即可求出切
14、线的斜率从而问题解决 【解答】解：yxex+1， f'（x）xex+ex， 当 x0 时，f'（0）1 得切线的斜率为 1，所以 k1； 所以曲线 yf（x）在点（0，1）处的切线方程为： y11（x0） ，即 xy+10 故选：A 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 10 （5 分） 如果椭圆+1 的弦被点 （4， 2） 平分， 则这条弦所在的直线方程是 （ ） Ax2y0 Bx+2y40 C2x+3y120 Dx+2y80 【分析】设这条弦的两端点为 A（x1，y1） ，B（x
15、2，y2） ，则，两式相减 再变形得，又由弦中点为（4，2） ，可得 k，由此可求出这条 弦所在的直线方程 【解答】解：设这条弦的两端点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，斜率为 k， 则， 两式相减再变形得 第 9 页（共 19 页） 又弦中点为（4，2） ，故 k， 故这条弦所在的直线方程 y2（x4） ，整理得 x+2y80； 故选：D 【点评】用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法 11 （5 分）双曲线1（a0，b0）的两个焦点为 F1，F2，若 P 为其图象上一 点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A （1，2 B （1，2） C （2，+
16、） D2，+） 【分析】先根据双曲线定义可知|PF1|PF2|2a，进而根据|PF1|3|PF2|，求得 a|PF2|， 同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|PF1|+|PF2|，进而求得 a 和 c 的不等式关系，分析当 p 为双曲线顶点时，e2 且双曲线离心率大于 1，最后综合 答案可得 【解答】解：根据双曲线定义可知|PF1|PF2|2a， 即 3|PF2|PF2|2a， a|PF2|，|PF1|3a， 在PF1F2中，|F1F2|PF1|+|PF2|， 2c4|PF2|，c2|PF2|2a， 2， 当 P 为双曲线顶点时，2， 又双曲线 e1， 1e2 故选：
17、A 【点评】本题主要考查了双曲线的定义和简单性质，三角形边与边之间的关系解题一 定要注意点 P 在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案 12 （5 分）如图，平面 ABCD平面 ABEF，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且 AFAD 1，G 是 EF 的中点，则点 B 到平面 AGC 的距离为（ ） 第 10 页（共 19 页） A B C D 【分析】以 A 为原点，AF 为 x 轴，AB 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出点 B 到平面 AGC 的距离 【解答】解：平面 ABCD平面 ABEF，ABCD 是正方形， ABEF 是矩形，且 AFAD1，G
18、 是 EF 的中点， 以 A 为原点，AF 为 x 轴，AB 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， B（0，2，0） ，A（0，0，0） ，G（1，1，0） ，C（0，2，2） ， （0，2，0） ，（1，1，0） ，（0，2，2） ， 设平面 AGC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 点 B 到平面 AGC 的距离为： d 故选：D 【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 第 11 页（共 19 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小
19、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）命题“若 a0，则 a1”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题 的个数为 2 【分析】根据逆否命题的等价性结合四种命题真假之间的关系进行判断即可 【解答】解：若 a0，则 a1 为假命题，比如当 a，满足 a0，但 a1 不成立， 则逆否命题为假命题， 命题的逆命题为若 a1，则 a0 为真命题，则否命题也为真命题， 故真命题的个数为 2 个， 故答案为：2 【点评】本题主要考查四种命题的真假关系的判断，根据逆否命题的等价性是解决本题 的关键比较基础 14 （5 分）以 yx 为渐近线且经过点（2，0）的双
20、曲线方程为 【分析】根据题意设双曲线方程为 x2y2（0） ，代入题中的点的坐标，即可得到 4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程 【解答】解：双曲线以 yx 为渐近线， 该双曲线为等轴双曲线，设方程为 x2y2（0） 点（2，0）是双曲线上的点， 2202，可得 4 由此可得双曲线方程为 x2y24，化成标准形式得 故答案为： 【点评】本题给出双曲线以 yx 为渐近线且经过点（2，0） ，求双曲线的标准方程着 重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题 15 （5 分）计算dx 【分析】利用定积分的几何意义即可求出 【解答】解：令y0， 则（x1）2+y21（x0，y0
21、） ， 第 12 页（共 19 页） dx 表示的是圆（x1）2+y21（x0，y0）的面积的， dx， 故答案为： 【点评】本题主要考查积分的几何意义，熟练掌握微积分基本定理是解题的关键 16 （5 分）数 1，m，9 成等比数列，则圆锥曲线的离心率为 或 2 【分析】由 1，m，9 构成一个等比数列，得到 m3当 m3 时，圆锥曲线是椭圆； 当 m3 时，圆锥曲线是双曲线，由此即可求出离心率 【解答】解：1，m，9 构成一个等比数列， m219， 则 m3 当 m3 时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是； 当 m3 时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是2 则离心率为或 2 故答案为：或 2 【点
22、评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用， 注意分类讨论思想的灵活运用 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 6 小题， 第小题， 第 17 题题 10 分， 第分， 第 18、 19、20、 21、 22 题题 12 分， 共分， 共 70 分 解分 解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知命题恒成立；命题 q：方程 表示双曲线 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）运用基本不等式
23、可得（x1）的最小值，即可得到 m 的范围； （2）由题意可得 p，q 中一真一假，由双曲线的方程可得（m2） （m+2）0，求得 m 第 13 页（共 19 页） 的范围，解不等式组即可得到所求范围 【解答】解： （1）（x1）+2， x1，（x1）+22+24，当且仅当 x2 时取得等号， 故命题 p 为真命题时，m4 （2）若命题 q 为真命题，则（m2） （m+2）0，所以2m2， 因为命题 p 或 q 为真命题，则 p，q 至少有一个真命题， p 且 q 为假命题，则 p，q 至少有一个假命题， 所以 p，q 一个为真命题，一个为假命题 当命题 p 为真命题，命题 q 为假命题时，
24、则 m2，或 2m4； 当命题 p 为假命题，命题 q 为真命题时，舍去 综上，m2，或 2m4 【点评】本题考查命题的真假判断，主要是复合命题的真假、不等式恒成立问题解法和 双曲线方程的判断，考查运算能力和推理能力，属于中档题 18 （12 分）斜率为的直线 l 经过抛物线 y22px 的焦点 F（1，0） ，且与抛物线相交于 A、 B 两点 （1）求该抛物线的标准方程和准线方程； （2）求线段 AB 的长 【分析】 （1）根据焦点可求出 p 的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将直线 l 的方程与抛物线方程联立消去 y，整理得
25、4x2 17x+40，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知|AB|x1+x2+p，代入即可求出 所求 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由焦点 F（1，0） ，得，解得 p2（2 分） 所以抛物线的方程为 y24x，其准线方程为 x1，（4 分） （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 直线 l 的方程为 （5 分） 与抛物线方程联立，得，（7 分） 消去 y，整理得 4x217x+40，（9 分） 由抛物线的定义可知， 所以，线段 AB 的长为（13 分） 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等 问题，属于中档题 1
26、9 （12 分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度） 设该蓄水池的底面半径 为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成 本为 100 元/平方米， 底面的建造成本为 160 元/平方米， 该蓄水池的总建造成本为 12000 元（ 为圆周率） （）将 V 表示成 r 的函数 V（r） ，并求该函数的定义域； （）讨论函数 V（r）的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 【分析】 （I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积 公式，根据该蓄水池的总建造成本为 12000 元，构造方程整理后，可将 V
27、表示成 r 的函 数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域； （）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单 调性，可得函数的最大值点 第 15 页（共 19 页） 【解答】解： （）蓄水池的侧面积的建造成本为 200rh 元， 底面积成本为 160r2元， 蓄水池的总建造成本为 200rh+160r2元 即 200rh+160r212000 h（3004r2） V（r）r2hr2（3004r2）（300r4r3） 又由 r0，h0 可得 0r5 故函数 V（r）的定义域为（0，5） （）由（）中 V（r）（300r4r3） ， （0r5） 可得 V（r
28、）（30012r2） ， （0r5） 令 V（r）（30012r2）0，则 r5 当 r（0，5）时，V（r）0，函数 V（r）为增函数 当 r（5，5）时，V（r）0，函数 V（r）为减函数 且当 r5，h8 时该蓄水池的体积最大 【点评】本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（）的关键是根据已知，求出函 数的解析式及定义域， （）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点 20（12 分） 如图已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PD底面 ABCD， E，F 分别为棱 BC，AD 的中点 （1）若 PD1，求异面直线 PB 和 DE 所成角的大小 （2）若二
29、面角 PBFC 的余弦值为，求四棱锥 PABCD 的体积 【分析】 （1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边 形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到PBF 中，利用余弦定理求出角 的余弦值 第 16 页（共 19 页） （2）以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设出线 段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的 a 的值，再求出四棱锥 的体积 【解答】解： （1）E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，ABCD 是边长为 2 的正方形 DFBE 且 DFBE DFBE 为平行四边形 DEBF PB
30、F 是 PB 与 DE 的所成角 PBF 中，BF，PF，PB3 异面直线 PB 和 DE 所成角的大小为 （2）如图，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设 PDa， 可得如下点的坐标： P（0，0，a） ，F（1，0，0） ，B（2，2，0） 则有： 因为 PD底面 ABCD，所以平面 ABCD 的 一个法向量为 m（0，0，1） 设平面 PFB 的一个法向量为 n（x，y，z） ，则可得即 令 x1，得，所以 由 已 知 ， 二 面 角P BF C的 余 弦 值 为， 所 以 得 ： 解得 a2 因为 PD 是四棱锥 PABCD 的高， 其体积
31、为 第 17 页（共 19 页） 【点评】本题考查立体几何的综合问题，在题目中不是求二面角二是乙二面角的大小 为已知条件，求出图形中的未知量，再进行其他的运算 21 （12 分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距 离，O 为坐标原点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，证明点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求弦 AB 长度的最小值 【分析】 （I）利用离心率求得 a 和 c 的关系式，同时利用点到直线的距离求得 a，b 和 c 的关系最后联立才求得 a 和 b，则椭圆的方程可得 （II）设出 A，B 和直线 AB 的方程与椭圆方程
32、联立消去 y，利用韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2，利用 OAOB 推断出 x1x2+y1y20， 求得 m 和 k 的关系式，进而利用点到直线的距离求得 O 到直线 AB 的距离为定值，进而 利用基本不等式求得 OAOB 时 AB 长度最小，最后根据求得 AB 的坐标值 【解答】解： （I）由， 由右焦点到直线的距离为， 得：， 解得 所以椭圆 C 的方程为 （II）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线 AB 的方程为 ykx+m， 与 椭 圆联 立 消 去y得3x2+4 （ k2x2+2kmx+m2） 12 0 ， 第 18 页（共 19 页） OAOB，x1x2+y1
33、y20， x1x2+（kx1+m） （kx2+m）0 即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m20， 整理得 7m212（k2+1） 所以 O 到直线 AB 的距离为定值 OAOB，OA2+OB2AB22OAOB， 当且仅当 OAOB 时取“”号 由， ， 即弦 AB 的长度的最小值是 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合分析问题的能力 和基本的运算能力 22 （12 分）已知函数 （1）当 a1 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若不等式对于任意 xe 1，e成立，求正实数 a 的 取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的
34、单调区间即可； （2）原题等价于对任意 x，e，有alnx+xae1 成立，设 g（x）alnx+xa，a 0，所以 g（x）maxe1，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而确定 a 的范 围即可 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）x（a+1）+， 若 0a1， 当 0xa 或 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增； 当 ax1 时，f（x）0，f（x）单调递减， 第 19 页（共 19 页） 若 a0， 当 0x1 时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增 综上所述，当 a0 时，函数 f（x）在（1，+）上单调递
35、增，在（0，1）上单调递减； 当 0a1 时，函数 f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a）和（1，+）上单调递 增 （2）原题等价于对任意 x，e，有alnx+xae1 成立， 设 g（x）alnx+xa，a0，所以 g（x）maxe1， g（x）， 令 g（x）0，得 0x1；令 g（x）0，得 x1， 所以函数 g（x）在，1上单调递减，在（1，e上单调递增， g（x）maxmax（g（）a+e a，g（e）a+ea） ， 设 h（a）g（e）g（）eae a2a（a0） ， 则 h（a）ea+e a22 20， 所以 h（a）在（0，+）上单调递增， 故 h（a）h（0）0， 所以 g（e）g（） ， 从而 g（x）maxg（e）a+ea， 所以a+eae1，即 eaae+10， 设 （a）eaae+1（a0） ，则 （a）ea10， 所以 （a）在（0，+）上单调递增， 又 （1）0，所以 eaae+10 的解为 a1， 因为 a0，所以正实数 a 的取值范围为（0，1 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题
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