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    2018-2019学年湖南省娄底市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

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    2018-2019学年湖南省娄底市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

    1、2018-2019 学年湖南省娄底市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)设命题 p:x0,|x|x,则p 为( ) Ax0,|x|x Bx00,|x0|x0  Cx0,|x|x Dx00,|x0|x0 2 (5 分)已知 Ax|yln(x2+9),By|y2x,则 AB( ) A (0,3 B (0,ln9 C (3,0) D (0,3) 3 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体

    2、积为( ) A6 B8 C10 D12 4 (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S( ) A B C D 第 2 页(共 20 页) 5 (5 分)函数的图象大致为( ) A B  C D 6 (5 分)设点 A 的坐标为,点 P 在抛物线 y28x 上移动,P 到直线 x1 的 距离为 d,则 d+|PA|的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 7 (5 分)已知函数的图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 xey+20 平行, 则 a( ) A1 Be Ce D1 8 (5 分)有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛,只有其中一位获奖,有人走访 了这四位大学生,

    3、甲说: “是丙获奖 ” 乙说: “是丙或丁获奖, ” 丙说: “乙、 丁都未获奖 “” 丁说: “我获奖了, ”这四位大学生的话只有两人说的是对的,则获奖的大学生是( )  A甲 B乙 C丙 D丁 9 (5 分)已知等比数列an的各项均为正数,且 a1,a2成等差数列,则 q( )  A B C D或 10 (5 分)在ABC 中, “A+B”是 sinAcosB 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 (5 分)已知函数在区间 上单调递增将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度,再向下平移 2 个 单位长度得到函

    4、数 g(x)的图象,且当时,g(x)2,4,则 a 的 取值范围是( ) 第 3 页(共 20 页) A B C D 12 (5 分)设 F1是双曲线的一个焦点,A1,A2是 C 的两个 顶点,C 上存在一点 P,使得 PF1与以 A1A2为直径的圆相切于 Q,且 Q 是线段 PF1的中 点,则 C 的渐近线方程为( ) A B C Dy2x 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 z2x3y 的最小值为   14 (5 分)

    5、函数在(0,e2上的最大值是   15 (5 分)将正整数排成如图,则在表中第 45 行第 83 个数是   16 (5 分)已知 x0,y0,且+2,若 4x+y7mm2恒成立,则 m 的取值范围 为   三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 (10 分)在等差数列an中,a57,a2+a612 (1)求an的通项公式; (2)设 bn,求数列,bn的前 n 项和 Sn 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c

    6、,已知 2cos2Acos2B1, b+2acosC0 (1)求 C; (2)若,求ABC 的周长 19 (12 分)已知动圆 C 过定点 F(2,0) ,且与直线 x2 相切,圆心 C 的轨迹为 E, (1)求 E 的轨迹方程; (2)若直线 l 交 E 与 P,Q 两点,且线段 PQ 的中心点坐标(1,1) ,求|PQ| 第 4 页(共 20 页) 20 (12 分)设函数 f(x)(x+1)2+axex (1)若 a1,求 f(x)的极值; (2)若 a1,求 f(x)的单调区间 21 (12 分)已知椭圆 M:的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且垂 直于 x 轴的焦点弦的弦长为,

    7、过 F1的直线 l 交椭圆 M 于 G,H 两点,且GHF2的 周长为 (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 l1,l2互相垂直,直线 l1过 F1且与椭圆 M 交于点 A,B 两点,直线 l2过 F2且与椭圆 M 交于 C,D 两点求的值 22 (12 分)已知函数 (1)当 a0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(2,+)上是减函数,求 a 的最小值; (3)证明:当 x0 时, 第 5 页(共 20 页) 2018-2019 学年湖南省娄底市高二(上)期末数学试卷(文科)学年湖南省娄底市高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、

    8、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)设命题 p:x0,|x|x,则p 为( ) Ax0,|x|x Bx00,|x0|x0  Cx0,|x|x Dx00,|x0|x0 【分析】利用全称命题的否定是图象命题,写出结果即可 【解答】解:因为全称命题的否定是推出明天吧,所以命题 p:x0,|x|x,则p 为: x00,|x0|x0 故选:D 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查

    9、 2 (5 分)已知 Ax|yln(x2+9),By|y2x,则 AB( ) A (0,3 B (0,ln9 C (3,0) D (0,3) 【分析】分别求出集合 A 和 B,由此能求出 AB 【解答】解:Ax|yln(x2+9)x|3x3, By|y2xy|y0, ABx|0x3(0,3) 故选:D 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题 3 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A6 B8 C10 D12 第 6 页(共 20 页) 【分析】由三视图还原原几何体,该几何体为组合体,下半部分为正方体,棱长为 2,上

    10、 半部分为直三棱柱,高为 2,底面是等腰直角三角形,直角边长为,再由正方体与棱 柱的体积公式求解 【解答】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为组合体,下半部分为正方体,棱长为 2, 上半部分为直三棱柱,高为 2,底面是等腰直角三角形,直角边长为, 则该几何体的体积 V 故选:C 【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题 4 (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S( ) A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 第 7 页(共 20 页) +的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,

    11、可 得答案 【解答】解:模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S +的值, 可得 S+ 故选:B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 5 (5 分)函数的图象大致为( ) A B  C D 【分析】先用奇偶性排除 C,D再用 0x1 时,f(x)的符号排除 B 【解答】解:因为 f(x)f(x) ,所以 f(x)为奇函数,图象关于原 点对称,排除 C,D, 因为 f(1)0,0x1 时,f(x)0,所以排除 B 故选:A 【点评】本题考查了函数的图象与图象变换属中档题 6 (5 分)设点 A 的

    12、坐标为,点 P 在抛物线 y28x 上移动,P 到直线 x1 的 距离为 d,则 d+|PA|的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】求得抛物线的准线方程和焦点,由题意可得 d+|PA|的最小值即为(d+1)+|PA| 1 的最小值,由抛物线的定义可得即为|PA|+|PF|1 的最小值,运用三点共线取得最值 可得所求最小值 【解答】解:抛物线 y28x 的准进行方程为 x2,焦点为 F(2,0) , 第 8 页(共 20 页) P 到直线 x1 的距离为 d,可得 P 到直线 x2 的距离为 d+1, 则 d+|PA|的最小值即为(d+1)+|PA|1 的最小值, 由抛物线的定义可得

    13、|PF|d+1, 即有(d+1)+|PA|1 的最小值为|PA|+|PF|1 的最小值, 可得当 A, P, F 三点共线时, |PA|+|PF|1 取得最小值|AF|1 1413 故选:C 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,注意运用转化思想和定义法、三点共线 取得最值的性质,考查运算能力,属于基础题 7 (5 分)已知函数的图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 xey+20 平行, 则 a( ) A1 Be Ce D1 【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,列出方程求解 a 即可 【解答】解:函数,可得, 函数的图象在点(1,f(1) )处的切线与直线 xey+20 平行, ,

    14、 所以 a1 故选:D 【点评】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力 第 9 页(共 20 页) 8 (5 分)有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛,只有其中一位获奖,有人走访 了这四位大学生, 甲说: “是丙获奖 ” 乙说: “是丙或丁获奖, ” 丙说: “乙、 丁都未获奖 “” 丁说: “我获奖了, ”这四位大学生的话只有两人说的是对的,则获奖的大学生是( )  A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】直接利用推理的应用和假设法的应用求出结果 【解答】解:若甲获奖,则甲乙丁说的是错的,丙说的是对的,不符合题意 若乙获奖,则甲乙丙丁这四个人说的全是错的,不符合题意

    15、若丙获奖,则甲乙丙三人说的是对的,丁说的是错的,不符合题意 若丁获奖,则甲丙说的是错的,丁说的是对的,符合题意 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:推理的应用,主要考查学生的逻辑思维能力和推理能力, 属于基础题型 9 (5 分)已知等比数列an的各项均为正数,且 a1,a2成等差数列,则 q( )  A B C D或 【分析】由题意可得 q0,由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程即可 得到所求 q 的值 【解答】解:等比数列an的各项均为正数,且 q0,由 a1,a2成等差数列, 可得 a3a1+a2, 即有 a1q2+a1+a1q, 即有 q2q10, 解得 q, 故

    16、选:C 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质,考查方程思想和运算能力, 属于基础题 10 (5 分)在ABC 中, “A+B”是 sinAcosB 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据诱导公式和充要条件的定义,可得结论 第 10 页(共 20 页) 【解答】解:若 A+B,则 sinAsin(B)cosB, 若 sinAcosB,则 sinAsin(B) , 因为 A,B,C 为三角形的内角,所以 AB,或 A+B, 即 A+B或 AB, 即“A+B”是 sinAcosB 的充分不必要条件 故选:A 【点评】

    17、本题考查的知识点是充要条件的定义,难度不大,属于基础题 11 (5 分)已知函数在区间 上单调递增将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度,再向下平移 2 个 单位长度得到函数 g(x)的图象,且当时,g(x)2,4,则 a 的 取值范围是( ) A B C D 【分析】先进行化简,结合函数的单调性,求出 1,结合函数平移关系求出 g(x)的 解析式,结合函数的取值范围和值域关系建立不等式关系进行求解即可 【解答】解:f(x)8sin(x)cos(x)+24sin(x)+2, f(x)在区间上单调递增, x, 则满足,即,得 0, N ,1,即 f(x)4sin(x)+2, 将函数 f(x)的

    18、图象向左平移个单位长度得到 y4sin(x+)+2, 再向下平移 2 个单位长度得到函数 g(x)的图象,即 g(x)4sin(x+), 当时,x+,a+, 第 11 页(共 20 页) 则 (x+), (a+), 设 t(x+) , 则 t, (a+), 但 t 时,y4sint4()2, 要使当时,g(x)2,4, 则(a+), 得a+,得a1, 故选:B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合倍角公式先求函数的解析式,结合 三角函数的单调性和值域关系建立不等式关系是解决本题的关键,难度中等 12 (5 分)设 F1是双曲线的一个焦点,A1,A2是 C 的两个 顶点,C 上存在一点

    19、 P,使得 PF1与以 A1A2为直径的圆相切于 Q,且 Q 是线段 PF1的中 点,则 C 的渐近线方程为( ) A B C Dy2x 【分析】运用中位线定理,可得 OMPF2,|OM|PF2|,再由双曲线的定义,以及直 线和圆相切的性质,运用勾股定理得到,则 C 的渐近线方程可求 【解答】解:由于 O 为 F1F2的中点,Q 为线段 PF1的中点, 第 12 页(共 20 页) 则由中位线定理可得 OQPF2,|OQ|PF2|, 由 PF1与以线段 A1A2为直径的圆相切于点 Q, 则|OQ|a,|PF2|2a, 由双曲线的定义可得,|PF1|PF2|2a, 即有|PF1|4a, 由 OQ

    20、PF1,由勾股定理可得 a2+(2a)2c2, 即 5a2a2+b2,则 4a2b2,即 C 的渐近线方程为 y 故选:C 【点评】本题考查双曲线的定义和性质,考查双曲线渐近线方程的求法,考查直线和圆 相切的条件,以及中位线定理和勾股定理的运用,考查运算能力,是中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 z2x3y 的最小值为 1 【分析】首先画出可行域,关键目标函数的几何意义求最小值 【解答】解:由约束条件得到可行域如图:z2x3

    21、y 变形为 yx,当此直线经过 图中 A(1,1)时,在 y 轴的截距最大,z 最小,所以 z 的最小值为 21311; 故答案为:1 第 13 页(共 20 页) 【点评】本题考查了简单线性规划问题;正确画出可行域,利用目标函数的几何意义求 最值是常规方法 14 (5 分)函数在(0,e2上的最大值是 【分析】求出导函数,求解极值点,然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可 【解答】解:函数,令 f(x)0,解得 xe 因为 0ee2,函数 f(x)在 x(0,e上单调递增,在 xe,e2单调递减; xe 时,f(x)取得最大值,f(e) 故答案为: 【点评】本题考查函数的导数的应用,熟练掌

    22、握利用导数研究函数的单调性、极值与最 值是解题的关键 15 (5 分)将正整数排成如图,则在表中第 45 行第 83 个数是 2019 【分析】根据题意,分析可得每一行最后一个数的规律得到第 n 行的最后一个数为 n2, 即可得第 44 行的最后数,据此分析可得答案 【解答】解:根据题意,由因为每行的最后一个数分别为 1,4,9,16,所以由此归 纳出第 n 行的最后一个数为 n2, 则第 44 行的最后数为 4421936, 第 14 页(共 20 页) 则第 45 行第 1 个数为 1937, 故第 45 行第 83 个数为 2019; 故答案为:2019 【点评】本题考查归纳推理的应用,

    23、关键是分析各行的变化规律,属于基础题 16 (5 分)已知 x0,y0,且+2,若 4x+y7mm2恒成立,则 m 的取值范围为 (,3)(4,+) 【分析】由已知可得 4x+y(4x+y) (),利用基本不等式可求其最值,然后 由 4x+y7mm2恒成立,可知(4x+y)min7mm2,可求 【解答】解:x0,y0,且+2, 4x+y(4x+y) ()12, 当且仅当且即 x,y6 时取得最小值 12, 4x+y7mm2恒成立, 127mm2, 解可得 m4 或 m3, 则 m 的取值范围为(4,+)(,3) , 故答案为: (4,+)(,3) 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的

    24、应用,一元二次不等式的解法,恒 成立问题与最值问题的转化是求解本题的关键 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)在等差数列an中,a57,a2+a612 (1)求an的通项公式; (2)设 bn,求数列,bn的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)等差数列an的公差设为 d,运用等差数列的通项公式,解方程即可得到所 求通项; (2)求得 bn() ,由数列的裂项相 消求和,化简计算可得所求和 【解答】解: (1)等差数列an的公差设为 d,a57,a2+a612,

    25、第 15 页(共 20 页) 可得 a1+4d7,2a1+6d12, 解得 a13,d1, 可得 ana1+(n1)d3+n1n+2; (2)bn() , 可得前 n 项和 Sn(+) (+) 【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和, 考查化简运算能力,属于基础题 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2cos2Acos2B1, b+2acosC0 (1)求 C; (2)若,求ABC 的周长 【分析】 (1)由已知结合二倍角公式及正弦定理可得 b22a2,然后结合 b+2acosC0, 可求 cosC,进而可求 C

    26、, (2)由(1)及余弦定理即可求解 a,b,进而可求周长 【解答】解: (1)2cos2Acos2B1, 2(12sin2A)(12sin2B)1, 2sin2Asin2B, 由正弦定理 可得,b22a2, b+2acosC0 0, cosC, C(0,) , C, (2),C, 由余弦定理可得,10, 5a2, 第 16 页(共 20 页) ,b2, ABC 的周长 2 【点评】本题主要考查了二倍角公式正弦定理,余弦定理的简单应用,属于基础试题 19 (12 分)已知动圆 C 过定点 F(2,0) ,且与直线 x2 相切,圆心 C 的轨迹为 E, (1)求 E 的轨迹方程; (2)若直线

    27、l 交 E 与 P,Q 两点,且线段 PQ 的中心点坐标(1,1) ,求|PQ| 【分析】 (1)利用动圆 C 过定点 F(2,0) ,且与直线 l1:x2 相切,所以点 C 的轨 迹是以 F 为焦点 x2 为基准线的抛物线,即可求动点 C 的轨迹方程; (2)先利用点差法求出直线的斜率,再利用韦达定理,结合弦长公式,即可求|PQ| 【解答】解: (1)由题设知,点 C 到点 F 的距离等于它到直线 x2 的距离, 所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点 x2 为基准线的抛物线, 所以所求 E 的轨迹方程为 y28x (2)由题意已知,直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的斜率为 k,P(x1,

    28、y1) ,Q(x2, y2) , 则有,两式作差得 y12y228(x1x2)即得, 因为线段 PQ 的中点的坐标为(1,1) ,所以 k4, 则直线 l 的方程为 y14(x1) ,即 y4x3, 与 y28x 联立得 16x232x+90, 得, 【点评】本题考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属 于中档题 20 (12 分)设函数 f(x)(x+1)2+axex (1)若 a1,求 f(x)的极值; (2)若 a1,求 f(x)的单调区间 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求 出函数的极值即可; (2)求出函数的导数,

    29、解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可 第 17 页(共 20 页) 【解答】解: (1)a1 时,f(x)(x+1)2+xex, f(x)(x+1) (ex+2) , 令 f(x)0,解得:x1, 令 f(x)0,解得:x1, 故 f(x)在(,1)递减,在(1,+)递增, 故 f(x)极小值f(1),无极大值; (2)证明:a1 时,f(x)(x+1)2xex, f(x)(x+1) (2ex) , 令 f(x)0,解得:x1 或 xln20, 故 x(,1) , (ln2,+)时,f(x)0, x(1,ln2)时,f(x)0, 故 f(x)在(1,ln2)递增,在(,1) , (ln

    30、2,+)递减 【点评】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道 常规题 21 (12 分)已知椭圆 M:的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且垂 直于 x 轴的焦点弦的弦长为,过 F1的直线 l 交椭圆 M 于 G,H 两点,且GHF2的 周长为 (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 l1,l2互相垂直,直线 l1过 F1且与椭圆 M 交于点 A,B 两点,直线 l2过 F2且与椭圆 M 交于 C,D 两点求的值 【分析】 (1)将 xc 代入,求出通过GHF2的周长为, 求解 a,然后求解 b 即可得到椭圆 M 的方程 (2) (i)当直线 AB、直线

    31、CD 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 yk(x+2) , 则直线 CD 的方程为 联立直线椭圆椭圆的方程组通过韦达定理以及弦长公 式求解即可 (ii)当直线 AB 的斜率不存在时, (iii)当直线 AB 的斜率为 0 时,直接求解即可 第 18 页(共 20 页) 【解答】解: (1)将 xc 代入,得,所以 因为GHF2的周长为,所以, 将代入,可得 b24, 所以椭圆 M 的方程为 (2) (i)当直线 AB、直线 CD 的斜率存在且不为 0 时, 设直线 AB 的方程为 yk(x+2) ,则直线 CD 的方程为 由消去 y 得(2k2+1)x2+8k2x+8k280

    32、由韦达定理得, 所以, 同理可得. (ii)当直线 AB 的斜率不存在时, (iii)当直线 AB 的斜率为 0 时, 综上, 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆方程的求法,考查转化思想以及 计算能力 22 (12 分)已知函数 (1)当 a0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(2,+)上是减函数,求 a 的最小值; (3)证明:当 x0 时, 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)求出函数的导数,根据导函数的单调性求出导函数的最大值,从而求出 a 的范围即 第 19 页(共 20 页) 可; (3)问题等价于

    33、令 m(x)x2lnx,根据函数的单调 性求出函数的最值,从而证明结论 【解答】解:函数 f(x)的定义域为(0,1)(1,+) , (1)函数, 当 0xe 且 x1 时,f'(x)0;当 xe 时,f'(x)0, 所以函数 f(x)的单调递减区间是(0,1) , (1,e) ,单调递增区间是(e,+) (2)因 f(x)在(2,+)上为减函数, 故在(2,+)上恒成立 所以当 x(2,+)时,f'(x)max0 又, 故当,即 xe2时, 所以,于是,故 a 的最小值为 (3)证明:问题等价于 令 m(x)x2lnx,则 m'(x)2xlnx+xx(2lnx+1) , 当时,m(x)x2lnx 取最小值 设,则, 故 h(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减 , , m(x)minh(x)max, 第 20 页(共 20 页) 故当 x0 时, 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道 综合题


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