1、2018-2019 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）（ ） A1+2i B12i C2+i D2i 2 （5 分）已知 UR，函数 yln（1x）的定义域为 M，集合 Nx|x2x0则下列 结论正确的是（ ） AMNN BM（UN） CMNU DM（UN） 3 （5 分）已知命题 p：aR，且 a0，a+2，命题 q：x0R，sin x0+cos x0，则 下列判断正确的是（ ）
2、 Ap 是假命题 Bq 是真命题 Cp（q）是真命题 D （p）q 是真命题 4 （5 分）已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则an前 10 项的和为 （ ） A10 B8 C6 D8 5 （5 分）已知函数 f（x）ex+（aR） ，若 f（x）为奇函数，则曲线 yf（x）在 x0 处的切线方程为（ ） Ay2x Byx Cy2x Dyx 6 （5 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为边 CD 的中点，则（ ） A B C D 7 （5 分）某工厂生产的机器销售收入 y1（万元）是产量 x（千台）的函数：y117x2，生 产总成本 y2（
3、万元）也是产量 x（千台）的函数；y22x3x2（x0） ，为使利润最大， 应生产（ ） A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台 8 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 N 为 B1B 的中点， 则|MN|（ ） Aa Ba Ca Da 第 2 页（共 23 页） 9 （5 分）已知直线 l1：x1，l2：xy+10，点 P 为抛物线 y24x 上的任一点，则 P 到直线 l1，l2的距离之和的最小值为（ ） A2 B C1 D 10 （5 分）已知 f（x），g（x）f（x）+x+m，若 g（x）存在两个零点， 则 m 的取值范围是（ ） A1，+） B1
4、，0） C0，+） D1，+） 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 F1，F2分别为双曲线 的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是 PF1的中点，且 OMPF1，2|PF1|PF2|， 则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 12 （5 分） 已知函数， g （x） x3+x2+5， 若对任意的， 都有 f（x1）g（x2）0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，24ln2 B （，1 C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 x1，观察下列不等式： x+
5、2； x2+3； x3+4； 按此规律，第 n 个不等式为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最小值为 15 （5 分）dxsinxdx 16 （5 分）若函数 f（x）ax2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 第 3 页（共 23 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：
6、题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，其面积为 S，且 b2+c2a2 S （1）求 A； （2）若 a5，cosB，求 c 18 （12 分）已知数列an，Sn是其前 n 项的和，且满足 3an2Sn+n（nN*） （）求证：数列an+为等比数列； （）记 TnS1+S2+Sn，求 Tn的表达式 19 （12 分）如图，五边形 ABSCD 中，四边形 ABCD 为长方形，三角形 SBC 是边长为 2 的 正三角形，将三角形 SBC 沿 BC 折起，使得点 S 在 ABCD 上的射影恰好在 AD 上
7、（）证明：平面 SAB平面 SAD； （）若 AB1，求平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）已知圆 M：和点，Q 是圆 M 上任意一点，线 段 NQ 的垂直平分线和 QM 相交于点 P，P 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，直线 xty+m 交 E 于 B、C 两点，直线 AB， AC 的斜率分别是 k1，k2，若 k1k29，求：m 的值；ABC 面积的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+lnx（aR） （1）讨论函数 f（x）在1，2上的单调性； （2）令函数 g（x）ex
8、1+x2+af（x） ，e2.71828是自然对数的底数，若函数 g（x） 有且只有一个零点 m，判断 m 与 e 的大小，并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在第第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第 4 页（共 23 页） 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 已知在平面直角坐标系 xOy 中， 圆 C 的参数方程为（ 为参数） 以 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 （）求圆 C 的普通方程及其极坐标方程；
9、（）设直线 l 的极坐标方程为 sin（）2，射线 OM：与圆 C 的交点为 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x+1| （）解不等式 f（x）2； （）设函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b 均为正数，且+m，求 a+b 的最小值 第 5 页（共 23 页） 2018-2019 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5
10、分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）（ ） A1+2i B12i C2+i D2i 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质，求出 结果 【解答】解：2i， 故选：D 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相 除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数 2 （5 分）已知 UR，函数 yln（1x）的定义域为 M，集合 Nx|x2x0则下列 结论正确的是（ ） AMNN BM（UN） CMNU DM（UN） 【分析】分
11、别解出关于 M，N 的范围，然后判断即可 【解答】解：由 1x0，解得：x1， 故函数 yln（1x）的定义域为 M（，1） ， 由 x2x0，解得：0x1， 故集合 Nx|x2x0（0，1） ， MNN， 故选：A 【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题 3 （5 分）已知命题 p：aR，且 a0，a+2，命题 q：x0R，sin x0+cos x0，则 下列判断正确的是（ ） Ap 是假命题 Bq 是真命题 Cp（q）是真命题 D （p）q 是真命题 第 6 页（共 23 页） 【分析】本题的关键是对命题 p：aR，且 a0，有，命题 q：xR， 的真假
12、进行判定，在利用复合命题的真假判定 【解答】解：对于命题 p：aR，且 a0，有， 利用均值不等式，显然 p 为真，故 A 错 命题 q：xR， 而 所以 q 是假命题，故 B 错 利用复合命题的真假判定， p（q）是真命题，故 C 正确 （p）q 是假命题，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题 的简单命题的真假，再根据真值表进行判断 4 （5 分）已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则an前 10 项的和为 （ ） A10 B8 C6 D8 【分析】设公差 d2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式
13、和求和公式，计算 可得所求和 【解答】解：等差数列an的公差 d 为 2，若 a1，a3，a4成等比数列， 可得 a32a1a4， 即有（a1+4）2a1（a1+6） ， 解得 a18， 则an前 10 项的和为810+109210 故选：A 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和 运算能力，属于基础题 5 （5 分）已知函数 f（x）ex+（aR） ，若 f（x）为奇函数，则曲线 yf（x）在 x0 第 7 页（共 23 页） 处的切线方程为（ ） Ay2x Byx Cy2x Dyx 【分析】利用函数是奇函数，求出 a，求出函数的导数，得到切线的斜率，切
14、点坐标，然 后求解切线方程 【解答】解：由题意，因为函数 f（x）ex+（aR）为奇函数，则 f（0）e0+ 0，解得 a1， 即 f（x）ex，则 f（x）ex+，所以 f（0）e0+2，即 k2， 且当 x0 时，f（0）e00，即切点的坐标为（0，0） ， 所以切线的方程为 y2x， 故选：C 【点评】本题考查函数的极限以及函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 6 （5 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为边 CD 的中点，则（ ） A B C D 【分析】作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解 【解答】解：如图， ， ， 故选：A 【点评】
15、此题考查了向量的加法法则，属容易题 7 （5 分）某工厂生产的机器销售收入 y1（万元）是产量 x（千台）的函数：y117x2，生 第 8 页（共 23 页） 产总成本 y2（万元）也是产量 x（千台）的函数；y22x3x2（x0） ，为使利润最大， 应生产（ ） A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台 【分析】根据利润收入成本可得 yy1y2，求出 y讨论其大于小于 0 得到函数的 最大值 【解答】解：利润 yy1y218x22x3，y6x2+36x， 解 y0 得 0x6；解 y0 得 x6； 当 x6 时，y 取得最大值 故选：A 【点评】考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能
16、力 8 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 N 为 B1B 的中点， 则|MN|（ ） Aa Ba Ca Da 【分析】以 AB，AD，AA1，分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，确定向量、 的坐标，可得的坐标，从而可得|MN| 【解答】解：以 AB，AD，AA1，分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0， 0） ，B（a，0，0） ，B1（a，0，a） ，C1（a，a，a） （a，a，a） ， 点 N 为 B1B 的中点， （a，0，） |MN|a 故选：A 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键 9 （
17、5 分）已知直线 l1：x1，l2：xy+10，点 P 为抛物线 y24x 上的任一点，则 P 到直线 l1，l2的距离之和的最小值为（ ） 第 9 页（共 23 页） A2 B C1 D 【分析】过点 P 分别作 PMl1，PNl2，垂足分别为 M，N设抛物线的焦点为 F，由 抛物线的定义可得|PM|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PN|+|PF|，当三点 N，P，F 共线时， |PN|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可 【解答】解：过点 P 分别作 PMl1，PNl2，垂足分别为 M，N 抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ，l2：x+10 是抛物线 y24x
18、的准线方程 由抛物线的定义可得|PM|PF|， |PM|+|PN|PN|+|PF|，当三点 N，P，F 共线时，|PN|+|PF|取得最小值 故小值为点 F 到其最到直线 l2的距离，|FN|， 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转 化思想的应用，属于中档题 10 （5 分）已知 f（x），g（x）f（x）+x+m，若 g（x）存在两个零点， 则 m 的取值范围是（ ） A1，+） B1，0） C0，+） D1，+） 【分析】由题意可得 g（x）0，即 f（x）xm 有两个不等实根，即有函数 yf（x） 和直线 yxm 有两个交点，作出 yf（
19、x）的图象和直线 yxm，平移直线即可 得到所求范围 【解答】解：g（x）f（x）+x+m，若 g（x）存在两个零点， 可得 g（x）0，即 f（x）xm 有两个不等实根， 即有函数 yf（x）和直线 yxm 有两个交点， 作出 yf（x）的图象和直线 yxm， 当m1，即 m1 时，yf（x）和 yxm 有两个交点， 故选：A 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查 指数函数、对数函数的图象和运用，属于中档题 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 F1，F2分别为双曲线 的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M
20、是 PF1的中点，且 OMPF1，2|PF1|PF2|， 则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】运用双曲线的定义和PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|PF2|2，|F1F2|2 ，由 离心率公式，计算即可得到离心率的范围 【解答】解：P 为双曲线左支上的一点， 则由双曲线的定义可得，|PF2|PF1|2a， 由|PF2|2|PF1|，则|PF2|4a，|PF1|2a， M 是 PF1的中点，且 OMPF1 由PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|PF2|2，|F1F2|2 5a2c2 即有 e 故选：B 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，
21、考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础 题 12 （5 分） 已知函数， g （x） x3+x2+5， 若对任意的， 都有 f（x1）g（x2）0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，24ln2 B （，1 C D 【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为 axx2lnx 在x2 上恒成 立，构造函数 h（x）xx2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出 函数的最值即可 【解答】解：函数 g（x）的导数 g（x）3x2+2xx（3x2） ， 函数 g（x）在，上递增，则，2上递减， g（），g（2）1， 若对任意的 x1，x2，2，都有 f（
22、x1）g（x2）0 成立， 即当x2 时，f（x）1 恒成立， 即+xlnx1 恒成立， 即 axx2lnx 在x2 上恒成立， 令 h（x）xx2lnx，则 h（x）12xlnxx，h（x）32lnx， 当在x2 时，h（x）32lnx0， 即 h（x）12xlnxx 在x2 上单调递减， 由于 h（1）0， 第 12 页（共 23 页） 当x1 时，h（x）0， 当 1x2 时，h（x）0， h（x）在，1）递增，在（1，2递减， 由 h（）+ln2h（2）24ln2， 故 h（x）minh（2）24ln2， a24ln2 故选：A 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分
23、离法结合函数单调性和 导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 x1，观察下列不等式： x+2； x2+3； x3+4； 按此规律，第 n 个不等式为 xn+n+1 【分析】由归纳推理易得：xn+n+1 【解答】解：由 x+2； x2+3； x3+4； 按此规律，第 n 个不等式为：xn+n+1， 故答案为：xn+n+1 【点评】本题考查了归纳推理，属简单题 第 13 页（共 23 页） 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最小值为 2
24、【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 zx+y 对应的直线进行平 移，可得当 x1，y1 时，目标函数 z 取得最小值，从而得到本题答案 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件表示的平面区域， 得到如图的区域，其中 A（1，1） ， 设 zF（x，y）x+y，将直线 l：zx+y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值 z最小值F（1，1）1+12 故答案为：2 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 zx+y 的最小值，着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 15 （5 分）dxsinxdx 【分析】由定积分的
25、几何意义求得dx，直接求定积分得到sinxdx，则答 案可求 【解答】解：求dxsinxdx 由定积分的几何意义可知，dx 是以原点为圆心，以 1 为半径的四分之一圆的 面积，等于 第 14 页（共 23 页） sinxdx dxsinxdx 故答案为： 【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题 16 （5 分）若函数 f（x）ax2+xlnx 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离 参数法数形结合求解（如法 1） ， 也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法 2） ，相
26、比较而言，法 2 更容易 理解 【解答】解：法 1：函数 f（x）ax2+xlnx 有两个极值点，即导函数 f'（x）2ax+lnx+1 在（0，+）上有两个变号零点， 即方程 lnx2ax1 有两个不同正实数根， 即函数 ylnx 与函数 y2ax1 有两个不 同的交点，作出图象如右图； 设恒过定点的函数 y2ax1 与函数 ylnx 相切于点（x0，y0） ， 则有， 解得 x01，y00，即切点为（1，0） ，此时直线的斜率为 k1， 由图象可知，要使函数 ylnx 与函数 y2ax1 有两个不同的交点， 则 02a1，即 a（，0） ， 法 2：转化为导函数 f'（x）
27、2ax+lnx+1 在（0，+）上有两个变号零点， 第 15 页（共 23 页） 分离参数得到，方程2a在（0，+）上有两个不同的实根， 令 g（x），定义域为 x0，g（x）， 则 x（0，1）时，g'（x）0，函数 g（x）单调递增， x（1，+）时，g'（x）0，函数 g（x）单调递减， 故 g（x）maxg（1）1，/br 作出函数 yg（x）和 y2a 的图象于同一个坐标系中， 则得到 02a1，即 a（，0） ， 故答案为： （，0） 【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清 楚，另外需要了解常见的分离参数法的不同类型 三、解答题
28、：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，其面积为 S，且 b2+c2a2 S （1）求 A； （2）若 a5，cosB，求 c 【分析】 （1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出 tanA 的值，即可 确定出 A 的度数； （2）由 co
29、sB 的值求出 sinB 的值，进而求出 sinC 的值，由 a，sinA，sinC 的值，利用正 弦定理即可求出 c 的值 【解答】解： （1）b2+c2a22bccosA，SbcsinA， 第 16 页（共 23 页） 代入已知等式得：2bcosAbcsinA， 整理得：tanA， A 是三角形内角， A60； （2）B 为三角形内角，cosB， sinB， sinCsin（B+A）sin（B+60）sinB+cosB， a5，sinA，sinC， 由正弦定理得：c3+4 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解 本题的关键 18 （12 分）已知数列a
30、n，Sn是其前 n 项的和，且满足 3an2Sn+n（nN*） （）求证：数列an+为等比数列； （）记 TnS1+S2+Sn，求 Tn的表达式 【分析】 （）由 3an2Sn+n，类比可得 3an12Sn1+n1（n2） ，两式相减，整理即 证得数列an+是以为首项，3 为公比的等比数列； （）由（）得 an+3nan（3n1） ，Sn，分组求和，利用 等比数列与等差数列的求和公式，即可求得 Tn的表达式 【解答】 （）证明：3an2Sn+n， 3an12Sn1+n1（n2） ， 两式相减得：3（anan1）2an+1（n2） ， an3an1+1（n2） ， an+3（an1+） ，又 a
31、1+， 数列an+是以为首项，3 为公比的等比数列； （）解：由（）得 an+3n 1 3n， 第 17 页（共 23 页） an3n（3n1） ， Sn（3+32+3n）n（n）， TnS1+S2+Sn（32+33+3n+3n+1）（1+2+n） 【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应 用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题 19 （12 分）如图，五边形 ABSCD 中，四边形 ABCD 为长方形，三角形 SBC 是边长为 2 的 正三角形，将三角形 SBC 沿 BC 折起，使得点 S 在 ABCD 上的射影恰好在 AD 上 （）证明：平面 S
32、AB平面 SAD； （）若 AB1，求平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （）作 SOAD，则 SO平面 ABCD，SOAB，再由 ABAD，得 AB平面 SAD由此能证明平面 SAB平面 SAD （）连结 BO，CO，以 OA，OE，OS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （）如图，作 SOAD，垂足为 O，依题意得 SO平面 ABCD，SO AB 又 ABAD，SOADO，AB平面 SAD 又AB平面 SAB，平面 SAB平面 SAD （5 分） 解： （）连结 BO，CO，
33、SBSC，RtSOBRtSOC， BOCO，又四边形 ABCD 为长方形，RtAOBRtDOC，OAOD 取 BC 中点 E，得 OEAB，连结 SE，SE， 其中 OE1，OAOD1，OS 由以上证明可知 OS，OE，AD 互相垂直， 第 18 页（共 23 页） 以 OA，OE，OS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 （0，1，0） ，（1，1，） ，（2，0，0） ， 设 （x，y，z）是平面 SCD 的法向量， 则，令 z1，得 （，0，1） 设 （x，y，z）是平面 SBC 的法向量， 则有，令 z1 得 （0，1） 则平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值为： |c
34、os ， | （12 分） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知圆 M：和点，Q 是圆 M 上任意一点，线 段 NQ 的垂直平分线和 QM 相交于点 P，P 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，直线 xty+m 交 E 于 B、C 两点，直线 AB， AC 的斜率分别是 k1，k2，若 k1k29，求：m 的值；ABC 面积的最大值 【分析】 （1）利用定义求出椭圆的方程 （2）利用圆柱曲线和直线的位置关系，建立
35、方程组，进一步利用一元二次方程根和系数 的关系求出 m 的值最后求出三角形面积的最大值 【解答】解： （1）圆 M：的圆心为，半径为， 第 19 页（共 23 页） 点 N在圆 M 内， 所以曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为的椭圆， 由， 得 b2321， 所以曲线 E 的方程为 （2）设 B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 则：C：xty+m， 联立方程组， 得（1+3t2）y2+6mty+3m230， 由0，解得 t21， ， 由 k1k29 知 y1y29（x11） （x21） ， 9（ty1+m1） （ty2+m1） ， ， 且 m1，代入化简得（9t21） （m+1）18
36、mt2+3（m1） （1+3t2）0， 解得 m2， ， （当且仅当时取等号） 综上，ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线和圆锥曲线的位置关系 的应用一元二次方程根和系数的关系的应用 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+lnx（aR） （1）讨论函数 f（x）在1，2上的单调性； 第 20 页（共 23 页） （2）令函数 g（x）ex 1+x2+af（x） ，e2.71828是自然对数的底数，若函数 g（x） 有且只有一个零点 m，判断 m 与 e 的大小，并说明理由 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调
37、区间即可； （2）根据函数的单调性求出 g（x）在（0，+）上有唯一零点 x1，由已知函数 g（x） 有且只有 1 个零点 m，则 mx1，得（2m）em 1lnm+ 0，令 p（x）（2x） ex 1lnx+ （x0） ，故 p（m）0，求出 m 的范围即可 【解答】解： （1）由已知 x0，且 f（x）， 当a280 时，即当2a2时，f（x）0， 则函数 f（x）在1，2递增， 当a280 即 a2或 a2时，2x2+ax+10 有 2 个根， x，x0，x， 1，当1 时，令 f（1）3+a0，解得：a3， 故3a2或 a2时，函数 f（x）在1，2递增， 2当 12 时，令 f（1）
38、3+a0，f（2）+a0， 解得：a3， 故当a3 时，函数 f（x）在1，）递减，在，2递增， 3当2 时，令 f（2）+a0，解得：a， 故 a时，函数 f（x）在1，2递减； （2）函数 g（x）ex 1+x2+af（x）ex1lnxax+a， 则 g（x）ex 1 ah（x） ， 则 h（x）ex 1+ 0，g（x）在（0，+）递增， 当 x0，g（x）+，x+，g（x）+，故 g（x）R， 第 21 页（共 23 页） 故 g（x）在（0，+）上有唯一零点 x1， 当 x（0，x1） ，g（x）0，x（x1，+） ，g（x）0， 故 g（x1）为 g（x）的最小值， 由已
39、知函数 g（x）有且只有 1 个零点 m，则 mx1， 故 g（m）0，g（m）0，则， 则 em 1lnm（em1 ）m+（em 1 ）0， 得（2m）em 1lnm+ 0， 令 p（x）（2x）ex 1lnx+ （x0） ，故 p（m）0， 则 p（x）（1x） （ex 1+ ） ， 故 x（0，1） ，p（x）0，x（1，+） ，p（x）0， 故 p（x）在（1，+）递减， p（1）10，p（e）（2e）ee 11+ （2e）ee 1 0， 故 p（x）在（1，e）上有 1 个零点，在（e，+）无零点， 故 me 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，
40、转 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 已知在平面直角坐标系 xOy 中， 圆 C 的参数方程为（ 为参数） 以 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 （）求圆 C 的普通方程及其极坐标方程； （）设直线 l 的极坐标方程为 sin（）2，射线 OM：与圆 C 的交点为 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 【分析】
41、（）先将圆的参数方程消去参数得到普通方程，再由普通方程根据 xcos ， ysin 变换即可得出圆的极坐标方程； （）由题意线段 PQ 的长|PQ|PQ|，故联立对应方程求出极径，直接代入公式即 第 22 页（共 23 页） 可求出线段的长度 【解答】 （）圆 C 的参数方程为（ 为参数） ， 消去参数 得普通方程为：x2+（y1）21 又 xcos ，ysin ， （cos ）2+（sin 1）21，化简得圆 C 的极坐标方程为：2sin （）射线 OM：与圆 C 的交点为 P 把 代入圆的极坐标方程可得：P2sin1 又射线 OM：与直线 l 的交点为 Q， 把 代入直线 l 的极坐标方程
42、可得：sin2 Q2 线段 PQ 的长|PQ|PQ|1 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程普通方程的互化，以及利用极坐标方程求线段 的长度，属于参数方程与极坐标方程的综合题，熟练掌握三种方程及它们间转化的规律 是解答的关键 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x+1| （）解不等式 f（x）2； （）设函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b 均为正数，且+m，求 a+b 的最小值 【分析】 （）通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的 x 的范围，取并集即可； （）求出 m 的值，根据基本不等式的性质求出 a+b 的最小值即可 【解答】解： （）f（x）， 或 或， 1x1， 不等式解集为1，1（5 分） （）|x1|+|x+1|（x1）（x+1）|2， m2， 第 23 页（共 23 页） 又+2，a0，b0， +1， a+b（a+b） （+）+2， 当且仅当即时取等号， （a+b）min，（10 分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一 道常规题
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