1、 1 一、一、考点分析：考点分析：二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主 要考察两种题型：1.四边形的面积最值问题 2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四 边形，矩形菱形等。 二二、解决此类题目的基本步骤与思路、解决此类题目的基本步骤与思路 1.四边形面积最值问题的处理方法：核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三 角形面积最值问题的方法来求解 2 对于特殊平行四边形问题要先分类， （按照边和对角线进行分类） 3.画图， （画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标） 4. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质） 三三、针对于计
2、算的方法选择、针对于计算的方法选择 1.全等三角形抓住对应边对应角的相等 2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式 3.平行四边形的对应边相等列相关的等式 4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系 XA+XC=XB+XD YA+YC=YB+YD （利用 P 是中点，以及中点坐标公式） A(x1,y1)、B（x2,y2） ，那么 AB 中点坐标就是（,） 处理矩形菱形的方法与平行四边形方法类似 注意事项注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示的表示 2.复杂的利用“补”复杂的利用“补” 的方法构造矩形
3、或者大三角形，整体减去部分的思想的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时利用“割”的方法时，一般选用，一般选用横割横割 或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。 四四、二次函数问题中二次函数问题中四边形四边形面积面积最值问题最值问题 2 1.如图，已知抛物线 2 1 3 yxbxc经过ABCV的三个顶点，其中点(0,1)A，点( 9,10)B ，/ACx 轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点P且与y轴平行
4、的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大 时，求点P的坐标; 【解析】 ： （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点 P（m， m2+2m+1） ，表示出 PE= m2 3m，再用 S 四边形 AECP=SAEC+SAPC=ACPE，建立函数关系式，求出最大值即可 设点 P（m， m 2+2m+1）E（m，-m+1） 3 6m0 当 m= 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 此时点 P（ ， ） 2.抛物线 yx26x 交 x 轴正半轴于点 A，顶点为 M，对称轴 MB 交 x 轴于点 B，过点 C(2， 0)作射线 CD 交 MB 于点 D(D
5、在 x 轴上方)，OECD 交 MB 于点 E，EFx 轴交 CD 的延长线 于点 F，作直线 MF. (1)求点 A，M 的坐标； (2)当 BD 为何值时，点 F 恰好落在该抛物线上？ (3)当 BD1 时， 求直线 MF 的表达式，并判断点 A 是否落在该直线上； 延长 OE 交 FM 于点 G，取 CF 中点 P，连结 PG，FPG，四边形 DEGP，四边形 OCDE 的 面积分别记为 S1，S2，S3，则 S1S2S3_348_. 4 解：(1)令 y0，则x26x0，解得 x10，x26，A(6，0)，对称轴是直线 x3， M(3，9)； (3)当 BD1 时，BE3，F(5，3)
6、 设 MF 的表达式为 ykxb，将 M(3，9)，F(5，3)代入， 得 93kb， 35kb，解得 k3， b18， y3x18. 当 x6 时，y3 6180， 点 A 落在直线 MF 上； BD1，BC1， BDC 为等腰直角三角形， OBE 为等腰直角三角形， 5 五、五、二次函数中二次函数中特殊特殊平行四边形的存在性问题平行四边形的存在性问题 （一）例题演示 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将OBA 对 折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点
7、的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，说明理由； 【解析】 ： （1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（8，0） ； 点 B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（0，6） ； 由题意得：BC 是ABO 的角平分线，所以 OC=CH，BH=OB=6。 AB=10，AH=4，设 OC=x，则 AC=8x，由勾股定理得：x=3，点 C 的坐标为（3，0） 6 将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得； （2）求得直线
8、BC 的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可 求得； 解法一：如图，作 OPAD 交直线 BC 于点 P，连接 AP，作 PMx 轴于点 M OPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，即 解得经检验是原方程的解此时点 P 的坐标为 但此时，OMGA，OPAD，即 四边形的对边 OP 与 AD 平行但不相等，直线 BC 上不存在符合条件的点 P 解法二： 如图， 取OA的中点E， 作点D关于点E的对称点P， 作PNx轴于点N 则PEO=DEA， PE=DE 可 得 PENDEG由，可得 E 点的坐标为（4，0） NE=EG= ，ON=OENE=
9、，NP=DG=点 P 的坐标为 x= 时，点 P 不在直线 BC 上直线 BC 上不存在符合条件的点 P 【试题精炼】【试题精炼】 7 如图，已知抛物线 2 yxbxc 与一直线相交于 A（-1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶 点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由； 解答： （1）由题意可知，点 A,C 坐标分别代入抛物线解析式 解得 b=2，
10、c=3.又因为 A,C 在直线上，设 y=kx+b，解得 k=1，n=1 所以直线解析式为 y=x+1 （2）由（1）、（2）得点 D 的坐标为(1,4)，点 B 的横坐标与点 D 的横坐标相同，且点 B 在直 线 AC 上，将其代入 y=x+1，可得 y=2。故点 B 的坐标为(1,2)，因为点 E 在直线 AC 上，设点 E 的坐标为(x，x+1)。 如图 2 所示，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 的上方，则点 F 的坐标为(x，x+3)，因为 点 F 在抛物线上，所以 x+3=-x 2+2x+3，解得 x=0 或 x=1（舍去），所以点 E 的坐标为（0,1） 8 【中考
11、链接中考链接】 如图，已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B ，的抛物线 1 l的顶点为(3 4)C ，抛物线 2 l与 1 l关于x轴对称，顶点 为 C （1）求抛物线 2 l的函数关系式； （2）已知原点O，定点(0 4)D ， 2 l上的点P与 1 l上的点 P 始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点 DOP P ， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？ 【解析】 （1）利用直线 l 的解析式求出 B 点坐标，再把 B 点坐标代入二次函数解析式即可求出 a 的值； （2）过点 M 作 MEy 轴于点 E，交 AB 于点 D，所以 ABM 的面积为DMOB，设 M 的坐标为（m，
12、 m2+2m+3） ，用含 m 的式子表示 DM，然后求出 S 与 m 的函数关系式，即可求出 S 的最大值，其中 m 的 取值范围是 0m3； 解答： （1）由题意知点 C 的坐标为(34)，设 2 l的函数关系式为 2 (3)4ya x 又点(10)A ，在抛物线 2 (3)4ya x上， 2 (1 3)40a，解得1a 抛物线 2 l的函数关系式为 2 (3)4yx（或 2 65yxx） （2）P与 P 始终关于x轴对称， PP 与y轴平行 设点P的横坐标为m， 则其纵坐标为 2 65mm，4OD ， 2 2654mm， 即 2 652mm 当 9 2 652mm时， 解得36m 当 2
13、 652mm 时， 解得32m 当点P运动到(36 2)， 或(36 2)，或(322)，或(322)，时， P POD ，以点DOP P ， ， ，为顶点的四边形是平行四边形 【巩固练习巩固练习】 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 23yxx交x轴于,A B两点(点A在点B 的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻 折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接,AC BC. (1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式; (2)点P为曲线M或曲线N上的一个动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点, ,B C P Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点
14、Q的坐标. 解答：（1）因为 y=x 2-2x-3 可化为 y=（x-1）2-4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，-4），开口向上， 所以曲线 N 所在抛物线顶点坐标为（1,4），开口向下， 故曲线 N 所在抛物线对应的函数表达式为 y=-（x-1） 2+4， 即 y=-x 2+2x+3。 10 当点位于曲线 N 上时，由-x 2+2x+3=3，解得 x 3=0（舍去）或 x4=2，所以 CP=2， 因为以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 所以 CPBQ 且 CP=BQ，所以 Q5(5,0), Q6(1,0) 综上所述，点 Q 的坐标分别为：Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q
15、3(2+,0)，Q4(4-,0), Q5(5,0), Q6(1,0)。 如图 525 所示，顶点为 1 2， 9 4 的抛物线 yax2bxc 过点 M(2，0) 图 525 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)点 A 是抛物线与 x 轴的交点(不与点 M 重合)，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是直线 y x1 上一点(处于 x 轴下方)，点 D 是反比例函数 yk x(k0)图象上一点若以点 A，B，C， D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值 【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 ya x1 2 2 9 4，再把点 M(2，0)代入，可求a1， 所以抛物线的表
16、达式可求； 11 解答：(1)依题意可设抛物线为ya x1 2 2 9 4，将点 M(2，0)代入可得a1，抛物线的表达式为y x1 2 2 9 4x 2x2； (2)当y0 时，x 2x20，解得 x11，x22，A(1，0)，当x0 时，y2，B(0，2) 在 RtOAB 中，OA1，OB2，AB 5.设直线 y x1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)， RtAOG为等腰直角三角形，AGO45.点 C 在 yx1 上且在 x 轴下方，而 k0，yk x的图 象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况： 菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N， 在 RtBDN 中， DBNAGO 45， DNBN 10 2 ， D 10 2 ， 10 2 2 ，点D在yk x(k0)的图象上，k 10 2 10 2 2 5 2 10. 菱形以 AB 为对角线，如答图所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y x1 于点 C，交 y 12 点D的坐标为 5 2， 1 2 ，点D在yk x(k0)的图象上， k5 4. 综上所述，k的值为5 2 10或 5 4.
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