1、 1 【备战 2019 年中考数学热点、难点突破】 专题专题 04 变式探究题变式探究题 考纲要求考纲要求: 变式探究题比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力，难度适 中，从而深受命题者的青睐，中考题型以填空题、解答题为主，难度一般不是很大 基础知识回顾基础知识回顾: 解变式探究题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通 常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法. 应用举例应用举例: 类型一、类型一、特殊的四边形的变式题 【例【例 1】在正方形 ABCD 中，AB=8，点 P 在边 CD 上，tan
2、PBC= 3 4 ，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点， 过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M，点 R 在射线 AD 上，使 RQ 始终与直线 BP 垂直 （1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求 PQ 的长； （2）如图 2，试探索： RM MQ 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有 变化，请求出它的比值； （3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQ=x，RM=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域 类型二、类型二、三角形有关的变式题 【例【例 2】数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 AB
3、CD 的对角线，若 ACB=ACD=ABD=ADB=60 ，则线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE=CD， 连接 AE， 证得ABEADC， 从而容易证明ACE 是等边三角形，故 AC=CE，所以 AC=BC+CD 小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60 ，使 AB 与 AD 重合，从而容易 证明ACF 是等边三角形，故 AC=CF，所以 AC=BC+CD 2 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改
4、为 “ACB=ACD=ABD=ADB=45”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针 对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明 （2）小华提出：如图 5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为 “ACB=ACD=ABD=ADB=”，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对 小华提出的问题，请你写出结论，不用证明 类型三、类型三、图形的旋转与对称变式 【例【例 3】如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分 别在边 AD、AF 上，此时 BD=CF，BDCF 成立
5、 （1）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若不成 立，请说明理由； （2）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H 求证：BDCF； 当 AB=2，AD=3 时，求线段 DH 的长 3 方法、规律归纳方法、规律归纳: 解开放型问题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通 常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法. 实战演练实战演练: 1. 在 RtABC 中， ACB=90 ， 点 D 与点 B 在 AC 同侧， DACBAC， 且
6、 DA=DC， 过点 B 作 BEDA 交 DC 于点 E，M 为 AB 的中点，连接 MD，ME （1）如图 1，当ADC=90 时，线段 MD 与 ME 的数量关系是 ； （2）如图 2，当ADC=60 时，试探究线段 MD 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图 3，当ADC= 时，求 ME MD 的值 2. 如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的直角三角形，BACDAE90 ，点 P 为射线 BD，CE 的交 点 （1）如图 1，若ABC 和ADE 是等腰三角形，求证：ABDACE； （2）如图 2，若ADEABC30 ，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由 （3）在（1
7、）的条件下，AB6，AD4，若把ADE 绕点 A 旋转，当EAC90 时，请直接写出 PB 的 长度 3已知：ABC 和ADE 均为等边三角形，连接 BE，CD，点 F，G，H 分别为 DE，BE，CD 中点 （1）当ADE 绕点 A 旋转时，如图 1，则FGH 的形状为 ，说明理由； （2）在ADE 旋转的过程中，当 B，D，E 三点共线时，如图 2，若 AB=3，AD=2，求线段 FH 的长； 4 （3）在ADE 旋转的过程中，若 AB=a，AD=b（ab0），则FGH 的周长是否存在最大值和最小值， 若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由 4请认真阅读下面的数学小探究系列，完
8、成所提出的问题： 探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得 到线段 BD，连接求证：的面积为提示：过点 D 作 BC 边上的高 DE，可证 探究 2：如图 2，在一般的中，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BD，连接请用含 a 的式子表示的面积，并说明理由 探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BD，连接试探究用含 a 的式子表示的面积，要有探究过程 5在 RtABC 中，ACB90 ，AB，AC2，过点 B 作直线 mAC，将ABC 绕点 C 顺时针 旋转得到ABC（点 A，B 的对应点分别
9、为 A，B），射线 CA，CB分別交直线 m 于点 P，Q （1）如图 1，当 P 与 A重合时，求ACA的度数； （2）如图 2，设 AB与 BC 的交点为 M，当 M 为 AB的中点时，求线段 PQ 的长； （3）在旋转过程中，当点 P，Q 分别在 CA，CB的延长线上时，试探究四边形 PABQ 的面积是否存在最 小值若存在，求出四边形 PABQ 的最小面积；若不存在，请说明理由 5 6已知ABC 与DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形 （1）如图所示，连接 AE，DB，试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图所示，连接 DB，将线段 DB 绕 D 点顺时针
10、旋转 90 到 DF，连接 AF，试判断线段 DE 和 AF 的 数量和位置关系，并说明理由 7 如图 1， 在正方形 ABCD 中， 点 E， F 分别是边 BC， AB 上的点， 且 CE=BF 连接 DE， 过点 E 作 EGDE， 使 EG=DE，连接 FG，FC （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请 作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请 直接写出你的判断 8.
11、 如图，MAN=60 ，AP 平分MAN，点 B 是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将 ABC（0 ABC120 ）的两边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转 120 ，旋转后角的两边分别与射 线 AM 交于点 D 和点 E 6 （1）如图 1，当点 C 在射线 AN 上时，请判断线段 BC 与 BD 的数量关系，直接写出结论； 请探究线段 AC，AD 和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明； （2）如图 2，当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时，BC 交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC=，请直接写 出线段 AD 和 DF 的长 9.已知
12、四边形 ABCD 是菱形，AB=4，ABC=60 ，EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且 EAF=60 （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系； （2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF； （3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15 时，求点 F 到 BC 的距离 10如图，过、作 x 轴的垂线，分别交直线于 C、D 两点 抛物线 经过 O、C、D 三点 求抛物线的表达式； 点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由； 若沿 CD 方向平移 点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合 ，在平移的过程中与重叠 部分的面积记为 S，试求 S 的最大值 7
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