1、 1 2019 版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 专题专题 15 新定义与创新型综合探究问题新定义与创新型综合探究问题 【类型综述】 阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过 程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问 题.对于这类题求解步骤是“阅读分析理解创新应用”， 其中最关键的是理解材料的作用和用意， 一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和 知识的迁移能力. 【方法揭秘】 阅读理解问题在中考中的常考点
2、有新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型；图表信息问题在中考 中的常考点有表格类信息题，函数图象信息题，图形语言信息题，统计图表信息题等。 解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有 分析法，比较法等 【典例分析】 例 1定义：在ABC 中，C30 ，我们把A 的对边与C 的对边的比叫做A 的邻弦，记作 thi A， 即 thi A ABC CAB 的对边 的对边 请解答下列问题： 已知：在ABC 中，C30 （1）若A45 ，求 thi A 的值； （2）若 thi A3，则A ； （3）若A 是锐角，探究 thi A 与 sinA 的数量关系
3、例 2定义符号min, a b的含义为：当ab时, min, a bb；当ab时, min, a ba如： min 1, 22 ， min1,21 （1）求 2 min1, 2x ; （2）已知 2 min2, 33xxk , 求实数k的取值范围; （3）当23x 时， 22 min215,1215xxm xxx直接写出实数m的取值范围 2 例 3类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形 （1）如图1，四边形ABCD中， AC平分BAD， BD 求证：四边形ABCD为等邻边四边形 （2）如图2， Rt ABC中， 90ABC， 2AB ， 1BC ，将ABC沿A
4、BC的平分线 BB 的 方向平移，得到A B C ，连接 AA 、 BC ，若平移后的四边形ABC A 是等邻边四边形，求平移的距离 （3）如图3，在等邻边四边形ABCD中， ABAD， 90BADBCD， AC和BD为四边形 对角线， BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系 例 4类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” （1） 概念理解： 如图 1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个 条件： （2） 问题探究： 来源: 如图 2，小红画了一个ABCRt，其中90ABC，2AB ，1BC ，并
5、将ABCRt沿B的平分线 BB 方向平移得到 CBA ，连结 AA 、 BC 小红要使平移后的四边形ABC A 是“等邻边四边形”，应 平移多少距离（即线段 BB的长）？ （3） 应用拓展： 如图 3，“等邻边四边形”ABCD中，ABAD，90BADBCD ，AC、BD为对角线， 2ACAB 试探究BC、CD、BD的数量关系 例 5定义：如图 1，平面上两条直线 AB、CD 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 AB、 3 CD 的距离分别为 p、q，则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”为（0,0） 点有 1 个，即点 O （1）“距离坐标
6、”为（1，0）点有 个； （2） 如图2， 若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时， 点M的“距离坐标”为 （p， q） ， 且BOD=120 请 画出图形，并直接写出 p，q 的关系式； （3）如图 3，点 M 的“距离坐标”为（1， 3） ，且AOB=30 ，求 OM 的长 【变式训练】 1定义新运算“”：ab= 1 a + 1 b （其中 a、b 都是有理数） ，例如：23= 1 2 + 1 3 = 5 6 ，那么 3（4）的值 是（ ） A 7 12 B 1 12 C 1 12 D 7 12 2定义新运算，若 a、b 是方程（ ）的两根，则的值为 （） A0 B1 C2 D与 m
7、有关 3对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下： ；且规 定（为大于的整数），如 ,， ，则（ ） A B C D 4将 个数 、 、 、 排成 行、 列，两边各加一条竖 直线记成，定义，上述记号 就叫做 阶行列式若，则的值为（ ） A B C D 4 5定义x表示不超过实数 x 的最大整数，如1.8=1，1.4=2，3=3函数 y=x的图象如图所示， 则方程的解为（ ） A 或 B0 或 2 C1 或 D或 6定义符号 mina，b的含义为：当 ab 时 mina，b=b；当 ab 时 mina，b=a如：min1，-3=3， min4，2=4，则 minx2+2，x的最大值是（ ）
8、 A1 B2 C1 D0 7定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；当 n 为偶数时，F（n）=（其中 k 是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取 n=24，则： 若 n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（ ） A1 B4 C2018 D42018 8对于实数 x，y，定义一种运算“”如下，x yaxby2，已知 2 310，4 (3)6，那么(2) ()2 _； 9 对于实数 ， 定义运算“”： 例如 ， 因为， 所以 若 ，是一元二次方程的两个根，则_ 10定义：对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为， 即：当 为非负整数
9、时，如果，则 如：， 试解决下列问题： _；_； 来源: 5 _ 11定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1a 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 1 12 =1，1 的差倒 数是 1 11 = 1 2 已知 a1= 1 2 ，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数， ，以此类推，则 a2016=_ 12已知点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，且|a+2|+（b1） 2=0，A、B 之间的距离记作|AB|， 定义：|AB|=|ab| 线段 AB 的长|AB|=3； 设点 P 在数轴上对应的数为 x，当|PA|PB|=2 时，x=0.5；
10、 若点 P 在 A 的左侧，M、N 分别是 PA、PB 的中点，当 P 在 A 的左侧移动时|PM|+|PN|的值不变； 在的条件下，|PN|PM|的值不变 以上结论中正确的是_（填上所有正确结论的序号） 13阅读材料： 直线 l 外一点 P 到直线 l 的垂线段的长度，叫做点 P 到直线 l 的距离，记作 d（P，l） ； 两条平行线 ， ，直线 上任意一点到直线 的距离，叫做这两条平行线 ， 之间的距离，记作 d（ ， ） ； 若直线 ， 相交，则定义 d（ ， ）=0； 若直线 ， 重合，我们定义 d（ ， ）=0， 对于两点，和两条直线 ， ，定义两点，的“ ， 相关距离”如下： d（
11、， | ， ）=d（， ）+d（ ， ）+d（， ） 设（4，0） ，（0，3） ， ：y=x， ：y=， ：y=kx，解决以下问题： （1）d（，| ， ）= ； （2）若 k0，则当 d（，| ， ）最大时，k= ； 若 k0，试确定 k 的值，使得 d（，| ， ）最大，请说明理由 6 14我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)如图，在ABC 中，ABAC，底角B 的邻对记作 canB，这时 canB.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上 述角的邻对的定义，解下列问题： (1)can30 _； (2)如图，已知在ABC 中，ABAC，canB ，S
12、ABC24，求ABC 的周长 15我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算 定义：如果 b aN （a0，a1，N0） ，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logaNb 例如：因为 3 5125 ，所以 5 log 1253；因为 2 11121 ，所以 11 log 1212 根据“对数”运算的定义，回答下列问题： （1）填空： 6 log 6 ， 3 log 81 （2）如果 2 log23m，求 m 的值 （3）对于“对数”运算，小明同学认为有“logloglog aaa MNMN（a0，a1，M0，N0）”，他的 说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如
13、果不正确，请说明理由，并加以改正 16定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形 来源:ZXXK （1）三等角四边形 ABCD 中，A=B=C，求A 的取值范围； （2）如图，折叠平行四边形纸片 DEBF，使顶点 E，F 分别落在边 BE，BF 上的点 A，C 处，折痕分别为 DG，DH求证：四边形 ABCD 是三等角四边形 7 17在平面坐标坐标系中，点 的坐标为，点 的变换点 的坐标定义如下：当 时，点 的坐 标为；当时，点 的坐标为 已知点，点，点 （ ）点 的变换点 的坐标是_ 点的变换点为，连接，则_ （ ）点 的变换点为 ，随着 的变化，点 会运动起来，请在备用图（ ）中画出点 的
14、运动路径 （ ）若是等腰三角形，请直接写出此时 的值：_ 18对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x、y和z，若x、y、z满足 222 xyz，我们定 义这个三角形为美好三角形 （1）ABC中，若50A ， 70B，则ABC （填“是”或“不是” ）美好三角形； （2） 如图， 锐角ABC是O 的内接三角形， 60C ， 4AC ， O 的直径是4 2， 求证： ABC 是美好三角形; （3）当ABC 是美好三角形，且30A ，则C 为 . 8 19.平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为 a、a+2，二次函数 y=x2+（m2）x+2m 的图象经 过点 A、B，且 a、m
15、 满足 2am=d（d 为常数） （1）若一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A、B 两点 当 a=1、d=1 时，求 k 的值； 若 y1随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围； （2）当 d=4 且 a2、a4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （3）点 A、B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C、D，线段 CD 的 长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由 20.如图，已知ABC 内接于O，点 C 在劣弧 AB 上（不与点 A，B 重合），点 D 为弦 BC 的中点，DE BC， DE 与 AC 的延长线交于点 E， 射线 AO 与射线 EB 交于点 F， 与O 交于点 G， 设GAB=， ACB=， EAG+EBA=， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 30 40 50 60 120 130 140 来源:Z#X#X#K 150 150 140 130 120 猜想： 关于 的函数表达式， 关于 的函数表达式，并给出证明： 来源:Z|xx|k.Com （2）若 =135，CD=3，ABE 的面积为ABC 的面积的 4 倍，求O 半径的长
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