1、2019-2020学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （4 分）下列命题正确的是（ ） A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几 何体叫棱柱 C绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥 D用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱
2、台 2 （4 分）直线 yx+3 的倾斜角为（ ） A30 B60 C90 D45 3 （4 分）圆 x2+y22x0 的圆心坐标和半径分别为（ ） A （1，0） ，1 B （0，1） ，1 C （1，0） ，1 D （1，0） ，2 4 （4 分）若圆锥的高扩大为原来的 3 倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ） A缩小为原来的 B缩小为原来的 C扩大为原来的 2 倍 D不变 5 （4 分）设 m，n 是两条不同的直线 ， 是两个不同的平面，以下判断正确的是（ ） A若 m，n，n，则 m B若 mn，n，则 m C若 mn，n，则 m
3、 D若 m，则 m 6 （4 分）已知直线 3x+4y30 与直线 6x+my+140 平行，则它们之间的距离是（ ） A B C8 D2 7 （4 分）已知两点 P（4，0） ，Q（0，2） ，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（ ） A （x+2）2+（y+1）25 B （x2）2+（y1）210 C （x2）2+（y1）25 D （x+2）2+（y+1）210 8 （4 分）圆 x2+y24x0 在点 P（1，）处的切线方程是（ ） Ax+y20 Bxy+20 Cxy+40 Dx+y40 9 （4 分）圆 C1：x2+y28x4y+110 与圆 C2：x2+y2+
4、4x+2y+10 的位置关系是（ ） 第 2 页（共 13 页） A相交 B外离 C外切 D内含 10 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所 成角的余弦值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 11 （5 分）ABC 的斜二测直观图如图所示，则ABC 的面积为 12 （5 分）底面直径和高都是 4cm 的圆柱的侧面积为 cm2 13 （5 分）点（1，2）在圆（xa）2+（y+a）29 的内部，则 a
5、的取值范围是 14 （5 分）过点 （2，1）的直线中，被圆 x2+y22x+4y0 截得的最长弦所在直线的方程 是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 （12 分）已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（1，5） 、B（2，1） 、C（4，3） ，M 是 BC 边上的中点 （1）求 AB 边所在的直线方程； （2）求中线|AM|的长 16 （12 分）已知直线 l 过点 P（2，3） ，根据下列条件分别求出直线 l 的方程： （1）直
6、线 l 的倾斜角为 120； （2）l 与直线 x2y+10 垂直； （3）l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0 17 （12 分）已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该 圆台的母线长 18 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，O 是底 ABCD 对角线的交点求证： （1）C1O面 AB1D1； （2）A1C面 AB1D1 第 3 页（共 13 页） 19 （12 分）已知关于 x，y 的方程 C：x2+y22x4y+m0 （1）当 m 为何值时，方程 C 表示圆 （2）若圆 C 与直线 l：x+2y40 相交于 M，N 两点，且 MN，求
7、 m 的值 第 4 页（共 13 页） 2019-2020 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上）学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上） 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （4 分）下列命题正确的是（ ） A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
8、的几 何体叫棱柱 C绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥 D用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【分析】反例判断选项 A 的正误；棱柱的定义判断 B 的正误；旋转体的定义判断 C 的正 误；棱台的定义判断选项 D 的正误； 【解答】解：对于 A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边 形，故 A 不正确； 对于 B，根据棱柱的概念可知是正确的； 对于 C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确； 对于 D，用平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故 不正确 故选：B 【点评】本题
9、考查命题的真假的判断，重点考查空间几何体的性质的判断，定义的应用， 是基本知识的考查 2 （4 分）直线 yx+3 的倾斜角为（ ） A30 B60 C90 D45 【分析】根据所给的直线的斜率，得到直线的倾斜角的正切值，根据角的范围，得到角 的大小 【解答】解：直线 yx+3 的斜率是， 直线的倾斜角的正切值是， 第 5 页（共 13 页） 0，180） ， 60， 故选：B 【点评】本题考查直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系，本题解题的关键是知道两者 之间的关系，本题是一个基础题 3 （4 分）圆 x2+y22x0 的圆心坐标和半径分别为（ ） A （1，0） ，1 B （0，1） ，1
10、C （1，0） ，1 D （1，0） ，2 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径 【解答】解：圆 x2+y22x0 即 （x1）2+y21，表示以（1，0）为圆心、半径等于 1 的圆， 故选：A 【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题 4 （4 分）若圆锥的高扩大为原来的 3 倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ） A缩小为原来的 B缩小为原来的 C扩大为原来的 2 倍 D不变 【分析】设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则圆锥的体积为 V当圆锥 的高扩大为原来的 3 倍，底面半径缩短为原来的时，圆锥的体积为 V ，由此能求出结果 【解答】解：
11、设圆锥的高为 h，底面半径为 r， 则圆锥的体积为 V 当圆锥的高扩大为原来的 3 倍，底面半径缩短为原来的时， 圆锥的体积为 V（） 圆锥的体积缩小为原来的 故选：A 【点评】本题考查命题真假的判断，考查圆锥的体积等基础知识，考查运用求解能力， 是中档题 5 （4 分）设 m，n 是两条不同的直线 ， 是两个不同的平面，以下判断正确的是（ ） 第 6 页（共 13 页） A若 m，n，n，则 m B若 mn，n，则 m C若 mn，n，则 m D若 m，则 m 【分析】在 A 中，由 m，n，得 mn，再由 n，得到 m；在 B 中，m 与 相交、平行或 m；在 C
12、中，m 与 相交、平行或 m；在 D 中，m 与 相交、平行 或 m 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线 ， 是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 m，n，则 mn， 再由 n，得到 m，故 A 正确； 在 B 中，若 mn，n，则 m 与 相交、平行或 m，故 B 错误； 在 C 中，若 mn，n，则 m 与 相交、平行或 m，故 C 错误； 在 D 中，若 m，则 m 与 相交、平行或 m，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 6 （4 分）已知直线
13、3x+4y30 与直线 6x+my+140 平行，则它们之间的距离是（ ） A B C8 D2 【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直 线间的距离公式求出两平行直线间的距离 【解答】解：直线 3x+4y30 与直线 6x+my+140 平行，m8， 故直线 6x+my+140 即 3x+4y+70，故两平行直线间的距离为 2， 故选：D 【点评】本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用 7 （4 分）已知两点 P（4，0） ，Q（0，2） ，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（ ） A （x+2）2+（y+1）25
14、B （x2）2+（y1）210 C （x2）2+（y1）25 D （x+2）2+（y+1）210 【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段 PQ，所以圆心为 P，Q 的中点，应 用中点坐标公式求出，半径为线段 PQ 长度的一半，求出线段 PQ 的长度，除 2 即可得到 半径，再代入圆的标准方程即可 【解答】解：圆的直径为线段 PQ，圆心坐标为（2，1） 第 7 页（共 13 页） 半径 r 圆的方程为（x2）2+（y1）25 故选：C 【点评】本题主要考查了圆的标准方程的求法，属于基础题 8 （4 分）圆 x2+y24x0 在点 P（1，）处的切线方程是（ ） Ax+y20
15、Bxy+20 Cxy+40 Dx+y40 【分析】根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论 【解答】解：圆的标准方程为（x2）2+y24， 圆心 C（2，0） ， 直线和圆相切于点 P（1，） ， CP 的斜率 k， 则切线斜率 k， 故切线方程为 y（x1） ， 即 xy+20， 故选：B 【点评】本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的 关键 9 （4 分）圆 C1：x2+y28x4y+110 与圆 C2：x2+y2+4x+2y+10 的位置关系是（ ） A相交 B外离 C外切 D内含 【分析】根据题意，由两个圆的一般方程分析两个圆的圆心以及半径，求
16、出圆心距，据 此分析可得答案 【解答】解：根据题意，圆 x2+y28x4y+110 化为标准方程为（x4）2+（y2）2 9，其圆心为 C1（4，2） ，半径为 3， 圆 x2+y2+4x+2y+10 化为标准方程为（x+2）2+（y+1）24，其圆心为 C2（2，1） ， 半径为 2， 圆心距|C1C2|33+2， 则两圆外离； 第 8 页（共 13 页） 故选：B 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程与标准方程，属于基础题 10 （4 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所 成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析
17、】连结 BE，则 CDAB，从而BAE 是异面直线 AE 与 CD 所成角（或所成角的 补角） ，由此能求出异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值 【解答】解：连结 BE， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点， CDAB， BAE 是异面直线 AE 与 CD 所成角（或所成角的补角） ， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， 则 AB2，BE，ABBE， AE3， 异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为： cosBAE 故异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
18、 置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 11 （5 分）ABC 的斜二测直观图如图所示，则ABC 的面积为 2 第 9 页（共 13 页） 【分析】把ABC 的斜二测直观图还原为直角坐标系下图形，求出原图形的面积即可 【解答】解：把ABC 的斜二测直观图还原为原图形，如图所示； 则ABC 的面积为 S222 故答案为：2 【点评】本题考查了平面图形的斜二测画法与应用问题，是基础题 12 （5 分）底面直径和高都是 4cm 的圆柱的侧面积为 16 cm2 【分析】根据
19、所给的圆柱的底面直径和高，先做出圆柱的底面圆的周长，根据矩形的面 积等于长乘以宽，用圆柱的底面圆的周长乘以圆柱的高，得到圆柱的侧面积 【解答】解：圆柱的底面直径和高都是 4cm， 圆柱的底面圆的周长是 224 圆柱的侧面积是 4416， 故答案为：16 【点评】本题考查圆柱的侧面积，题目包含的运算比较简单，是一个基础题，这种题目 一般不会单独出现，要和其他的知识点结合 13 （5 分）点（1，2）在圆（xa）2+（y+a）29 的内部，则 a 的取值范围是 2a 1 【分析】点在圆内转化为点与圆心的距离小于半径 【解答】解：因为点（1，2）在圆（xa）2+（y+a）29 的内部，
20、（1a）2+（2+a）29，即 a2+a20，解得：2a1 故答案为：2a1 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，属基础题 14 （5 分）过点 （2，1）的直线中，被圆 x2+y22x+4y0 截得的最长弦所在直线的方程 是 3xy50 第 10 页（共 13 页） 【分析】根据圆的性质可知，过点 （2，1）的直线中，被圆 x2+y22x+4y0 截得的最 长弦即为直径所在的直线，然后根据两点即可求解直线方程 【解答】解：根据圆的性质可知，过点 （2，1）的直线中，被圆 x2+y22x+4y0 截得 的最长弦即为直径所在的直线 直线经过圆的圆心（1，2） ， 过点 （2，1） ， 直线的斜率
21、 k3，直线方程 y+23（x1）即 3xy50 故答案为：3xy50 【点评】本题主要考查了直线与圆的关系及圆的性质的简单应用，属于基础试题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 （12 分）已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（1，5） 、B（2，1） 、C（4，3） ，M 是 BC 边上的中点 （1）求 AB 边所在的直线方程； （2）求中线|AM|的长 【分析】 （1）由题意可得直线 AB 的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得； （2）由中点坐标公式可得 BC 的中
22、点 M（1，1） ，代入距离公式可得 【解答】解： （1）由题意可得直线 AB 的斜率 k6， 故直线的方程为：y56（x+1） ， 化为一般式可得：6xy+110； （2）由中点坐标公式可得 BC 的中点 M（1，1） ， 故 AM2 【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题 16 （12 分）已知直线 l 过点 P（2，3） ，根据下列条件分别求出直线 l 的方程： （1）直线 l 的倾斜角为 120； （2）l 与直线 x2y+10 垂直； （3）l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0 【分析】 （1）求出斜率，利用点斜式即可得出； （2）l 与直线 x2y+
23、10 垂直，可得直线 l 的斜率 k2，利用点斜式即可得出 （3）对直线是否经过原点分类讨论即可得出 第 11 页（共 13 页） 【解答】解： （1）直线 l 的倾斜角为 120，可得斜率 ktan120，由点斜式可 得：y3（x2） ，可得：直线 l 的方程为 （2）l 与直线 x2y+10 垂直，可得直线 l 的斜率 k2，由点斜式可得：y32 （x2） ，可得：直线 l 的方程为 2x+y70 （3）当直线 l 经过原点时在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0， 此时直线 l 的方程为； 当直线 l 经不过原点时，设直线 l 的方程为， 因为 P（2，3）在直线 l 上，所以，a1，即
24、 xy+10， 综上所述直线 l 的方程为 3x2y0 或 xy+10 【点评】本题考查了直线的点斜式截距式方程、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查 了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题 17 （12 分）已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该 圆台的母线长 【分析】求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于 两底面面积之和，求出圆台的母线长 【解答】解：设圆台的母线长为 l， 则圆台的上底面面积为 S上224， 圆台的下底面面积为 S下5225， 所以圆台的底面面积为 SS上+S下29 又圆台的侧面积 S侧（2+5）l7l
25、， 于是 7l29，即 【点评】本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积， 考查计算能力，是基础题 18 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，O 是底 ABCD 对角线的交点求证： （1）C1O面 AB1D1； （2）A1C面 AB1D1 第 12 页（共 13 页） 【分析】 （1）欲证 C1O面 AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 C1O 与 面 AB1D1内一直线平行，连接 A1C1，设 A1C1B1D1O1，连接 AO1，易得 C1OAO1， AO1面 AB1D1，C1O面 AB1D1，满足定理所需条件； （2）欲证 A1C面
26、 AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 A1C 与面 AB1D1 内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知 A1CB1D1，同理可证 A1CAB1，又 D1B1 AB1B1，满足定理所需条件 【解答】证明： （1）连接 A1C1，设 A1C1B1D1O1，连接 AO1， ABCDA1B1C1D1是正方体， A1ACC1是平行四边形， A1C1AC 且 A1C1AC， 又 O1，O 分别是 A1C1，AC 的中点， O1C1AO 且 O1C1AO， AOC1O1是平行四边形， C1OAO1，AO1面 AB1D1，C1O面 AB1D1， C1O面 AB1D1； （2）CC1面 A1B1
27、C1D1CC1B1D!， 又A1C1B1D1，B1D1面 A1C1C，即 A1CB1D1， A1BAB1，BCAB1，又 A1BBCB， AB1平面 A1BC，又 A1C平面 A1BC， A1CAB1，又 D1B1AB1B1， A1C面 AB1D1 第 13 页（共 13 页） 【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用 能力和基本定理的掌握能力 19 （12 分）已知关于 x，y 的方程 C：x2+y22x4y+m0 （1）当 m 为何值时，方程 C 表示圆 （2）若圆 C 与直线 l：x+2y40 相交于 M，N 两点，且 MN，求 m 的值 【分析】 （1）方程 C 可化为： （x1）2+（y2）25m，应有 5m0 （2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出 m 的值 【解答】解： （1）方程 C 可化为： （x1）2+（y2）25m，显然，当 5m0 时， 即 m5 时，方程 C 表示圆 （2）圆的方程化为（x1）2+（y2）25m，圆心 C（1，2） ，半径， 则圆心 C（1，2）到直线 l：x+2y40 的距离为 ， ，有 ， ，解得 m4 【点评】本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用
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