2018-2019学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

1、2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在ABC 中，a5，b3，则 sinA：sinB（ ） A B C D 2 （5 分）数列 1，3，5，7，9，的一个通项公式为（ ） Aan2n1 Ban（1）n（12n）  Can（1）n（2n1） Dan（1）n（2n+1） 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） Aabac2bc2 Baba2

2、b2  Caba3b3 Da2b2ab 4 （5 分） “”是“A30”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件  C充分必要条件 D既不充分也必要条件 5 （5 分）不等式 x22x30 的解集是（ ） A （3，1） B （1，3）  C （，1）（3，+） D （，3）（1，+） 6 （5 分）设 （2，2，5） 、 （6，4，4）分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 的位置关系是（ ） A平行 B垂直  C相交但不垂直 D不能确定 7 （5 分）已知an为等比数列，且 a32，a78，则 a5（ ） A B C4 D4 8 （5 分）设

3、x、y 满足约束条件，则 z2x3y 的最小值是（ ） A7 B6 C5 D3 9 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）若|AB|7， 第 2 页（共 16 页） 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为（ ） A B C2 D 10 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 x21，则 x1”的否命题为： “若 x21，则 x1”  B若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题  C命题“存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是： “对任意 xR，均有 x2+x+10”  D命题“若 xy

4、，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 11 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a111，a4+a66，则当 Sn取最小值 时，n 等于（ ） A6 B7 C8 D9 12 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个 焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A B  C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设等比数列an的公比，前 n 项和为 Sn，则   14 （5 分）设 x、yR+且1，则 x+y 的最小值为   15 （5

5、分）在ABC 中，则 BC 的长度为   16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2在 x 轴上，离心率为 过 F1的直线交于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为   三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过算步骤分解答应写出文字说明，证明过算步骤 17 （10 分）已知命题 p：m4，命题 q：方程 4x2+4（m2）x+90 无实根，若 pq 为 真，pq 为假，p 为假，求 m 的范围 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a

6、，b，c，asinBbcosA 第 3 页（共 16 页） （）求 A； （）若 b2，ABC 的面积为，求 a 19 （12 分）已知公差不为零的等差数列an满足 a510，且 a1，a3，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式 an； （2）设 Sn为数列an的前 n 项和，求数列的前 n 项和 Tn 20 （12 分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形 的休闲区 A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米 （1）若设休闲区的长 A1B1x 米，求公园

7、ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S（x）的解析 式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 21 （12 分）设椭圆 C：过点（0，4）离心率为 （1）求 C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被 C 所截线段中点坐标 22 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，ADPD 1，AB2a（a0） ，E，F 分别 CD、PB 的中点 （）求证：EF平面 PAB； ， （）当时，求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年吉林省吉林市普通高中友好

8、学校联合体高二 （上）学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高二 （上） 期末数学试卷（理科）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合有一项是符合题目要求的题目要求的 1 （5 分）在ABC 中，a5，b3，则 sinA：sinB（ ） A B C D 【分析】由条件利用正弦定理可得 ，运算求得结果 【解答】解：在ABC 中，a5，b3，则由正弦定理可得 ， 故选：A 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，

9、属于基础题 2 （5 分）数列 1，3，5，7，9，的一个通项公式为（ ） Aan2n1 Ban（1）n（12n）  Can（1）n（2n1） Dan（1）n（2n+1） 【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，从而易求出其通项公式 【解答】解：数列an各项值为 1，3，5，7，9， 各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， |an|2n1 又数列的奇数项为正，偶数项为负， an（1）n+1（2n1）（1）n（12n） 故选：B 【点评】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关

10、键解题时应注意 数列的奇数项为正，偶数项为负，否则会错 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） Aabac2bc2 Baba2b2  Caba3b3 Da2b2ab 第 5 页（共 16 页） 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例 【解答】解：选项 A，当 c0 时，由 ab，不能推出 ac2bc2，故错误； 选项 B，当 a1，b2 时，显然有 ab，但 a2b2，故错误； 选项 C，当 ab 时，必有 a3b3，故正确； 选项 D，当 a2，b1 时，显然有 a2b2，但却有 ab，故错误 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，

11、属基础题 4 （5 分） “”是“A30”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件  C充分必要条件 D既不充分也必要条件 【分析】由正弦函数的周期性，满足的 A 有无数多个 【解答】解： “A30”“” ，反之不成立 故选：B 【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题 5 （5 分）不等式 x22x30 的解集是（ ） A （3，1） B （1，3）  C （，1）（3，+） D （，3）（1，+） 【分析】把不等式 x22x30 化为（x+1） （x3）0，求出解集即可 【解答】解：不等式 x22x30 可化为 （x+1） （x3）0， 解得1

12、x3， 不等式的解集是（1，3） 故选：B 【点评】本题考查了求一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目 6 （5 分）设 （2，2，5） 、 （6，4，4）分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 的位置关系是（ ） A平行 B垂直  C相交但不垂直 D不能确定 第 6 页（共 16 页） 【分析】先根据向量的坐标运算计算向量 与向量 的数量积，然后根据数量积为 0 得到 两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系 【解答】解：26+2（4）+540   （2，2，5） 、 （6，4，4）分别是平面 ， 的法向量 平面 与平面 垂直 故选：B 【点评】本题主要考查了向量数量积以

13、及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位 置关系与法向量之间的关系，属于基础题 7 （5 分）已知an为等比数列，且 a32，a78，则 a5（ ） A B C4 D4 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 q44，又由 a5a3q2，计算可得 答案 【解答】解：根据题意，an为等比数列，且 a32，a78， 则 q44， 则 a5a3q24； 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比数列通项公式的应用，属于基础题 8 （5 分）设 x、y 满足约束条件，则 z2x3y 的最小值是（ ） A7 B6 C5 D3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出

14、最优解即可求 最小值 【解答】解：由 z2x3y 得 y， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC） ： 第 7 页（共 16 页） 平移直线 y，由图象可知当直线 y，过点 A 时，直线 y截距最 大，此时 z 最小， 由得，即 A（3，4） ， 代入目标函数 z2x3y， 得 z23346126 目标函数 z2x3y 的最小值是6 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 9 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）若|AB|7， 则 AB 的中点 M

15、 到抛物线准线的距离为（ ） A B C2 D 【分析】抛物线的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1，由抛物线的定义可得|AB|7 （x1+1）+（x2+1） ，求得 x1+x2 的值，由此求得点 M 到抛物线准线的距离+1 的值 【解答】解：由抛物线的方程 y24x 可得 p2，故它的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x 1 由抛物线的定义可得|AB|7|AF|+|BF|（x1+1）+（x2+1） ，x1+x25 由于 AB 的中点 M（，）到准线的距离为+1， 第 8 页（共 16 页） 故选：A 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题 10 （5 分

16、）下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 x21，则 x1”的否命题为： “若 x21，则 x1”  B若 pq 为真命题，则 p，q 均为真命题  C命题“存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是： “对任意 xR，均有 x2+x+10”  D命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 【分析】A利用否命题的定义即可判断出； B利用“或”命题的定义可知：若 pq 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题； Cl 利用命题的否定即可判断出； D由于命题“若 xy，则 sinxsiny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即 可判断出

17、【解答】解：对于 A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1” ，因 此不正确； 对于 B若 pq 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题，因此不正确； 对于 C “存在 xR，使得 x2+x+10”的否定是： “对任意 xR，均有 x2+x+10” ，因 此不正确 对于 D由于命题“若 xy，则 sinxsiny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确  故选：D 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题 11 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a111，a4+a66，则当 Sn取最小值 时，n 等于（ ） A6

18、B7 C8 D9 【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于 n 的二次函数解得 【解答】解：设该数列的公差为 d，则 a4+a62a1+8d2（11）+8d6，解得 d 2， 所以，所以当 n6 时，Sn取最小值 故选：A 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最值的 第 9 页（共 16 页） 求法及计算能力 12 （5 分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个 焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A B  C D 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 x6，而通过双曲线的标准方程可见其 焦点在 x

19、 轴上，则双曲线的左焦点为（6，0） ，此时由双曲线的性质 a2+b2c2可得 a、 b 的一个方程；再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 yx，可得， 则得 a、b 的另一个方程那么只需解 a、b 的方程组，问题即可解决 【解答】解：因为抛物线 y224x 的准线方程为 x6， 则由题意知，点 F（6，0）是双曲线的左焦点， 所以 a2+b2c236， 又双曲线的一条渐近线方程是 yx， 所以， 解得 a29，b227， 所以双曲线的方程为 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分

20、，共分，共 20 分分 13 （5 分）设等比数列an的公比，前 n 项和为 Sn，则 15 【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出 S4，得知 a4a1q3，进而把 a1和 q 代入 约分化简可得到答案 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：对于， 【点评】本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用属基础题 14 （5 分）设 x、yR+且1，则 x+y 的最小值为 16 【分析】将 x、yR+且1，代入 x+y（x+y） （） ，展开后应用基本不等式即 可 【解答】解：1，x、yR+， x+y（x+y） （）10+10+216（当且仅当 ，x4，y12 时取“” ） 故答案为：

21、16 【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力， 属于中档题 15 （5 分）在ABC 中，则 BC 的长度为 1 或 2 【分析】通过正弦定理求出 C 的大小，然后利用三角形的特征直接求出 BC 的长度即可  【解答】解：因为在ABC 中， 所以由正弦定理考点 sinC所以 C或 C， 当 C时，三角形是直角三角形，所以 BC2， 当 C时，三角形是等腰三角形，所以 BC1， 故答案为：1 或 2 【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，考查计算能力 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2在 x 轴

22、上，离心率为 过 F1的直线交于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 + 1 【分析】根据题意，ABF2的周长为 16，即 BF2+AF2+BF1+AF116，结合椭圆的定义， 有 4a16，即可得 a 的值；又由椭圆的离心率，可得 c 的值，进而可得 b 的值；由椭圆 第 11 页（共 16 页） 的焦点在 x 轴上，可得椭圆的方程 【解答】解：根据题意，ABF2的周长为 16，即 BF2+AF2+BF1+AF116； 根据椭圆的性质，有 4a16，即 a4； 椭圆的离心率为，即，则 ac， 将 ac，代入可得，c2，则 b2a2c28； 则椭圆的方程为+1； 故答案

23、为：+1 【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意 结合椭圆的基本几何性质解题即可 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过算步骤分解答应写出文字说明，证明过算步骤 17 （10 分）已知命题 p：m4，命题 q：方程 4x2+4（m2）x+90 无实根，若 pq 为 真，pq 为假，p 为假，求 m 的范围 【分析】根据 p 真，q 假，以及韦达定理得到关于 m 的不等式组，解出即可 【解答】解：若 pq 为真，pq 为假，p 为假， 则 p 真 q 假， 所以， 解得：m5 【点评】本题考查了复合

24、命题的判断，考查韦达定理的应用，是一道基础题 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinBbcosA （）求 A； （）若 b2，ABC 的面积为，求 a 【分析】 （）由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinBsinBcosA，结合 sinB0，可 得 tanA，结合范围 0A，利用特殊角的三角函数值可求 A （）利用三角形面积公式可求 c，进而根据余弦定理可求 a 的值 【解答】 （本小题满分 12 分） 解 ：（ ） 因 为asinB bcosA ， 所 以 由 正 弦 定 理 得sinAsinB 第 12 页（共 16 页） sinBcosA，

25、（2 分） 又 sinB0， 从而 tanA，（4 分） 由于 0A， 所以 A（6 分） （）因为 b2，ABC 的面积为， 所以csin，（8 分） 所以 c3（9 分） 由余弦定理，得 a2b2+c22bccosA7，（11 分） 所以 a（12 分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理 在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知公差不为零的等差数列an满足 a510，且 a1，a3，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式 an； （2）设 Sn为数列an的前 n 项和，求数列的前 n 项和 Tn 【分析

26、】 （1）利用公差不为零的等差数列an满足 a510，且 a1，a3，a9成等比数列， 建立方程组，求得数列的首项与公差，从而可得数列的通项； （2）先求 Sn，再利用裂项法求数列的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设公差为 d，则 d0，a12，d2 an2+（n1）22n； （2）由（1）知， 数列的前 n 项和 Tn（1）+（）+（）  第 13 页（共 16 页） 【点评】本题考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列的首项与公差，正确运用 求和公式 20 （12 分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形 的休闲区 A1B1C

27、1D1（阴影部分）和环公园人行道组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米 （1）若设休闲区的长 A1B1x 米，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S（x）的解析 式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 【分析】 （1）利用休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米，表示出，进而 可得公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S（x）的解析式； （2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论 【解答】解： （1）由 A1B1x 米，知米 （2） 当且仅当，即 x1

28、00 时取等号 要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长为 100 米、宽为 40 米 【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定 三相等 21 （12 分）设椭圆 C：过点（0，4）离心率为 （1）求 C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被 C 所截线段中点坐标 【分析】 （1）由题意可知：b4，根据椭圆离心率公式即可求得 b 的值，求得椭圆方程；  第 14 页（共 16 页） （2）由点斜式方程求得直线 AB 方程，代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，利用中点坐 标公式，即可求得 AB 的中点坐标 【解答】解： （1

29、）由椭圆 C：过点（0，4） ，则 b4 （2 分） 椭圆离心率为 e，则 a5， （3 分） C 的方程为； （5 分） （2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为 y（x3） ，（6 分） 设直线与 C 的交点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将直线方程 y （x3）代入 C 的方程，得 x23x80，解得 （8 分） x1，x2，（9 分） AB 的中点 M（x0，y0）坐标 x0， （10 分） y0（x1+x16），（11 分） 即中点为（，） （12 分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标 公式，考查计算能力，属于中档题 22

30、（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，ADPD 1，AB2a（a0） ，E，F 分别 CD、PB 的中点 （）求证：EF平面 PAB； ， 第 15 页（共 16 页） （）当时，求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值 【分析】 （）证明：建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量垂直证出， 转化成线线垂直，可证 EF平面 PAB （） 先求出与平面 AEF 的法向量所成角的余弦值 再求 AC 与平面 AEF 所成角的正 弦值 【解答】解： （）证明：建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz（如图） ， AD1，PD1，AB2a（a0） ， 则 E

31、（a， 0， 0） ， C （2a， 0， 0） ， A （0， 1， 0） ， B （2a， 1， 0） ， P （0， 0， 1） ， 得 ， 由，得，即 EFAB 同理 EFPB，又 ABPBB 所以，EF平面 PAB （）解：由，得， 有， 设平面AEF的法向量为n（x，y，1） ，由 ，解得于是 设 AC 与面 AEF 所成的角为 ，与 n 的夹角为 则 第 16 页（共 16 页） 所以，AC 与平面 AEF 所成角的大小的正弦值为 【点评】本题考查线面位置关系的判定，线面角的求解利用向量法减少思维量，解决 此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系， 利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置 关系等问题