1、2018-2019 学年江苏省泰州市姜堰区高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请将答案填入答题纸相应的答题分请将答案填入答题纸相应的答题 线上）线上） 1 （5 分）从 9 道选择题与 3 道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有 2 （5 分）某学校高三年级 700 人，高二年级 700 人，高一年级 800 人，若采用分层抽样的 办法，从高一年级抽取 80 人，则全校总共抽取 人 3 （5 分）执行如图所示的伪代码，最后输出的 S 值为 4 （5 分）一个社会调查机构就
2、某地居民的月收入情况调查了 1000 人，并根据所得数据绘 制了样本频率分布直方图 （如图所示） ， 则月收入在2000， 3500） 范围内的人数为 5 （5 分）已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8，9，10，10，8，则该组数据的方差 为 6 （5 分）有 4 种不同的蔬菜，从中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地上进行实验， 则不同的种植方法共 种 7 （5 分）如图，圆 O 和其内接正三角形 ABC，若在圆面上任意取一点 P，则点 P 恰好落 在三角 形 ABC 外的概率为 第 2 页（共 20 页
3、） 8 （5 分）的展开式中的常数项为 9 （5 分）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中 一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 10 （5 分）若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3） 2 的值为 11 （5 分）一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O（0，0）出发，沿向上或向右方 向爬至点（5，2） ，记可能的爬行方法总数为 f（5，2） ，则 f（5，2） 12 （5 分）已知（1，2，3） ，（2，1，2） ，（1，1，2） ，点 M 在直线 OC 上运动，则的
4、最小值为 13 （5 分）在一个如图所示的 6 个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物， 相邻的两块区域中种不同的植物现有 4 种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的 总数 （结果用数字表示） 14 （5 分）对于各数不相等的正整数组（i1，i2，in） ， （n 是不小于 2 的正整数） ，如果 第 3 页（共 20 页） 在 pq 时有 ipiq，则称 ip和 iq是该数组的一个“好序” ，一个数组中“好序”的个数 称为此数组的“好序数” ，例如，数组（1，3，4，2）中有好序“1，3” ， “1，4” ， “1，2” ， “3，4” ，其“好序数”
5、等于 4若各数互不相等的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6， a7）的“好序数”等于 3，则（a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“好序数”是 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 （14 分） （用数字作答） 从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中选出 4 本，送给 4 位同学，每人 1 本，问： （1）如果故事书和数学书各选 2 本，共有多少种不同的送法？ （2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？
6、（3）如果选出的 4 本书中至少有 3 本故事书，共有多少种不同的送法？ 16 （14 分）在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目： （写出必要的数学式， 结果用数字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4） 甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （甲乙丙三位同学身高互不相等） 17 （14 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA14，AB2，点 M 是 BC 的中点 （1）求异面直线 AC1与 DM 所成
7、角的余弦值； （2）求直线 AC1与平面 ADM 所成角的正弦值 18 （16 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形，AC 与 BD 交于点 O，OP底 面 ABCD，点 M 为线段 PC 中点，OP4，AC8，BD4 （1）求直线 DP 与 BM 所成角的正弦值； 第 4 页（共 20 页） （2）求平面 ABM 与平面 PAB 所成二面角的正弦值 19 （16 分）已知（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，nN* （1）若 1，n8，求 a0及 a1+a2+a7+a8的值； （2）若 2，n7，求最大的系数 ai； （3）定义，若 1，化简 20 （16 分）设
8、n3，nN*，在集合 M1，2，n的所有元素个数为 2 的子集中，把 每个子集的较大元素相加和记为 a，较小元素之和记为 b （1）当 n3 时，求 a，b 的值； （2）当 n4 时，求集合 M 的所有 3 个元素子集中所有元素之和 S； （3）对任意的 n4，nN*，是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值； 若不是，请说明理由 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江苏省泰州市姜堰区高二 （下） 期中数学试卷 （理学年江苏省泰州市姜堰区高二 （下） 期中数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空一、填空题： （本大题共题： （本大题共 1
9、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请将答案填入答题纸相应的答题分请将答案填入答题纸相应的答题 线上）线上） 1 （5 分）从 9 道选择题与 3 道填空中任选一道进行解答，不同的选择方法有 12 【分析】根据题意，有 9 道选择题与 3 道填空，一共 12 道题目，从中任选一道进行解答， 由组合数公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，有 9 道选择题与 3 道填空，一共 12 道题目， 从中任选一道进行解答，有 C12112 种选法 故答案为：12 【点评】本题考查分类计数原理的应用，属于基础题 2 （5 分）某学校高三年级 700 人，高二年级 700 人，高一年级
10、800 人，若采用分层抽样的 办法，从高一年级抽取 80 人，则全校总共抽取 220 人 【分析】设全校总共抽 x 人，利用分层抽样的性质能求出全校总共抽取人数 【解答】解：设全校总共抽 x 人， 某学校高三年级 700 人，高二年级 700 人，高一年级 800 人， 采用分层抽样的办法，从高一年级抽取 80 人， ， 解得 x220 全校总共抽取 220 人 故答案为：220 【点评】本题考查全校总共抽取的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 3 （5 分）执行如图所示的伪代码，最后输出的 S 值为 14 第 6 页（共 20 页） 【
11、分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是累加并输出满足条件 S 的值，模拟程序的运行即可得解 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n1，S0 满足条件 S11，执行循环体，S01+10，n2 满足条件 S11，执行循环体，S0+1+23，n3 满足条件 S11，执行循环体，S31+35，n4 满足条件 S11，执行循环体，S5+1+410，n5 满足条件 S11，执行循环体，S101+514，n6 此时，不满足条件 S11，退出循环，输出 S 的值为 14 故答案为：14 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其
12、处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的 类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据 进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解 模 4 （5 分）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 1000 人，并根据所得数据绘 制了样本频率分布直方图 （如图所示） ， 则月收入在2000， 3500） 范围内的人数为 700 第 7 页（共 20 页） 【分析】先有频率分布直方图求出在2000，3500）收入段的频率，用此频率乘以样本容 量计算出应抽人数 【解答】解：由图2000，350
13、0）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）5000.7； 则在2000，3500）收入段应抽出人数为 0.71000700 故答案为：700 【点评】本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相 应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数 5 （5 分）已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8，9，10，10，8，则该组数据的方差 为 【分析】求出该组数据的平均数 ，再计算出方差 【解答】解：该组数据的平均数是 （9+10+8+10+8）9， 方差是 s2（99）2+（109）2+（89）2+（109）2+（8
14、9）2 故答案为： 【点评】本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时应按照求平均数与方差的公 式计算即可，是基础题 6 （5 分）有 4 种不同的蔬菜，从中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地上进行实验， 则不同的种植方法共 24 种 【分析】相当于从 4 块不同的土地中选出 3 块，进行全排列，方法共有 种 【解答】解：这相当于从 4 块不同的土地中选出 3 块，进行全排列，方法共有43 224 种， 故答案为 24 【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用， 属于中档题 7 （5 分）如图，圆 O 和其内接正三角形 ABC，若在圆面上任意取一
15、点 P，则点 P 恰好落 在三角 第 8 页（共 20 页） 形 ABC 外的概率为 1 【分析】由几何概型中的面积型 P（A）1P（ ）1， 结合三角形及三角形外接圆的面积公式运算即可 【解答】解：设正三角形的外接圆的半径为 R，边长为 a，由正弦定理得：， 即 a， 设事件 A 为”点 P 恰好落在三角形 ABC 外“， 由几何概型中的面积型可得： 则 P（A）1P（ ）111， 故答案为：1 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及三角形及三角形外接圆的面积，属简单题 8 （5 分）的展开式中的常数项为 2 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，
16、即可求 得展开式中的常数项的值 【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）rx10 5r， 令 105r0，求得 r2，可得展开式中的常数项为5 12， 故答案为：2 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题 9 （5 分）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中 第 9 页（共 20 页） 一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 【分析】根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率 即可 【解答】解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C2，则 一次取出
17、 2 只球，基本事件为 AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共 6 种， 其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、BC1、BC2共 5 种； 所以所求的概率是 P， 故答案为： 【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目 10 （5 分）若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3） 2 的值为 16 【分析】在所给的等式中，分别令 x0，x2，可得到 2 个式子，再把这 2 个式子相 乘，即得所求 【解答】 解： 在等式 （3x+） 4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中， 令 x1， 可得 a0+a1+a2+a3+a4 ， 再令 x1，可得
18、 a0a1+a2a3+a4， 可得 （ao+a2+a4）2（a1+a3）2（2）416， 故答案为：16 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通 过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题 11 （5 分）一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点 O（0，0）出发，沿向上或向右方 向爬至点（5，2） ，记可能的爬行方法总数为 f（5，2） ，则 f（5，2） 21 【分析】根据题意，分析可得由原点 O（0，0）出发，沿向上或向右方向爬至点（5，2） ， 需要向上走 2 步，向右走 5 步，一共走 7 步；由组合数公式分析可得答案
19、 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：根据题意，由原点 O（0，0）出发，沿向上或向右方向爬至点（5，2） ，需 要向上走 2 步，向右走 5 步，一共走 7 步； 可以在 7 步中任选 2 步向上，剩下的 5 步向右，有 C721 种情况， 则 f（5，2）C7221 种； 故答案为：21， 【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为组合数问题，属于基础题 12 （5 分）已知（1，2，3） ，（2，1，2） ，（1，1，2） ，点 M 在直线 OC 上运动，则的最小值为 【分析】利用向量共线定理和数量积运算、二次函数的单调性等即可得出 【解答】解：设 M（x，
20、y，z） ， 点 M 在直线 OC 上运动， 存在实数 ，使得， （x，y，z）（1，1，2） ，得到 x，y，z2 （1，2，32） （2，1，22） （1） （2） + （2） （1） + （32） （22） 6216+10 当且仅当时，取得最小值 此时 M最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查向量数量积的计算，熟练掌握向量共线定理和数量积运算、二次 函数的单调性等是解题的关键 13 （5 分）在一个如图所示的 6 个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物， 相邻的两块区域中种不同的植物现有 4 种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的 总数 588 （结果用数字
21、表示） 第 11 页（共 20 页） 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，对于区域 B 有 4 种情况可选，E 区域与 B 相 邻，有 3 种情况可选：，对于剩下的 4 个区域，分 4 种情况讨论，由加法原理求出其 栽种方案数目，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，对于区域 B 有 4 种情况可选，E 区域与 B 相邻，有 3 种情况可选： ，对于剩下的 4 个区域，分 4 种情况讨论： A 区域与 E 区域的相同，C 区域与 E 区域的也相同；此时 D 区域的选法有 3 种，F 区域 的选法也有 3 种，此时 ADCF 的区域有 339 种； A 区
22、域与 E 区域的不相同，C 区域与 E 区域的相同；此时 A 区域的选法有 2 种，D 区域 的选法有 2 种，F 区域的选法有 3 种，此时 ADCF 的区域有 22312 种； A 区域与 E 区域的相同，C 区域与 E 区域的不相同；此 C 区域的选法有 2 种，F 区域的 选法有 2 种，D 区域的选法有 3 种，此时 ADCF 的区域有 22312 种； A 区域与 E 区域的不相同，C 区域与 E 区域也不相同；此时 A 区域的选法有 2 种，D 区 域的选法有 2 种，C 区域的选法有 2 种，F 区域的选法有 2 种，此时 ADCF 的区域有 2 22216 种； 则 ADCF
23、 的区域的选法有 9+12+12+1649 种栽种方案； 则有 1249588 种不同的栽种方案； 故答案为：588 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计、分类数原理的应用，属于基础题 14 （5 分）对于各数不相等的正整数组（i1，i2，in） ， （n 是不小于 2 的正整数） ，如果 在 pq 时有 ipiq，则称 ip和 iq是该数组的一个“好序” ，一个数组中“好序”的个数 称为此数组的“好序数” ，例如，数组（1，3，4，2）中有好序“1，3” ， “1，4” ， “1，2” ， “3，4” ，其“好序数”等于 4若各数互不相等的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6
24、， a7）的“好序数”等于 3，则（a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“好序数”是 18 第 12 页（共 20 页） 【分析】对应于含有 n 个数字的数组中，首先做出任取两个数字时可以组成的数对，减 去逆序的个数，得到结果 【解答】解：因为各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7）的“好序数” 是 3， （a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1）中任取 3 个的组合有 C6320 个， 所以（a7，a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“好序数”为：20218 故答案为：18 【点评】本题是基础题，考查学生的阅读能力分析问题与解决问题能力，排列组合知识 的
25、应用，考查新定义的转化能力 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 （14 分） （用数字作答） 从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中选出 4 本，送给 4 位同学，每人 1 本，问： （1）如果故事书和数学书各选 2 本，共有多少种不同的送法？ （2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？ （3）如果选出的 4 本书中至少有 3 本故事书，共有多少种不同的送法？ 【分析】 （1）由题意，先从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中各
26、选 2 本，再送给 4 位同学，可得结论； （2）故事书甲和数学书乙必须送出，从其余 7 本中选 2 本，再送给 4 位同学，可得结论； （3）选出的 4 本书中至少有 3 本故事书，包括 3 本故事书 1 本数学书、4 本故事书，可 得结论 【解答】解： （1）由题意，先从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中各选 2 本，再 送给 4 位同学，可得（4 分） （2）故事书甲和数学书乙必须送出，从其余 7 本中选 2 本，再送给 4 位同学，可得 （9 分） （3）选出的 4 本书中至少有 3 本故事书，包括 3 本故事书 1 本数学书、4 本故事书，可 得（14 分） 【
27、点评】本题考查排列组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16 （14 分）在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目： （写出必要的数学式， 结果用数字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ 第 13 页（共 20 页） （2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4） 甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （甲乙丙三位同学身高互不相等） 【分析】 （1）根据题意，用插空法分 2 步进行分析：，将 4 名男生全排列，有 A44 24 种情况，在 5 个空位中任选 3
28、 个，安排 3 名女生，由分步计数原理计算可得答案； （2）根据题意，用捆绑法分 2 步进行分析：，将 4 名男生看成一个整体，考虑 4 人间 的顺序，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分 2 种情况讨论：，女生甲站在右端，其余 6 人全排列，女生 甲不站在右端，甲有 5 种站法，女生乙有 5 种站法，将剩余的 5 人全排列，安排在剩余 的位置，由加法原理计算可得答案； （4）根据题意，首先把 7 名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有 A33种结果， 要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占 6 种结果中的一种，由倍分法 分
29、析可得答案 【解答】解： （1）根据题意，分 2 步进行分析： ，将 4 名男生全排列，有 A4424 种情况，排好后有 5 个空位， ，在 5 个空位中任选 3 个，安排 3 名女生，有 A5360 种情况， 则三名女生不能相邻的排法有 24601440 种； （2）根据题意，分 2 步进行分析： ，将 4 名男生看成一个整体，考虑 4 人间的顺序，有 A4424 种情况， ，将这个整体与三名女生全排列，有 A4424 种情况， 则四名男生相邻的排法有 2424576 种； （3）根据题意，分 2 种情况讨论： ，女生甲站在右端，其余 6 人全排列，有 A66720 种情况， ，女生甲不站在
30、右端，甲有 5 种站法，女生乙有 5 种站法，将剩余的 5 人全排列，安 排在剩余的位置，有 A55120 种站法， 则此时有 551203000 种站法， 则一共有 720+30003720 种站法； （4）根据题意，首先把 7 名同学全排列，共有 A77种结果， 甲乙丙三人内部的排列共有 A336 种结果， 第 14 页（共 20 页） 要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占 6 种结果中的一种，则有 840 种 【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素 17 （14 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA14，AB2，点 M 是 BC
31、的中点 （1）求异面直线 AC1与 DM 所成角的余弦值； （2）求直线 AC1与平面 ADM 所成角的正弦值 【分析】 （1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角系，利 用向量法能求出异面直线 AC1与 DM 所成角的余弦值 （2）先求出（2，2，4） ，平面 ADM 的法向量 （0，0，1） ，由此利用向量 法能求出直线 AC1与平面 ADM 所成角的正弦值 【解答】解： （1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角系， 则 A（2，0，0） ，C1（0，2，4） ，D（0，0
32、，0） ， M（1，2，0） ， （2，2，4） ，（1，2，0） ， 设异面直线 AC1与 DM 所成角为 ， 则 cos 异面直线 AC1与 DM 所成角的余弦值为 （2）（2，2，4） ， 第 15 页（共 20 页） 平面 ADM 的法向量 （0，0，1） ， 设直线 AC1与平面 ADM 所成角为 ， sin 直线 AC1与平面 ADM 所成角的正弦值为 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，是中档题 18 （16 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABC
33、D 是菱形，AC 与 BD 交于点 O，OP底 面 ABCD，点 M 为线段 PC 中点，OP4，AC8，BD4 （1）求直线 DP 与 BM 所成角的正弦值； （2）求平面 ABM 与平面 PAB 所成二面角的正弦值 【分析】 （1）说明 ACBD以 O 为原点，直线 OA，OB，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 第 16 页（共 20 页） 建立如图所示空间直角坐标系通过向量的数量积求解直线 AP 与 BM 所成角的余弦值， 即可得到直线 AP 与 BM 所成角的正弦值 （2）求出平面 ABM 的一个法向量，平面 PAB 的一个法向量，利用空间向量的数量积求 解平面 ABM 与平面
34、PAB 所成二面角的正弦值即可 【解答】 （本小题 16 分） 解： （1）因为 ABCD 是菱形，所以 ACBD又 OP底面 ABCD，以 O 为原点，直线 OA，OB，OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 则 A（4，0，0） ，D（0，2，0） ，B（0，2，0） ，P（0，0，4） ，C（4，0，0） ，M（ 2，0，2） 所以， 则（3 分） 故直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为（5 分） 直线 AP 与 BM 所成角的正弦值为（7 分） （2）， 设平面 ABM 的一个法向量为， 则， 得， 令x 1 ， 得y 2 ， z 3 得平面 ABM 的一个
35、法向量为（9 分） 又， 第 17 页（共 20 页） 设平面 PAB 的一个法向量为，得，令 x11，得 y12，z11 得平面 PAB 的一个法向量为（11 分） 所以， 则（13 分） 故平面 ABM 与平面 PAB 所成二面角的正弦值为（16 分） 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能 力以及计算能力 19 （16 分）已知（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，nN* （1）若 1，n8，求 a0及 a1+a2+a7+a8的值； （2）若 2，n7，求最大的系数 ai； （3）定义，若 1，化简 【分析】（1） 由二项式定理及展开式的项系
36、数得： x0， 则 a01， 令 x1， 则 a0+a1+a2+ +a80 所以 a1+a2+a81 （2）由展开式通项公式为，由不等式，解得 ，且 rN，所以 r5，所以最大的系数为 a5672 （3）由，得 ，又，故n 2n 1+2n1（n+2） 2n11，得解 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）若 1，n8， 令 x0，则 a01， 令 x1，则 a0+a1+a2+a80 所以 a1+a2+a81 （2）若 2，n7，则， 其展开式通项公式为， 由不等式， 解得， 且 rN， 所以 r5， 所以最大的系数为 a5672 （3）若 1， ， 又， 故n2n 1+2n1（n+
37、2） 2n11 【点评】本题考查了二项式定理及展开式的项系数，属难度较大的题型 20 （16 分）设 n3，nN*，在集合 M1，2，n的所有元素个数为 2 的子集中，把 每个子集的较大元素相加和记为 a，较小元素之和记为 b （1）当 n3 时，求 a，b 的值； （2）当 n4 时，求集合 M 的所有 3 个元素子集中所有元素之和 S； （3）对任意的 n4，nN*，是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值； 第 19 页（共 20 页） 若不是，请说明理由 【分析】 （1）直接利用列举法求出结果 （2）利用组合数求出结果 （3）利用数列的求和的应用求出结果 【解答】解： （1）集合
38、 A1，2，3的所有 2 元子集为1，2，1，3，2，3， 较大元素分别为 2，3，3， 所以 a8； 较小元素分别为 1，1，2， 所以 b4 （2）含有元素 1 的子集有个， 同理含有 2，3，4 的子集也有个， 于是所求元素之和为； （3）是为定值 定值为 法1 ： 当n 4 ， nN*， 21+32+43+n（n1） ， a+b（1+2+n） 所以， 法 2：集合 A1，2，3，n时， 在其 2 元子集中，含 n 的有 n1 个；含 n1 且 n1 较大的有 n2 个； ； 含 2 且 2 较大的有 1 个 所以 an（n1）+（n1） （n2）+21 n2+（n1）2+22（n+（n1）+2） 第 20 页（共 20 页） （12+22+n2）（1+2+n） ， 集合 A1，2，3，n时，在其 2 元子集中，含 1 的有 n1 个；含 2 且 2 较小的有 n2 个；含 n1 且 n1 较小的有 1 个，所以 b1（n1）+2（n2）+（n1） 1， （1+2+n1）n（12+22+32+（n1）2） ， ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：组合数的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运 算能力和转换能力，属于基础题型
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