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    2018-2019学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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    2018-2019学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

    1、2018-2019 学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分请把答案填写在答题纸相应位分请把答案填写在答题纸相应位 置上置上 1 (5 分)抛物线 y22x 的焦点坐标为 2 (5 分)命题“xR,x210”的否定是 3 (5 分)已知函数 f(x)2lnx+x,则 f(1)的值为 4 (5 分)直线 2xy0 与直线 2xy+0 之间的距离为 5 (5 分)已知双曲线 C:1 的右焦点为 F,则 F 到双曲线 C 的渐近线的距离 为 6 (5 分)函数 y4x2+的单调递增区间是 7 (5 分)已知圆柱

    2、的底面半径为 1,体积为 4,则这个圆柱的表面积是 8 (5 分)已知 AB 是圆 C:x2+y24x+2y+20 的一条弦,M(1,0)是弦 AB 的中点,则 直线 AB 的方程为 9 (5 分)已知椭圆1 的左焦点为 F1,点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点,O 为 坐标原点,若点 M 是线段 PF1的中点,则MOF1的周长为 10 (5 分) “a9”是“圆 x2+y21 与圆 x2+y2+6x8y+a0 相切”的 条件 (填写 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”之一) 11 (5 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6,E,F 分

    3、别为线段 AA1,B1C 上的 点,则三棱锥 D1DEF 的体积为 12 (5 分)若函数 y2sinx+ax 在0,2上单调递增,则实数 a 的取值范围为 13 (5 分)已知椭圆 C:1(ab0)的右焦点为 F,上顶点为 B,直线 BF 与 第 2 页(共 19 页) 椭圆 C 的另一个交点为 A,若,则椭圆 C 的离心率为 14 (5 分)已知函数 f(x),其中 e 是自然对数的底数若 集合xZ|x(f(x)m)0中有且仅有 4 个元素,则整数 m 的个数为 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分请在答题纸指定的区域内作答,解答时应写出分请在答题纸

    4、指定的区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15 (14 分)在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 BCC1B1是正方形,D,E,F,G 分别为线段 AB,AA1,CC1,B1C1的中点,DECG (1)求证:A1B平面 CDE; (2)求证:CG平面 A1BF 16 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2) ,B(3,3) ,AOB 的外接圆为 圆 M (1)求圆 M 的标准方程; (2)若过点 C(1,0)的直线 l 被圆 M 截得的弦长为,求直线 l 的方程 17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,已知 PA平

    5、面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角 梯形,ABCBAD,PAAD2,ABBC1,Q 为棱 PB 的中点 (1)求异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦值; (2)求直线 DP 与平面 CDQ 所成角的正弦值 第 3 页(共 19 页) 18 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:l(ab0)的右顶点 为 A,右准线为 l:x4,离心率为,椭圆上的点 P,Q 关于原点 O 对称,且点 P 在 x 轴上方,直线 PA,QA 分别交右准线 l 于点 M,N (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的横坐标为,求AMN 的面积; (3)是否存在点 P,使得AMN 的面

    6、积是APQ 的面积的 2 倍?若存在,求出点 P 的 坐标:若不存在,说明理由 19 (16 分)现要设计一个杯形容器,它由上下两部分组成,上部杯盖的形状是圆台 OO1, 下部杯体的形状是圆台 OO2(如图所示) ,各底面半径满足 OA:O1B:O2C4:3:2 (1)若 O1B3OO12cm,求杯盖的侧面积; (2)若圆台 OO2的母线 AC 长 12cm,设 OO2xcm,当 x 为多少时,下部杯体的容积最 大? 第 4 页(共 19 页) 20 (16 分)已知函数 f(x)2lnx+1,aR (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)求函数 f

    7、(x)在(1,+)上的极值; (3)设函数 g(x)(xa)2lnx,若对任意的实数 x1,e,不等式 g(x)4e2恒 成立(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分请把答案填写在答题纸相应位分请把答案填写在答题纸相应位 置上置上 1 (5 分)抛物线 y22x 的焦点坐标为 【分析】焦点在 x 轴的正

    8、半轴上,且 p1,利用焦点为(,0) ,写出焦点坐标 【解答】解:抛物线 y22x 的焦点在 x 轴的正半轴上,且 p1,故焦点坐标 为(,0) , 故答案为: (,0) 【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,求的值是解题的关键 2 (5 分)命题“xR,x210”的否定是 xR,x210 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“xR,x210”的否定 是:xR,x210 故答案为:xR,x210 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题 3 (5 分)已知函数 f(x)2lnx+x,

    9、则 f(1)的值为 3 【分析】求函数的导数,令 x1 进行求解即可 【解答】解:的导数为 f(x)+1, 则 f(1)2+13, 故答案为:3 【点评】本题主要考查函数的导数计算,根据函数的导数公式求出函数的导数是解决本 题的关键 4 (5 分)直线 2xy0 与直线 2xy+0 之间的距离为 1 【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式,求得结果 第 6 页(共 19 页) 【解答】解:直线 2xy0 与直线 2xy+0 之间的距离为 1, 故答案为:1 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用,属于基础题 5 (5 分)已知双曲线 C:1 的右焦点为 F,则 F 到双曲线 C

    10、的渐近线的距离为 4 【分析】求出双曲线的 a,b,c,可设 F(5,0) ,设双曲线的一条渐近线方程,运用点 到直线的距离公式计算即可得到 【解答】解:双曲线 C:1 的 a3,b4,c5, 则可设 F(5,0) , 设双曲线的一条渐近线方程为 3y4x, 则 F 到渐近线的距离为 d4 故答案为:4 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离 公式,考查运算能力,属于中档题 6 (5 分)函数 y4x2+的单调递增区间是 (,+) 【分析】先对函数求导,然后由 y0 可得 x 的 范围,从而可求函数的单调递增区间 【解答】解析:y8x,令 y0,解得 x,

    11、则函数的单调递增区 间为(,+) 故答案: (,+) 【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用,属于基础试题 7 (5 分)已知圆柱的底面半径为 1,体积为 4,则这个圆柱的表面积是 10 【分析】根据圆柱的体积求出母线长,再计算圆柱的表面积 【解答】解:圆柱的体积为 V12l4,解得 l4; 所以圆柱的表面积为 S2r2+2rl212+21410 第 7 页(共 19 页) 故答案为:10 【点评】本题考查了圆柱的体积与表面积的计算问题,是基础题 8 (5 分)已知 AB 是圆 C:x2+y24x+2y+20 的一条弦,M(1,0)是弦 AB 的中点,则 直线 AB 的方程为

    12、 xy10 【分析】根据题意,求出圆 C 的圆心,由垂径定理可得直线 CM 与直线 AB 垂直,求出 直线 CM 的斜率,即可得直线 AB 的斜率,由直线的点斜式方程分析可得答案 【解答】解:根据题意,圆 C:x2+y24x+2y+20,即(x2)2+(y+1)23,其圆心 C 为(2,1) , M(1,0)是弦 AB 的中点,则直线 CM 与直线 AB 垂直, 又由 KCM1,则 KAB1, 则直线 AB 的方程为 y0(x1) ,即 xy10, 故答案为:xy10 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用,涉及直线与圆的位置关系以及垂径定理的应 用,属于基础题 9 (5 分)已知椭圆1 的左焦

    13、点为 F1,点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点,O 为 坐标原点,若点 M 是线段 PF1的中点,则MOF1的周长为 8 【分析】由椭圆的方程求出 a、b、c,画出图形,利用椭圆的性质以及椭圆的定义,求解 即可 【解答】解:椭圆1, 可得 a5,b4,c3 由题意可知如图: 连结 PF2,点 M 是线段 PF1的中点, 可得 OM 为PF1F2的中位线, OMPF2, 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|2a, |MF1|+|MO|a5 F1OM 的周长为:a+c5+38 第 8 页(共 19 页) 故答案为:8 【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用,根据中位线的性质是解决本题的关键 10(

    14、5 分)“a9” 是 “圆 x2+y21 与圆 x2+y2+6x8y+a0 相切” 的 充分不必要 条件(填 写“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”之一) 【分析】根据利用内切和外切的等价条件求出 a 的值,结合充分条件和必要条件的定义 进行判断即可 【解答】解:由 x2+y2+6x8y+a0 得(x+3)2+(y4)225a,则 a25, 圆心 C(3,4) ,半径 R, 若两圆外切则|OC|1+5, 得4,得 25a16,得 a9, 若两圆内切,则|OC|15, 即6,得 25a36,得 a11, 即 a9”是“圆 x2+y21 与圆 x2+y2+6x

    15、8y+a0 相切”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合圆外切和内切的等价条件是解 决本题的关键 11 (5 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的 点,则三棱锥 D1DEF 的体积为 36 第 9 页(共 19 页) 【分析】由已知直接利用等积法求三棱锥 D1DEF 的体积 【解答】解:B1C平面 EDD1,F 为线段 B1C 上的点, F 到平面 EDD1的距离为正方体的棱长为 6, E 为线段 AA1上的点,E 到 DD1的距离为 6, 故答案为:36 【点评】本题考查利用等积法

    16、求多面体的体积,是基础题 12 (5 分) 若函数 y2sinx+ax 在0, 2上单调递增, 则实数 a 的取值范围为 2, +) 【分析】求出函数的导数,问题转化为 a(2cosx)max,x0,2,求出 a 的范围即 可 【解答】解:y2cosx+a, 若函数在0,2递增, 则 y2cosx+a0 在0,2恒成立, 即 a(2cosx)max,x0,2, 故 a2, 故答案为:2,+) 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及三角函数的性质,是一道 常规题 13 (5 分)已知椭圆 C:1(ab0)的右焦点为 F,上顶点为 B,直线 BF 与 第 10 页(共 19 页)

    17、椭圆 C 的另一个交点为 A,若,则椭圆 C 的离心率为 【分析】利用直线方程以及椭圆方程,求出 A 的坐标,结合已知条件,求解离心率即可 【解答】解:由题意可知:B(0,b) ,F(c,0) ,AB 的方程:,椭圆 C: 1(ab0)可得: (c2+a2)y22bc2y+c2b2a2b20, 可得 A 的纵坐标:yB,yB+b,解得 yBb, ,可得:,解得 e 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力 14 (5 分)已知函数 f(x),其中 e 是自然对数的底数若 集合xZ|x(f(x)m)0中有且仅有 4 个元素,则整数 m 的个数为 34 【分析】由

    18、 x0A,画出函数图象,x(f(x)m)0 等价于当 x0 时,f(x)m; 当 x0 时,mf(x) ,平移 ym,符合条件的整数根,除零外有三个即可,由此能求 出满足条件的整数 m 的个数 【解答】解:x0A,符合条件的整数根,除零外有且只有三个即可 画出 f(x)的图象如下图: 当 x0 时,f(x)m;当 x0 时,mf(x) 即 y 轴左侧的图象在 ym 下面,y 轴右侧的图象在 ym 上面, f(3)39+189,f(4)316+2424, f(3)(3)33(3)2+44, 第 11 页(共 19 页) f(4)(4)33(4)2+420, 平移 ya,由图可知: 当24a9 时

    19、,A1,2,3,符合题意; a0 时,A1,1,2,符合题意; 2a3 时,A1,1,2,符合题意; 4a20 时,A1,2,3,符合题意; 整数 m 的值为23,22,21,20,19,18,17,16,15,14, 13,12,11,10,9,0,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, 17,18,19,共 34 个 故答案为:34 【点评】本题考查不等式的整数解的个数的求示,考查函数性质等基础知识,考查运算 求解能力,考查数形结合思想,是难题 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分请在答题纸指定的区域内作答,解答时应写

    20、出分请在答题纸指定的区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15 (14 分)在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 BCC1B1是正方形,D,E,F,G 分别为线段 AB,AA1,CC1,B1C1的中点,DECG (1)求证:A1B平面 CDE; (2)求证:CG平面 A1BF 第 12 页(共 19 页) 【分析】 (1)推导出 A1BDE,由此能证明 A1B平面 CDE (2)由 A1BDE,DECG,得 A1BCG,由 F、G 分别为线段 CC1,B1C1的中点,得 RtGC1CRtFCB, 从而CGC1BFC 进而BFCG, 由此能证明CG平

    21、面A1BF 【解答】 证明: (1) 因为 D, E 分别为 AB, AA1的中点, 所以 A1BDE, (2 分) 又因为 DE平面 CDE,A1B平面 CDE, 所以 A1B平面 CDE(6 分) (2)由(1)知,A1BDE,因为 DECG,所以 A1BCG(8 分) 在正方形 BCC1B1中,F、G 分别为线段 CC1,B1C1的中点, 所以,所以 RtGC1CRtFCB, 所以CGC1BFC设 CGBFH, 则CHF(GCC1+BFC)(GCC1+CGC1), 即 BFCG,(10 分) 又因为 A1BBFB,A1B,BF平面 A1BF, 所以 CG平面 A1BF(14 分) 【点评

    22、】本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 16 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2) ,B(3,3) ,AOB 的外接圆为 第 13 页(共 19 页) 圆 M (1)求圆 M 的标准方程; (2)若过点 C(1,0)的直线 l 被圆 M 截得的弦长为,求直线 l 的方程 【分析】 (1)设出圆的标准方程,由已知列关于 a,b,r 的方程组,求解即可得到答案; (2)若直线 l 的斜率不存在,则方程为 x1,此时弦长为 4,不符合题意;因此直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 yk(x1) ,

    23、利用垂径定理求弦长列式求得 k,则直线方程 可求 【解答】解: (1)设圆 M 的标准方程为(xa)2+(yb)2r2, 则,解得 故圆 M 的标准方程为(x2)2+(y1)25; (2)若直线 l 的斜率不存在,则方程为 x1,此时弦长为 4,不符合题意; 因此直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 yk(x1) , 此时弦长为, 即 2k25k+20,解得 k或 k2, 直线 l 的方程为 x2y10 或 2xy20 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查圆的标准方程的求法,是基础的计算 题 17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,已知 PA平面 ABCD,且四边形 ABC

    24、D 为直角 梯形,ABCBAD,PAAD2,ABBC1,Q 为棱 PB 的中点 (1)求异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦值; (2)求直线 DP 与平面 CDQ 所成角的正弦值 第 14 页(共 19 页) 【分析】 (1)推导出 PAAB,PAAD以 A 为原点,AB,AD,AP 分别为 x 轴,y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 Axyz,利用向量法能求出异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦 值 (2)求出平面 CDQ 的法向量和平面 CDQ 的一个法向量,利用向量法能求出直线 DP 与 平面 CDQ 所成角的正弦值 【解答】解: (1)因为 PA平面 ABCD,AB,AD平面

    25、ABCD, 所以 PAAB,PAAD 以 A 为原点,AB,AD,AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Axyz, 则 B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,Q(,0,1) (2 分) (0,2,2) ,(,1) , cos, 故异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦值为(6 分) (2)() ,(1,1,0) , 设平面 CDQ 的法向量为 (x,y,z) , 则,令 x2,则(2,2,3)是平面 CDQ 的一个法向 量,(10 分) 从而 cos, 故直线 DP 与平面 CDQ 所成角的正弦值为(14 分) 第 15 页(共 1

    26、9 页) 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档 题 18 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:l(ab0)的右顶点 为 A,右准线为 l:x4,离心率为,椭圆上的点 P,Q 关于原点 O 对称,且点 P 在 x 轴上方,直线 PA,QA 分别交右准线 l 于点 M,N (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的横坐标为,求AMN 的面积; (3)是否存在点 P,使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍?若存在,求出点 P 的 坐标:若不存在,

    27、说明理由 【分析】 (1)设椭圆 C 的右焦点为(c,0) ,通过已知条件求出 a,b,得到椭圆方程 (2)设 P(x0,y0) ,则 Q(x0,y0) ,求出直线 PA 的方程,求出 M 的坐标,直线 QA 的方程,求出 N 的坐标,然后求解三角形的面积 (3)由(2)知,而APQ 的面积是假设 存在点 P,使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍,列出方程转化求解即可 第 16 页(共 19 页) 【解答】解: (1)设椭圆 C 的右焦点为(c,0) ,则解得所以 b2a2c2 3, 故椭圆 C 的标准方程为(4 分) (2)由(1)知,A(2,0) ,设 P(x0,y0) ,则 Q(

    28、x0,y0) , 直线 PA 的方程为,所以, 直线 QA 的方程为,所以, 所以AMN 的面积为 当时,所以(10 分) (3)由(2)知,而APQ 的面积是 假设存在点 P,使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍,则, 解得,所以 故存在点,使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍(16 分) 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的 应用,考查转化思想以及计算能力 19 (16 分)现要设计一个杯形容器,它由上下两部分组成,上部杯盖的形状是圆台 OO1, 下部杯体的形状是圆台 OO2(如图所示) ,各底面半径满足 OA:O1B:O2C4:3:

    29、2 (1)若 O1B3OO12cm,求杯盖的侧面积; (2)若圆台 OO2的母线 AC 长 12cm,设 OO2xcm,当 x 为多少时,下部杯体的容积最 大? 第 17 页(共 19 页) 【分析】 (1)由已知求得 AB,再由圆台侧面积公式求解; (2)设 O2Cr,则 OA2r用 x 表示 r,写出圆台体积公式,再由导数求最值 【解答】解: (1)O1B3OO12cm,cm, 杯盖的侧面积为(cm2) ; (2)设 O2Cr,则 OA2r ,r2144x2 下部杯体的容积 V ,0x12 ,令 V0,得或 x(舍) , 当 0x时,V0,V 是单调增函数; 当x12 时,V0,V 是单调

    30、减函数 当 x时,V 取得极大值,也是最大值 当 x 为cm 时,下部杯体的容积最大 【点评】本题考查柱、锥、台侧面积及体积的求法,训练了利用导数求最值,是中档题 20 (16 分)已知函数 f(x)2lnx+1,aR (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)在(1,+)上的极值; (3)设函数 g(x)(xa)2lnx,若对任意的实数 x1,e,不等式 g(x)4e2恒 成立(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)代入 a 的值,求出函数的导数,计算 f(1) ,f(1)的值,求出切线方程即 可; (2)

    31、求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值 第 18 页(共 19 页) 即可; (3)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而确定 a 的范围即 可 【解答】解: (1)当 a1 时,所以 f(1)1, f(1)2, 所以曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 xy+10(2 分) (2),x(1,+) 当 a2 时,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调增,所以 f(x)无极值; 当 a2 时,令 f(x)0,得,列表如下: x f(x) 0 + f(x) 极小值 所以 f(x)的极小值为 综上所述,当 a2 时,f(x

    32、)无极值; 当 a2 时,f(x)的极小值为,无极大值(8 分) (3) 因为对任意的 x1,e,g(x)4e2恒成立,所以 解得ea3e(10 分) 当ea2 时,xa0,由(2)知, 所以 g(x)0,所以 g(x)在1,e上单调增, 则,解得ea3e,此时,ea2(12 分) 当2a1 时,xa0,当且仅当 ax1 时,取等号 由(2)知,f(x)在1,e上单调增,所以 f(x)f(1)1a0 所以 g(x)0,当且仅当 ax1 时,取等号, 所以 g(x)在1,e上单调增,则, 第 19 页(共 19 页) 解得ea3e,此时,2a1(14 分) 若 1a3e,则 f(x)在1,e上单调增,且 又 f(a)2lna0,所以存在 x0(1,a) ,且 x0(1,e,使得 f(x0)0, 所以 g(x)0 的解为 x0和 a,列表如下: x (1,x0) x0 (x0,a) a (a, +) g(x) + 0 0 + g(x) 极大值 极小值 所以,即, 又 x0e,所以恒成立此时,1a3e 综上所述,实数 a 的取值范围为e,3e(16 分) 【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性,极值问题,考查的应用以及分 类讨论思想,转化思想,是一道综合题


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