1、2018-2019 学年江苏省南通市海门市高二 （上） 期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上上 1 （5 分）已知复数 z11i，z2a+2i（i 为虚数单位） ，且 z1z2为纯虚数，则实数 a 的 值为 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上点 M 到焦点的距离为 8，则点 M 到 y 轴的距离为 3 （5 分）已知复数 z 满足（1i）z2+4i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模|z| 4 （5 分）已知命题 p：x（0，+） ，4
2、x3x，q：R，cossin，则在命题p q；pq；（p）q；p（q）中，真命题的个数为 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1（a0，b0）的右焦点 F （2，0）到其渐近线的距离为 1，则该双曲线的标准方程是 6 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 中，底面边长为 2，高为，则此正四棱锥 PABCD 的侧面积为 7 （5 分）已知函数 f（x）（x2+ax+1）ex（其中 aR，e 为自然对数的底数） ，若函数 f （x）在 x2 处取得极值，则实数 a 的值为 8 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为棱 CC1上的点，且 C1D2DC，若四 棱锥 B
3、AA1DC 的体积为 4，则正三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 9 （5 分）下列结论： “直线 l 与平面 平行”是“直线 l 在平面 外”的充分不必要条件； 若 p：x0，x2x+20，则p：x0，x22x+20； 命题“设 a，bR，若 a+b2，则 a1 或 b1”为真命题； “a3”是“函数 f（x）x3ax 在1，+）上单调递增”的充要条件 第 2 页（共 27 页） 其中所有正确结论的序号为 10 （5 分）设球 O 与圆锥 SO1的体积分别为 V1，V2若圆锥 SO1的母线长是其底面半径的 2 倍，且球 O 的表面积与圆锥 SO1的侧面积相等，则的值是 11 （5 分）在平面
4、直角坐标系 xOy 中，设直线 x2y+m0（m0）与圆 x2+y24 交于不 同的两点 A，B，若圆上存在点 C，使得ABC 为等边三角形，则正数 m 的值为 12 （5 分）若函数 f（x）的图象上有且只有 2 对关于原点对称的 点，则实数 a 的取值范围是 13 （5 分）如图，椭圆 C：1（ab0）的顶点分别为 A1，A2，B1，B2，记四 边形 A1B1A2B2的面积为 S1，四边形 A1B1A2B2的内切圆面积为 S2，若，则椭圆 C 的离心率的最大值为 14 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）ax2有五个零点， 则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二
5、、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，A1CBC，D 是 BC 的中点 （1）求证：A1C平面 ADB1； （2）求证：平面 ADB1平面 BCC1B1 第 3 页（共 27 页） 16 （14 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左，右顶点分别是 A1，A2，右焦点为 F，直线 l：bxay+ab0 与以线段 A1A2为直径的圆相切 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）设点 P（，
6、y0） （y00）在椭圆 C 上，且 PF1，求 y0的值 17（14 分） 如图， 已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50km， B， C 间的距离为 100km 从 海岛 A 到 C，先乘船至海岸公路 BC 上的登陆点 D，船速为 25km/h，再乘汽车至 C，车 速为 50km/h，设BAD （1）用 表示从海岛 A 到 C 所用时间 t（） ，并确定 的取值范围； （2）求当 为何值时，能使从海岛 A 到 C 所用时间最少 18 （16 分）如图，四棱锥 PABCD 中，已知 AB平面 PAD，PAAD，CDPD，E 为棱 PC 上的一点，经过 A，B，E 三点的平面与
7、棱 PD 相交于点 F （1）求证：CD平面 PAD； 第 4 页（共 27 页） （2）求证：CDEF； （3）若平面 ABE平面 PCD，求证：AFPD 19 （16 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，经过点（3，1） 过 点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且与椭圆 C 的左准线交于点 N （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当 ABMN 时，求直线 l 的方程； （3）设 P（0，2） ，求PAB 面积的最大值 20 （16 分）记 f（x）（f（x） ），其中 f（x）为函数 f（x）的导数若对于xD， f（x）0，则称函数 yf（x）为 D 上的
8、凸函数 （1）求证：函数 g（x）exx3+2x1 是定义域上的凸函数； （2）已知函数 h（x）ax3x2+xlnx，aR 为（0，+）上的凸函数 求实数 a 的取值范围； 求函数 H（x）|2lnx|，x1 的最小值 附加题：满分为附加题：满分为 40 分，考试时间为分，考试时间为 30 分钟请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分钟请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 21在极坐标系 Ox 中，设曲线 C 的方程为 4sin，直线 l 的方程为 psin（+）2， 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积
9、第 5 页（共 27 页） 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，设直线 l 与椭圆 C1相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 23如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PAAD2，AB ，M 是棱 PD 上一点，且，01 （1）当 时，求直线 AM 与 PC 所成角的余弦值； （2）当 CMBD 时，求二面角 MACB 的大小 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点 为 H，过点 F 的直线 l 与抛物线的交点为 A
10、，B，且 ABHB （1）求证：AHFBHF； （2）求 AFBF 的值 第 6 页（共 27 页） 2018-2019 学年江苏省南通市海门市高二 （上） 期末数学试卷 （理学年江苏省南通市海门市高二 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上上 1 （5 分）已知复数 z11i，z2a+2i（i 为虚数单位） ，且 z1z2为纯虚数，则实数 a 的 值为 1 【分析】直接利用复数代数形式的加减运算
11、化简，再由实部为 0 求解 【解答】解：z11i，z2a+2i， z1z2（1i）（a+2i）（1a）3i， 由 z1z2为纯虚数，得 a1 故答案为：1 【点评】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上点 M 到焦点的距离为 8，则点 M 到 y 轴的距离为 7 【分析】利用抛物线的性质，转化求解即可 【解答】解：抛物线 y24x，可得 p2， 因为抛物线上的点与焦点的距离等于到准线的距离， 抛物线 y24x 上的点到焦点距离为 8，那么该点到 y 轴的距离为：87 故答案为：7 【点评】本题考查抛物线的
12、简单性质的应用，是基本知识的考查 3 （5 分）已知复数 z 满足（1i）z2+4i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模|z| 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】解：由（1i）z2+4i，得 z， |z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 第 7 页（共 27 页） 4 （5 分）已知命题 p：x（0，+） ，4x3x，q：R，cossin，则在命题p q；pq；（p）q；p（q）中，真命题的个数为 2 【分析】分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：当 x0 时，（）x1，x（0，+）
13、 ，4x3x，成立，即命题 p 是真命题， cossincos（+）， R，cossin，是假命题，即 q 是假命题， 则pq 是真命题；pq 是假命题；（p）q 是假命题；p（q）是真 命题， 则真命题的个数是 2 个， 故答案为：2 【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断命题 p，q 的真假是解决本题的 关键 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1（a0，b0）的右焦点 F （2，0）到其渐近线的距离为 1，则该双曲线的标准方程是 1 【分析】设右焦点为 F（ 2，0 ） ，一条渐近线为 bxay0，根据点到直线的距离公式， 求出 b，再根据离心率以及 c2a
14、2+b2，求出 a，即可求出结果 【解答】解：设右焦点为 F（ 2，0 ） ，一条渐近线为 bxay0， 根据点到直线的距离公式1，可得 b1，c2，a， 所以双曲线的方程为1， 故答案为：1 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由1， 求出 b 值是解题的关键 6 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 中，底面边长为 2，高为，则此正四棱锥 PABCD 第 8 页（共 27 页） 的侧面积为 8 【分析】根据题意计算正四棱锥侧面的高，求出它的侧面积 【解答】解：正四棱锥底面边长为 2，高为， 则侧面的斜高为 h2， 所以正四棱锥的侧面积为 S4228 故答案为：8 【
15、点评】本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题，是基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）（x2+ax+1）ex（其中 aR，e 为自然对数的底数） ，若函数 f （x）在 x2 处取得极值，则实数 a 的值为 3 【分析】求出函数的导数，根据 f（2）0，求出 a 的值即可 【解答】解：f（x）（x2+（a+2）x+a+1）ex， 若 f（x）在 x2 处取得极值， 则 f（2）（3a+9）e20， 解得：a3， 经检验，符合题意， 故答案为：3 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道常规题 8 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为棱 CC1上的点，
16、且 C1D2DC，若四 棱锥 BAA1DC 的体积为 4，则正三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 9 【分析】 设正三棱柱 ABCA1B1C1中， ACBCABa， AA1h 可得四棱锥 BAA1DC 的体积，即可得正三棱柱 ABCA1B1C1的体积 【解答】解：设正三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCABa，AA1h 四棱锥 BAA1DC 的体积为 4， 第 9 页（共 27 页） ， 正三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 故答案为：9 【点评】本题考查了几何体的体积，属于中档题 9 （5 分）下列结论： “直线 l 与平面 平行”是“直线 l 在平面 外”的充分不必要条件； 若 p：x0
17、，x2x+20，则p：x0，x22x+20； 命题“设 a，bR，若 a+b2，则 a1 或 b1”为真命题； “a3”是“函数 f（x）x3ax 在1，+）上单调递增”的充要条件 其中所有正确结论的序号为 【分析】由线面的位置关系，结合充分必要条件的定义可判断；由特称命题的否定为 全称命题，可判断； 由原命题和逆否命题互为等价命题，可判断；由导数大于等于 0 恒成立，结合充分必 要条件的定义，可判断 【解答】解：“直线 l 与平面 平行”可推得“直线 l 在平面 外” ，反之，不成立， 直线 l 可能与平面 相交， 故“直线 l 与平面 平行”是“直线 l 在平面 外”的充分不必要条件，故正
18、确； 若 p：x0，x2x+20，则p：x0，x22x+20，故错误； 命题“设 a，bR，若 a+b2，则 a1 或 b1”的逆否命题为 “设 a，bR，若 a1 且 b1，则 a+b2” ，即为真命题，故正确； 函数 f（x）x3ax 在1，+）上单调递增，可得 f（x）3x2a0 在1，+） 恒成立， 即有 a3x2的最小值，可得 a3， “a3”是“函数 f（x）x3ax 在1，+）上单调递增”的充分不必要条件，故错 误 故答案为： 【点评】本题考查命题的否定和四种命题的真假判断，考查充分必要条件的判断，属于 基础题 10 （5 分）设球 O 与圆锥 SO1的体积分别为 V1，V2若圆
19、锥 SO1的母线长是其底面半径的 第 10 页（共 27 页） 2 倍，且球 O 的表面积与圆锥 SO1的侧面积相等，则的值是 【分析】设圆锥的底面半径为 r，球的半径为 R，计算出圆锥的侧面积，结合球体公式得 出 R，然后分别计算出 V1和 V2，即可得出答案 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则该圆锥的母线长为 2r，高为，所以，圆锥 的体积为，圆锥的侧面积为 r2r2r2 设球 O 的半径为 R，由题意可得 4R22r2，得， 所以， 因此， 故答案为： 【点评】本题考查球体的表面积与体积的计算，解决本题的关键在于确定球体半径与圆 锥底面半径之间的关系，考查了计算能力，属于中等题 11
20、 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 x2y+m0（m0）与圆 x2+y24 交于不 同的两点 A，B，若圆上存在点 C，使得ABC 为等边三角形，则正数 m 的值为 【分析】先由圆心角与圆周角的关系得到AOB120，再利用余弦定理得到 BD，最 后借助于点到直线的距离公式可解得 m 即可 【解答】解：根据题意画出图形，连接 OA，OB，作 OD 垂直于 AB 于 D 点， ABC 为等边三角形，AOB120， 由余弦定理知：AB2， 故 BD，OD1， O（0，0）到直线 x2y+m0 的距离，解得 m， 又 m0，m 故答案为： 第 11 页（共 27 页） 【点评】本题考查直
21、线与圆的位置关系，考查余弦定理，考查点到直线的距离公式，属 于中档题 12 （5 分）若函数 f（x）的图象上有且只有 2 对关于原点对称的 点，则实数 a 的取值范围是 （1，3） 【分析】根据函数 yx+a（x0）关于原点对称的函数 f（x）xa，x0，原题 可转化为 ax33x+1，x0，有两个交点，构造函数，利用导数求出函数的最值，结合 图象即可求出 a 的取值范围 【解答】解：函数 yx+a（x0）关于原点对称的函数 f（x）xa，x0， 函数 f（x） 的图象上有且只有 2 对关于原点对称的点， xax3+2x1，x0，有两个解， 即 ax33x+1，x0， 设 g（x）x33x+
22、1，x0， g（x）3x233（x21） ， 令 g（x）0，解得 x1， 当 x（1，0）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， 当 x（，1）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， g（x）maxg（1）1+3+13， g（0）1，当 x时，g（x）， a（1，3） ， 故答案为： （1，3） 第 12 页（共 27 页） 【点评】本题考查了分段函数的问题，导数和函数的最值的问题，参数的取值范围，属 于中档题 13 （5 分）如图，椭圆 C：1（ab0）的顶点分别为 A1，A2，B1，B2，记四 边形 A1B1A2B2的面积为 S1，四边形 A1B1A2B2的内切圆面积为 S2，若，则
23、椭圆 C 的离心率的最大值为 【分析】 利用四边形 A1B1A2B2的面积为 2ab， 利用四边形 A1B1A2B2内切圆半径为圆心 （0， 0） 到直线 A2B2的距离， 求出四边形 A1B1A2B2的内切圆面积为 S2， 然后利用 ，求解椭圆离心率范围 【解答】解：四边形 A1B1A2B2的面积为 2ab，四边形 A1B1A2B2内切圆半径 r 为圆心（0， 0）到直线 A2B2：bx+ayab0 的距离， 则四边形 A1B1A2B2的内切圆面积为 S2， 第 13 页（共 27 页） 由，可得， （ab） ， e 椭圆 C 的离心率的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查直椭圆的离心率，
24、考查转化思想属于中档题 14 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）ax2有五个零点， 则实数 a 的取值范围是 （2，e） 【分析】分段讨论： （1）当 x0 时，解 x3+ax2+x0 得：x（x2+ax+1）0 有 3 个根的 条件， （2）当 x0 时，g（x）2e2lnxax2， 利用导数研究函数的单调性及最值，从而得到 g（x）2e2lnxax2的图象与 x 轴有两个 交点的条件，再综合求解即可 【解答】解： （1）当 x0 时，解 x3+ax2+x0 得：x（x2+ax+1）0， 此方程有三个不等实数解等价于 x2+ax+10 有两不等负根， 即，即 a2， （2
25、）当 x0 时，g（x）2e2lnxax2， g（x）2ax， 当 a0 时，g（x）0，即 yg（x）为增函数，其 图象与 x 轴最多有 1 个交点，显然不符合题意，即 a0， 由 0时，g（x）0，x时，g（x）0， 即 yg（x）在（0，）为增函数，在（，+）为减函数， 由题意有 yg（x）的图象与 x 轴有两个交点， 则需 g（）0， 第 14 页（共 27 页） 即 2e2lna0， 解得 0ae， 综合得： 实数 a 的取值范围是 2ae， 故答案为： （2，e） 【点评】本题考查了分段函数的解的个数、利用导数研究函数的单调性及最值，属难度 较大的题型 二、解答题：本大题共二、解答
26、题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，A1CBC，D 是 BC 的中点 （1）求证：A1C平面 ADB1； （2）求证：平面 ADB1平面 BCC1B1 【分析】 （1）连结 A1B，交 AB1于点 E，连结 DE，推导出 A1CDE，由此能证明 A1C 平面 ADB1 （2）由 A1CDE，A1CBC，得 DEBC，由 ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC，再 由 DEBC，得
27、BC平面 ADB1，由此能证明平面 ADB1平面 BCC1B1 【解答】证明： （1）连结 A1B，交 AB1于点 E，连结 DE， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， 四边形 ABB1A1是平行四边形， E 是 A1B 的中点， D 是 BC 中点，A1CDE， 又 A1C平面 ADB1，DE平面 ADB1， A1C平面 ADB1 第 15 页（共 27 页） 解： （2）由（1）知 A1CDE，又 A1CBC， DEBC， ABAC，D 是 BC 的中点， ADBC， 又 DEBC，ADDED， BC平面 ADB1， BC平面 BCC1B1，平面 ADB1平面 BCC1B1 【点评】本题考
28、查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运用求解能力，考查数形结合思想，是中档题 16 （14 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左，右顶点分别是 A1，A2，右焦点为 F，直线 l：bxay+ab0 与以线段 A1A2为直径的圆相切 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）设点 P（，y0） （y00）在椭圆 C 上，且 PF1，求 y0的值 【分析】 （1）依题意可得，即 a22b2求得即可， 第 16 页（共 27 页） （2）由（1）可得椭圆方程可为：x2+2y22c2即 利用 （y00）解得，y01 即可 【解答】解： （1）直线 l：bxay+
29、ab0 与以线段 A1A2为直径的圆相切， ，即 a22b2 设 F（c，0） ， （c0） ，由于 a2b2+c2 a22c2，故， （2）由（1）可知，a，bc 椭圆方程可为：x2+2y22c2 点 P（，y0） （y00）在椭圆 C 上， ，即 2 由 F（c，0） ，且 PF1，可得 （y00） 解得，y01 【点评】本题考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元， 属于基础题 17（14 分） 如图， 已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB 为 50km， B， C 间的距离为 100km 从 海岛 A 到 C，先乘船至海岸公路 BC 上的登陆点 D，船速
30、为 25km/h，再乘汽车至 C，车 速为 50km/h，设BAD （1）用 表示从海岛 A 到 C 所用时间 t（） ，并确定 的取值范围； （2）求当 为何值时，能使从海岛 A 到 C 所用时间最少 【分析】 （1）求出 AD，CD，从而可得出 t（）的解析式； （2）利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最小值对应的夹角 【解答】解： （1）在 RtABD 中，AB50，BAD， AD，BD50tan，CD10050tan， 第 17 页（共 27 页） t（）+2tan+2 设 tanBAC，则 tan2，则 的取值范围是0， （2）t（）， 当 0时，t（）0，当 时，t（）0， 当
31、 时，t（）取得最小值，即从海岛 A 到 C 所用时间最少 【点评】本题考查了解三角形的应用，函数最值的计算，属于中档题 18 （16 分）如图，四棱锥 PABCD 中，已知 AB平面 PAD，PAAD，CDPD，E 为棱 PC 上的一点，经过 A，B，E 三点的平面与棱 PD 相交于点 F （1）求证：CD平面 PAD； （2）求证：CDEF； （3）若平面 ABE平面 PCD，求证：AFPD 【分析】 （1）推导出 ABPA，PAAD，从而 PA平面 ABCD，进而 PACD，由 CD PD，能证明 CD平面 PAD （2）由 CD平面 PAD，AB平面 PAD，得 CDAB，从而 CD平
32、面 ABEF，由此能证 明 CDEF （3）由 CDEF，CDAB，PDEF，得到 PD平面 ABE，由此能证明 AFPD 【解答】证明： （1）AB平面 PAD，PA平面 PAD， ABPA，又 PAAD，ABADA， PA平面 ABCD， CD平面 ABCD，PACD， CDPD，PAPDP，CD平面 PAD （2）由（1）知 CD平面 PAD， 第 18 页（共 27 页） 又 AB平面 PAD，CDAB， CD平面 ABEF，AB平面 ABEF， CD平面 ABEF， CD平面 PCD，平面 PCD平面 ABEFEF， CDEF （3）由（2）知 CDEF， AB平面 PAD，CDAB
33、， 又 CDPD，PDEF， 平面 ABE平面 PCD，平面 ABE平面 PCDEF， PD平面 PCD， PD平面 ABE， 又 AF平面 ABE，AFPD 【点评】本题考查线面垂直、线线平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （16 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，经过点（3，1） 过 点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且与椭圆 C 的左准线交于点 N （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当 ABMN 时，求直线 l 的方程； （3）设 P（0，2） ，求PAB 面
34、积的最大值 第 19 页（共 27 页） 【分析】 （1）由椭圆 C：1（ab0）的离心率为，经过点（3，1） ， 列出方程组，求出 a2，b2，c2，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （2）设直线 l 的方程为 ykx+1， （k 存在） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，椭圆的左准线方 程为 x3得到 N（3，13） ，再由 M（0，1） ，求出 MN3， 由，得（1+3k2）x2+6kx90，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公 式，结合已知条件能求出直线 l 的方程 （3）设直线 l 的方程为 ykx+1， （k 存在） ，则 P（0，2）到直线 l 的距离 d， AB，从而PA
35、B 的面积 S，令 t ，t1，则 S，利用导数性质能求出PAB 面积的最大值 【解答】解： （1）椭圆 C：1（ab0）的离心率为，经过点（3，1） 由题意得，解得 a2，b2，c2， 椭圆 C 的标准方程为1 （2）设直线 l 的方程为 ykx+1， （k 存在） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 椭圆的左准线方程为 x3，N（3，13） ， 又 M（0，1） ，MN3， 第 20 页（共 27 页） 由，得（1+3k2）x2+6kx90， 36k2+36（1+3k2）36（1+4k2） ，x1，2， AB ， ABMN， 解得 k1， 直线 l 的方程为 yx+1 （3）设直线
36、 l 的方程为 ykx+1， （k 存在） ， 则 P（0，2）到直线 l 的距离 d， 由（2）知 AB， PAB 的面积 S， 令 t，t1，则 k2， S， S0 （t1） ， 当 t1，+）时，S 单调递减， 当 t1 时，S 取得最大值，且最大值为 9， PAB 面积的最大值为 9 第 21 页（共 27 页） 【点评】本题考查椭圆标准方程、直线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法， 考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想，是中档题 20 （16 分）记 f（x）（f（x） ），其中 f（x）为函数 f（x）的导数若对于
37、xD， f（x）0，则称函数 yf（x）为 D 上的凸函数 （1）求证：函数 g（x）exx3+2x1 是定义域上的凸函数； （2）已知函数 h（x）ax3x2+xlnx，aR 为（0，+）上的凸函数 求实数 a 的取值范围； 求函数 H（x）|2lnx|，x1 的最小值 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出导函数的单调区间，从而 判断函数的凹凸性即可； （2）求出函数的导数，问题转化为 2a+1 在（0，+）上恒 成立，求出 a 的范围即可； 令 F（x）2lnxax2xlnx，x1，则 H（x）|F（x）|，通过讨论 a 的 范围，求出 H（x）的最小值即可 【解答】
38、解： （1）由 g（x）exx3+2x1，xR， 得 g（x）exx2+2，g（x）exx， 令 （x）exx，xR，则 （x）ex1， 当 x0 时，（x）0，当 x0 时，（x）0， 故 （x）在（，0）递减，在（0，+）递增， 故 （x）（0）10， 故对于xR，g（x）0， 函数 g（x）是定义域上的凸函数； （2）由 h（x）ax3x2+xlnx，aR， 得 h（x）ax22x+lnx+1，h（x）2ax2+， 函数 h（x）是（0，+）上的凸函数， 第 22 页（共 27 页） 故 h（x）0 在（0，+）上恒成立， 故 2a+1 在（0，+）上恒成立， 故 2a1，故 a， 故实
39、数 a 的范围是（，+） ， 令 F（x）2lnxax2xlnx，x1， 则 H（x）|F（x）|， F（x）ax1，x1，aR， （i）当 a0 时，F（x）0 在1，+）上恒成立， 故 F（x）F（1）0， 故 H（x）|F（x）|，当且仅当 x1 时取等号， H（x）minH（1）； （ii）当 a3 时，F（x）0 在1，+）恒成立， 故 F（x）在1，+）递增， 故 F（x）F（1）0， 故 H（x）minH（1）； （iii）当 0a3 时，令 t（x）2ax23x3， t（x）存在零点 x1，x2， 其中 x10，x2， t（1）2（a3）0，t（）0， 故 1x2， 结合 t（
40、x）的性质有：x（1，x2）时，t（x）0，故 F（x）0， x（x2，+）时，t（x）0，故 F（x）0， 故 F（x）在（1，x2）上递减，在（x2，+）递增， 故 F（x2）F（1）0， 第 23 页（共 27 页） 由（1）知，（x）exx0， 故 （lnx）xlnx0，从而 xlnx（x0） ， 故 F（x）ln（）0， 又 F（x）的图象是一条不间断的曲线， 故 F（x）在（x2，）上有零点（x2） ， 故 H（x）|F（x）|的最小值是 0， 综上，当 a0 时，H（x）的最小值是， 当 0a3 时，H（x）的最小值是 0， 当 a3 时，H（x）的最小值是 【点评】本题考查了函
41、数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 附加题：满分为附加题：满分为 40 分，考试时间为分，考试时间为 30 分钟请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分钟请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 21在极坐标系 Ox 中，设曲线 C 的方程为 4sin，直线 l 的方程为 psin（+）2， 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积 【分析】首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直 线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解：
42、曲线 C 的方程为 4sin， 转换为直角坐标方程为：x2+（y2）24， 直线 l 的方程为 psin（+）2， 转换为直角坐标方程为：， 则圆心（0，0）到直线的距离 d， 且|AB|， 所以： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力， 属于基础题型 第 24 页（共 27 页） 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，设直线 l 与椭圆 C1相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 【分析】把椭圆
43、C 的参数方程化为普通方程，将直线 l 的参数方程代入椭圆方程中， 利用参数 t 的几何意义与根与系数的关系求出线段 AB 的长 【解答】解：椭圆 C 的参数方程（ 为参数）化为普通方程是+y21， 将直线 l 的参数方程代入+y21 中， 整理得t2+8t+120， 设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1、t2， 则 t1+t2，t1t2， 所以|AB|t1t2|， 即线段 AB 的长为 【点评】本题考查了直线与椭圆的参数方程应用问题，是中档题 23如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PAAD2，AB ，M 是棱 PD 上一点，且，01 （1）当 时
44、，求直线 AM 与 PC 所成角的余弦值； （2）当 CMBD 时，求二面角 MACB 的大小 第 25 页（共 27 页） 【分析】 （1）以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出直线 AM 与 PC 所成角的余弦值 （2） 求出平面 MAC 的一个法向量和平面 BAC 的一个法向量， 由此能求出二面角 MAC B 的大小 【解答】解： （1）以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直 角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（，0，0） ，C（） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ， 设 M（x，y，z） ，则（0，2，2） ， （01） ， （0，22，2） ， 当时，（0，） ，（） ， cos， 直线 AM 与 PC 所成角的余弦值为 （2）（，2，0） ，（） ， 当 CMBD 时，240，解得 ， 此时，（0，1，1） ，（） ， 设平面 MAC 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （） ， 又平面 BAC 的一个法向量（0，0，2） ， cos， 由图象得二面角 MACB 是钝二面角， 二面角 MACB 的大小为 120
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