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    2018-2019学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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    2018-2019学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

    1、2018-2019 学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分不需要写出解答过程,请将答分不需要写出解答过程,请将答 案填写在答题卡相应的位置上 )案填写在答题卡相应的位置上 ) 1 (5 分)命题: “若 a0,则 ab0”的逆否命题是 2 (5 分)已知复数 z2i(i 是虚数单位) ,则|z| 3 (5 分)已知椭圆,则椭圆的焦点坐标是 4 (5 分) “ (x+2) (x1)0”是“3x1”成立的 条件(在“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分又不必要”中选一个填写) 5

    2、(5 分)函数,x(0,)的单调递减区间是 6 (5 分)若双曲线 C:(a0,b0)的离心率为,则的值为 7 (5 分)直线 l 过点(0,1) ,且与曲线 yf(x)相切于点(a,3) ,若 f(a)1,则实 数 a 的值是 8 (5 分)在实数中:要证明实数 a,b 相等,可以利用 ab 且 ab 来证明:类比到集合 中:要证明集合 A,B 相等,可以利用 来证明 9 (5 分)函数 f(x)的定义域为 R,若对任意的 xR,f(x)+xf(x)0,且, 则不等式(x2+1)f(x2+1)1 的解集为 10 (5 分) 古埃及发现如下有趣等式:, , 按此规律, (nN*) 11 (5

    3、分)若定义在 R 上的函数 f(x)|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间,则实数 m 的取值范围是 12 (5 分)已知椭圆 C:,过点 P(0,6)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 若 A 是线段 PB 的中点,则点 A 的坐标为 13 (5 分)已知椭圆 C:的右焦点为 F(2,0) ,F 关于直线的 对称点 Q 在椭圆 C 上,则 b 第 2 页(共 17 页) 14 (5 分)若函数在(l,+)上的最大值为 8,则实数 a 的值为 二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字分请在答题纸指定区域内

    4、作答,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤 )说明,证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分) 已知 p: 复数 (a1) + (a4) i 所对应的点在复平面的第四象限内 (其中 aR) , q:xR,(其中 aR) (1)如果“p 或 q”为真,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 且q”为真,求实数 a 的取值范围 16 (14 分)已知抛物线 C1:y22px 上一点 M(3,m) (m0)到其焦点的距离为 6,双 曲线 C2:(b0)的左焦点为 A,双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直 (1)求抛物线 C1的方程; (2)求双曲线 C2的方程 17 (14 分) (1)已知,

    5、x0,+) ,如 x1,x20,+) ,且 x1x2,求证: ; (2)用数学归纳法证明:当 nN*时,32n+1+2n+2能被 7 整除 18 (16 分)如图,以两条互相垂直的公路所在直线分别为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系, 公路附近有一居民区 EFG 和一风景区,其中 OE1(单位:百米) ,OEF45,风 景区的部分边界为曲线 C,曲线 C 的方程为 y(x5) ,拟在居民和风景区间辟 出一个三角形区域 EMN 用于工作人员办公,点 M,N 分别在 x 轴和 EF 上,且 MN 与曲 线 C 相切于 P 点 (1)设 P 点的横坐标为 t,写出EMN 面积的函数表达式 S(t)

    6、; (2)当 t 为何值时,EMN 面积最小?并求出最小面积 第 3 页(共 17 页) 19 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:的右准线方程 为 x4,右顶点为 A(2,0) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 M,N 是椭圆 C 上不同于 A 的两点,点 P 是线段 MN 的中点 如图 1,若OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方,求直线 MN 的方程; 如图 2 所示,点 Q 是线段 NA 的中点,若 AMAN 且OPQ 的角平分线与 x 轴垂直, 求直线 AM 的斜率 20 (16 分)已知函数 f(x)xlnx,g(x)ex,h(x)kx2+e

    7、x(kR) ,其中 e 为自 然对数的底数 (1)求函数 yf(x)的单调区间; (2)求证:g(x)f(x)+1; (3)若 f(x)+g(x)h(x)恒成立,求实数 k 的取值范围 第 4 页(共 17 页) 2018-2019 学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分不需要写出解答过程,请将答分不需要写出解答过程,请将答 案填写在答题卡相应的位置上 )案填写在答题卡相应的位置上 ) 1 (5 分

    8、)命题: “若 a0,则 ab0”的逆否命题是 若 ab0,则 a0 【分析】根据命题的逆否命题 书写即可 【解答】解: “若 a0,则 ab0” 逆否命题:若 ab0,则 a0 故答案为:若 ab0,则 a0 【点评】本题简单的考查了四个命题的概念,准确书写即可 2 (5 分)已知复数 z2i(i 是虚数单位) ,则|z| 【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可 【解答】解:复数 z2i, |z| 故答案为: 【点评】本题主要考查复数的长度的计算,比较基础 3 (5 分)已知椭圆,则椭圆的焦点坐标是 (3,0) , (3,0) 【分析】根据椭圆的标准方程,利用 c2a2b2,即可求得椭圆

    9、的焦点坐标 【解答】解:椭圆,a225,b216 c2a2b29 c3 椭圆的焦点坐标是(3,0) , (3,0) 故答案为: (3,0) , (3,0) 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,运用 c2a2b2是关键 4 (5 分) “ (x+2) (x1)0”是“3x1”成立的 充分不必要 条件(在“充分不 必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分又不必要”中选一个填写) 第 5 页(共 17 页) 【分析】利用不等式的解法、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】解: (x+2) (x1)0,解得2x1 “ (x+2) (x1)0”是“3x1”成立的充分不必要条件 故答案

    10、为:充分不必要 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 5 (5 分)函数,x(0,)的单调递减区间是 (,) 【分析】求出原函数的导函数,由导函数小于 0 求解三角不等式得答案 【解答】解:由,x(0,) , 得 f(x)cosx,由 f(x)0,得 cosx, 即x 函数,x(0,)的单调递减区间是(,) 故答案为: (,) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查三角不等式的解法,是中档题 6 (5 分)若双曲线 C:(a0,b0)的离心率为,则的值为 3 【分析】利用双曲线方程,通过离心率转化求解的值即可 【解答】解:双曲线 C

    11、:(a0,b0)的离心率为, 可得 e,可得 a2+b210a2,可得3 故答案为:3 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力 7 (5 分)直线 l 过点(0,1) ,且与曲线 yf(x)相切于点(a,3) ,若 f(a)1,则实 数 a 的值是 2 【分析】利用已知条件求出切线方程,然后求解 a 的值即可 【解答】解:直线 l 经过点(0,1) ,且与曲线 yf(x)相切于点(a,3) 若 f(a) 1, 第 6 页(共 17 页) 切线的斜率为 1,切线方程为:y1x, 所以 31a,解得 a2 故答案为:2 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法,切点在切线上也

    12、在曲线上,考查计算能力 8 (5 分)在实数中:要证明实数 a,b 相等,可以利用 ab 且 ab 来证明:类比到集合 中:要证明集合 A,B 相等,可以利用 AB 且 BA 来证明 【分析】由实数的不等关系类比到集合的包含关系即可 【解答】解:在实数中:要证明实数 a,b 相等,可以利用 ab 且 ab 来证明:类比到 集合中:要证明集合 A,B 相等,可以利用 AB 且 BA 来证明 故答案为:AB 且 BA 【点评】本题考查了类比推理,实数的不等关系类比到集合的包含关系,属简单题 9 (5 分)函数 f(x)的定义域为 R,若对任意的 xR,f(x)+xf(x)0,且, 则不等式(x2+

    13、1)f(x2+1)1 的解集为 (,1)(1,+) 【分析】构造函数 g(x)xf(x) ,求导后由已知可知函数为增函数,把原不等式转化 为 g(x2+1)g(2)求解 【解答】解:令 g(x)xf(x) ,则 g(x)f(x)+xf(x)0, 可得 g(x)在(,+)上为增函数, 由,得 g(2)2f(2)1, 不等式(x2+1)f(x2+1)1 化为 g(x2+1)g(2) , 又 g(x)在(,+)上为增函数, x2+12,得 x1 或 x1 不等式(x2+1)f(x2+1)1 的解集为(,1)(1,+) 故答案为: (,1)(1,+) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,构造函数

    14、是关键,是中档题 10 (5 分) 古埃及发现如下有趣等式:, , 按此规律, +, (nN*) 【分析】先观察再通过计算可归纳推理出答案 【解答】解:由,可归纳出: 第 7 页(共 17 页) +, 故答案为:+, 【点评】本题考查了观察能力及归纳推理能力,属简单题 11 (5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间,则实数 m 的取值范围是 (0,4) 【分析】令 g(x)x33x2+m,可得 g(x)在(,0) , (2,+)递增,在(0,2) 递减 要使函数 f(x)|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间,则 g(0)0,g(2)0, 即可求

    15、解 【解答】解:令 g(x)x33x2+m,由 g(x)3x26x0 可得,x0 或 x2 g(x)在(,0) , (2,+)递增,在(0,2)递减 要使函数 f(x)|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间,则 g(x)的图象只能如下图 所示, 0m4 故答案为: (0,4) 【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系,数形结合思想,属于中档题 12 (5 分)已知椭圆 C:,过点 P(0,6)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 若 A 是线段 PB 的中点,则点 A 的坐标为 (2,3)或(2,3) 【分析】设直线 AB 的方程 ykx+6,设 A(x1,y1) ,B(x2

    16、,y2) ,根据中点坐标公式可 第 8 页(共 17 页) 得 2x1x2,再由,消 y 整理可得(3+4k2)x2+48kx+960,利用韦达 定理即可求 【解答】解:易知直线的斜率存在,设直线 AB 的方程 ykx+6,设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) , A 是线段 PB 的中点, 2x1x2, 由,消 y 整理可得(3+4k2)x2+48kx+960, x1+x2,x1x2, 由可得, 整理解得 4k29, x124, x12, y13, A(2,3)或(2,3) 故答案为: (2,3)或(2,3) 【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了韦达定理,考查了运算求解能力,

    17、 属于中档题 13 (5 分)已知椭圆 C:的右焦点为 F(2,0) ,F 关于直线的 对称点 Q 在椭圆 C 上,则 b 2 【分析】设出 Q 的坐标,利用对称知识,集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系,即 可求出 b 的值 【解答】解:设 Q(m,n) , 由 F 关于直线的对称点 Q 在椭圆 C 上, 第 9 页(共 17 页) 1, () , 解得 m,n, 点 Q 在椭圆上,且 a24+b2, +1, 整理可得 b2(b2+4)2256, b(b2+4)16, 解得 b2, 故答案为:2 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力,属于中档 题 14 (5 分

    18、)若函数在(l,+)上的最大值为 8,则实数 a 的值为 【分析】函数在(l,+)上的最大值为 8,可得函数8, 在(l,+)上恒成立化为:a(2x37x2+8x)min,x(l,+) 令 f(x)2x3 7x2+8x,x(l,+) 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解:函数在(l,+)上的最大值为 8, 函数8,在(l,+)上恒成立 化为:a(2x37x2+8x)min,x(l,+) 令 f(x)2x37x2+8x,x(l,+) 则 f(x)6x214x+82(3x4) (x1) , 可得 x时,函数 f(x)取得极小值即最小值, 实数 a 的值为 故答案为: 【点评】本题

    19、考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不 等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字 第 10 页(共 17 页) 说明,证明过程或演算步骤 )说明,证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分) 已知 p: 复数 (a1) + (a4) i 所对应的点在复平面的第四象限内 (其中 aR) , q:xR,(其中 aR) (1)如果“p 或 q”为真,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 且q”为真,求实数

    20、a 的取值范围 【分析】 (1)由复数的概若 p:复数(a1)+(a4)i 所对应的点在复平面的第四象 限内(其中 aR) ,为真命题,则念得,即 1a4,由不等式恒成立问题得: 若 q:xR,(其中 aR) ,则124a0,即 a3,可得解 (2) “p 且q”为真,即 p 真 q 假,列不等式组求解即可 【解答】解: (1)若 p:复数(a1)+(a4)i 所对应的点在复平面的第四象限内(其 中 aR) ,为真命题,则,即 1a4, 若 q:xR,(其中 aR) ,则124a0,即 a3, 如果“p 或 q”为真,求实数 a 的取值范围; 则实数 a 的取值范围;1a4 或 a3, 即 a

    21、1, 故答案为: (1,+) (2)如果“p 且q”为真,即 p 真 q 假,由(1)得: 即,即:1a3, 故答案为: (1,3) 【点评】本题考查了复合命题及其真假,复数的概念及不等式恒成立问题,属简单题 16 (14 分)已知抛物线 C1:y22px 上一点 M(3,m) (m0)到其焦点的距离为 6,双 曲线 C2:(b0)的左焦点为 A,双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直 (1)求抛物线 C1的方程; (2)求双曲线 C2的方程 【分析】 (1)由抛物线的定义可得 p 的方程,解得 p,即可得到所求抛物线方程; 第 11 页(共 17 页) (2)求得 A 的坐标,求得 M(3,6

    22、) ,由两直线垂直的条件:斜率之积为1,由双曲线 的渐近线方程可得 b 的方程,解方程可得 b,即可得到所求双曲线的方程 【解答】解: (1)抛物线 C1:y22px 上一点 M(3,m) (m0)到其焦点的距离为 6, 由抛物线的定义可得 3+6,即有 p6, 即有抛物线的方程为 y212x; (2)双曲线 C2:(b0)的左焦点为 A, 设 A(,0) , 由(1)可得 M(3,6) , 由 kAM, 双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直, 可得1, 解得 b4, 则双曲线的方程为1 【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础 题 17 (14 分) (1

    23、)已知,x0,+) ,如 x1,x20,+) ,且 x1x2,求证: ; (2)用数学归纳法证明:当 nN*时,32n+1+2n+2能被 7 整除 【分析】 (1)运用分析法证明,结合两边平方和完全平方式的性质,即可得证; (2)运用数学归纳法证明,考虑检验 n1 成立,再假设 nk 成立,证明 nk+1 时, 注意变形,即可得证 【解答】证明: (1)要证, f(),f(x1),f(x2), 第 12 页(共 17 页) 即证, 两边平方即为, 即为 x1+x22,即 x1+x220, 即为()20, 由于 x1,x20,+) ,且 x1x2,上式显然成立, 以上均可逆,故; (2)当 n1

    24、 时,32n+1+2n+233+2335 被 7 整除; 假设 nk 时,32k+1+2k+2能被 7 整除, 当 nk+1 时,32k+3+2k+3932k+1+22k+2 732k+1+232k+1+22k+2 732k+1+2 (32k+1+2k+2) , 由于 32k+1+2k+2能被 7 整除,732k+1能被 7 整除, 可得 nk+1 时,32k+3+2k+3能被 7 整除, 综上可得当 nN*时,32n+1+2n+2能被 7 整除 【点评】本题考查不等式的证明,注意运用分析法证明,考查整除问题,注意运用数学 归纳法证明,考查运算能力和推理能力,属于基础题 18 (16 分)如图

    25、,以两条互相垂直的公路所在直线分别为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系, 公路附近有一居民区 EFG 和一风景区,其中 OE1(单位:百米) ,OEF45,风 景区的部分边界为曲线 C,曲线 C 的方程为 y(x5) ,拟在居民和风景区间辟 出一个三角形区域 EMN 用于工作人员办公,点 M,N 分别在 x 轴和 EF 上,且 MN 与曲 线 C 相切于 P 点 (1)设 P 点的横坐标为 t,写出EMN 面积的函数表达式 S(t) ; (2)当 t 为何值时,EMN 面积最小?并求出最小面积 第 13 页(共 17 页) 【分析】 (1)求出直线 MN 和直线 EF 的方程,求出 M 和 N

    26、 的坐标,从而得出 S(t) ; (2)利用导数判断 S(t)的单调性,再计算 S(t)的最小值 【解答】解: (1)由已知可知 P(t,) ,故直线 MN 的斜率为, 直线 MN 的方程为 y(xt)+, 令 y0 可得 x2t,M(2t,0) 又 E(1,0) ,OEF45, 直线 EF 的方程为 yx+1, 联立方程组,解得 x,y, yN, S(t)(2t1) (t5) (2)S(t) 当t2 时,S(t)0,当 2t时,S(t)0, 当 t2 时,S(t)取得最小值 S(2) 当 t2 时,EMN 面积最小,最小面积为 【点评】本题考查了导数与函数的关系,函数模型的应用,属于中档题

    27、19 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:的右准线方程 为 x4,右顶点为 A(2,0) 第 14 页(共 17 页) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 M,N 是椭圆 C 上不同于 A 的两点,点 P 是线段 MN 的中点 如图 1,若OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方,求直线 MN 的方程; 如图 2 所示,点 Q 是线段 NA 的中点,若 AMAN 且OPQ 的角平分线与 x 轴垂直, 求直线 AM 的斜率 【分析】 (1)椭圆 C 的右准线为 x4,即4,及其 a2c2+b2,解出 a,b 即可 (2)可得 P(1,1) 由 kMN,可得 k

    28、即可得直线 MN 的方程 设 AM 的斜率为 k,可得 kPQk 由 kOP+kPQ0,kMN,可得 设AM的方程为yk (x2) , 可得, y, x, 由,整理可得:10k4+7k230,解得,k即可 【解答】解: (1)椭圆 C:的右准线方程为 x4,右顶点为 A (2,0) ,a2,c1,b2a2c23, 椭圆 C 的方程为 (2)OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方 OP 的方程为:yx,AP 的方程为:yx2 第 15 页(共 17 页) 由可得 P(1,1) 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) 则 x1+x22,y1+y22 , 两式相减可得0kMN kO

    29、P1,即 k 直线 MN 的方程为 y1(x1) ,即 3x+4y70 设 AM 的斜率为 k,点 P 是线段 MN 的中点,点 Q 是线段 NA 的中点,kPQk OPQ 的角平分线与 x 轴垂直,kOP+kPQ0,kOPk 由可得 kMN, 设 AM 的方程为 yk(x2) 由可得(3+4k2)x216k2x+16k2120 2, x, 以换 k,可得,y, , 整理可得:10k4+7k230,解得,k 直线 AM 的斜率为 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线的圆锥曲线的位置关系,考查 圆的方程及点到直线的距离公式,直线的斜率公式,考查计算能力,解题时要认真审题, 属于中档

    30、题 第 16 页(共 17 页) 20 (16 分)已知函数 f(x)xlnx,g(x)ex,h(x)kx2+ex(kR) ,其中 e 为自 然对数的底数 (1)求函数 yf(x)的单调区间; (2)求证:g(x)f(x)+1; (3)若 f(x)+g(x)h(x)恒成立,求实数 k 的取值范围 【分析】 (1)求得 f(x)的导数,由导数大于 0,可得增区间;导数小于 0,可得减区间; (2)设 F(x)lnx(x0) ,求得导数,并化简,结合指数函数的单调性, 可得 F(x)在 x0 的单调性,可得最小值,即可得证; (3)f(x)+g(x)h(x)恒成立k恒成立,通过构造函数,求 得单调

    31、性,可得最小值,即可得到 k 的范围 【解答】解: (1)函数 f(x)xlnx 的导数为 f(x)1+lnx, 由 f(x)0,可得 x;由 f(x)0,可得 0x; 即 f(x)的增区间为(,+) ,减区间为(0,) ; (2)证明:设 F(x)lnx(x0) , 可得 F(x)+, 当 x1 时,ex1,F(x)0,F(x)递增; 当 0x1 时,ex1,F(x)0,F(x)递减; 可得 F(x)的最小值为 F(1)e10, 即有lnx0,即为 xlnx+1ex,可得 g(x)f(x)+1; (3)f(x)+g(x)h(x)恒成立k恒成立, 令 m ( x ) , m ( x ) , 第 17 页(共 17 页) 令 r ( x ) ex lnx+e+1 , r ( x ) , 设 G(x)exx+1,可得 G(x)ex1,当 x0 时,G(x)递增,可得 G(x) G(0)0, 即有 exx+1,即有 r(x)0,r(x)在 x0 递增,r(1)0, 而在(0,1)上,r(x)0;m(x)在(0,1)递减; 在1,+)上 r(x)0,m(x)在1,+)递增,可得 m(x)的最小值为 m(1) ,即 k, 综上可得 k 的取值范围是(, 【点评】本题考查导数的综合运用:求单调性和极值、最值,考查构造函数法和参数分 离,以及化简变形能力、推理能力,属于难题


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