1、2018-2019 学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在有放回抽取 的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 ，则 所有可能取值的个数是 （ ） A5 B9 C10 D25 2 （3 分）随机变量 服从正态分布 N（，2） ，若 P（2）0.2，P（26）0.6， 则 （ ） A3 B
2、4 C5 D6 3 （3 分）从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如表所示： 身高 x（cm） 160 165 170 175 180 体重 y（kx） 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程， 据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重 为（ ） A70.09 kg B70.12 kg C70.55 kg D71.05 kg 4 （3 分）设随机变量 B（2，p） ，B（4，p） ，若，则 P（2）的值 为（ ） A B C D 5 （3 分）在（x+） （x2）5的展开式中，x 的系数为（ ） A32 B8 C8 D48 6（3 分） 有 m 位同学按
3、照身高由低到高站成一列， 现在需要在该队列中插入另外 n 位同学， 但是不能改变原本的 m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A B C D 7 （3 分）高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下， 第 2 页（共 21 页） 丙和乙也相邻的概率为（ ） A B C D 8 （3 分）设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在（0，1）内增大时， （ ） AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 9 （3 分）函数 f（x）|x+2017|x2016|的最大值为（ ） A1 B1 C4033 D
4、4033 10 （3 分）若（x2）53x4a0+a1（x3）+a2（x3）2+a3（x3）3+a4（x3）4+a5 （x3）5，则 a3（ ） A70 B28 C26 D40 11 （3 分）箱中装有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个球，从箱中一次摸出两个 球，记下号码并放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖，现有 4 人参与摸奖，恰 好有 3 人获奖的概率是（ ） A B C D 12 （3 分） 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场 诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝 望 岳 送杜少府之任蜀州和另确
5、定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳 的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法 有（ ） A144 种 B288 种 C360 种 D720 种 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P a 则 P（|X3|1） 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）在区间3，3上随机取一个数 x，使得|x1|+|x+2|5 成立的概率为 15 （5 分）从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取 5 个不同数，则这 5
6、 个数的中位数 是 6 的概率为 16 （5 分）浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地 理、物理、化学、生物、技术这 7 门高中学考科目中选择 3 门作为高考选考科目，成绩 计入高考总分已知报考某高校 A、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业： 物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术考生小李今年打算报考该高校这两个 专业的选考方式有 种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知函数 f（x）|xa|+2|x1| （1）当 a2 时，求关于 x 的不等式 f（
7、x）5 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）|x1|a2|有解，求 a 的取值范围 182016 年 6 月 22 日， “国际教育信息化大会”在山东青岛开幕为了解哪些人更关注“国 际教育信息化大会” ，某机构随机抽取了年龄在 1575 岁之间的 100 人进行调查，某机 构随机抽取了在 1575 之间的 100 人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数 之比为 9：11 （）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“中老年” 比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会” 关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 合计 50 50 100 （）现从抽取
8、的青少年中采取分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查，在这 9 人中再 选取 3 人进行面对面询问，记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 附：参考公式：，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.05 0.010 0.001 第 4 页（共 21 页） k0 3.841 6.635 10.828 19在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 为线段 AD 的中点，如图 1，沿 BE 将ABE 折起 至PBE，使 BPCE，如图 2 所示 （1）求证：平面 PBE平面 BCDE； （2）求二面角 CPDE 的余弦值 20甲、乙、丙三
9、人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中， 依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首若有一人猜错，则活 动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮该小组最多参加三轮活动已知每 一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是甲、乙、 丙猜对互不影响 （1）求该小组未能进入第二轮的概率； （2）记乙猜歌曲的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 212019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培 养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条 例发布以来全校学生的阅读情况，
10、随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X（单位：小时） 并绘制如图所示的频率分布直方图 （1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该 组区间的中间值代表） ； （2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 N（，2） ， 其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2 （i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 XN（， 2） ，令 Y ，则 YN（0，1） ，且 P（Xa）P（Y） 利用直方图得到的正态分布，求 P（X10） 第 5 页（共 21 页） （ii）从该高校的学生中随机抽取 20 名，
11、记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数，求 P（Z2） （结果精确到 0.0001）以及 Z 的数学期望 参考数据：若 YN（0，1） ，则 P（Y0.75） 0.7734 22已知函数 f（x）ax，aR （1）若 f（x）0，求 a 的取值范围； （2）若 yf（x）的图象与 ya 相切，求 a 的值 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二（下）期末学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二（下）期末 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 个小题，
12、每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在有放回抽取 的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 ，则 所有可能取值的个数是 （ ） A5 B9 C10 D25 【分析】由题意，这是有放回抽样，将号码之和可能的情况列举可得答案 【解答】解：根据题意，分析可得， 这是有放回抽样，号码之和可能的情况为：2、3、4、5、6、7、8、9、10， 共 9 种； 故选：B 【点评】本题考查列举法的运
13、用，难度不大，注意又放回与不放回抽样的区别 2 （3 分）随机变量 服从正态分布 N（，2） ，若 P（2）0.2，P（26）0.6， 则 （ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由对称性得图象关于 x 对称且结合题意得到 P（2）+P（26）+P（ 6）1，从而得出 2 和 6 关于直线 x 对称，利用中点坐标公式求出 的值 【解答】解：由正太曲线的图象关于 x 对称且结合题意得到 P（2）+P（26） +P（6）1， P（2）P（6）0.2， P（2）P（6）表明 2 和 6 关于直线 x 对称， 4 故选：B 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、正态分布正态曲线有两 个
14、特点： （1）正态曲线关于直线 x 对称； （2）在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区 第 7 页（共 21 页） 域面积为 1 3 （3 分）从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如表所示： 身高 x（cm） 160 165 170 175 180 体重 y（kx） 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程， 据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重 为（ ） A70.09 kg B70.12 kg C70.55 kg D71.05 kg 【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线 上，利用待定系数法做出 的值，现在方程
15、是一个确定的方程，根据所给的 x 的值，代入 线性回归方程，预报身高为 172cm 的高三男生的体重 【解答】解：由表中数据可得 170 69 （ ， ）一定在回归直线方程上 故 690.56170+ 解得 26.2 故 当 x172 时，70.12 故选：B 【点评】本题主要考查线性回归方程的求解与运用，解题的关键是线性回归方程 经过样 本点的中心 同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义 4 （3 分）设随机变量 B（2，p） ，B（4，p） ，若，则 P（2）的值 为（ ） A B C D 【分析】根据随机变量 B（2，p） ，写出概率的表示式，求出其中 P 第 8 页（共 21 页）
16、的值，把求得的 P 的值代入 B（4，p） ，求出概率 【解答】解：随机变量 B（2，p） ， 1p0 （1p）2， P， B（4，） ， P（2）+， 故选：B 【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求 出题目中要用的 P 的值，在根据二项分布的概率公式 得到结果 5 （3 分）在（x+） （x2）5的展开式中，x 的系数为（ ） A32 B8 C8 D48 【分析】把（x2）5按照二项展开，可得（x+） （x2）5的展开式中，x 的系数 【解答】解：在（x+） （x2）5（x+x 2） （x510x4+40x380x2+80x32）展开式 中， x 的系
17、数为32+408， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 6（3 分） 有 m 位同学按照身高由低到高站成一列， 现在需要在该队列中插入另外 n 位同学， 但是不能改变原本的 m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A B C D 【分析】根据题意，原问题转化为在 m+n 个位置中，任选 n 个安排后来插入 n 位同学， 由排列数公式分析可得答案 【解答】解：根据题意，原来有 m 位同学，现在有插入 n 位同学，一共有（m+n）位同 学， 第 9 页（共 21 页） 原问题可以转化为在 m+n 个位置中，任选 n 个安排后来插
18、入 n 位同学，有种情况， 即有种排列； 故选：B 【点评】本题考查排列组合的应用，关键是将原问题转化为组合问题 7 （3 分）高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下， 丙和乙也相邻的概率为（ ） A B C D 【分析】在甲和乙相邻的条件下，基本事件总数 n48，丙和乙也相邻包含的基 本事件个数 m12，由此能求出丙和乙也相邻的概率 【解答】解：甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念， 在甲和乙相邻的条件下， 基本事件总数 n48， 丙和乙也相邻包含的基本事件个数 m12， 丙和乙也相邻的概率为 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等
19、基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 8 （3 分）设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在（0，1）内增大时， （ ） AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 【解答】解：E（X）0+a+1， 第 10 页（共 21 页） D（X）（）2+（a）2+（1）2 （a+1）2+（2a1）2+（a2）2（a2a+1）（a）2+ 0a1，D（X）先减小后增大 故选：D 【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中 档题 9 （3 分）函数 f（x）|x+
20、2017|x2016|的最大值为（ ） A1 B1 C4033 D4033 【分析】利用绝对值不等式，即可得出结论 【解答】解：f（x）|x+2017|x2016|x+2017x+2016|4033， 函数 f（x）|x+2017|x2016|的最大值为 4033， 故选：C 【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，比较基础 10 （3 分）若（x2）53x4a0+a1（x3）+a2（x3）2+a3（x3）3+a4（x3）4+a5 （x3）5，则 a3（ ） A70 B28 C26 D40 【分析】令 tx3，把等式化为关于 t 的展开式，再求展开式中 t3的系数 【解答】解：令 t
21、x3，则（x2）53x4a0+a1（x3）+a2（x3）2+a3（x3）3+a4 （x3）4+a5（x3）5， 可化为（t+1）53（t+3）4a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5， 则 a333103626 故选：C 【点评】本题主要考查了二项式定理以及思维的灵活性应用问题，是基础题 11 （3 分）箱中装有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个球，从箱中一次摸出两个 球，记下号码并放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖，现有 4 人参与摸奖，恰 好有 3 人获奖的概率是（ ） A B C D 【分析】首先做出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的
22、概率，做出所有 第 11 页（共 21 页） 的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，4 个人摸奖相当于发生 4 次试验，根 据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果 【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率， 从 6 个球中摸出 2 个，共有 C6215 种结果， 两个球的号码之积是 4 的倍数， 共有（1，4） （3，4） ， （2，4） （2，6） （4，5） （4，6） ， 摸一次中奖的概率是， 4 个人摸奖相当于发生 4 次试验，且每一次发生的概率是， 有 4 人参与摸奖，恰好有 3 人获奖的概率是（）3， 故选：B 【点评】本题考点等可能事件的概率，考查独立重复试
23、验的概率，解题时主要是看清摸 奖 4 次，相当于做了 4 次独立重复试验，利用公式做出结果 12 （3 分） 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场 诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝 望 岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳 的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法 有（ ） A144 种 B288 种 C360 种 D720 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、用倍分法分析将进酒 、 望岳和另两首 诗词的排法数目，、用插空法分析山居秋暝与送杜少府之任蜀州的排
24、法数目， 由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 、将将进酒 、 望岳和另两首诗词的 4 首诗词全排列，有 A4424 种顺序， 由于将进酒排在望岳前面， 则这 4 首诗词的排法有12 种， 、这 4 首诗词排好后，不含最后，有 4 个空位， 在 4 个空位中任选 2 个，安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州 ， 有 A4212 种安排方法， 第 12 页（共 21 页） 则后六场的排法有 1212144 种； 故选：A 【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是分析题意，找到满足题意的分步分析的步 骤 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，
25、将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P a 则 P（|X3|1） 【分析】 本题中因为 a 是未知的， 所以先根据随机变量取各个值的概率之和等于 1 求出 a 的值，然后根据 P（|X3|1）P（X2，或 X4）进行计算 【解答】解：随机变量取各个值的概率之和等于 1a1（+） P（|X3|1）P（X2，或 X4） 【点评】本题考查了随机变量取各个值的概率之和等于 1，互斥事件的概率公式，属于基 础题 14 （5 分）在区间3，3上随机取一个数 x，使得|x1|+|x+2|5 成立的概率为 【分析】求出|x1|+|x
26、+2|5 成立的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：在区间3，3上随机取一个数 x，则3x3， 当3x2 时，不等式|x1|+|x+2|5 等价为（x1）（x+2）5，即 x3， 此时3x2， 当2x1 时，不等式|x1|+|x+2|5 等价为（x1）+（x+2）5，即 35，此时 2x1， 当 1x3 时，不等式|x1|+|x+2|5 等价为（x1）+（x+2）5，即 x2，此时 1x 2， 综上3x2， 则由几何概型的概率公式可得使得|x1|+|x+2|5 成立的概率为， 故答案为： 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据不等
27、式的解法求出对应的解集 是解决本题的关键 15 （5 分）从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取 5 个不同数，则这 5 个数的中位数 是 6 的概率为 【分析】先基本事件总数 n504，这 5 个数的中位数是 6 是指取到的 5 个数中含 有 6，且先在 0，1，2，3，4，5 取 2 个不同的数，后在 7，8，9 中取两个不同的数，或 先在 7，8，9 取 2 个不同的数，后在 0，1，2，3，4，5 中取两个不同的数，由此能求出 这 5 个数的中位数是 6 的不同取法 【解答】解：从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取 5 个不同数， 基本事件总数 n504， 这
28、 5 个数的中位数是 6 是指取到的 5 个数中含有 6， 且先在 0，1，2，3，4，5 取 2 个不同的数，后在 7，8，9 中取两个不同的数， 或先在 7，8，9 取 2 个不同的数，后在 0，1，2，3，4，5 中取两个不同的数， 这 5 个数的中位数是 6 的不同取法有：m290， 故答案为：p 故答案为： 【点评】本题考查实数值求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算 法则和向量垂直的性质的合理运用 16 （5 分）浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地 理、物理、化学、生物、技术这 7 门高中学考科目中选择 3 门作为高考选考科目，成绩
29、 计入高考总分已知报考某高校 A、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业： 物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术考生小李今年打算报考该高校这两个 专业的选考方式有 27 种 （用数字作答） 【分析】由题意，可以分四类，根据分类计数原理即可求出 【解答】解：若选技术，则从剩余的 6 门中，任选 2 门即可，故有 C6215 种， 若不选技术，从物理、化学选一门，从历史、地理选一门，再从政治、生物中选一门， 有 C21C21C218， 当考生同时选物理、化学时，还要从历史、地理中选择一门，有 2 种， 第 14 页（共 21 页） 当考生同时选历史、地理物理、化学时，还要从物理、
30、化学中选择一门，有 2 种， 根据分类计数原理可得共有 15+8+2+227 种， 故答案为：27 【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知函数 f（x）|xa|+2|x1| （1）当 a2 时，求关于 x 的不等式 f（x）5 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）|x1|a2|有解，求 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a2 时，化简不等式，去掉绝对值符号，然后求解关于 x 的不等式 f（x） 5 的解集； （2）利用绝对值的几何意义，求出 f（x）|x
31、1|的最值，即可推出 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a2 时，不等式为|x2|+2|x1|5， 若 x1，则3x+45，即，若 1x2，则 x5，舍去， 若 x2，则 3x45，即 x3，（4 分） 综上，不等式的解集为； （5 分） （2）f（x）|x1|xa|+|x1|1a|当且仅当（xa） （x1）0 时等号成立， 题意等价于|1a|a2|，（4 分） a 的取值范围为（5 分） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查计算能力 182016 年 6 月 22 日， “国际教育信息化大会”在山东青岛开幕为了解哪些人更关注“国 际教育信息化大会” ，某机构随机抽
32、取了年龄在 1575 岁之间的 100 人进行调查，某机 构随机抽取了在 1575 之间的 100 人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数 之比为 9：11 （）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“中老年” 比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会” 关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 第 15 页（共 21 页） 合计 50 50 100 （）现从抽取的青少年中采取分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查，在这 9 人中再 选取 3 人进行面对面询问，记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 附：参考
33、公式：，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.05 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【分析】 （）依题意完成 22 列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （）根据分层抽样法，得出随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值， 写出 X 的分布列，计算数学期望值 【解答】解： （）依题意知， “青少年人”共有 10045 人， “中老年人”共有 1004555 人， 完成 22 列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年人 15 30 45 中老年人 35 20 55 合计 50 50 100 结合列联表的数据， 计算 K2 9.091， P
34、（K26.635）0.01，且 9.0916.635， 有 99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“国际教育信息化大会” ； （）从抽取的青少年中采取分层抽样法选取 9 人，其中关注的有 93，不关注的 有 936 人； 在这 9 人中再选取 3 人，记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X， 则 X 的可能取值为 0，1，2，3； 第 16 页（共 21 页） 计算 P（X0），P（X1），P（X2）， P（X3）； X 的分布列为： X 0 1 2 3 p 数学期望为 EX0+1+2+31 【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列问题，是中档题 19
35、在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 为线段 AD 的中点，如图 1，沿 BE 将ABE 折起 至PBE，使 BPCE，如图 2 所示 （1）求证：平面 PBE平面 BCDE； （2）求二面角 CPDE 的余弦值 【分析】 （1）在图 1 中连接 EC，推导出 BECE，PBCE，从而 CE平面 PBF，由此 能证明平面 PBE平面 BCDE （2）取 BE 中点 O，连接 PO，由 POBE，得 PO平面 BCDE以 O 为坐标原点，以 过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角
36、CPDE 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在图 1 中连接 EC，则AEBCEB45，BEC90， 第 17 页（共 21 页） BECE PBCE，PBPEP，CE平面 PBF， CE平面 BCDE，平面 PBE平面 BCDE （2）解：取 BE 中点 O，连接 PO，PBPE，POBE， 平面 PBE平面 BCDE，PO平面 BCDE 以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴， 过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系， 则， ， ， 设 平 面PDE的 法 向 量 为， 平 面PCD的 法 向 量 为 ， 由
37、，可得， 由，可得， 则， 由图形知二面角 CPDE 的平面角为钝角二面角， 第 18 页（共 21 页） 所以二面角 CPDE 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中， 依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首若有一人猜错，则活 动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮该小组最多参加三轮活动已知每 一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是甲、乙、 丙猜对互不影响
38、（1）求该小组未能进入第二轮的概率； （2）记乙猜歌曲的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 【分析】 （1）设“该小组未能进入第二轮”为事件 A，其对立事件为 ，则 P（A）1 P，即可得出 （2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出 【解答】解： （1）设“该小组未能进入第二轮”为事件 A，其对立事件为 ，则 P（A） 1P1 （2）由题意可得： 的可能取值为 0，1，2，3 P（0），P（1）+ +， P（3）， P（2）1P（0）P（1）P（3） 的分布列为： 0 1 2 3 P E0+1+3 【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计
39、算公式、随机变 量的分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 19 页（共 21 页） 212019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培 养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条 例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X（单位：小时） 并绘制如图所示的频率分布直方图 （1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该 组区间的中间值代表） ； （2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 N（，
40、2） ， 其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2 （i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 XN（， 2） ，令 Y ，则 YN（0，1） ，且 P（Xa）P（Y） 利用直方图得到的正态分布，求 P（X10） （ii）从该高校的学生中随机抽取 20 名，记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数，求 P（Z2） （结果精确到 0.0001）以及 Z 的数学期望 参考数据：若 YN（0，1） ，则 P（Y0.75） 0.7734 【分析】 （1）直接由平均数公式及方差公式求解； （2） （i）由题知 9，21.78，则 XN（9，1.78
41、） ，求出，结合已知公式求解 P （X10） （）由（i）知 P（X10）1P（X10）0.2266，可得 ZB（20，0.2266） ，由 P （Z2）1P（Z0）P（Z1）求解 P（Z2） ，再由正态分布的期望公式求 Z 的 第 20 页（共 21 页） 数学期望 E（Z） 【解答】解：（1） ， s2（69） 20.03+（79）20.1+（89）20.2+（99）20.35+（109）20.19+ （119）20.09+（129）20.041.78； （2） （i）由题知 9，21.78，XN（9，1.78） ， ； （）由（i）知 P（X10）1P（X10）0.2266， 可得 ZB
42、（20，0.2266） ，P（Z2）1P（Z0）P（Z1） 1（0.7734+200.2266）0.0076 0.9597 Z 的数学期望 E（Z）200.22664.532 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期 望，是中档题 22已知函数 f（x）ax，aR （1）若 f（x）0，求 a 的取值范围； （2）若 yf（x）的图象与 ya 相切，求 a 的值 【分析】 （1）由题意可得 a，设 g（x），求得导数和单调性、极值和最值， 即可得到所求范围； （2）设 yf（x）的图象与 ya 相切于点（t，a） ，求得 f（x）的导数，可得切线的斜率 和切
43、点满足曲线方程，解方程即可得到所求值 【解答】解： （1）由 f（x）0 得 ax0， 从而 ax，即 a， 设 g（x），则 g（x）， （x0） 所以 0x时，g（x）0，g（x）单调递增； 第 21 页（共 21 页） x时，g（x）0，g（x）单调递减， 所以当 x时，g（x）取得最大值 g（）， 故 a 的取值范围是 a； （2）设 yf（x）的图象与 ya 相切于点（t，a） ， 依题意可得 因为 f（x）a， 所以， 消去 a 可得 t1（2t1）lnt0 令 h（t）t1（2t1）lnt， 则 h（t）1（2t1） 2lnt2lnt1， 显然 h（t）在（0，+）上单调递减，且 h（1）0， 所以 0t1 时，h（t）0，h（t）单调递增； t1 时，h（t）0，h（t）单调递减， 所以当且仅当 t1 时 h（t）0 故 a1 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和 运算能力、推理能力，属于中档题
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