1、 第 1 页（共 27 页） 2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷 （理科） （理科） （A 卷）卷） 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）复平面内表示复数 z的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）下列有关命题的说法错误的是（ ） A已知 F1，F2是椭圆 4x2+2y21 的两个焦点，过点
2、 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点， 则ABF2的周长为 B若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题 C若命题 p：x0R，lnx01，则命题p：xR，lnx1 D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 0 3 （5 分）一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个，红球 12 个，白球 4 个，从中任取 2 个， 其中白球为 X，则下列算式中等于的是（ ） AP（0X2） BP（X1） CP（X1） DP（X2） 4 （5 分）2018 年 9 月 24 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士 宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在 185
3、9 年，德国数学家黎曼 向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著 名的黎曼猜想在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 x 的 素数个数大约可以表示为 n（x）的结论（素数即质数，lge0.43429） 根据欧拉 得出的结论，如下流程图中若输入 n 的值为 100，则输出 k 的值应属于区间（ ） 第 2 页（共 27 页） A （15，20 B （20，25 C （25，30 D （30，35 5 （5 分）已知 nxdx，则二项式（x）n（x0）展开式中的常数项为（ ） A8 B28 C56 D120 6 （5 分）已知双曲线的左焦点为 F
4、，以 OF 为直径的圆与 双曲线 C 的渐近线交于不同原点 O 的 A， B 两点， 若边边形 AOBF 的面积为， 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B Cyx Dy2x 7 （5 分）针对“中学生追星问题” ，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了 一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星 的人数占女生人数的 若有 95%的把握认为是否追星和性别有关， 则男生至少有 （ ） P （K2k0） 0.050 0.010 0.001 第 3 页（共 27 页） k0 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下： K2 A12 B11 C
5、10 D18 8 （5 分）某校在“数学联赛”考试后选取了 6 名教师参加阅卷，试卷共 4 道解答题，要求 将这 6 名教师分成 4 组，每组改一道解答题，其中 2 组各有 2 名教师，另外 2 组各有 1 名教师，则不同的分配方案的种数是（ ） A216 B420 C720 D1080 9 （5 分）已知 f（x）定义域为（0，+） ，f（x）为 f（x）的导函数，且满足 f（x） xf（x） ，则不等式 f（x+1）（x1）f（x21）的解集是（ ） A （0，1） B （1，+） C （1，2） D （2，+） 10 （5 分）如图所示点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A、B 分别
6、在抛物线 y28x 及圆 x2+y2 4x120 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围是 （ ） A （6，10） B （8，12） C6，8 D8，12 11 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，BAC90，AB ACAA11，D 是棱 CC1的中点，P 是 AD 的延长线的交点若点 Q 在直线 B1P 上， 则下列结论正确的是（ ） A当点 Q 为线段 B1P 的中点时，DQ平面 A1BD 第 4 页（共 27 页） B当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ平面 A1BD C在线段 B1P 的延长线上，
7、存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BD D不存在点 Q，使 DQ 与平面 A1BD 垂直 12 （5 分）若曲线 f（x）aexax（0x2）和 g（x）x3+x2（x0）上分别存在点 A， B，使得AOB 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形，AB 交 y 轴于点 C，且， 则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二二.填空题： （本大题共填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程 y0.76x+0.4
8、，则 a 收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 a 14 （5 分）设随机变量的分布列为 P（k），k1，2，3，其中 c 为常数， 则 P（0.52.5） 15 （5 分）若不等式|x2+x1|+|x2+x+1|对任意实数 a 恒成立，则实数 x 的取值范围是 16 （5 分）已知函数 f（x）x33x+b 与函数有相同的对称中心，若 有最大值，则实数 a 的取值范围是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明，
9、证明过程或演算步骤 ） 17 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 xy+40，曲线 C 的参数方程为 （1）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为，判断点 P 与直线 l 的位置关系； （2）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 18 （12 分）已知函数 f（x）|x2| 第 5 页（共 27 页） （1）求不等式 f（x+1）xf（x+3）的解集； （2）若函数 g（x）log2f（x+3）+f（x）2a的值域为 R，求实数 a 的取值范围 19 （12
10、 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由 测量结果得如下频率分布直方图： （） 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中数据用该组区 间的中点值作代表） ； （）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2 （i）利用该正态分布，求 P（187.8Z212.2） ； （ii） 某用户从该企业购买了 100 件这种产品， 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于 区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX 附：12.2
11、若 ZN（，2）则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.9544 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD AB1，点 E、M 分别在线段 AB、PC 上，且，其中 01，连接 CE， 延长 CE 与 DA 的延长线交于点 F，连接 PE，PF，ME （）求证：ME平面 PFD； （）若 时，求二面角 APEF 的正弦值； （）若直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为时，求 值 第 6 页（共 27 页） 21 （12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，且 线段 PQ 的中点为，椭圆 C 的上顶点
12、为 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）设直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 BM 与 BN 的斜 率之和为 2，证明：l过定点 22 （12 分）已知函数 f（x）x2ax+lnx（aR） （1）若 f（x）在定义域上不单调，求 a 的取值范围； （2）设 a，m，n 分别是 f（x）的极大值和极小值，且 Smn，求 S 的取值范 围 第 7 页（共 27 页） 2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷 （理科） （理科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题
13、共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）复平面内表示复数 z的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：z， 复平面内表示复数 z的点的坐标为（） ，位于第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）下列有关命题的说法错误的是（ ） A已知 F1，F2是椭圆 4x2+2y2
14、1 的两个焦点，过点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点， 则ABF2的周长为 B若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题 C若命题 p：x0R，lnx01，则命题p：xR，lnx1 D两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 0 【分析】A，由题意求出过焦点 F1的ABF2的周长为 4a； B，根据复合命题的真假性得出正确的结论； C，根据特称命题的否定是全称命题，判断即可； D，根据相关系数与随机变量的线性相关性关系，判断即可 【解答】解：对于 A，椭圆 4x2+2y21 中，过焦点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点， 则ABF2的周长为 4a4，所以 A 正确； 对
15、于 B，根据复合命题的真假性知， “pq”为假命题时，p 与 q 均为假命题，所以 B 正确； 第 8 页（共 27 页） 对于 C，特称命题 p：x0R，lnx01， 它的否定命题p：xR，lnx1，所以 C 正确； 对于 D，两个随机变量的线性相关性越强， 它们的相关系数的绝对值越接近于 1，所以 D 错误 故选：D 【点评】本题利用命题真假的判断，考查了椭圆的定义、简易逻辑关系和线性回归方程 的应用问题，是中档题 3 （5 分）一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个，红球 12 个，白球 4 个，从中任取 2 个， 其中白球为 X，则下列算式中等于的是（ ） AP（0X2） BP（X1）
16、 CP（X1） DP（X2） 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得 P（X1）和 P（X 0） ，即可判断等式表示的意义 【解答】解：由题意可知：P（X1）， P（X0）， 表示选 1 个白球或者一个白球都没有取得即 P（X1） ， 故选：B 【点评】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古 典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件 数 4 （5 分）2018 年 9 月 24 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士 宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在 1859 年，德国
17、数学家黎曼 向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著 名的黎曼猜想在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 x 的 素数个数大约可以表示为 n（x）的结论（素数即质数，lge0.43429） 根据欧拉 得出的结论，如下流程图中若输入 n 的值为 100，则输出 k 的值应属于区间（ ） 第 9 页（共 27 页） A （15，20 B （20，25 C （25，30 D （30，35 【分析】由流程图可知其作用为统计 100 以内素数的个数，将 x100 代入 n（x） 可求得近似值，从而得到结果 【解答】解：该流程图是统计 100 以内素数的
18、个数， 由题可知小于数字 x 的素数个数大约可以表示为 n（x）； 则 100 以内的素数个数为： n（100）50lge22 故选：B 【点评】本题考查了判断新定义运算的应用问题，关键是能够明确流程图的具体作用 5 （5 分）已知 nxdx，则二项式（x）n（x0）展开式中的常数项为（ ） A8 B28 C56 D120 【分析】由定积分得运算及二项式定理得：Tr+1x24 4r，令 244r0，解得 r6， 第 10 页（共 27 页） 所以展开式中的常数项为28，得解 【解答】解：因为 nxdxx28， 则二项式（x）8（x0）展开式的通项为 Tr+1（x3）8 r（ ）rx24 4r，
19、 令 244r0， 解得 r6， 所以展开式中的常数项为28， 故选：B 【点评】本题考查了定积分及二项式定理，属中档题 6 （5 分）已知双曲线的左焦点为 F，以 OF 为直径的圆与 双曲线 C 的渐近线交于不同原点 O 的 A， B 两点， 若边边形 AOBF 的面积为， 则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A B Cyx Dy2x 【分析】切线双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离以及三角形的面积公式结合已 知条件求解即可 【解答】解：根据题意，OAAF，双曲线 C 的焦点 F 到 C 的一条渐近线的距 离为， 则|AF|b，所以|OA|a，所以， 所以， 所以双曲线 C 的渐近线方程为
20、 yx 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7 （5 分）针对“中学生追星问题” ，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了 一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星 的人数占女生人数的 若有 95%的把握认为是否追星和性别有关， 则男生至少有 （ ） 第 11 页（共 27 页） P （K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下： K2 A12 B11 C10 D18 【分析】 设男生人数为 x， 依题意填写列联表， 计算观测值， 列不等式求出 x 的取值
21、范围， 再根据题意求出男生的人数 【解答】解：设男生人数为 x，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 x 女生 总计 x 若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则 K23.841， 由 K23.841，解得 x10.24， ，都为整数， 若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则男生至少有 12 人 故选：A 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题 8 （5 分）某校在“数学联赛”考试后选取了 6 名教师参加阅卷，试卷共 4 道解答题，要求 将这 6 名教师分成 4 组，每组改一道解答题，其
22、中 2 组各有 2 名教师，另外 2 组各有 1 名教师，则不同的分配方案的种数是（ ） A216 B420 C720 D1080 【分析】由排列组合中的平均分组问题，先将教师分成 4 组，再将 4 个题分配给 4 组不 同教师即可得解 第 12 页（共 27 页） 【解答】解：由排列组合知识可得： 先将 6 名教师分成 4 组，再将 4 个题分配给 4 组不同教师， 则不同的分配方案的种数是1080， 故选：D 【点评】本题考查了平均分组问题，属中档题 9 （5 分）已知 f（x）定义域为（0，+） ，f（x）为 f（x）的导函数，且满足 f（x） xf（x） ，则不等式 f（x+1）（x1
23、）f（x21）的解集是（ ） A （0，1） B （1，+） C （1，2） D （2，+） 【分析】由题意构造函数 g（x）xf （x） ，再由导函数的符号判断出函数 g（x）的单调 性，不等式 f（x+1）（x1）f（x21） ，构造为 g（x+1）g（x21） ，问题得以解决 【解答】解：设 g（x）xf（x） ，则 g（x）xf（x）xf（x）+xf（x）xf（x）+f （x）0， 函数 g（x）在（0，+）上是减函数， f（x+1）（x1）f（x21） ，x（0，+） ， （x+1）f（x+1）（x+1） （x1）f（x21） ， （x+1）f（x+1）（x21）f（x21） ， g
24、（x+1）g（x21） ， x+1x21， 解得 x2 故选：D 【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的 单调性的关系对不等式进行判断 10 （5 分）如图所示点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A、B 分别在抛物线 y28x 及圆 x2+y2 4x120 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围是 （ ） 第 13 页（共 27 页） A （6，10） B （8，12） C6，8 D8，12 【分析】由抛物线定义可得|AF|xA+2，从而FAB 的周长|AF|+|AB|+|BF|xA+2+（xB xA）+46+xB，
25、确定 B 点横坐标的范围，即可得到结论 【解答】解：抛物线的准线 l：x2，焦点 F（2，0） ， 由抛物线定义可得|AF|xA+2， 圆（x2）2+y216 的圆心为（2，0） ，半径为 4， FAB 的周长|AF|+|AB|+|BF|xA+2+（xBxA）+46+xB， 由抛物线 y28x 及圆（x2）2+y216 可得交点的横坐标为 2， xB（2，6） 6+xB（8，12） 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定 B 点横坐标的范围 是关键 11 （5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，BAC90，AB ACAA1
26、1，D 是棱 CC1的中点，P 是 AD 的延长线的交点若点 Q 在直线 B1P 上， 则下列结论正确的是（ ） 第 14 页（共 27 页） A当点 Q 为线段 B1P 的中点时，DQ平面 A1BD B当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ平面 A1BD C在线段 B1P 的延长线上，存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BD D不存在点 Q，使 DQ 与平面 A1BD 垂直 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面 A1BD 的一个法向量， 假设 DQ平面 A1BD，则平面 A1BD 的法向量 与垂直，由此求点 Q 的坐标，是否存 在即可 【解答】解：以 A1为原点，A1B
27、、A1C、A1A 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立坐标系如图 所示 可得 A1（0，0，0） ，B1（1，0，0） ，C1（0，1，0） ， B（1，0，1） ，P（0，2，0） ，D（0，1，） ； 则（0，1，） ，（1，0，1） ； 设平面 A1BD 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，即， 取 z1，得 x1，y，则 （1，1） ； 根据点 Q 在 B1P 上，可设 Q 的坐标为 Q（，22，0） ； 又 D（0，1，） ，则（，12，） ； 若 DQ平面 A1BD，则平面 A1BD 的法向量 与垂直， 可得 0，即 1+（12）+（）（1）0， 化简得 10，显然不成立，所以
28、向量 与不可能垂直， 第 15 页（共 27 页） 所以直线 B1P 上不存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BD，即选项 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了利用空间坐标系研究平行、垂直的位置关系和线面垂直的证明问题， 是中档题 12 （5 分）若曲线 f（x）aexax（0x2）和 g（x）x3+x2（x0）上分别存在点 A， B，使得AOB 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形，AB 交 y 轴于点 C，且， 则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由题意设出 A，B 的坐标，代入函数解析式，利用，把 B 的坐标用 A 的坐标表示，由0，可得关于 A 的横坐标的方程，分离
29、参数 a 后构造函数 h（x） ，利用导数求其在（0x2）上的单调性，得到函数的值域得答案 【解答】解：设 A，B 点坐标为（x1，y1） ， （x2，y2） ，C 点坐标为（0，b） ，则由 得，x22x1，又因为 y1，y2， 且，所以 x1x2+y1y20，即 a（） （）2，因为 0 x12 所以 a（4x1+2）1， 又因为当 0x12 时，0，4x1+20， 所以 a， （0t2） ， 第 16 页（共 27 页） 设 h（t）（ett） （4t+2）（4t+2）et2t22t， h（t）（4t+6）et8t2， 设 p（x）h（t）（4t+6）et8t2， （0t2） ， 则 p
30、（x）（4t+10）et8，因为 0t2，所以 p（x）0，即 p（x）在（0，2）上 单调递增， 所以 p（x）h（x）h（0）60， 所以 h（t）在（0，2）上单调递增，所以 h（t）（2，10（e22） ） ， 因为 a， （0t2） 所以 a（，） 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维 能力和推理运算能力，属中档题 二二.填空题： （本大题共填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13 （5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数
31、据表：根据上表可得回归直线方程 y0.76x+0.4，则 a 9.8 收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 a 【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得 a 值 【解答】解：， 样本点的中心的坐标为（10，） 代入 y0.76x+0.4，得， 解得：a9.8 故答案为：9.8 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 14 （5 分）设随机变量的分布列为 P（k），k1，2，3，其中 c 为常数， 第 17 页（共 27 页） 则 P（0.52.5） 【分析】
32、利用概率和为 1，求出 c 的值，进而可求 P（0.52.5） 【解答】解：随机变量的分布列为 P（k），k1，2，3， c P（0.52.5）P（1）+P（2） 故答案是 【点评】本题考查概率的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题 15 （5 分）若不等式|x2+x1|+|x2+x+1|对任意实数 a 恒成立，则实数 x 的取值范围是 （，21，+） 【分析】首先求得的最大值为 4，然后解不等式|x2+x1|+|x2+x+1|4 即 可 【解答】解： ，当且仅当时等号成立 的最大值为 4 |x2+x1|+|x2+x+1|对任意实数 a 恒成立， |x2+x1|+|x2+x+1|4，
33、，x2+x+10， 不等式|x2+x1|+|x2+x+1|4 为不等式|x2+x1|+x2+x+14， 即|x2+x1|x2x+3， x2+x1x2x+3 或 x2+x1x2+x3， 解得 x1 或 x2 或 x， x 的取值范围是（，21，+） 故答案为： （，21，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题，考 第 18 页（共 27 页） 查了转化思想，属中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）x33x+b 与函数有相同的对称中心，若 有最大值，则实数 a 的取值范围是 1，+） 【分析】先求出对称中心，确定 b 的值，再用导数确定 f（x）的单调性
34、和极值，画出其 大致图象，同时作出直线 y12x 的图象，通过图象观察 g（x）的单调性与最大值，进 一步求出 a 的取值范围 【解答】解：，其对称中心是（0，1） ， 函数 f（x）x33x+b 与函数有相同的对称中心， f（0）b1，即 f（x）x33x+1，f（x）3x233（x+1） （x1） ， 当 x（，1）（1，+）时，f（x）0，此时 f（x）递增， 当1x1 时，f（x）0，此时 f（x）递减， 函数 f（x）和 y12x 的图象如图所示： 有最大值，由图可知， 当 a1 时，g（x）无最大值，当1a2 时，g（x）maxg（1）f（1）3， 当 a2 时， a 的取值范围是
35、1，+） 故答案为：1，+） 【点评】本题考查了分段函数的最大值的求法和利用导数确定函数的单调性与极值，考 查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 第 19 页（共 27 页） 17 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 xy+40，曲线 C 的参数方程为 （1）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为，判断点 P 与直
36、线 l 的位置关系； （2）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 【分析】 （1） 由曲线 C 的参数方程为， 知曲线 C 的普通方程是， 由点 P 的极坐标为，知点 P 的普通坐标为（4cos，4sin） ，即（0，4） ， 由此能判断点 P 与直线 l 的位置关系 （2）由 Q 在曲线 C：上， （0360） ，知到 直线 l：xy+40 的距离， （0 360） ，由此能求出 Q 到直线 l 的距离的最小值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为， 曲线 C 的普通方程是， 点 P 的极坐标为， 点 P 的普通坐标为（4cos，4sin） ，即（0，4）
37、 ， 把（0，4）代入直线 l：xy+40， 得 04+40，成立， 故点 P 在直线 l 上 （2）Q 在曲线 C：上， （0360） 到直线 l：xy+40 的距离： ， （0360） 【点评】本题考查椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注 第 20 页（共 27 页） 意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用 18 （12 分）已知函数 f（x）|x2| （1）求不等式 f（x+1）xf（x+3）的解集； （2）若函数 g（x）log2f（x+3）+f（x）2a的值域为 R，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可
38、； （2）设 h（x）f（x+3）+f（x）2a，求出 h（x）的最小值，得到关于 a 的不等式， 解出即可 【解答】解： （1）由已知不等式，得|x1|x|x+1|（1 分） 考虑到 x0，不等式又可化为或（3 分） 解得：1x1 或 x1 所以不等式 f（x+1）xf（x+3）的解集为（1，+） （5 分） （2）设 h（x）f（x+3）+f（x）2a， 则 h（x）|x2|+|x+1|2a， 因为|x2|+（x+1）2a32a 当且仅当 x1，2时取等号， 所以 h （x）min32a （7 分） 因为函数 g（x）log2f（x+3）+f（x）2a的值域为 R， 所以 f（x+3）+f
39、（x）2a0 有解， 即|x2|+|x+1|2a， 因为|x2|+|x+1|3， 所以 2a3，即 a， 所以实数 a 的取值范围是， +） （10 分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及不等式的性质，考查 转化思想，是一道常规题 19 （12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由 测量结果得如下频率分布直方图： 第 21 页（共 27 页） （） 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中数据用该组区 间的中点值作代表） ； （）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2）
40、 ，其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2 （i）利用该正态分布，求 P（187.8Z212.2） ； （ii） 某用户从该企业购买了 100 件这种产品， 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于 区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX 附：12.2 若 ZN（，2）则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.9544 【分析】 （）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出； （） （i）由（）知 ZN（200，150） ，从而求出 P（187.8Z212.2） ，注意运用所 给数据； （ii）由（i）知 XB（100，0.6826） ，运
41、用 EXnp 即可求得 【解答】解： （）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2分别为： 1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02200， s2 （30） 20.02+（20）20.09+ （10）20.22+00.33+1020.24+2020.08+302 0.02150 （） （i）由（）知 ZN（200，150） ，从而 P（187.8Z212.2）P（20012.2 Z200+12.2）0.6826； （ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为 0.6826， 依题
42、意知 XB（100，0.6826） ，所以 EX1000.682668.26 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解， 第 22 页（共 27 页） 考查运算能力 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD AB1，点 E、M 分别在线段 AB、PC 上，且，其中 01，连接 CE， 延长 CE 与 DA 的延长线交于点 F，连接 PE，PF，ME （）求证：ME平面 PFD； （）若 时，求二面角 APEF 的正弦值； （）若直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为时，求 值 【分析】 （）
43、在线段 PD 上取一点 N，使得，证明四边形为平 行四边形，得到 MEAN，然后证明 ME平面 PFD （）以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出 平面 PEA 的一个法向量，平面 PEF 的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角 A PEF 的正弦值 （ III）令 E（0，h，0） ，0h2，求出平面 PEA 的一个法向量利 用空间向量的数量积转化求解即可 【解答】 （本小题满分 15 分） 解： （）在线段 PD 上取一点 N，使得， MNDC 且， ， ，ABDC 且 ABDC， 且 AEMN， 第 23 页（共 27 页） 四边形
44、为平行四边形， MEAN， 又AN平面 PFD，ME平面 PFD， ME平面 PFD （）以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A（0， 0，0） ，P（0，0，1） ，B（0，2，0） ，C（1，2，0） ，D（1，0，0） ， ，E（0，1，0） ，F（1，0，0） 设平面 PEA 的一个法向量为， ， ，令 z1，y1， 设平面 PEF 的一个法向量为， ， ， 令 z1，x1，y1， ， ， 二面角 APEF 的正弦值为 （ III）令 E（0，h，0） ，0h2， 设平面 PEA 的一个法向量为， ， ，令 y1， z1， 第 24 页（
45、共 27 页） 由题意可得：， ， ， 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与 平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 21 （12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，且 线段 PQ 的中点为，椭圆 C 的上顶点为 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）设直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 BM 与 BN 的斜 率之和为 2，证明：l过定点 【分析】 （1）利用“点差法” ，可得 a，b 的关系，结合椭圆 C 的上顶点为， 进一步得到 a，b，即可； （2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得 M，N 的横坐标的和与积，由直线 BM 与 BN 的斜率之和为 2 可得 m 与 k 的关系，再由直 线系方程得答案 【解答】解： （1）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 第 25 页（共 27 页） 则 又 椭圆 C 的上顶点为b23，a24c21 椭圆离心率为 证明： （2）由（1）得椭圆方程为 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120
浙公网安备33030202001339号