1、2018-2019 学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）. 1 （5 分）如图，函数 yf（x）在 A，B 两点间的平均变化率是（ ） A1 B1 C2 D2 2 （5 分）设 p：实数 x，y 满足 x1 且 y1，q：实数 x，y 满足 x+y2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）方程表示双曲线
2、，则实数 m 的取值范围是（ ） A3m2 B1m3 C3m4 D3m0 4 （5 分）把标号为 1，2，3，4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分 得一个，事件“甲分得 4 号球”与事件“乙分得 4 号球”是（ ） A对立事件 B互斥但非对立事件 C相互独立事件 D以上都不对 5 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 的值是 6，那么输出的 P 的值是（ ） A1 B15 C105 D735 6 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足关系式 f（x）x2+3xf（2） ，则 f （2）的值等于（ ） A2 B1 C4 D2 第 2 页（共 21 页
3、） 7 （5 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ，且函数 f（x）在 x2 处取得极 小值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 8（5 分） 若函数 f （x） 2xa2a 在 （， 1上存在零点， 则正实数 a 的取值范围是 （ ） A （0，1 B0，1 C （0，2 D0，2 9 （5 分）函数 f（x）x3+x，xR，当时，f（msin）+f（1m）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （，0） C D （，1） 10 （5 分）已知 A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，A
4、D2AB2，则该球的表面积为（ ） A B C D 11 （5 分）设 A，B 是椭圆 C：+1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB 120，则 m 的取值范围是（ ） A （0，19，+） B （0，9，+） C （0，14，+ ） D （0，4，+） 12 （5 分）已知函数 f（x）x3ax+2 的极大值为 4，若函数 g（x）f（x）+mx 在（3， a1）上的极小值不大于 m1，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D （，9） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）函数 f
5、（x）lnx2x2的递增区间为 ； 14 （5 分）曲线 f（x）x34x2+4 在点（1，1）处的切线方程为 15 （5 分）已知 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）为 f（x）的导函数，且满足 f（x） 第 3 页（共 21 页） xf（x） ，则不等式 f（x+1）（x1）f（x21）的解集是 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，F 关于原点的对称点为 P，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M，N 两点，给出下列五个结论： PMN 必为直角三角形； PMN 必为等边三角形； 直线 PM 必与抛物线相切； 直线 PM 必与抛物线相交； PMN 的面积为 p2
6、 其中正确的结论是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知函数 f（x）ax3+bx+12 在点 x2 处取得极值4 （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在区间3，3上的最大值与最小值 18 （12 分）已知抛物线 C：y22px 经过点 M（1，2） （1）求 C 的标准方程和焦点坐标； （2）斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 C 的焦点，且与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长 19 （12 分）某工厂生产 A，B 两种元件，其质量
7、按测试指标划分为：大于或等于 7.5 为正 品，小于 7.5 为次品现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测，检测结果记 录如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据 x，y 看不清，统计员只记得 xy，且 A，B 两种元件的检测数据 的平均值相等，方差也相等 （1）求表格中 x 与 y 的值； （2）从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件，求 2 件都为正品的概率 20 （12 分）如图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD， 且 PDAD2EC2，N 为线段 PB 的中点 （1）求证：NE平
8、面 ABCD 第 4 页（共 21 页） （2）求三棱锥 EPBC 的体积 21 （12 分）已知椭圆 C：+1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点 （1）求椭圆 C 的方程及离心率； （2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴 交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值 22 （12 分）已知函数 f（x）x（ex+1） （I）求函数 yf（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （II）若函数 g（x）f（x）aexx，求函数 g（x）在1，2上的最大值 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西
9、省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数 学试卷（文科） （学试卷（文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题： （本大题共： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）. 1 （5 分）如图，函数 yf（x）在 A，B 两点间的平均变化率是（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先做出两个自变量对应的函数值，两个函数值的差，用这个差与自变量的差， 求两个差的比值得到
10、结果 【解答】解：有图可知 f（3）1，f（1）3， f（3）f（1）132， 函数 yf（x）在 A，B 两点间的平均变化率是1 故选：B 【点评】本题变化的快慢与变化率，解题的关键是求出函数值做出函数值之差，数字的 运算不要出错，这是用定义求导数的必经之路属于基础题 2 （5 分）设 p：实数 x，y 满足 x1 且 y1，q：实数 x，y 满足 x+y2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 x1 且 y1，可得：x+y2，反之不成立，例如取 x3，y 【解答】解：由 x1 且 y1，可得：x+y2，反之不成立：例如
11、取 x3，y p 是 q 的充分不必要条件 故选：A 第 6 页（共 21 页） 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （5 分）方程表示双曲线，则实数 m 的取值范围是（ ） A3m2 B1m3 C3m4 D3m0 【分析】直接利用双曲线的简单性质，考查不等式求解即可 【解答】解：方程表示双曲线， 可得（m2） （m+3）0， 解得 m（3，2） 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分）把标号为 1，2，3，4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分 得一个，事件“甲分得 4 号球
12、”与事件“乙分得 4 号球”是（ ） A对立事件 B互斥但非对立事件 C相互独立事件 D以上都不对 【分析】事件“甲分得 4 号球”与事件“乙分得 4 号球”不能同时发生，但能同时不发 生 【解答】解：把标号为 1，2，3，4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每 人分得一个， 事件“甲分得 4 号球”与事件“乙分得 4 号球”不能同时发生，但能同时不发生， 故事件“甲分得 4 号球”与事件“乙分得 4 号球”是互斥但非对立事件 故选：B 【点评】本题考查对立事件、互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5 （5 分）
13、执行如图的程序框图，如果输入的 N 的值是 6，那么输出的 P 的值是（ ） 第 7 页（共 21 页） A1 B15 C105 D735 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 p 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：第一次进行循环后，p1，k1，满足 kN6，k3； 第二次进行循环后，p3，k3，满足 kN6，k5； 第三次进行循环后，p15，k5，满足 kN6，k7； 第四次进行循环后，p105，k7，不满足 kN6； 故输出的 P 值为 105， 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程
14、序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足关系式 f（x）x2+3xf（2） ，则 f （2）的值等于（ ） A2 B1 C4 D2 【分析】将 f（2）看出常数利用导数的运算法则求出 f（x） ，令 x2 求出 f（2） 代入 f（2） ， 【解答】解：f（x）x2+3xf（2） ， f（x）2x+3f（2） 令 x2 得 f（2）22+3f（2） f（2）2 故选：A 【点评】本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清 f（2）是常数，属于基 础题 7 （5 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ，
15、且函数 f（x）在 x2 处取得极 小值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B 第 8 页（共 21 页） C D 【分析】由题设条件知：当 x2 时，xf（x）0；当 x2 时，xf（x）0；当 x2 时，xf（x）0由此观察四个选项能够得到正确结果 【解答】解：函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ， 且函数 f（x）在 x2 处取得极小值， 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解
16、题时要认真审题，注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 8（5 分） 若函数 f （x） 2xa2a 在 （， 1上存在零点， 则正实数 a 的取值范围是 （ ） A （0，1 B0，1 C （0，2 D0，2 【分析】利用已知条件，求出 2x的范围，得到不等式求解即可 【解答】解：在（，1上 2x（0，2 函数 f（x）2xa2a 在（，1上存在零点， 可得 0a2+a2，解得 a（0，1 故选：A 【点评】本题考查函数的零点，以及不等式的解法，考查转化思想以及计算能力 9 （5 分）函数 f（x）x3+x，xR，当时，f（msin）+f（1m）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ）
17、 A （0，1） B （，0） C D （，1） 【分析】 由 f （x） x3+x， 可知 f （x） 为奇函数， 增函数， 得出 msinm1， 根据 sin0， 1，即可求解 第 9 页（共 21 页） 【解答】解：由 f（x）x3+x，f（x）为奇函数，增函数，f（msin）+f（1m） 0 恒成立， 即 f（msin）f（m1） ， msinm1，当时，sin0，1， ，解得 m1， 故实数 m 的取值范围是（，1） ， 故选：D 【点评】本题考查了函数恒成立的问题及函数的奇偶性与单调性，难度较大，关键是先 判断函数的奇偶性与单调性 10 （5 分）已知 A、B、C、D 是同一球面上
18、的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD2AB2，则该球的表面积为（ ） A B C D 【分析】画出几何体的图形，把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点 与 A 的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积 【解答】解：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离 为球的半径， AD2AB2，ABC 是正三角形，所以 AE，AO 所求球的表面积为：4（）2 故选：A 【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能 第 10 页（共 21 页） 力 11 （5 分）设 A，B
19、 是椭圆 C：+1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB 120，则 m 的取值范围是（ ） A （0，19，+） B （0，9，+） C （0，14，+ ） D （0，4，+） 【分析】分类讨论，由要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB120，AMB120， AMO60，当假设椭圆的焦点在 x 轴上，tanAMOtan60，当即可求得椭圆 的焦点在 y 轴上时，m3，tanAMOtan60，即可求得 m 的取值范围 【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0m3 时， 设椭圆的方程为：（ab0） ，设 A（a，0） ，B（a，0） ，M（x，y） ，y0， 则 a2x2， M
20、AB，MBA，AMB，tan，tan， 则 tantan（+）tan（+） ， tan，当 y 最大时，即 yb 时，AMB 取最大值， M 位于短轴的端点时， AMB 取最大值， 要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB120， AMB120，AMO60，tanAMOtan60， 解得：0m1； 第 11 页（共 21 页） 当椭圆的焦点在 y 轴上时，m3， 当 M 位于短轴的端点时， AMB 取最大值， 要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB120， AMB120，AMO60，tanAMOtan60，解得：m9， m 的取值范围是（0，19，+） 故选 A 故选：A 【点评】本题考查椭圆的
21、标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结 合思想的应用，考查计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）x3ax+2 的极大值为 4，若函数 g（x）f（x）+mx 在（3， a1）上的极小值不大于 m1，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D （，9） 【分析】利用函数的导数求解函数的极值，转化求解 a，利用函数的单调性求出函数的极 第 12 页（共 21 页） 小值，列出不等式组求解即可 【解答】解：f（x）3x2a，当 a0 时，f（x）0，f（x）无极值； 当 a0 时，易得 f（x）在处取得极大值，则有，即 a3， 于是 g（x）x3+（m3）x+2
22、，g（x）3x2+（m3） 当 m30 时，g（x）0，g（x）在（3，2）上不存在极小值 当 m30 时，易知 g（x）在处取得极小值，依题意有 解得 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化 思想以及计算能力 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）函数 f（x）lnx2x2的递增区间为 ； 【分析】依题意，求出导函数，通过 f（x）0，即可得出单调增区间即可 【解答】解：依题意，得 f（x）4x，x（0，+） 令 f（x）0，即4x0 解得 0x； 故函数
23、 f（x）的单调递增区间为 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力 14 （5 分）曲线 f（x）x34x2+4 在点（1，1）处的切线方程为 5x+y60 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x1 处的导数值，即曲线的斜率，代入直线 方程的点斜式得答案 【解答】解：由 f（x）x34x2+4，得 f（x）3x28x， f（1）31285， 即曲线 f（x）x34x2+4 在点（1，1）处的切线的斜率为5， 第 13 页（共 21 页） 由直线方程的点斜式得曲线 f（x）x34x2+4 在点（1，1）处的切线方程为：y1 5（x1） ， 化为一般式
24、得：5x+y60 故答案为：5x+y60 【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的 斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题 15 （5 分）已知 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）为 f（x）的导函数，且满足 f（x） xf（x） ，则不等式 f（x+1）（x1）f（x21）的解集是 （2，） 【分析】由题意构造函数 g（x）xf （x） ，再由导函数的符号判断出函数 g（x）的单调 性，不等式 f（x+1）（x1）f（x21） ，构造为 g（x+1）g（x21） ，问题得以解决 【解答】解：设 g（x）xf（x） ， 则 g（x）xf（x） xf（
25、x）+xf（x） xf（x）+f（x）0， 函数 g（x）在（0，+）上是减函数， f（x+1）（x1）f（x21） ，x（0，+） ， （x+1）f（x+1）（x+1） （x1）f（x21） ， （x+1）f（x+1）（x21）f（x21） ， g（x+1）g（x21） ， x+1x21， 解得 x2 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的 单调性的关系对不等式进行判断 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，F 关于原点的对称点为 P，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M，N 两点，给出下列五个结论： PM
26、N 必为直角三角形； PMN 必为等边三角形； 直线 PM 必与抛物线相切； 直线 PM 必与抛物线相交； 第 14 页（共 21 页） PMN 的面积为 p2 其中正确的结论是 【分析】依题意，可求得 F、P、M、N 四点的坐标，由 F 为 MN 的中点，且|PF|MN|， 易判断PMN 为直角三角形，可判断与；直线 PM 的方程为 yx+，与抛物线 y2 2px 联立消去 x，易得，4p24p20，可判断与，从而可得答案，根据三角 形的面积公式即可求得PMN 的面积为 p2 【解答】解：抛物线方程为 y22px（p0） ，焦点为 F（，0） ，则 P 点坐标为（， 0） ，可求出点 M（，
27、p） ，N（，p） ， |PF|MN|p，MPN90，故正确，不正确； 直线 PM 的方程为 yx+，联立，整理得 y22py+p20，4p24p20， 直线 PM 与抛物线相切，故正确，不正确 PMN 的面积为 S2ppp2 故正确， 故答案为： 【点评】本题考查抛物线标准方程，考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系， 考查计算能力，属于中档题 第 15 页（共 21 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知函数 f（x）ax3+bx+12
28、在点 x2 处取得极值4 （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在区间3，3上的最大值与最小值 【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 a，b 的方程，解出即可； （2）求出函数的导数， 解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可 【解答】解： （1）f（x）3ax2+b， 函数 f（x）ax3+bx+12 在点 x2 处取得极值4， 即， 解得：； （2）由（1）得：f（x）x312x+12， f（x）3x2123（x+2） （x2） ， 令 f（x）0，解得：x2 或 x2， 令 f（x）0，解得：2x2， f（x）在3，2）递增，在（2，2）递减，在
29、（2，3递增， f（x）minf（3）21，f（x）maxf（2）28 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题 18 （12 分）已知抛物线 C：y22px 经过点 M（1，2） （1）求 C 的标准方程和焦点坐标； （2）斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 C 的焦点，且与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长 【分析】 （1）设出抛物线方程，利用已知条件求出 p，得到抛物线的方程，然后求解焦点 坐标 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，求出直线方程与抛物线联立，求出 AB 坐标，然后求 解弦长即可 【解答】解： （1）由已知抛物线经过点
30、 M（1，2） ，代入 y22px 得 222p，解得 p2， 所以，抛物线 C 的标准方程为 y24x， 所以，抛物线的焦点为（1，0） ， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 16 页（共 21 页） 由已知得直线 l 的方程为 yx1， 联立方程消去 y 得 x26x+10， 解得， 所以 x1+x26（也可以由韦达定理直接得到 x1+x26） ， 于是|AB|x1+x2+28 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能 力 19 （12 分）某工厂生产 A，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于 7.5 为正 品，小于 7
31、.5 为次品现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测，检测结果记 录如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据 x，y 看不清，统计员只记得 xy，且 A，B 两种元件的检测数据 的平均值相等，方差也相等 （1）求表格中 x 与 y 的值； （2）从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件，求 2 件都为正品的概率 【分析】 （1）由已知中 A，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，可得 x+y 17 且（x8）2+（y8）21，结合 xy，可求出表格中 x 与 y 的值； （2）从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2
32、件，共有10 种不同的情况，记“抽取 2 件 都为正品”为事件 A，则事件 A 共包含6 种不同的情况，进而可求得结果 【解答】解： （1）（7+7+7.5+9+9.5）8，（6+x+8.5+8.5+y） ， ， x+y17 （1+1+0.25+1+2.25）1.1，4+（x8）2+0.25+0.25+（y8）2， ， （x8）2+（y8）21 第 17 页（共 21 页） 由结合 xy 得：x8，y9 （2）记被检测的 5 件 B 种元件为：A，B，C，D，E，其中 A，B，C，D 为正品，从中 选取的两件为（x，y） 则共有10 种不同的情况，分别为： （A，B） ， （A，C） ， （A
33、，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B，D） ， （B，E） ， （C，D） ， （C，E） ， （D，E） ， 记“抽取 2 件都为正品”为事件 A， 则事件 A 共包含6 种不同的情况，分别为： （A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （B，C） ， （B，D） ， （C，D） ， 故 P（A）， 即 2 件都为正品的概率为 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，平均数与方差，是统计与概 率的综合应用，但难度不大，属于基础题 20 （12 分）如图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD， 且 PDAD2EC2，N 为线段 P
34、B 的中点 （1）求证：NE平面 ABCD （2）求三棱锥 EPBC 的体积 【分析】 （1）连结 AC 与 BD 交于点 F，连结 NF，证明：四边形 NFCE 为平行四边形， 得到 NEAC推出 NE平面 ABCD （2）说明 BC平面 PDCE，三棱锥 EPBC 的体积 【解答】 （1）证明：连结 AC 与 BD 交于点 F，则 F 为 BD 的中点，连结 NF， 第 18 页（共 21 页） N 为线段 PB 的中点，NFPD，且 NFPD （2 分） 又 ECPD 且 ECPD， NFEC 且 NFEC， 四边形 NFCE 为平行四边形，（4 分） NEFC，即 NEAC 又 NE面
35、 ABCD，AC面 ABCD NE平面 ABCD（6 分） （2）解：PD平面 ABCD，PD平面 PDCE， 平面 PDCE平面 ABCD， BCCD，平面 PDCE平面 ABCDCD，BC平面 ABCD， BC平面 PDCE（8 分） 三棱锥 EPBC 的体积 （12 分） 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化 思想以及空间想象能力 21 （12 分）已知椭圆 C：+1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点 （1）求椭圆 C 的方程及离心率； （2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴
36、交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值 【分析】 （1）由题意可得 a2，b1，则，则椭圆 C 的方程可 求，离心率为 e； 第 19 页（共 21 页） （2）设 P（x0，y0） ，求出 PA、PB 所在直线方程，得到 M，N 的坐标，求得|AN|，|BM|由 ，结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值 2 【解答】 （1）解：椭圆 C：+1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点， a2，b1，则， 椭圆 C 的方程为，离心率为 e； （2）证明：如图， 设 P（x0，y0） ，则，PA 所在直线方程为 y， 取 x0，得； ，PB 所在直线方程为， 取 y0，得
37、|AN|， |BM|1 四边形 ABNM 的面积为定值 2 第 20 页（共 21 页） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证 能力，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x（ex+1） （I）求函数 yf（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （II）若函数 g（x）f（x）aexx，求函数 g（x）在1，2上的最大值 【分析】 （）求出函数的导数，计算 f（0） ，f（0） ，求出切线方程即可； （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性求出函数的最大值即可 【解答】解： （I）依题意，f（x）e2+1+xex，故
38、f（0）e0+12（2 分） 因为 f（0）0，故所求切线方程为 y2x；（4 分） （）依题意，g（x）（xa+1） ex，令 g（x）0 得 xa1 所以当 a11 时，x1，2时，g（x）0 恒成立，g（x）单调递增，g（x）最大值 为 g（2） ，（6 分） 当 a12 时，x1，2时，g（x）0 恒成立，g（x）单调递减，g（x）最大值为 g （1）（7 分） 当 1a12 时，x1，a1）时，g（x）0，g（x）单调递减； x（a1，2）时，g（x）0，g（x）单调递增 当 x1，2时，g（x）最大值为 g（1）或 g（2）（9 分） g（1）（1a）e，g（2）（2a）e2， g（1）g（2）（1a）e（2a）e2（e2e）a（2e2e）（10 分） 当时，g（1）g（2）0，g（x）maxg（1）（1a）e 当 a时，g（1）g（2）0，g（x）maxg（2）（2a）e2（12 分） 第 21 页（共 21 页） 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及函数的最值问题，考查导数 的应用，分类讨论思想，考查计算能力，是一道综合题
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