1、2018-2019 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中，只在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知函数 f（x）x3，f（x）是 f（x）的导函数，若 f（x0）12，则 x0（ ） A2 B2 C2 D 2 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x22019”的否定是（ ） A对任意 xR，都有 x22019 B不存在 xR，使得 x22019 C存在 x0R，使得 x02201
2、9 D存在 x0R，使得 x022019 3 （5 分）复数 z（1+i） （2+i）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4（5 分） 由直线 x， x， y0 与直线 ycosx 所围成的封闭图形的面积为 （ ） A B1 C D 5 （5 分）已知函数 f（x）e2 x+x，x1，3，则下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）的最大值为 B函数 f（x）的最小值为 C函数 f（x）的最大值为 3 D函数 f（x）的最小值为 3 6 （5 分）用反证法证明某命题时，对结论： “自然数 a，b
3、，c 中恰有一个偶数”正确的反 设为（ ） Aa，b，c 中至少有两个偶数 Ba，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 Ca，b，c 都是奇数 Da，b，c 都是偶数 7 （5 分）已知函数，则 yf（x）的图象大致为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 8 （5 分）设函数 f（x）x2+mln（1+x）有两个极值点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （1，） B （0，） C （0， D （1， 9 （5 分）已知函数 f（x）ex+x2+x+1 与 g（x）2x3，P、Q 分别是函数 f（x） 、g（x） 图象上的动点，则|P
4、Q|的最小值为（ ） A B C D2 10 （5 分）下列命题中，真命题是（ ） A设 z1，z2C，则 z1+z2为实数的充要条件是 z1，z2为共轭复数 B “直线 l 与曲线 C 相切”是“直线 l 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件 C “若两直线 l1l2，则它们的斜率之积等于1”的逆命题 Df（x）是 R 上的可导函数， “若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）0”的否命题 11 （5 分）已知 F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，两条渐近 线分别为 l1，l2，经过右焦点 F2垂直于 l1的直线分别交 l1，l2于 A，B
5、 两点，若|OA|+|OB| 2|AB|，且 F2在线段 AB 上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 12 （5 分）已知函数 f（x）（x22x）exdx，则 f（x）在（0，+）的单调递增区 间是（ ） A （0，+） B （0，） C （，+） D （2，+） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）设函数 f（x）（x0） ，观察：f1（x）f（x），f2（x）f（f1（x） ） ，f3（x）f（f2（x） ），f4（x）f（f3（x） ），根据以上事 实，由归纳推
6、理可得：f2009（x） 14 （5 分）dx+x3dx 15 （5 分）已知直线 l1：4x3y+110 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 16 （5 分）已知a1，2） ，x0（0，1，使得，则实数 m 的取 值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知命题 p：函数 f（x）x3mx2+1 在 x1，2上单调递减；
7、命题 q：曲线 1 为双曲线 （）若“p 且 q”为真命题，求实数 m 的取值范围； （）若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）x3+x2 （）求曲线 yf（x）在点（2，8）处的切线方程； （）直线 l 为曲线 yf（x）的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标 19 （12 分）已知直线 l 过点 P（0，1） ，圆 C：x2+y26x+80，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点 （）求直线 PC 的方程； （）求直线 l 的斜率 k 的取值范围； （）是否存在过点 Q（6，4）且垂直平分弦 AB 的直线
8、l1？若存在，求直线 l1斜率 k1 的值，若不存在，请说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）ln（ax+1）+，x0，其中 a0 （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求 a 的值； （2）若 f（x）的最小值为 1，求 a 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1（1，0） 、F2（1， 0） ，经过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且F1AB 的周长为 8 （）求椭圆 C 的方程； （）记AF1F2与BF1F2的面积分别为 S1和 S2，求|S1S2|的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）
9、（ax2） （lnalnx） （其中 x0，a0） ，记函数 f（x）的 导函数为 g（x）f（x） （）求函数 g（x）的单调区间； （）是否存在实数 a，使得 f（x）0 对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件 的实数 a；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中，只在每个小题给出的四个选项
10、中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知函数 f（x）x3，f（x）是 f（x）的导函数，若 f（x0）12，则 x0（ ） A2 B2 C2 D 【分析】求函数的导数，根据条件建立方程关系进行求解即可 【解答】解：函数的导数 f（x）3x2，若 f（x0）12， 即 3x0212 得 x024，得 x02， 故选：C 【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的公式进行求解是解决本题的关键 2 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x22019”的否定是（ ） A对任意 xR，都有 x22019 B不存在 xR，使得 x22019 &nb
11、sp;C存在 x0R，使得 x022019 D存在 x0R，使得 x022019 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解：命题是全称命题， 则命题的否定是特称命题， 即存在 x0R，使得 x022019， 故选：D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称 命题的否定是全称命题是解决本题的关键 3 （5 分）复数 z（1+i） （2+i）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的四则运算将复数化简，然后利用复数的几何意义确定对应点的象限 【解答】解：因为 z（
12、2+i） （1+i）2+3i+i21+3i， 所以复数对应点的坐标为（1，3） ， 第 6 页（共 19 页） 所以位于第一象限 故选：A 【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算将复数转化为为代数形式 是解决本题的关键 4（5 分） 由直线 x， x， y0 与直线 ycosx 所围成的封闭图形的面积为 （ ） A B1 C D 【分析】画出曲边梯形，利用定积分表示面积，然后计算 【解答】解：如图，由直线 x，x，y0 与直线 ycosx 所围成的封闭图形 的面积为2sinx1； 故选：B 【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确表示面积，并正确计算
13、 5 （5 分）已知函数 f（x）e2 x+x，x1，3，则下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）的最大值为 B函数 f（x）的最小值为 C函数 f（x）的最大值为 3 D函数 f（x）的最小值为 3 【分析】求出函数 f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而 求出函数 f（x）的最小值即可 【解答】解：f（x）e2 x+x， f（x）e2 x+1， 第 7 页（共 19 页） 令 f（x）0，解得：x2， 令 f（x）0，解得：x2， 故 f（x）在1，2）递减，在（2，3递增， 故 f（x）的最小值是 f（2）3， 故
14、选：D 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题 6 （5 分）用反证法证明某命题时，对结论： “自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反 设为（ ） Aa，b，c 中至少有两个偶数 Ba，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 Ca，b，c 都是奇数 Da，b，c 都是偶数 【分析】找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定 【解答】解：结论： “自然数 a，b，c 中恰有一个偶数” 可得题设为：a，b，c 中恰有一个偶数 反设的内容是 假设 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 故选：B 【点评】此题考查了反证法的定
15、义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或 不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“ 7 （5 分）已知函数，则 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除 B，D，通过函数的单调性排除 C，推出结 果即可 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：令 g（x）xlnx1，则 g（x）1， 由 g'（x）0，得 x1，即函数 g（x）在（1，+）上单调递增， 由 g'（x）0 得 0x1，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减， 所以当 x1 时，函数 g（x）有最小值，g（x）ming（0）0， 于是对
16、任意的 x（0，1）（1，+） ，有 g（x）0，故排除 B、D， 因函数 g（x）在（0，1）上单调递减，则函数 f（x）在（0，1）上递增，故排除 C， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的 判断，考查分析问题解决问题的能力 8 （5 分）设函数 f（x）x2+mln（1+x）有两个极值点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （1，） B （0，） C （0， D （1， 【分析】函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，即 f（x）0 在定义域上有两个不相等的实 数根， 构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出 m 的取值范围 【解答】解
17、：函数 f（x）x2+mln（1+x） ，定义域为（1，+） ； 若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，则不妨设1x1x2， 即 f（x）0 在区间（1，+）上有两个不相等的实数根， 所以 2x+0， 化为方程 2x2+2x+m0 在区间（1，+）上有两个不相等的实数根； 记 g（x）2x2+2x+m，x（1，+） ， 则， 即， 解得 0m， 所以实数 m 的取值范围是（0，） 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值应用问题，也考查了二次函数与 对应方程实数根的应用问题，是中档题 第 9 页（共 19 页） 9 （5 分）已知函数 f（x）ex+x2+x+
18、1 与 g（x）2x3，P、Q 分别是函数 f（x） 、g（x） 图象上的动点，则|PQ|的最小值为（ ） A B C D2 【分析】求得 f（x）的导数，由题意可得与直线 y2x3 平行的直线和曲线 f（x）相切， 可得|PQ|的值最小，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点，由两直线平行的距离 公式可得所求最小值 【解答】解：f（x）ex+x2+x+1 的导数为 f（x）ex+2x+1， 设与直线 y2x3 平行的直线 y2x+t 与曲线 f（x）相切， 设切点为（m，n） ，可得 em+2m+12， 即 em+2m10， 由 h（m）em+2m1 的导数为 h（m）em+20，即 h（
19、m）在 R 上递增， 且 h（0）0，则 em+2m10 的解为 m0， 可得切点为（0，2） ， 则切线方程为 y2x+2， 可得|PQ|的最小值为， 故选：B 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力， 属于中档题 10 （5 分）下列命题中，真命题是（ ） A设 z1，z2C，则 z1+z2为实数的充要条件是 z1，z2为共轭复数 B “直线 l 与曲线 C 相切”是“直线 l 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件 C “若两直线 l1l2，则它们的斜率之积等于1”的逆命题 Df（x）是 R 上的可导函数， “若 x0是
20、 f（x）的极值点，则 f（x0）0”的否命题 【分析】根据题意，对选项中的四个命题，分别判断它们的真假性即可 【解答】解：对于 A，由 z1、z2为共轭复数时，z1+z2为实数， 但 z1+z2为实数时，z1、z2不一定为共轭复数，A 是假命题； 对于 B，直线 l 与曲线 C 相切时，直线 l 与曲线 C 不一定只有一个公共点， 直线 l 与曲线 C 只有一个公共点时，直线 l 与曲线 C 不一定相切，B 是假命题； 第 10 页（共 19 页） 对于 C， “直若两直线 l1l2，则它们的斜率之积等于1”的逆命题是 “若两直线 l1、l2的斜率之积等于1，则两直线垂直” ，是真命题； 对
21、于 D，f（x）是 R 上的可导函数， “若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）0”的否命 题是 “若 x0不是 f（x）的极值点，则 f（x0）0” ，它是假命题，如 f（x）x3在 x0 时 的导数” 故选：C 【点评】本题利用命题的真假性判断考查了复数、曲线的切线问题，也考查了逆命题与 否命题的应用问题，是基础题 11 （5 分）已知 F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，两条渐近 线分别为 l1，l2，经过右焦点 F2垂直于 l1的直线分别交 l1，l2于 A，B 两点，若|OA|+|OB| 2|AB|，且 F2在线段 AB 上，则该双曲线的离心率为（ ） A B
22、C2 D 【分析】求得焦点到渐近线的距离，可得|AF2|b，|OA|a，再由角平分线的性质定理和 比例的性质，可得 a，b 的关系，再由离心率公式，可得所求值 【解答】解：由已知 AB 与 x 轴交于点 F2， 双曲线的渐近线方程为 bxay0，bx+ay0，焦点 F2（c，0） ， 可得 F2到渐近线的距离为 db， |OA|a， 设|BF2|m，|OB|n， AOB 中，OF2为AOB 的平分线，可得 ，即为， 而|OA|+|OB|2|AB|，可得 a+n2（b+m） ， 则， 则 e 第 11 页（共 19 页） 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，主要是离心率的求法，注意运用角
23、平分线的性质 定理和比例的性质，考查计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）（x22x）exdx，则 f（x）在（0，+）的单调递增区 间是（ ） A （0，+） B （0，） C （，+） D （2，+） 【分析】设函数 y（x22x）ex的原函数为 g（x） ，得出 g（x）（x22x）ex，对 函数 f（x）求导得出 f（x）（x22x）ex，然后解不等式 f（x）0 可得出答案 【解答】解：设函数 y（x22x）ex的原函数为 g（x） ，即 g（x）（x22x）ex， 所以，f（x）g（x）g（0） ， 对函数 yf（x）求导得 f（x）g（x）（x22x）ex 当
24、x0 时，令 f（x）0，解得 x2 因此，函数 f（x）在（0，+）上的单调递增区间为（2，+） 故选：D 【点评】本题考查定积分的计算，考查函数的单调性与导数，解决本题的关键在于找出 被积函数的原函数，考查计算能力与推理能力，属于中等题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）（x0） ，观察：f1（x）f（x），f2（x）f（f1（x） ） ，f3（x）f（f2（x） ），f4（x）f（f3（x） ），根据以上事 实，由归纳推理可得：f2009（x） 【分析】题目给出的前四个等式的特点是，左
25、边依次为 f1（x） ，f2（x） ，f3（x），右边 第 12 页（共 19 页） 都是单项式，且分子都是 x，分母是左边的“f”的右下角码乘以 x 加 1，由此规律可得出 正确结论 【解答】解：由题目给出的四个等式发现，每一个等式的右边都是一个单项式，分子都 是 x， 分母是等式左边的 “f” 的右下角码乘以 x 加 1， 据此可以归纳为： f2019（x） f （f2018 （x） ） 故答案为： 【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、 联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，此题是基础题 14 （5 分）dx+x3dx 8 【分析】令
26、，得出 y0，对等式两边平方整理得 x2+y216，可得出函数 在4x4 上的图象是圆 x2+y216 的上半圆， 利用定积分的几何意义计算 出定积分，最后结合定积分公式可得出答案 【解答】解：令，则 y0，对等式两边平方得 y216x2，整理得 x2+y2 16， 所以，函数在4x4 的图象是圆 x2+y216 的上半圆，如下图所示， 由定积分的几何意义可得， 因此， 故答案为：8 【点评】本题考查定积分的计算，考查定积分的几何意义以及公式的应用，考查计算能 力，属于中等题 第 13 页（共 19 页） 15 （5 分）已知直线 l1：4x3y+110 和直线 l2：x1，抛物线 y24x
27、上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 3 【分析】如图所示，过点 P 分别作 PMl1，PNl2，垂足分别为 M，N设抛物线的焦 点为 F，由抛物线的定义可得|PN|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点 M，P， F 共线时，|PM|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】解：如图所示， 过点 P 分别作 PMl1，PNl2，垂足分别为 M，N 设抛物线的焦点为 F（1，0） ，由抛物线的定义可得|PN|PF|， |PM|+|PN|PM|+|PF|，当三点 M，P，F 共线时，|PM|+|PF|取得最小值 其最小值为点 F
28、到直线 l1的距离，|FM|3 故答案为：3 【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，属于难题 16 （5 分）已知a1，2） ，x0（0，1，使得，则实数 m 的取 值范围为 （，e1） 【分析】若a1，2） ，x0（0，1，使得，则 m 小于函数 f （x）最大值的最小值，利用导数法求得答案 【解答】解：令 f（x）， 则 f（x）， 第 14 页（共 19 页） 当 a1，2） ，x（0，1时，f（x）0 恒成立， 故 f（x）在区间（0，1上为增函数， 当 x1 时，函数取最大值 eaa， 令 g（a）eaa，则 g（a）ea1， 当 a1，2）时，g（a）0
29、 恒成立， 故 g（a）在区间1，2）上为增函数， 当 a1 时，函数取最小值 e1， 若a1，2） ，x0（0，1，使得， 即a1，2） ，x0（0，1，使得成立， 故 me1， 故实数 m 的取值范围为： （，e1） 故答案为： （，e1） 【点评】本题考查的知识点是导数在函数最值中的应用，转化思想，存在性问题和恒成 立问题，难度中档 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知命题 p：函数 f（x）x3mx2+1 在 x1，2上单调递减；命题 q：曲线
30、1 为双曲线 （）若“p 且 q”为真命题，求实数 m 的取值范围； （）若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）求出命题 p，q 为真命题的等价条件，结合“p 且 q”为真命题进行求解即 可 （）根据复合命题真假关系进行转化求解即可 【解答】解： （）若 p 为真命题，f（x）3x22mx0 在1，2恒成立， 即 mx 在1，2恒成立， x 在1，2的最大值是 3， m3 若 q 为真命题，则（m2） （6m）0，解得 2m6， 第 15 页（共 19 页） 若“p 且 q”为真命题，即 p，q 均为真命题， 所以，解得 3m6
31、， 综上所述，若“p 且 q”为真命题，则实数 m 的取值范围为3，6） （）若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，即 p，q 一真一假， 当 p 真 q 假时，解得 m6， 当 p 假 q 真时，解得 2m3， 综上所述，实数 m 的取值范围为（2，3）6，+） 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决 本题的关键 18 （12 分）已知函数 f（x）x3+x2 （）求曲线 yf（x）在点（2，8）处的切线方程； （）直线 l 为曲线 yf（x）的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标 【分析】 （）求得函数 f（x）的导数，可得切线
32、的斜率，由点斜式方程可得所求切线方 程； （）设切点为（m，m3+m2） ，求得切线的斜率，可得切线方程，代入原点，可得 m 的值，即可得到切点和所求切线方程 【解答】解： （）函数 f（x）x3+x2 的导数为 f（x）3x2+1， 所以曲线 f（x）在 x2 处的斜率为 f（2）13， 则切线方程为 y813（x2） ，即 13xy180； （）设切点为（m，m3+m2） ，则 f（m）3m2+1， 所以切线方程为 y（m3+m2）（3m2+1） （xm） ， 因为切线过原点，所以（m3+m2）（3m2+1） （m） ， 所以 2m32，解得 m1， 所以 f（1）4，故所求切线方程为 y
33、4x， 又因为 f（1）4，切点为（1，4） 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，注意切点的确定， 考查化简运算能力，属于中档题 19 （12 分）已知直线 l 过点 P（0，1） ，圆 C：x2+y26x+80，直线 l 与圆 C 交于 A，B 第 16 页（共 19 页） 两点 （）求直线 PC 的方程； （）求直线 l 的斜率 k 的取值范围； （）是否存在过点 Q（6，4）且垂直平分弦 AB 的直线 l1？若存在，求直线 l1斜率 k1 的值，若不存在，请说明理由 【分析】 （I） 求出圆的圆心坐标，利用截距式方程求直线 PC 的方程； （II）法 1：联立直线
34、与圆的方程，通过判别式求解 k 的范围即可； 法 2：利用点到直线的距离公式与半径的关系，转化求解直线 l 的斜率 k 的取值范围； （）求出直线 l1 的斜率，利用垂直关系，判断是否存在直线方程 【解答】解： （I）设圆 C： （x3）2+y21，圆心为 C（3，0） ，直线 l 过点 P（0，1） ， 故直线 PC 的方程为，即 x+3y30（5 分） （II）法 1：直线 l 的方程为 ykx+1，则 由得（k+1）x2+（2x6）x+90 由（2k6）236（k2+1）0 得24k36k20 故（10 分） 法 2：直线 l 的方程为 ykx+1，即 kxy+10， 圆心为 C（3，0
35、） ，圆的半径为 1 则圆心到直线的距离， 因为直线与有交于 A，B 两点，故，故 （）假设存在直线 l1垂直平分于弦 AB，此时直线 l1过 Q（6，4） ，C（3，0） ， 则，故 AB 的斜率， 由（ II）可知，不满足条件 所以，不存在存在直线 l1垂直于弦 AB （14 分） 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力 20 （12 分）已知函数 f（x）ln（ax+1）+，x0，其中 a0 （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求 a 的值； 第 17 页（共 19 页） （2
36、）若 f（x）的最小值为 1，求 a 的取值范围 【分析】 （1），由 f（x）在 x1 处取得极 值，得到 f（1）0，由此能求出 a （2），由 x0，a0，得 ax+10，1+x0，从而当 a2 时，在区间（0，+）上，f（x）0，f（x）递增，f（x）的最小值为 f（0）1当 0a2 时，由 f（x）0，得 x；由 f（x）0，得 x由此能求出 f（x）得最小值为 1 时 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）ln（ax+1）+，x0，其中 a0， f（x）在 x1 处取得极值， f（1）0，解得 a1， 经检验 a1 成立，故 a 的值为 14 分 （2）， x0，a0，
37、ax+10，1+x0 当 a2 时，在区间（0，+）上，f（x）0，f（x）递增，f（x）的最小值为 f（0） 1 当 0a2 时，由 f（x）0， 解得 x；由 f（x）0，解得 x f（x）的单调减区间为（0，） ，单调增区间为（，+） f（x）在 x处取得最小值 f（）f（0）1，不合题意 综上可知，若 f（x）得最小值为 1，则 a 的取值范围是2，+） 10 分 【点评】本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、导数的 几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类 讨论与整合思想、函数与方程思想，是中档题 第 18 页（共 19 页
38、） 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1（1，0） 、F2（1， 0） ，经过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且F1AB 的周长为 8 （）求椭圆 C 的方程； （）记AF1F2与BF1F2的面积分别为 S1和 S2，求|S1S2|的最大值 【分析】 （）由已知结合椭圆定义可求椭圆 C 的方程； （）由设而不求的方法分 m0 时，m0 时讨论，结合均值不等式可得结果 【解答】解： （）因为 F1（1，0）为椭圆 C 的焦点，所以 c1， 由椭圆的定义知，F1AB 的周长为： （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）2a+2a4a8，
39、 解得 a2，所以 b2a2c23， 所以椭圆 C 的方程为； （）设直线 l 的方程为 xmy+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，整理得（3m2+4）y2+6my90，则 y1+y2， |S1S2|F1F2|（|y1|y2|）|y1+y2|， 当 m0 时，|S1S2|0， 当 m0 时，|S1S2|， （当且仅当 m时等号成立）综上所述，|S1S2|的最大值为 【点评】本题考查了与椭圆有关的最值得求法，考查了数学转化思想方法，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）（ax2） （lnalnx） （其中 x0，a0） ，记函数 f（x）的 导函数为 g（x）f（x） （
40、）求函数 g（x）的单调区间； （）是否存在实数 a，使得 f（x）0 对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件 的实数 a；若不存在，请说明理由 【分析】 （）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可； 第 19 页（共 19 页） （）根据函数的单调性求出 f（x）的最大值，结合基本不等式的性质确定 a 的值即可 【解答】解： （）g（x）f（x）alnaalnxa+， g（x），x0，a0，g（x）0 恒成立， g（x）的单调减区间为（0，+） ，无递增区间；（4 分） （） ：由（）知 g（x）在（0，+）上单调递减， 所以 g（x）0 在（0，+）上
41、必存在实数根，不妨记 g（x0）0， 即 alnaalnx0a+0，可得 lnx0lna1+ （*） 当 x（0，x0）时，g（x）0，即 f（x）0， 当 x（x0，+）时，g（x）0，即 f（x）0， 所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减， 所以 f（x）maxf（x0）（ax02） （lnalnx0） ，（8 分） 把（*）式代入可得 f（x）max（ax02） （1）ax0+4， 依题意 f（x）maxf（x0）ax0+40 恒成立， 又由基本不等式有 ax0+40， 当且仅当 ax02 时等号成立，解得 ax02，所以 x0 代入（*）式得，lnlna，所以a，又a0，所以解得 a 综上所述，存在实数 a，使得 f（x）0 对任意正实数 x 恒成立（12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及基本不等式的性质， 考查转化思想，是一道综合题
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