1、 5 夹角的计算夹角的计算 一、选择题 1若平面 的一个法向量为 n1(4,3,0)，平面 的一个法向量为 n2(0，3,4)，则平面 与平面 夹角的余弦值为( ) A 9 25 B. 9 25 C. 7 25 D以上都不对 考点 题点 答案 B 解析 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 9 25，平面 与平面 夹角的余弦值为 9 25. 2若平面 的一个法向量为 n(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a(2，3,3)，则直线 l 与平面 夹角的余弦值为( ) A 11 11 B. 11 11 C 110 11 D. 913 33 考点 题点 答案 D 解析 cosa，n a
2、 n |a|n| 833 18 22 4 3 11， 直线 l 与平面 夹角的正弦值为 4 3 11，余弦值为 1 4 3 11 2 913 33 . 3如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么 直线 AM 与 CN 夹角的余弦值为( ) A. 3 2 B. 10 10 C.3 5 D. 2 5 考点 题点 答案 D 解析 方法一 AM AA1 A1M ，CN CB BN， AM CN (AA1 A1M ) (CB BN) AA1 BN 1 2. 而|AM |AA1 22A 1M AA1 A1M 2 |AA1 |2|A1M |21
3、1 4 5 2 . 同理|CN | 5 2 . 令 为所求角，则 cos AM CN |AM |CN | 1 2 5 4 2 5. 方法二 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系 Dxyz，则 A(1,0,0)， M 1，1 2，1 ，C(0,1,0)，N 1，1，1 2 ， AM 1，1 2，1 (1,0,0) 0，1 2，1 ， CN 1，1，1 2 (0,1,0) 1，0，1 2 . 故AM CN 011 201 1 2 1 2. |AM |02 1 2 212 5 2 ， |CN |1202 1 2 2 5 2 . 设
4、 为所求角，cos AM CN |AM |CN | 1 2 5 2 5 2 2 5. 4在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB1，D 在棱 BB1上，且 BD1，则直线 AD 与平 面 AA1C1C 夹角的正弦值为( ) A. 6 4 B 6 4 C. 10 4 D 10 4 考点 题点 答案 A 解析 取 AC 的中点 E，连接 BE， 则 BEAC，以 B 为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为 x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系 Bxyz， 则 A 3 2 ，1 2，0 ，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E 3 2 ，0，0 ， 则AD 3 2 ，1 2，1 ，BE
5、 3 2 ，0，0 . 平面 ABC平面 AA1C1C， 平面 ABC平面 AA1C1CAC，BEAC， BE平面 ABC， BE平面 AA1C1C， BE 3 2 ，0，0 为平面 AA1C1C 的一个法向量 设直线 AD 与平面 AA1C1C 夹角为 ， cosAD ，BE 6 4 ， sin |cosAD ，BE |6 4 . 5在正四棱锥 SABCD 中，SAAB2，则直线 AC 与平面 SBC 夹角的正弦值为( ) A. 3 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 6 3 考点 题点 答案 C 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 由题意得 A(1，1,0)，C(1,1,0)，B(1,1
6、,0)，S(0,0， 2) AC (2,2,0)， BS (1，1， 2)， CS (1，1， 2) 设平面 SBC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n BS 0， n CS 0， xy 2z0， xy 2z0， 令 z 2，得 x0，y2，n(0,2， 2) 设直线 AC 与平面 SBC 所成的角为 ， 则 sin |cosn，AC | 4 2 2 6 3 3 . 6如图，已知空间四边形 OABC 的各边都相等，E，F 分别为 AB，OC 的中点，则直线 OE 与 BF 夹角的余弦值为( ) A. 2 2 B. 2 4 C.1 3 D.2 3 考点 题点 答案 D 解析 设OA a，
7、OB b，OC c，且|a|b|c|1， 则 a bb cc a1 2. OE 1 2(ab)，BF 1 2cb，|OE |BF |3 2 ， OE BF 1 2(ab) ( 1 2cb) 1 4a c 1 2a b 1 4b c 1 2|b| 21 2， cosOE ，BF OE BF |OE |BF | 2 3. 直线 OE 与 BF 夹角的余弦值为2 3. 二、填空题 7如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 C1C 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 A1B1上的任意点，则直线 BM 与 OP 夹角的大小为_ 考点 题点 答案 2 解析 以 D 为坐标原点，DA，
8、DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 2，A1Px(0x2)， 则 O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)， OP (1，x1,2)，BM (2,0,1) 所以OP BM 0， 所以直线 BM 与 OP 夹角的大小为 2. 8如图，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD90 ，且 PAAD2，E，F 分 别是线段 PA，CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 夹角的余弦值为_ 考点 题点 答案 3 6 解析 以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y
9、轴，z 轴，建立如图所示空间 直角坐标系 Axyz，则 E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0) EF (1,2，1)，BD (2,2,0)， 故 cosEF ，BD 2 4 3 3 6 . 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B 与平面 BB1D1D 夹角的大小为_ 考点 题点 答案 30 解析 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系Dxyz， 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， 则A1(1,0,1)， B(1,1,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0) 连接 AC，B
10、D，则 ACBD，ACBB1，BDBB1B，BD，BB1平面 BB1D1D， AC平面 BB1D1D， AC 是平面 BB 1D1D 的一个法向量 A1B (0,1，1)，AC (1,1,0)， cosA1B ，AC A1B AC |A1B |AC | 010 2 2 1 2， A1B ，AC 60 ， A1B 与平面 BB1D1D 夹角为 90 60 30 . 10如图，在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC 3，则 cosOA ，BC 的值 为_ 考点 题点 答案 0 解析 OA BC OA (OC OB ) OA OC OA OB |OA | |OC | cos 3|OA |
11、 |OB | cos 3 1 2|OA |(|OC |OB |)0. cosOA ，BC OA BC |OA |BC |0. 三、解答题 11在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13，用过 A1，C1，B 三点的平面截去 长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ABCDA1C1D1.若 A1C1的中点为 O1，求异面直 线 BO1与 A1D1夹角的余弦值 考点 题点 解 如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系 Dxyz，则 B(2,2,0)，D1(0,0,3)，A1(2,0,3)，O1(1,1,3)， D1A1
12、(2,0,0)，BO1 (1，1,3)， D1A1 BO1 (2,0,0) (1，1,3)2， |D1A1 |2，|BO1 | 11. cosD1A1 ，BO1 D1A1 BO1 |D1A1 |BO1 | 2 2 11 11 11 . 故异面直线 BO1与 A1D1夹角的余弦值为 11 11 . 12在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ACB90 ，D1，E1分别为 A1B1，A1C1的中点，若 BC CACC1，求直线 BD1与 AE1夹角的余弦值 考点 题点 解 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系 Cxyz. 设|BC |
13、a，则 A(a,0,0)， B(0，a,0)，E1 a 2，0，a ， D1 a 2， a 2，a ， AE1 a 2，0，a，BD1 a 2， a 2，a ， AE1 BD1 3 4a 2，|AE 1 | 5 2 a，|BD1 | 6 2 a. cosAE1 ，BD1 AE1 BD1 |AE1 |BD1 | 30 10 . 直线 BD1与 AE1夹角的余弦值为 30 10 . 13如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB2，AA12 2，D 是 AA1 的中点，BD 与 AB1交于点 O，且 CO平面 ABB1A1. (1)证明：BCAB1； (2)若 OCOA，
14、求直线 CD 与平面 ABC 夹角的正弦值 考点 题点 (1)证明 由题意， 四边形 ABB1A1是矩形， D 为 AA1的中点， AB2， AA12 2， AD 2， 在 RtABB1中，tanAB1B AB BB1 2 2 . 在 RtABD 中，tanABDAD AB 2 2 ， AB1BABD. 又BAB1AB1B90 ， BAB1ABD90 ， 即 BDAB1. 又CO平面 ABB1A1，AB1平面 ABB1A1， COAB1，又COBDO，CO，BD平面 BCD， AB1平面 BCD. BC平面 BCD，BCAB1. (2)解 如图，以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1，OC
15、所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立空间直角坐标系，则 A 0， 3 3 ，0 ，B 6 3 ，0，0 ，C 0，0， 3 3 ， B1 0，2 3 3 ，0 ，D 6 6 ，0，0 . 又CC1 2AD ， C1 6 3 ，2 3 3 ， 3 3 ， AB 6 3 ， 3 3 ，0 ，AC 0， 3 3 ， 3 3 ， DC1 6 6 ，2 3 3 ， 3 3 ，CD 6 6 ，0， 3 3 . 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z) 根据 6 3 x 3 3 y0， 3 3 y 3 3 z0. 可得 n(1， 2， 2)是平面 ABC 的一个法向量 设直线 CD 与平面
16、ABC 的夹角为 ， 则 sin 15 5 ， 直线 CD 与平面 ABC 夹角的正弦值为 15 5 . 四、探究与拓展 14已知三条射线 PA，PB，PC 的两两夹角都是 60 ，则平面 APB 与平面 PBC 夹角的余弦值 为( ) A.1 3 B. 6 3 C. 3 2 D. 3 3 考点 题点 答案 A 解析 在 PA，PB，PC 上取点 D，E，F，使得 PDPEPF，可知三棱锥 DPEF 为正四面 体，取 PE 的中点 H，连接 DH，FH，得DHF 为平面 APB 与平面 PBC 的夹角，设PF a， PE b，PD c，则HD HP PD 1 2bc，HF HP PF 1 2b
17、a，所以 cosHD ，HF HD HF |HD |HF | 1 3. 15.如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BC，A1D1的中点 (1)求直线 A1C 与 DE 所成角的余弦值； (2)求直线 AD 与平面 B1EDF 所成角的余弦值； (3)求平面 B1EDF 与平面 ABCD 夹角的余弦值 考点 向量法求面面角 题点 向量法求面面角 解 以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Axyz. (1)则 A1(0,0，a)，C(a，a,0)， D(0，a,0)，E a，a 2，0 ，
18、A1C (a，a，a)，DE a，a 2，0 ， cosA1C ，DE A1C DE |A1C |DE | 15 15 ， 故 A1C 与 DE 所成角的余弦值为 15 15 . (2)连接 DB1，ADEADF， AD 在平面 B1EDF 内的射影在EDF 的平分线上 又 B1EDF 为菱形，DB1为EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B1EDF 所成的角为ADB1. 由 A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)， 得DA (0，a,0)，DB1 (a，a，a)， cosDA ，DB1 DA DB1 |DA |DB1 | 3 3 ， 又直线与平面所成角的范围是 0， 2 ， 故直线 AD 与平面 B1EDF 所成角的余弦值为 3 3 . (3)由已知得 A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E a，a 2，0 ，则ED a，a 2，0 ， EB1 0，a 2，a ， 平面 ABCD 的一个法向量为 mAA1 (0,0，a) 设平面 B1EDF 的一个法向量为 n(1，y，z)， 由 n ED 0， n EB1 0， 得 y2， z1， n(1,2,1)，cosn，m m n |m|n| 6 6 ， 平面 B1EDF 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 6 6 .
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