2.6 距离的计算 学案（含答案）

1、 6 距离的计算距离的计算 学习目标 1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平 面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 知识点一 点到直线的距离 1.点到直线的距离 因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内 点到直线的距离问题. 如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点. 作 AAl，垂足为 A，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA的长度，而向量PA 在 s 上 的投影的大小|PA s 0|等于线段 PA的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直线 l 的距

2、离 d |PA |2|PA s 0| 2. 2.点到直线的距离的算法框图 空间一点 A 到直线 l 的距离的算法框图，如图. 知识点二 点到平面的距离 1.求点到平面的距离 如图，设 是过点 P 垂直于向量 n 的平面，A 是平面 外一定点. 作 AA，垂足为 A，则点 A 到平面 的距离 d 等于线段 AA的长度. 而向量PA 在 n 上的投影的大小|PA n 0|等于线段 AA的长度，所以点 A 到平面 的距离 d |PA n 0|. 2.点到平面的距离的算法框图 空间一点 A 到平面 的距离的算法框图，如图所示. 知识点三 直线到与它平行的平面的距离 如果一条直线平行于平面 ，那么直线上

3、的各点向平面 所作的垂线段均相等，即直线上各 点到平面 的距离均相等. 一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离. 知识点四 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线， 叫作两个平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面之间的部 分，叫作两个平面的公垂线段. 两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的距离. 1.点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离.( ) 2.直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离.( ) 3.两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离.( ) 4.平面 外一点 P 到平面 的距离在平面 内任一点与

4、点 P 的距离中最短.( ) 题型一 求两点间的距离 例 1 如图所示，已知在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，沿对角线 AC 折叠，使平面 ABC 与平面 ADC 垂直，求线段 BD 的长. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 解 过点 D 和 B 分别作 DEAC 于 E，BFAC 于 F. 则由已知条件可知 AC5， 所以 DE34 5 12 5 ，BF34 5 12 5 . 由已知得 AECFAD 2 AC 9 5， 所以 EF529 5 7 5. 因为DB DE EF FB， 所以|DB |2(DE EF FB)2DE2EF2FB22DE EF 2DE FB 2EF

5、 FB. 因为平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，DE平面 ADC，DEAC，所以 DE平面 ABC， 所以 DEFB，即DE FB ， 所以|DB |2DE 2EF2FB2144 25 49 25 144 25 337 25 ， 所以|DB | 337 5 ，故线段 BD 的长是 337 5 . 反思感悟 1.若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解. 2.若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2a2求解. 跟踪训练 1 (1)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在AC1 上且AM 1 2MC1 ，N 为 B1B 的中点，则|

6、MN |等于( ) A. 15 6 B. 6 6 C. 15 3 D. 21 6 (2)已知线段 AB，BD 在平面 内，ABD120 ，线段 AC，如果 ABa，BDb，AC c，则线段 CD 的长为( ) A. a2b2c2ab B. a2b2c2ab C. a2b2c2ac D. a2b2c2 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 (1)D (2)A 解析 (1)设AB a，AD b，AA1 c，MN MA AB BN2 3a 1 3b 1 6c，|MN |MN MN 4 9a 21 9b 21 36c 2 21 6 . (2)设AB a，BD b，AC c， 因为C

7、D CA ABBD cab， 所以|CD |CD CD cab cab a2b2c22a b a2b2c22|a|b|cos 60 a2b2c2ab. 题型二 求点到直线的距离 例 2 在棱长为 2 的正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E，F 分别是棱 C1C 和 D1A1的中点，求点 A 到直线 EF 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 解 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 Dxyz，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2). 所以直线 EF 的方向向量EF (1，2，

8、1)；AF(1，0，2). 因为AF 在EF上的投影为AFEF |EF | 1 6， 所以点 A 到直线 EF 的距离 d|AF |2 AF EF |EF | 2 174 6 . 引申探究 本例条件不变，求点 B 到直线 EF 的距离. 解 B(2，2，0)，BF (1，2，2)， 因为BF 在EF上的投影为BF EF |EF | 5 6 6 . 所以 B 到直线 EF 的距离 d|BF |2 BF EF |EF | 2 174 6 . 反思感悟 利用公式 d|PA |2|PA s 0| 2求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量所求 点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影代入公式.

9、跟踪训练 2 (1)点P 是棱长为 1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点， 且满足AP 3 4AB 1 2AD 2 3AA1 ，则点 P 到棱 AB 的距离为( ) A.5 6 B. 3 4 C. 13 4 D. 145 12 (2)如图， 在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1， 点 M 是线段 DC1上的 动点，则点 M 到直线 AD1的距离的最小值为_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 答案 (1)A (2) 3a 3 解 析 (1) 因 为 AP 在 AB 上 的 投 影 为 AP AB |AB | 3 4 ， 所 以 点 P 到

10、AB 的 距 离 d |AP |2 AP AB |AB | 25 6. (2)D(0，0，0)，C1(0，a，a)，A(a，0，0)，D1(0，0，a)，设DM DC1 (0，a，a)(01)， AD1 (a，0，a)，AM (a，a，a)，AM 在AD1 上的投影为AM AD1 |AD1 | 2 2 a(1). 故点 M 到AD1 的距离 d|AM |2 AM AD1 |AD1 | 2a 3 2 21 2 3a 3 . 题型三 求点到平面的距离 例 3 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别是 AB，AD 的中点，CG 垂直于正 方形 ABCD 所在的平面，且 CG2，求

11、点 B 到平面 EFG 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 以 C 为坐标原点，CB，CG 所在直线分别为 x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系 Cxyz. 由题意可知 G(0，0，2)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，B(4，0，0)， GE (4，2，2)，GF (2，4，2)，BE (0，2，0). 设平面 EFG 的一个法向量为 n(x，y，z). 由 GE n0， GF n0， 得 4x2y2z0， 2x4y2z0， xy， z3y. 令 y1，则 n(1，1，3)， 故点 B 到平面 EFG 的距离为 d|BE n| |n| 2 11

12、2 11 11 . 反思感悟 利用向量求点到平面的距离的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面 的距离. 跟踪训练 3 已知点 A(1，1，1)，平面 经过原点 O，且垂直于向量 n(1，1，1)， 求点 A 到平面 的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 解 OA (1，1，1)，n(1，1，1)， 点 A 到平面 的距离为 d|OA n| |n| |111| 3 3. 向量法求解线面距离 典例 已知边长为 4 的正三角形 AB

13、C，E，F 分别为 BC 和 AC 的中点.PA2，且 PA平面 ABC，设 Q 是 CE 的中点. (1)求证：AE平面 PFQ； (2)求 AE 与平面 PFQ 间的距离. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 (1)证明 如图所示，以 A 为坐标原点，平面 ABC 内垂直于 AC 边的直线为 x 轴，AC 所在直 线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系. AP2，ABBCAC4， 又 E，F 分别是 BC，AC 的中点， A(0，0，0)，B(2 3，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E( 3，3，0)，Q 3 2 ，7 2，0 ，P(0，

14、0，2). FQ 3 2 ，3 2，0 ，AE ( 3，3，0)，AE2FQ . AE 与FQ 无交点，AEFQ. 又 FQ平面 PFQ，AE平面 PFQ， AE平面 PFQ. (2)解 由(1)知，AE平面 PFQ， 点 A 到平面 PFQ 的距离就是 AE 与平面 PFQ 间的距离. 设平面 PFQ 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nPF ，nFQ ，即 n PF 0，n FQ 0. 又PF (0，2，2)，n PF2y2z0，即 yz. 又FQ 3 2 ，3 2，0 ，n FQ 3 2 x3 2y0， 即 x 3y. 令 y1，则 x 3，z1，平面 PFQ 的一个法向量为 n( 3

15、，1，1). 又QA 3 2 ，7 2，0 ， 所求距离 d|QA n| |n| 2 5 5 . 素养评析 本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量 运算来解.合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养. 1.两平行平面 ， 分别经过坐标原点 O 和点 A(2， 1， 1)， 且两平面的一个法向量为 n(1， 0，1)，则两平面间的距离是( ) A.3 2 B. 2 2 C. 3 D.3 2 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两平面间距离 答案 B 解析 两平面的一个单位法向量为 n 2 2 ，0， 2 2 ， 故两平面间的距离为 d|

16、OA n| 2 2 . 2.在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平面 MBD 的距离 是( ) A. 6 6 a B. 3 6 a C. 3 4 a D. 6 3 a 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 A 解析 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系， 则 D(0，0，0)，A1(a，0，a)，A(a，0，0)，M a，0，1 2a ，B(a，a，0)， BM 0，a，1 2a ，DM a，0，1 2 a . 设 n(x，y，z)为平面 MBD 的一个

17、法向量， 则 n BM 0， n DM 0. ay1 2az0， ax1 2az0， y1 2z， x1 2z. 令 y1，得 n(1，1，2). 又DA1 (a，0，a)， 故点 A1到平面 MBD 的距离为 d|DA1 n| |n| 6 6 a. 3.设 A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，则点 D 到平面 ABC 的距离为 _. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 49 17 17 解析 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z). n AB 0， n AC 0， x，y，z 2，2，10， x，y，z 4，0，60， 即

18、 2x2yz0， 4x6z0， x3 2z， yz. 令 z2，则 n(3，2，2). 又AD (7，7，7)， 点 D 到平面 ABC 的距离为 d|AD n| |n| |372727| 322222 49 17 49 17 17 . 4.在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n(2，2，1).已知点 P(1，3， 2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 2 解析 d|n OP | |n| |262| 441 2. 5.如图， 已知矩形 ABCD 与 ABEF 全等， 平面 DAB 与平面 ABE 的

19、夹角为直角， M 为 AB 中点， FM 与 BD 所成角为 ，且 cos 3 9 .则 AB 与 BC 的边长之比为_. 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两线间的距离 答案 1 2 解析 设 ABa，BCb，以 A 为坐标原点，AF，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则相关各点坐标为 F(b，0，0)，M 0，a 2，0 ，B(0，a，0)，D(0，0，b). 所以FM b，a 2，0 ，BD (0，a，b)， 所以|FM |b2a 2 4 ，|BD |a2b2，FM BD a 2 2， |cosFM ，BD | a 2 2 b2a 2 4 a2b2 3 9 ， 整理，得 4 b4 a4 5 b2 a2 260， 解得b 2 a22 或 b2 a2 13 4 (舍去). 所以AB BC a b 2 2 .