1、 第 1 页 共 8 页 整式整式及其及其加减加减全章复习与巩固全章复习与巩固（提高）（提高）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示. 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的 联系. 3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律. 4理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 5理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减运算、求值； 6深刻体会本章体现的主要的数学思想-整体思想 【知识网络知识网络】 【要
2、点梳理】【要点梳理】 要点一、代数式要点一、代数式 诸如：16n ，2a+3b ，34 ， 2 n ， 2 )(ba等式子，它们都是用运算符号(、 、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个 数或一个字母也是代数式 要点诠释：要点诠释：代数式的书写规范：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式； （5）如果字母前面的数字是 1，通常省略
3、不写 要点二、要点二、整式的相关概念整式的相关概念 1单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单 项式 要点诠释：要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数 （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点诠释：要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项 （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 第 2 页 共 8 页 （3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式 3. 多项式的降幂与升幂排列： 把一个多项式
4、按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来， 叫做把这个多项式按这个 字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幂排列 要点诠释：要点诠释： （1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列 4整式：单项式和多项式统称为整式 要点三、要点三、整式的加减整式的加减 1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都 是同类项 要点诠释：要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关” ： （1） “两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同；
5、 （2） “两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关 2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 要点诠释：要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不 变 3去括号法则：括号前面是“+” ，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号 都不改变；括号前面是“-” ，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要 改变 4添括号法则：添括号后，括号前面是“+” ，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括 号前面是“-” ，括号内各项的符号都要改变 5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减
6、号连接，然后去括号，合并同类项 要点四、探索与表达规律要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用. 解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 【典型【典型例题】例题】 类型一、类型一、代数式代数式 1某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元.该商场为促销 制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额 打九折付款.八年级 （5） 班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支， 书法练习本 x （x10）本. (1)用代数式分别表示两种购买方式应支付
7、的金额. (2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本 30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方 式才更省钱. 【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的， 把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小 【答案与解析】 解:设买练习本 x,则得两种购买方法的代数式为: (1) 代数式分别为: 2510+5(x-10), (2510+5x) 90% 第 3 页 共 8 页 （2）把 x=30 分别代入两个代数式: 2510+5(x-10) 2510+5(30-10) 350（元） (2510+5x) 90%(2510+530) 9
8、0% =360 （元） 所以选择第一种优惠方式 【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型 类型类型二二、整式的相关概念整式的相关概念 2指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项 式的请说出是几次几项式 (1)3a (2)5 (3) 2 b a (4) 2 x y (5)3xy (6) x (7) 5 mn (8)1+a% (9) 1 () 2 abh 【答案与解析】 解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 单项式：(2)、(5)、(6)，其中： 5 的系数是 5，次数是 0；3xy 的系数是 3，次数是 2
9、； x 的系数是 1 ，次数是 1. 多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中： 3a 是一次二项式； 2 x y是一次二项式； 5 mn 是一次二项式；1+a%是一次二项式； 1 () 2 abh是二次二项式. 【总结升华】分母中出现字母的式子不是整式，故 2 b a 不是整式；是常数而不是字 母，故 x 是整式，也是单项式；(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项 式中不能有加减如 5 mn 其实质为 55 mn ， 1 () 2 ab h其实质为 11 22 ahbh 举一反三：举一反三： 【变式 1】若单项式 2 2 ab x y 与单项式 25 3 b yx
10、 的和是单项式，那么3ab 【答案】15 【变式 2】若多项式 31 (4)5(2) n mxxxnm 是关于x的二次三项式，则 _m ， _n ，这个二次三项式为 . 【答案】4, 3, 2 59xx 类型三类型三、整式的加减运算整式的加减运算 3若 31521 21 35 mn mn xyx y 与是同类项，求出 m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】 解：因为 3121 21 5 35 mn mn xyx y 与是同类项， 第 4 页 共 8 页 所以 315, 211. m n 解得 2, 1. m n 当2m且1n 时， 5555315 21 21424214 ()(
11、) 35353515 mn mn xyx yx yx yx yx y . 【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母 的指数也要相同.其中， 常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三：举一反三： 【变式】合并同类项 (1) 2222 344522xxyyxxyy； (2) 32323 99111 55 2424 xyx yxyx yxyx y 【答案】 (1)原式 22 (3 5)( 42)(42)xxyy 22 222xxyy (2)原式 32323 91191 55 4422 xyx yx yx y 323 45x yx y 4. 从一个 多项式
12、中减去234abbc，由 于误认为加上这个式 子，得到 221bcab，试求正确答案. 【答案与解析】 解：设该多项式为 A，依题意，(234)221Aabbcbcab (221)(234)Abcababbc (234)(221)2(234)Aabbcbcababbc 221 468869bcababbcbcab 答：正确答案是869bcab 【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体 来加减 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 Ax22y2z2，B4x23y22z2，且 ABC0，则多项式 C 为( ) A5x2y2z2 B3x25y2z2 C3x2
13、y23z2 D3x25y2z2 【答案】B 第 5 页 共 8 页 【变式 2】先化简代数式 22 211 (351)5 333 aaaaa ，然后选取一个使原式有 意义的 a 的值代入求值 【答案】 22 211 (351)5 333 aaaaa 22 211 (3515) 333 aaaaa 22 2116 (34) 333 aaaa 22 2116 (34) 333 aaaa 2 2816 (4) 333 aaa 2 2816 4 333 aaa 2 814 4 33 aa 当0a时，原式0-0-4-4 【变式 3】(1) (xy)210x10y25(xy)210(_)25; (2) (
14、abcd)(abcd)(ad)(_)(ad)(_) 【答案】 （1）xy； （2）bc，bc 类型四类型四、化简求值、化简求值 5. （1 1）直接化简代入直接化简代入 当时，求代数式 15a24a25a8a2(2a2a)9a23a的值 （2 2）条件求值）条件求值 已知(2ab3)2b10，求 3a32b8(3a2b1)a1 的值 （3 3）整体代入）整体代入 (鄂州)已知 2 10mm ，求 32 22009mm的值 【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解. 【答案与解析】 解： （1）原式=15a24a2(5a8a22a2+a9a2)3a =1
15、5a24a2(6aa2)3a =15a2(4a26aa23a) =15a2(5a23a) =15a2+5a23a=20a23a 当时，原式= （2）由(2ab3)2b10 可知：2ab3=0，b1=0，解得 a= -2，b=1. 3a32b8(3a2b1)a1 =3a3(2b83a2b1a)1 =3a3(2a9)1 =3a6a+271 =283a 由 a= -2 则 原式=283a=28+6=34 第 6 页 共 8 页 （3） 2 10mm ， 2 1mm 222 22 0 0 9mmm 322 2009mmm 322 ()2009mmm 22 ()2009m mmm 2 2009mm1 2
16、009 2010 所以 32 22009mm的值为 2010 【总结升华】 整体代入的一般做法是对代数式先进行化简， 然后找到化简结果与已知条件之 间的联系 举一反三：举一反三： 【变式】已知 2 6 ab ab ，求代数式 2(2)3() 2 abab abab 的值 【答案】 设 2ab p ab ，则 1 2 ab abp ，原式 3 2p p 又因为p6，所以原式 31 2 612 62 类型五、探索与表达规律类型五、探索与表达规律 6. 如图，在 2005 年 3 月的日历上： (1)任意圈出一竖列上相邻的三个数， 设中间的一个数为x， 则其余两个数分别为 ； (2)用一个矩形框出四
17、个数 ， 请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系: ； (3)用一个十字框任意框出 5 个数，设中间一个数为 a，则框出的 5 个数的和为 【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔 7，一横行相邻的两个数相差 1，据此很容易 求出本题答案 【答案】 （1）x7，x7； （2） ab1c7d8； （3）5a 【解析】 （1） （3）较简单； （2）b 比 a 大 1，所以 ba1；c 比 a 大 7，所以 ca7；d 比 c 大 1，所以 dc1 由 ba1 得 ab1 ，由 ca7 得 ac7 ，由 dc1 得 cd1 ，将 代入得 ac7（d1）7d8 第 7 页 共 8 页 由得：ab1
18、c7d8 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系 举一反三：举一反三： 【变式】如图，是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而成的： (1)观察图形，填写下表： (2)推测第 n 个图形中， 正方形的个数为_， 周长为_ (用含n的代数式表示) 【答案】 （1） （2）5n+3， 10n+8 类型六、综合应用类型六、综合应用 7. 对于任意有理数 x，比较多项式 2 452xx与 2 352xx的值的大小 【答案与解析】 解： 22222 (452)(352)4523524xxxxxxxxx 2 40x 无论 x 为何值， 2 452xx 2 352xx 【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并 同类项的法则，这是各地中考的常考点 举一反三：举一反三： 【变式】如果关于 x，y 的多项式 2 (2)mxxyx与 2 (323 )xnxyy的差不含二次项， 第 8 页 共 8 页 求 m n的值 【答案】 解：原式 22 (2)(323 )mxxyxxnxyy 2 (3)(22 )3mxn xyxy 由题意知，则30, 220mn， 3,1mn 3 ( 1)1 m n
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