北京四中数学中考冲刺：数形结合问题--知识讲解（基础）

1、第 1 页 共 7 页 中考冲刺：数形结合问题中考冲刺：数形结合问题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望】【中考展望】 1用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等； (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 2. 热点内容： 在初中教材中， “数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形 式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一 次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.

2、 【方法点拨方法点拨】 数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形” 两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优 化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着 与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地 反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结 合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路

3、；或者在研究图形时,利用代数 的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最 充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等 都与其系数 a，b，c 密不可分.事实上，a 的符号决定抛物线的开口方向,b 与 a 一起决定抛物线的对称 轴的位置, c 决定了抛物线与 y 轴的交点位置，与 a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图 形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是 b、c 的有关变化. 在日常的数学学

4、习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识， 提高解题能力 “数缺形时少直观，形缺数时难入微 ”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中数 与形及其相互关系是数学研究的基本内容 【典型例题】【典型例题】 类型类型一一、利用数形结合探究利用数形结合探究数字的变化数字的变化规律规律 1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个 图形需要黑色棋子的个数是 【思路点拨】 首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减 去.第 1 个图形是 23-3，第 2 个图形是 34-4，第 3 个图形是

5、 45-5，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是（n+1） （n+2）-（n+2）=n 2+2n 【答案与解析】 第 1 个图形是三角形，有 3 条边，每条边上有 2 个点，重复了 3 个点，需要黑色棋（23-3）个； 第 2 页 共 7 页 第 2 个图形是四边形，有 4 条边，每条边上有 3 个点，重复了 4 个点，需要黑色棋子（34-4）个； 第 3 个图形是五边形，有 5 条边，每条边上有 4 个点，重复了 5 个点，需要黑色棋子（45-5）个； 按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是（n+1） （n+2）-（n+2）=n（n+2）. 故答案为

6、 n（n+2）=n 2+2n. 【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第 n 个图形之间的关系，找规 律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律. 举一反三举一反三： 【变式变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第 n 个图形比第(n-1)个图形多_枚棋子 【答案】解：设第 n 个图形的棋子数为 n S 第 1 个图形，S1=1； 第 2 个图形，S2=1+4； 第 3 个图形，S3=1+4+7； 第 n 个图形，Sn=1+4+3n-2； 第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+3（n-1）-2； 则第 n 个图形比第（n-1）个图形多（3

7、n-2）枚棋子 类型类型二二、 利用利用数数形结合解决数与式的问题形结合解决数与式的问题 2.已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （ ）. 0acb A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c 【思路点拨】 首先从数轴上 a、b、c 的位置关系可知：ca0；b0 且|b|a|，接着可得 a+b0，c-b0， 然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果 具体步骤为： a,b,c 的具体位置，在原点左边的小于 0，原点 右边的大于 0.比较绝对值的大小.|a|c|b|.化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次 根式中的被开方数的底

8、数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.进行化 简计算，得出最后结果. 【答案与解析】 解：从数轴上 a、b、c 的位置关系可知：ca0；b0 且|b|a|， 故 a+b0，c-b0， 即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c 故选 A 【总结升华】 此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的 运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系非负数在初中 的范围内，有三种形式：绝对值（|a|） ，完全平方式(ab) 2，二次根式( (0)a a .性质：非负数有最 第 3 页 共 7 页 小

9、值是 0；几个非负数的和等于 0，那么每一个非负数都等于 0. 类型类型三三、利用利用数数形结合解决代数式的恒等变形问题形结合解决代数式的恒等变形问题 3. 图是一个边长为()mn的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图 能验证的式子是（ ） A. 22 ()()4mnmnmn B. 222 ()()2mnmnmn C. 222 ()2mnmnmn D. 22 ()()mn mnmn 【思路点拨】 这是完全平方公式的几何背景， 用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的 “数 形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分

10、的面积是边长为 （m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积 （m 2+n2） ， 即为对角线分别是 2m， 2n 的菱形的面积据此即可解答 【答案】B. 【解析】 （m+n） 2-（m2+n2）=2mn 故选 B 【总结升华】 本题是利用几何图形的面积来验证（m+n） 2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等 关系列等式 举一反三举一反三: : 【变式变式】如图 1 是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个空心正方形 （1）你认为图 2 中的阴影部分的正方形的边长是多少？ （2）请用两种不同的方法求

11、出图 2 中阴影部分的面积； （3）观察图 2，你能写出下列三个代数式： （m+n） 2、 （m-n）2、mn 之间的关系吗？ 第 4 页 共 7 页 【答案】 解： （1）图中阴影部分的正方形的边长等于（m-n） ； （2） （m-n） 2； （m+n）2-4mn； （3） （m-n） 2=（m+n）2-4mn 类型四类型四、利用数形结合思想解决极值问题利用数形结合思想解决极值问题 4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间， 线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间 的距离之和最短 这种 “数形结合

12、” 的思想方法， 非常有利于解决一些实际问题中的最大 （小） 值问题 请 你尝试解决一下问题： （1）在图 1 中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _. （2）在图 2 中，相距 3km 的 A、B 两镇位于河岸（近似看做直线 CD）的同侧，且到河岸的距离 AC=1 千 米，BD=2 千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你： 作图确定水塔的位置； 求出所需水管的长度（结果用准确值表示）. （3）已知 x+y=6，求 22 925xy的最小值？ 此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下： 如图 3 中，作线段 AB=6，分别过点 A、B，作 CAAB

13、，DBAB，使得 CA= _DB= _. 在 AB 上取一点 P，可设 AP= _，BP= _. 22 925xy的最小值即为线段_和线段_长度之和的最小值，最小值为 _ 【思路点拨】 （1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值； （2）延长 AC 到点 E，使 CE=AC，连接 BE，交直线 CD 于点 P，则点 P 即为所求； 过点 A 作 AFBD，垂足为 F，过点 E 作 EGBD，交 BD 的延长线于点 G，则有四边形 ACDF、CEGD 都是矩形，进而利用勾股定理求出即可； （3）作线段 AB=6，分别过点 A、B，作 CAAB，DBAB，使得 CA=3，BD=5， 在 AB

14、上取一点 P，可设 AP=x，BP=y； 22 925xy的最小值即为线段 PC 和线段 PD 长度之和的最小值，最小值利用勾股定理 求出即可. 【答案与解析】 第 5 页 共 7 页 解： （1）抛物线所对应的二次函数的最大值是 4； G F P C A E B D （2）如图所示，点 P 即为所求 （作法：延长 AC 到点 E，使 CE=AC，连接 BE，交直线 CD 于点 P，则 点 P 即为所求. 说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接 PA 不扣分； （延长 BD，同样的方法也可以得 到 P 点的位置 ） 过点 A 作 AFBD，垂足为 F，过点 E 作 EGBD，交 BD

15、 的延长线于点 G，则有四边形 ACDF、CEGD 都是矩形 FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF AB=3，BD=2， BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3， 在 RtABF 中，AF 2=AB2-BF2=8， AF=22 EG=22. 在 RtBEG 中，BE 2=EG2+BG2=17， BE=17（cm）. PA+PB 的最小值为17cm. 即所用水管的最短长度为17cm. （3）图 3 所示，作线段 AB=6，分别过点 A、B，作 CAAB，DBAB，使得 CA=3，BD=5， 在 AB 上取一点 P，可设 AP=x，BP=y， 22 925xy的最小值即为线段 PC 和

16、线段 PD 长度之和的最小值， 第 6 页 共 7 页 作 C 点关于线段 AB 的对称点 C，连接 CD，过 C点作 CEDB，交 BD 延长线于点 E， AC=BE=3，DB=5，AB=CE=6， DE=8， 22 10C DDEC E. 最小值为 10 故答案为：4； x，y； PC，PD，10 【总结升华】 此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及 勾股定理是解题关键 作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx 即为所求”. 类型五类型五、利用数形结合思想，解决函数问题、利用数形结合思想，解决函数问题 5.如图,二次函数 y=

17、ax 2+bx+c 的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与 y 轴相交与负半轴. 以下结论（1）a0； （2）b0； （3）c0； （4）a+b+c=0； （5）abc0； （6）2a+b0;（7）a+c=1； （8） a1 中,正确结论的序号是_. 【思路点拨】 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称 轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【答案与解析】 解： （1）由抛物线的开口方向向上，可推出 a0，正确； 因为对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x= 2 b a 0，又因为 a0，b

18、0，错误； 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，c0，错误； 由图象可知：当 x=1 时 y=0，a+b+c=0，正确； a0，b0，c0，abc0，错误； 由图象可知：对称轴 x= 2 b a 0 且对称轴 x= 2 b a 1，2a+b0，正确； 由图象可知：当 x=-1 时 y=2，a-b+c=2， - 当 x=1 时 y=0，a+b+c=0， - +，得 2a+2c=2，解得 a+c=1，正确； a+c=1，移项得 a=1-c，又c0，a1，正确 故正确结论的序号是 【总结升华】 第 7 页 共 7 页 考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力

19、二次函数 y=ax 2+bx+c 图象与系数之间的关系： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0 （2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x= 2 b a 判断符号存在着“左同右异” ，即 a,b 同号. 对称轴在 y 轴的左边，a,b 异号，对称轴在 y 轴的右边. （3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c0；否则 c0 （4）b 2-4ac 由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，b2-4ac0；1 个交点，b2-4ac=0；没有交点， b 2-4ac0 （5）当 x=1 时，ax 2+bx+c 就变成了 ab+c

20、了.这道题的第 7 小题：当 x=1 时，a+b+c=0 当 x=-1 时，a-b+c=2,+得，2a+2c=2，即 a+c=1. 举一反三举一反三： 【变式变式】 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示， x=3 2 是该抛物线的对称轴 根据图中所提供的信息， 请你写出有关 a，b，c 的四条结论，并简单说明理由 【答案】解：开口方向向上，a0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，c0， 对称轴为 x= 2 b a 0，a、b 异号，即 b0， 抛物线与 x 轴有两个交点，b 2-4ac0， 当 x=1 时，y=a+b+c0， 当 x=-1 时，y=a-b+c0 结论有：a0，b0，c0，a+b+c0，a-b+c0 等