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    北京四中数学中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)

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    北京四中数学中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)

    1、第 1 页 共 8 页 中考总复习中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用一元二次方程、分式方程的解法及应用知识讲解(基础知识讲解(基础) 【考纲要求】【考纲要求】 1.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程; 2. 会解分式方程,解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从 而渗透数学的转化思想 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、一元二次方程一元二次方程 1.1.一元二次方程的定义一元二次方程的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程,叫做一元二次方程 它的一般形式

    2、为 2 0axbxc(a0) 2.2.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:把方程变成 2 xm的形式,当 m0 时,方程的解为xm ;当 m0 时, 方程的解 1,2 0x;当 m0 时,方程没有实数解 第 2 页 共 8 页 (2)配方法:通过配方把一元二次方程 2 0axbxc变形为 2 2 2 4 24 bbac x aa 的形式,再利 用直接开平方法求得方程的解 (3) 公式法: 对于一元二次方程 2 0axbxc, 当 2 40bac时, 它的解为 2 4 2 bbac x a (4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式

    3、等于 零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解 要点诠释:要点诠释: 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般 方法 3 3一元二次方一元二次方程根的判别式程根的判别式 一元二次方程根的判别式为 ac4b2 0方程有两个不相等的实数根; 0方程有两个相等的实数根; 0,所以方程有两个不相等的实数根 (2)解:因为方程的两根互为相反数,所以0 21 xx, 根据方程的根与系数的关系得02m,解得2m, 所以原方程可化为05 2 x,解得5 1 x,5 2 x. 类型类型二二、分式方程分式方程 第 6 页 共 8 页 3解方程:

    4、 x xx 1 2 1 1 【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程,求出整式方程的解,再进行检验. 【答案与解析】 方程两边都乘以()()xx11,得 22 (1)2(1)(1)(1) 21 2 3 3 x xxxx xxxx x x , 即, 经检验:是原方程的根. 【总结升华】 首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根. 举一反三:举一反三: 【变式变式 1 1】解分式方程: 21 2 33 x xx 【答案】方程两边同乘以3x ,得 22(3)1xx 2261xx 5x 经检验:5x 是原方程的解, 所以原方程的解是5x 【变式变式 2 2

    5、】方程2 2 1 2 3 xx x 的解是x= 【答案】0x . 4若解分式方程 211 1(1) xmx xx xx 产生增根,则 m 的值是( ) A. 12或 B. 12或 C. 12或 D. 12或 【思路点拨】先把原方程化为整式方程,再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值. 【答案】D; 【解析】由题意得增根是:xx 01或, 化简原方程为:211 22 xmx()() ,把xx 01或代入解得2m 或1, 故选择 D. 【总结升华】分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值. 举一反三:举一反三: 第 7 页 共 8 页 【变式变式】若关于x的方程2 33 2 x m

    6、x x 无解,则m的值是 【答案】1. 类型类型三三、一元二次方程、分式方程的应用一元二次方程、分式方程的应用 5轮船在一次航行中顺流航行 80 千米,逆流航行 42 千米,共用了 7 小时;在另一次航行中,用相 同的时间,顺流航行 40 千米,逆流航行 70 千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 【思路点拨】 在航行问题中的等量关系是 “顺流速度静水速度水流速度; 逆流速度静水速度水流速度” , 两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】 设船在静水中的速度为 x 千米/小时,水流速度为 y 千米/小时 由题意,得 8042 7 4070 7 xyxy xyxy 解得: 经检验:是原

    7、方程的根 x y x y 17 3 17 3 答:水流速度为 3 千米/小时,船在静水中的速度为 17 千米/小时. 【总结升华】 流水问题公式:顺流速度静水速度水流速度; 逆流速度静水速度水流速度; 静水速度(顺流速度逆流速度)2;水流速度(顺流速度逆流速度)2. 举一反三:举一反三: 【变式变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树,甲班种 60 棵所用 的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 【答案】设甲班每小时种 x 棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得: 6066 2xx 6012066 20 20 22

    8、2 xx x x x 经检验:是原方程的根 答:甲班每小时种树 20 棵,乙班每小时种树 22 棵. 第 8 页 共 8 页 6某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是 500 元,销售价为 625 元,经市场预测,该产品销 售价第一个月将降低 20%,第二个月比第一个月提高 6%,为了使两个月后的销售利润达到原来水平,该 产品的成本价平均每月应降低百分之几? 【思路点拨】 设该产品的成本价平均每月降低率为 x,那么两个月后的销售价格为 625(1-20%) (1+6%) ,两个月 后的成本价为 500(1-x) 2,然后根据已知条件即可列出方程,解方程即可求出结果 【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为 x 625(1-20%) (1+6%)-500(1-x) 2=625-500 整理,得 500(1-x) 2=405, (1-x)2=0.81 1-x=0.9,x=10.9, x1=1.9(舍去) ,x2=0.1=10% 答:该产品的成本价平均每月应降低 10% 【总结升华】 题目中该产品的成本价在不断变化,销售价也在不断变化,要求变化后的销售利润不变,即利润 仍要达到 125 元,关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价


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