1、 第 1 页 共 5 页 用字母表示数及整式用字母表示数及整式（基础）知识讲解（基础）知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系； 2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数； 4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、字母表示数字母表示数 用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更 具有普遍意义了举例：如果用 a、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表 示为：abba乘法交换律可以用字
2、母表示为：abba 要点要点二二、代数式代数式 1.1.代数式的定义：代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ， 2 n ， 2 )(ba等式子，它们都是用运算符号 把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式 要点诠释：要点诠释： 带等号或不等号的式子不是代数式，如33x ，33x ，33x 等都不是代数式 2.2.列代数式：列代数式： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数 式，使问题变得简洁，更具一般性 要点诠释：要点诠释：代数式的书写规范：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号
3、写成“ ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式； （5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写 3.3.代数式的值：代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得 出的结果，叫做代数式的值 要点三、要点三、整式整式 1.1.单项式单项式 （1 1）单项式的定义：）单项式的定义：如 2 2xy， 1 3 mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单 项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：要点诠释
4、：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如 5 m 就不是单项式，因 为它无法写成数字与字母的乘积 （2 2）单项式的系数单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 要点诠释：要点诠释： 确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数 圆周率 是常数，单项式中出现 时，应看作系数 当一个单项式的系数是 1 或-1 时， “1”通常省略不写 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如： 2 1 1 4 x y写成 2 5 4 x y 第 2 页 共 5 页 （3 3）单项式的次数：单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 要点
5、诠释：要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是 1，计算时不能将其遗漏 2 2多项式多项式 (1)(1)多项式的多项式的定义定义：几个单项式的和叫做多项式 要点诠释：要点诠释： “几个”是指两个或两个以上 (2(2) )多项式的项：多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 要点诠释：要点诠释： 多项式的每一项包括它前面的符号 一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 2 627xx是一个三项式 (3(3) )多项式的次数：多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 要点诠释：要点诠释： 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最
6、高的单项式的次数 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出 （4 4）升幂排列与降幂排列：升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来, 叫做把多项式按这个字母降幂排列； 若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来， 叫做 把多项式按这个字母升幂排列 如:多项式 2x3y2-xy3+ 2 1 x2y4-5x4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为 -5x4+2x3y2+ 2 1 x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为 -6-5x4+2x3y2-xy3+ 2 1 x2y4 要点诠释：要点诠释： 重新排列多
7、项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； 含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列 3.3.整式整式：单项式与多项式统称为整式 要点诠释：要点诠释： （1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式 必是代数式，但反过来就不一定成立 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、字母表示字母表示数数 1填空： （1）如果 a 表示一个有理数，那么它的相反数是 ； （2）一个正方形的边长是 a cm，把这个正方形的边长增加 1cm 后所得到的正方形的周长 是 ； （3）某城市 5
8、 年前人均收入为 n 元，预计今年收入是五年前的 2 倍多 500 元，那么今年人 均收入将达_元 【思路点拨】 （1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可； （2）正方形的周长等于边长的 4 倍； （3）注意“多” 、 “少” 、 “倍”等词语对应的数学语言 【答案】 （1）-a； （2） （4a+4)cm（或 4（a+1）cm） ； （3）(2n+500). 【解析】 解： （1）如果 a 表示一个有理数，那么它的相反数是a； （2）这个正方形的边长增加 1cm 后所得到的正方形的边长为(a+1) cm，所以周长为 4（a+1） 第 3 页 共 5 页 cm，也即（4a+4)c
9、m； （3）某城市 5 年前人均收入为 n 元，预计今年收入是五年前的 2 倍多 500 元，那么今年人 均收入将达(2n+500)元 【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来. 类型二、代数式类型二、代数式 2有一个两位数，十位上的数字为 a，个位上的数字比十位上的数字大 5，用代数式 表示这个两位数，并求当 a3 时，这个两位数是多少？ 【思路点拨】若十位上的数字为 a，个位上的数字为 b，则该两位数可表示为：10a+b. 【答案与解析】 解： （1）代数式表示这个两位数是 10a（a5）. （2）把 a3 代入代数式 10a（a5） ，得： 103（35）38 . 因此这个
10、两位数是 38 . 【总结升华】一些实际问题中的等量关系要熟记. 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）x 的平方的 3 倍与 5 的差，用代数式表示为 . (2) 操作电脑时， 甲 4 小时打x个字， 乙 3 小时打y个字， 甲乙两人每小时共打 个 字 【答案】（1） 2 35x （2）（ 43 xy ） 【变式 2】代数式 8 3 a意义是什么？ 【答案】 解：8 3 a可以看成一个大物体的体积是一个棱长为a的小正方体体积的 8 倍。或也可以看成 一个棱长为 2a的正方体的体积.（答案不唯一） 类型三类型三、整式整式 3指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数 2 3 4
11、a b ，a， 44 2 x， a mn ， 22 3 a y，a-3， 5 - 3 ， 82 -3 10 tm， 2 x y 【答案与解析】 解： 2 3 4 a b ，a， 44 2 x， 22 3 a y， 5 - 3 ， 82 -3 10 tm， 2 x y是单项式，其中 2 3 4 a b 的系数是 3 4 ，次数是 3； a的系数是-1，次数是 1； 44 2 x的系数是 4 2，次数是 4； 第 4 页 共 5 页 22 3 a y的系数是3，次数是 4； 5 3 为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为 0； 82 -3 10 tm的系数仍按科学记数法表示为-3108，次
12、数是 3； 2 x y只含有字母因数，系数是 l，次数为字母指数之和为 3 【总结升华】 （1）要区分数字因数、字母因数； （2）不能见了指数就相加，如 44 2 x中， 4 2 的指数 4 不能相加，次数为 4； （3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数； （4）是常 数，不能看作字母 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （柳州）单项式 3x2y3的系数是 【答案】3 【变式 2】 （泰州）下列结论正确的是( ) A没有加减运算的代数式叫做单项式 B单项式 2 3 7 xy 的系数是 3，次数是 2 C单项式 m 既没有系数，也没有次数 D单项式 2 xy z的系数是-1，次数是 4 【答
13、案】D 4.多项式 242 42 1 53 x yx yx，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是 什么？常数项是什么？这是几次几项式? 【答案与解析】 解：这个多项式中共有四项，分别为： 242 42 ,1 53 x yx yx，它们的次数分别为：3,6,1,0； 其中 42 2 3 x y的次数是 6，是最高次项， 一次项x的系数是-1， 常数项是 1， 242 42 1 53 x yx yx是六次四项式 【总结升华】确定多项式的次数时，分两步： （1）先求多项式中每一项的次数； （2）取这些 次数中的最大的数即为多项式的次数 举一反三：举一反三： 【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？ 3 2 5 x, 4 3 ab, 2 x y，abc， 1 2 ， 2 3 2 a b，a+1， 2 3 ab ， 2 321xx， 3 x 第 5 页 共 5 页 【答案】 解：多项式有： 4 3 ab， 2 3 2 a b，a+1， 2 3 ab ， 2 321xx其中， 4 3 ab是一次二项式； 2 3 2 a b是二次二项式；a+1 是一次二项式； 2 3 ab 是一次二 项式； 2 321xx是二次三项式
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