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    北京四中七年级上册数学变量与函数--知识讲解

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    北京四中七年级上册数学变量与函数--知识讲解

    1、第 1 页 共 5 页 变量与函数变量与函数 【学习目标】【学习目标】 1知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围(即变量的取值 范围) ; 2能初步理解函数的概念;能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法; 给出自变量的一个值,会求出相应的函数值;对函数关系的表示法(如列表法、关系式 法、图象法)有初步认识; 3. 理解函数图象上的点的坐标与其关系式之间的关系, 会判断一个点是否在函数的图象上, 明确交点坐标反映到函数上的含义;初步理解函数的图象的概念,掌握用“描点法”画 一个函数的图象的一般步骤,对已知图象能读图、识图,从图象解释函数变化的关系 【要点梳理

    2、】【要点梳理】 要点一、要点一、变量、常量的概念变量、常量的概念 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释:要点诠释:一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化 过程而言的.例如,60st,速度 60 千米/时是常量,时间t和里程s为变量. 要点二、要点二、函数的定义函数的定义 一般地,在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x是自变量,y是x的函数. 要点诠释:要点诠释:对于函数的定义,应从以下几个方面去理解: (1)函数的实质,揭示了两个变量之间

    3、的对应关系; (2)对于自变量x的取值,必须要使代数式有实际意义; (3)判断两个变量之间是否有函数关系,要看对于x允许取的每一个值,y是否 都有唯一确定的值与它相对应. (4)两个函数是同一函数至少具备两个条件: 函数关系式相同(或变形后相同); 自变量x的取值范围相同. 否则, 就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到, 自变 量x的取值范围有时容易忽视,这点应注意. 要点三、要点三、函数值函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值 称为当自变量等于 a 时的函数值. 要点诠释:要点诠释:对于每个确定的自变量值,函数值是唯一的,但

    4、反过来,可以不唯一,即一个函 数值对应的自变量可以是多个.比如: 2 yx中,当函数值为 4 时,自变量x的值为2. 要点四、要点四、自变量取值范围的确定自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 要点诠释:要点诠释:自变量的取值范围的确定方法: 首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义: (1)当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数; (2)当解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数; (3)当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数; (4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数 不为

    5、零; 第 2 页 共 5 页 (5)当解析式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义. 要点五、要点五、函数的几种表达方式函数的几种表达方式 表示函数的方法一般有以下三种: (1)列表法:函数关系用一个表格表达出来的方法. (2)关系式法:用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称函数的解析式. (3)图象法:用图象表达两个变量之间的关系. 要点诠释:要点诠释:函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联系, 但较抽象, 不是所有的函数都能列出关系式; 列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的 对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平

    6、方表等;图象 法可以直观形象地反映函数的变化趋势, 而且对于一些无法用解析式表达的函数, 图象可以 充当重要角色. 要点六、要点六、函数的图象函数的图象 对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标 平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 要点诠释:要点诠释:由函数解析式画出图象的一般步骤:列表、描点、连线.列表时,自变量的取值 范围应注意兼顾原则, 既要使自变量的取值有一定的代表性, 又不至于使自变量或对应的函 数值太大或太小,以便于描点和全面反映图象情况. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、变量与函数变量与函数 1、下列等式中,y是x的函数有

    7、( ) 22 320,1,|,|xyxyyxyxxy A .1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个 【答案【答案】C; 【解析【解析】要判断是否为函数,需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 22 1,xy 当x 取 2,y有两个值3和它对应,对于|xy,当x取 2,y有两个值2 和它 对应,所以这两个式子不满足函数的定义的要求:y都有唯一确定的值与x对应, 所以不是函数,其余三个式子满足函数的定义,故选 C. 【总结升华总结升华】在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.抓住函数定义中 的关键

    8、词语“y都有唯一确定的值” ,x与y之间的对应,可以是“一对一” ,也可以是“多 对一” ,不能是“一对多”. 举一反三:举一反三: 【变式】下列函数中与xy 表示同一函数的是( ) A.xy B. x x y 2 C. 2 )( xy D. 33 xy 【答案】【答案】D; 提示:表示同一函数,自变量的取值要相同,化简后的解析式要相同. 第 3 页 共 5 页 2、如图所示,下列各曲线中表示y是x的函数的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】 C; 【解析】【解析】这是一道函数识别题,从函数概念出发,领悟其内涵,此题不难得到答案,不构 成函数关系 【总结升华总结升

    9、华】在函数概念中注意两点:有两个变量,其中一个变量每取一个确定的值,另一 个变量就有唯一的一个值与其对应 类型二、类型二、函数函数关系关系式式 3、求出下列函数中自变量x的取值范围 (1)5 2 xxy (2) 4 23 x y x (3)23yx (4) 21 x y x (5) 3 1 2yx (6) 3 2 x y x 【思路点拨】【思路点拨】自变量的范围,是使函数有意义的x的值,大致是开平方时,被开方数是非负 数,分式的分母不为零等等. 【答案与解析】【答案与解析】 解: (1)5 2 xxy ,x为任何实数,函数都有意义; (2) 4 23 x y x ,要使函数有意义,需 2x30

    10、,即x 3 2 ; (3)23yx,要使函数有意义,需 2x30,即 3 2 x ; (4) 21 x y x ,要使函数有意义,需 2x10,即 1 2 x ; (5) 3 1 2yx,x为任何实数,函数都有意义; (6) 3 2 x y x ,要使函数有意义,需 30 20 x x ,即x3 且x2. 【总结升华总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义. 4、如图所示,在ABC 中,C90,AC6,BC10,设 P 为 BC 上任一点,点 P 第 4 页 共 5 页 不与点 B、C 重合,且 CPx若y表示APB 的面积 (1)求y与x之间的函数关系式; (2)求自变量x的取值范围

    11、 【答案与解析】【答案与解析】 解: (1)因为 AC6,C90,BC10, 所以 11 6 1030 22 ABC SACBC 又 11 63 22 APC SACPCxx , 所以303 APBABCAPC ySSSx ,即303yx (2)因为点 P 不与点 B、C 重合,BC10,所以 0x10 【总结升华总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式,要把握点 P 是一动点这个规律,结合图 形观察到点 P 移动到特殊点,便可求出自变量的取值范围 举一反三:举一反三: 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm的等腰三角形请你写出底边长 y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式,

    12、并求自变量x的取值范围 【答案】【答案】 解:由题意得,2xy80, 所以802yx, 由于三角形两边之和大于第三边,且边长大于 0, 所以 0 8020 2802 x yx xx ,解得20 40x 所以802 , 2040yxx. 类型三、类型三、函数值函数值 5、 若y与x的关系式为306yx,当x 1 3 时,y的值为( ) A5 B10 C4 D4 【思路点拨】【思路点拨】把 1 3 x 代入关系式可求得函数值. 【答案】【答案】C; 第 5 页 共 5 页 【解析】【解析】 1 3061064 3 y . 【总结升华总结升华】y是x的函数, 如果当xa时yb, 那么b叫做当自变量为

    13、a时的函数值. 类型四、类型四、函数的图象函数的图象 6、星期日晚饭后,小红从家里出去散步,如图所示,描述了她散步过程中离家的距离 s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系,该图象反映的过程是:小红从 家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一段,在邮亭买了一本杂 志,然后回家了依据图象回答下列问题 (1)公共阅报栏离小红家有_米,小红从家走到公共阅报栏用了_分钟; (2)小红在公共阅报栏看新闻一共用了_分钟; (3)邮亭离公共阅报栏有_米,小红从公共阅报栏到邮亭用了_分钟; (4)小红从邮亭走回家用了_分钟,平均速度是_米分钟 【答案【答案】 (1)300,4; (2

    14、)6; (3)200,3; (4)5,100. 【解析】解析】由图象可知,0 到 4 分钟,小红从家走到离家 300 米的报栏,4 到 10 分钟,在公共 报栏看新闻, 10 到 13 分钟从报栏走到 200 米外的邮亭, 13 到 18 分钟, 从离家 500 米的邮亭返回家里. 【总结升华总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线,其中每条线段代表一个阶段的活动. 这条线段左右端点的横坐标的差,对应相应活动所用的时间. 举一反三:举一反三: 【变式】 一列货运火车从南京站出发, 匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶, 过了一段时间, 火车到达下一个车站停下,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次开始 匀速行驶,可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( ) 【答案】【答案】B;


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