1、 第 1 页 共 4 页 方程的意义方程的意义（提高）知识讲解（提高）知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系； 2. 正确理解一元一次方程的概念， 并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程 的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、方程的有关概念方程的有关概念 1 1定义：定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：要点诠释： 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数 2方程的解：方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：要点诠释：
2、判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（或它们）是方程中 未知数的值； 将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解， 否则不是 3 3解方程：解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4 4方程的两个特征：方程的两个特征： （1）方程是等式； （2）方程中必须含有字母（或未知数）. 要点二、要点二、一元一次方程的有关概念一元一次方程的有关概念 定义定义：只含有一个未知数（元） ，并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方 程. 要点诠释：要点诠释： （1） “元”是指未知数， “次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： 首先是一个方程;其
3、次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是 1;分母中不含有 未知数 （2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 a0，a,b 是已知数) . （3）一元一次方程的最简形式是： axb（其中 a0，a,b 是已知数）. 要点三、要点三、等式的性质等式的性质 1 1等式的概念：等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2 2等式的性质：等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等.即： 如果，那么 (c 为一个数或一个式子) . 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点
4、诠释：要点诠释： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式 不一定成立， 如 x0 中，两边加上得 x，这个等式不成立; 第 2 页 共 4 页 (3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零 【典型例题】【典型例题】 类型一、方程的概念类型一、方程的概念 1下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ 3a+4；x+2y8；5-32； 1 2x x ；y10； 8 3 x ；3y2+y0； 2a2-3a2； 3a-2a 【答案与解析】 解：等式有：；方程有
5、： 【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性， 方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数 2下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( ) A2x-13 (2，-1) B 51 1 8 x x (3，-3) C. (x-1)(x-2)0 (1,2) D2(y-2)-15 (5，4) 【答案】C. 【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边右边的是方程的解， 若左边右边的，则不是方程的解 【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代 入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后
6、使方程左右两边的值不相等， 则这个数不是方程的解 举一反三：举一反三： 【变式】 （2011 广东湛江）若是关于的方程的解，则的值为 _. 【答案】-1 类型二、一元一次方程的相关概念类型二、一元一次方程的相关概念 3已知下列方程： 2 10x ；x0； 1 3x x ；x+y0；62 3 x x； 0.2x4；2x+1-32(x-1)其中一元一次方程的个数是( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】方程中未知数 x 的最高次数是 2，所以不是一元一次方程；方程中的分母含有 未知数 x，所以它也不是；方程中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；经化简 后为-2-2，故它也不是一元一
7、次方程；方程满足一元一次方程的条件，所以是一元 一次方程 【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元” ， “次”是指含有未知 数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件： 只含有一个未知数；经过整理未知数的最高次数是 1；含未知数的代数式必须是整式 （即整式方程） 第 3 页 共 4 页 举一反三：举一反三： 【变式】(1)已知关于 x 的一元一次方程 32 1 0 5 m x ，求得 m_ (2)已知方程(m-4)x+22009 是关于 x 的一元一次方程， 则 m 的取值范围是_ (3)若 | | 1 (2)5 m mx 是关于 x
8、的一元一次方程，则 m 的值为( ) A2 B-2 C2 D4 【答案】(1) 1 3 m (2)m4 (3)B 类型三、等式的性质类型三、等式的性质 4用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以 及怎样变形得到的 (1)若 4a8a-5，则 4a+_8a (2)若 1 6 3 x，则 x_ (3) 1 31 3 2 xyy ，则 1 1 2 x_ (4)ax+by-c，则 ax-c_ 【答案与解析】 解： (1) 5 ； 根据等式性质 1，等式两边同时加上 5 (2) 1 18 ； 根据等式性质 2，等式两边同时除以-6 (3) 2 ； 根据等式性质 l，等式两
9、边都加上(1+3y) (4) by； 根据等式性质 l，等式两边都加上-by 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对 另一边也进行同样的变形 举一反三：举一反三： 【变式】下面方程变形中，错在哪里： （1）由 2+x=-4, 得 x=-4+2. （2）由 9x=-4, 得 9 4 x . （3）由 5=x-3, 得 x=-3-5. （4）由 3241 1 55 xx ，得 3x-2=5-4x+1. (5)方程 2x=2y 两边都减去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以 x-
10、y, 得 1=-1. (6)由 3721 2 23 xx x ，得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x. 【答案】 （1）不正确.错在数 2 从方程的等号左边移到右边时没有变号. （2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）. （3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由 5=x-3，得 5+3=x, 即 x=5+3. （4）不正确，没有注意到分数 41 5 x 中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边 第 4 页 共 4 页 的各项都乘以 5 时，+1 没有变号. （5）不正确，错在第二步，方程两边都除以 x-y，由等式性质 2 要除以不为零的数
11、. （6）不正确，错在 2x 没乘以公分母 6. 类型四、等式或方程的应用类型四、等式或方程的应用 5 （2011河北模拟）观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其 中的规律：(1)请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式 (2)通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式 【答案与解析】 解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第 n 个图形每 条线上应该是 n 个点； 再观察对应的等式： 等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数， 等式的左边是从 1 个点开始的，第 2 个图形增加 4 个点表示为 41+1，第 3 个图形又增加 4 个点，表示为
12、42+1，第 n 个图形共增加(n-1)个 4 个点，表示为 4(n-1)+1;等式的 右边，把第一个图形看作 4 点重合为一个点，表示为 41-3，第 2 个图形增加 4 个点，表 示为 42-3，第 3 个图形又增加 4 个点，表示为 43-3，第 n 个图形看作 n 个 4 个点 少 3 个点，表示为 4n-3，所以有 4(n-1)+14n-3 (1) 43+144-3 44+145-3 (2)4(n-1)+14n-3 【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系 举一反三：举一反三： 【变式】 （2011 山东滨州）某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均 每次降价的百分率为 x,则下面所列方程中正确的是( ) A. 2 289 1256x B. 2 256 1289x C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A
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