1、平面向量平面向量 平面向量是工具性的知识， 向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式， 它把 “数” 和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概 念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综 合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用 6 61 1 向量的概念与运算向量的概念与运算 【知识要点】【知识要点】 1向量的有关概念与表示 (1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量cba,AB 自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相 同的向量都看成是相等
2、的向量 (2)向量的模：向量的长度，记作：| |,|aAB 向量的夹角：两个非零向量a a，b b，作baOBOA,，则(AOB称为向量a a，b b的夹角， 记作： a a，b b 零向量：模为 0，方向任意的向量，记作：0 0 单位向量：模为 1，方向任意的向量，与a a共线的单位向量是：)0( | a a a (3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量 相反向量：长度相等，方向相反的向量 向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量 也称为平行向量记作a ab b 向量垂直； a a，b b)90时，向量a a与b b垂直，规定：0 0 与任意向
3、量垂直 2向量的几何运算(注意：运算法则、运算律) (1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则 (2)减法：三角形法则 (3)数乘：记作：a a 它的长度是：a aa a 它的方向：当0 时，a a与a a同向 当0 时，a a与a a反向 当0 时，a a0 0 (4)数量积： 定义：a ab ba ab bcosa a，b b其物理背景是力在位移方向所做的功 运算律：1(交换律)a ab bb ba a 2(实数的结合律)(a ab b)(a a)b ba a(b b) 3(分配律)(a ab b)c ca ac cb bc c 性质：设a a，b b是非零向量，则： a ab b
4、0a ab b a a与b b同向时，a ab ba ab b a a与b b反向时，a ab ba ab b 特殊地：a aa aa a 2或 aaa | 夹角： | ,cos ba ba ba |a ab b|a a| |b b| 3向量的坐标运算 若在平面直角坐标系下，a a(x1，y1)，b b(x2，y2) (1)加法：a ab b(x1x2，y1y2) (2)减法：a ab b(x1x2，y1y2) (3)数乘：a a(x1，y1) (4)数量积：a ab bx1x2y1y2 (5)若a a(x，y)，则 22 |yx a (6)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 2
5、 2 2 2 2 1 2 1 2121 | ,cos yxyx yyxx ba ba ba (7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2 21 2 21 )()(|yyxxAB (8)a a在b b方向上的正射影的数量为 2 2 2 2 2121 | ,cos| yx yyxx b ba baa 4重要定理 (1)平行向量基本定理： 若a ab b，则a ab b，反之：若a ab b，且b b0 0，则存在唯一的实数使得a ab b (2)平面向量基本定理： 如果e e1和e e2是平面内的两个不共线的向量， 那么该平面内的任一向量a a， 存在唯一的一 对实数a1，a2使a aa1e
6、 e1a2e e2 (3)向量共线和垂直的充要条件： 若在平面直角坐标系下，a a(x1，y1)，b b(x2，y2) 则：a ab bx1y2x2y10，a ab bx1x2y1y20 (4)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 21 21 yy xx ba 【复习要求】【复习要求】 1准确理解相关概念及表示，并进行简单应用； 2掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性 运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题； 3熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、 角度、垂直、平行等问题 【例题分析】【
7、例题分析】 例例 1 1 向量a a、b b、c c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b bc c)a a(c ca a)b b与c c垂直， (2)若a ac cb bc c，则a ab b， (3)(a ab b)c ca a(b bc c)， (4)a ab ba ab b A0 B1 C2 D3 【分析】【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此(b bc c)a a(c ca a)b bc c (b bc c)(a ac c)(c ca a)(b bc c)0，所以c c(b bc c)a a(c ca a)b b与c c垂直； (2)假命题
8、a ac cb bc ca ab b；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如： 向量a a与向量b b都是与向量c c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a a、 b b这两个向量不相等； (3)假命题(a ab b)c ca a(b bc c)，实际上(a ab b)c c是与向量c c方向相同或相反的一个向 量，a a(b bc c)是与a a方向相同或相反的一个向量，向量a a、c c的方向可以不同，左右两边的向 量就不等； (4)真命题a ab ba ab bcos a a，b b ， 且 cos a a，b b1， 所以a ab ba ab b 解答：选 C 【
9、评析】【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向 量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识； (2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一 个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质 例例 2 2 已知向量a a(1，2)，b b(2，3)若向量c c满足(c ca a)b b，c c(a ab b)，则c c ( ) A) 3 7 , 9 7 ( B) 9 7 , 3 7 ( C) 9 7 , 3 7 ( D) 3 7 , 9 7 ( 【分析】【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行
10、与垂直的关系也 可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解 解：解：不妨设c c(m，n)，则a ac c(1m，2n)，a ab b(3，1)，对于(c ca a)b b， 则有3(1m)2(2n)；又c c(a ab b)，则有 3mn0，则有 3 7 , 9 7 nm故选择D 【评析】【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了 平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 此外， 待定系数法是在解决向量的坐标运算 中常用的方法 例例 3 3 (1)已知向量)10,(),5 , 4(),12,(kOCOBkOA，且A、B、C三点共线，求 实数k的值 (2
11、)已知向量a a(1，1)，b b(2，3)，若ka a2b b与a a垂直，求实数k的值 【分析】【分析】(1)向量a a与b b(b b0)共线存在实数m使a amb b 当已知向量的坐标时，a ab bx1y2x2y10 (2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题 a ab b0a ab bx1x2y1y20 解：解：(1)10,(),5 , 4(),12,(kOCOBkOA, )5,4(),7,4(kCBkAB, A、B、C三点共线， CBAB/，即(4k)(5)(4k)(7)0，解得： 3 2 k (2)由(ka a2b b)a a，得(ka a2b b)a aka
12、a 22b ba a2k2(23)0，所以 k1 【评析】【评析】向量a a与b b(b b0)共线的充要条件是存在实数m使a amb b；当已知向量的坐 标时，a ab bx1y2x2y10若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个 向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等 量关系成立 利用向量的共线定理来解决有关求参数、 证明点共线或线段平行， 以及利用向量的数 量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注 意数形结合 例例 4 4 已知：a a2，b b5， a a，b b60，求： a ab b；
13、(2 a ab b)b b；2a ab b；2 a ab b与b b的夹角的余弦值 【分析】【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ab ba ab bcosa a， b bx1x2y1y2 aaaaaa| 2 ，若a a(x，y)，则 22 |yx a 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 | ,cos yxyx yyxx ba ba ba 解：解：a a2，b b5， a a，b b60，a ab ba ab bcosa a，b b5； (2a ab b)b b2a ab bb bb b102535； ;6125201644)2(|2| 222 bbaababa 61
14、617 561 35 |)2( )2( |2| )2( ,2cos 2 bba bba bba bba bba 【评析】【评析】 向量的数量积是一个非常好的工具， 利用向量的数量积可以解决求长度、 角度、 距离等相关问题， 同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型， 注意使用正确的 公式 例例 5 5 已知向量a a(sin，cos2sin)，b b(1，2) ()若a ab b，求 tan的值； ()若a ab b，0，求的值 【分析】【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画 解：解：()因为a ab b，所以 2sincos2sin， 于是 4sincos，故 4
15、 1 tan ()由a ab b知，sin 2(cos2sin)25，所以 12sin24sin25 从而2sin22(1cos2)4，即 sin2cos21， 于是 2 2 ) 4 2sin( 又由 0知， 4 9 4 2 4 ，所以 4 5 4 2，或 4 7 4 2 因此 2 ，或 4 3 例例 6 6 设a a、b b、c c是单位向量，且a ab b0，则(a ac c)(b bc c)的最小值为( ) (A)2 (B)22 (C)1 (D)21 【分析】【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口 解：解：a a，b b，c c是单位向量， (a ac c)
16、(b bc c)a ab b(a ab b)c cc c 2 21,cos121cba 故选 D 例例 7 7 在ABC，已知 2 3| . |32BCACABACAB，求角A，B，C的大小 【分析】【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：解：设BCa，ACb，ABc 由|32ACABACAB得bcAbc3cos2，所以 2 3 cosA 又A(0，)，因此 6 A 由 2 3|3BCACAB得 2 3abc ，于是 4 3 sin3sinsin 2 ABC 所以 4 3 )sin 2 3 cos 2 1 (sin, 4 3 ) 6 5 sin(sinCCCCC，因此 0
17、2cos32sin, 3sin32cossin2 2 CCCCC，即0) 3 2sin(C 由 6 A知 6 5 0 C，所以 3 4 3 2 , 3 C，从而 0 3 2C，或 3 2C，即 6 C，或 3 2 C，故 6 , 3 2 , 6 CBA，或 3 2 , 6 , 6 CBA 【评析】【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形 等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的 公式非常必要 练习练习 6 61 1 一、选择题一、选择题 1平面向量a a，b b共线的充要条件是( ) Aa a，b b方向相同 Ba a
18、，b b两向量中至少有一个为零向量 CR R，b ba a D存在不全为零的实数1，2，1a a2b b0 2已知平面向量a a(1，3)，b b(4，2)，a ab b与a a垂直，则是( ) A1 B1 C2 D2 3已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且ADBC2，则顶 点D的坐标为( ) A) 2 7 , 2( B) 2 1 , 2( C(3，2) D(1，3) 4设ABC的三个内角A，B，C，向量)cos3,(cos),sin,sin3(ABBAnm，若m mn n 1cos(AB)，则C( ) A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 二、填空题二、
19、填空题 5设a a(2k2，4)，b b(8，k1)，若a a与b b共线，则k值为_ 6已知向量), 3(),2 , 1(mOBOA，若ABOA ，则 m_ 7已知M(3，2)，N(5，1)，MNMP 2 1 ，则P点坐标为_ 8已知a a 21，b b22，(a ab b)a a0，则 a a和b b的夹角是_ 三、解答题三、解答题 9已知向量a a(x3，x 23x4)与 AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值 10已知向量a a与b b同向，b b(1，2)，a ab b10 (1)求向量a a的坐标； (2)若c c(2，1)，求(b bc c)a a 11若向量a
20、a与b b的夹角为 60，b b4，(a a2b b)(a a3b b)72，求向量a a的模 6 62 2 向量的应用向量的应用 【知识要点】【知识要点】 1向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2以向量为载体考查三角函数的知识； 3在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息， 实际上还是考查向量的运算方法与公式 【复习要求】【复习要求】 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其他一些实际问题， 体会向量 是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力 例例 1 1 若ABCACABCBCA
21、B，求证三角形ABC是正三角形， 【分析】【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某 些判定的结论 证明证明0)()(ACABBCCAABBCCABCBCAB， 即BC与BC边上的 中线垂直，所以ABAC，同理BCBA，可以得到该三角形是等边三角形； 例例 2 2 已知四边形ABCD中，若ABDADACDCDBCBCAB，判断四边形 ABCD的形状 【分析】【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究 解答 1 从几何意义上设kABDADACDCDBCBCAB 若k0，则ABC，BCD，CDA，DAB都是钝角，与四边形内角和为 360矛盾，
22、 舍；同理k0 时，也不可能，故k0，即四边形ABCD为矩形 解答 2 从运算上，0)()(DCABBCCDABBCCDBCBCAB 同理；0)()(DCABADABCDDAABDADACD 于是BCAD/，同理CDAB/，得到四边形ABCD是平行四边形； 02)()(ABBCDCABBCCDABBCCDBCBCAB BCAB ，四边形ABCD为矩形 【评析】【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量 积的正负对向量夹角的约束， 另外， 一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状， 不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状 例例 3 3 已知a，b
23、，c为ABC的三个内角A，B，C的对边， 向量) 1, 3(m，n n(cosA， sinA)若m mn n，且acosBbcosAcsinC，求角A，B的大小 【分析】【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A角的三角方程，从而求出三角形 的内角A，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知 识求三角形的其余内角 解：解： 0sincos3AAnmnm， 即3t a nA， 三角形内角; 3 A acosBbcosAcsinC，sinAcosBsinBcosAsin 2C，即 sin(AB)sin2C，sinC 1，, 2 C 6 B 【评析】【评析】 向量
24、的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里， 结合相关的知识点进行 考查，常见的有中点的表达(比如 22 1OBOA OMABAM、MBAM 、等都说明M是 AB中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表 达的信息 例例 4 4 已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0) (1)若0ACAB，求c的值； (2)若c5，求 sinA的值 【分析】【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进 行运算求解即可 (2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式， 为我们沟通了更多的等量关系， 我们不仅
25、可以数形结合， 还可以利用解三角形的其他知识， 如利用数量积ACAB求出 cosA 进而求 sinA；余弦定理正弦定理 解：解：(1)4, 3(),4, 3(cACAB 由0 ACAB可得3(c c3)160 解得 3 25 c (2)法一当c5 时，可得AB5，52AC，BC5，ABC为等腰三角形， 过B作BDAC交AC于D，可求得52BD故, 5 52 sin AB BD A 法二.cos|),4, 2(),4, 3(ACABAACABACAB 5 52 sin, 0, 5 5 cos166cos525AAAA 【评析】【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关
26、系，使 用时不仅可以数形结合， 还可以和解三角形的其他知识余弦定理、 正弦定理一起来解决 有关三角形的问题 例例 5 5 若等边ABC的边长为32，平面内一点M满足CACBCM 3 2 6 1 ，则 MBMA_ 解析：解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0，0)，)3 , 3(),0 , 32(BA， 利用向量坐标运算，求得) 2 1 , 2 33 (M，从而求得) 2 5 , 2 3 (), 2 1 , 2 3 (MBMA，运 用数量积公式解得为2 另外，还可以通过向量的几何运算求解 解解：), 3 2 6 5 () 6 1 3 1 ()()(CACBCBCACMCBCMCA
27、MBMA 660cos3232, 32| CBCACBCA， 得到. 2MBMA 【评析】【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几 何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性 例例 6 6 已知向量a a(cosa，sina)，b b(cos，sin)，c c(1，0) ()求向量b bc c的长度的最大值； ()设 4 ，且a a(b bc c)，求 cos的值 【分析】【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式， 另一方面有几何意义，可以数形结合； 解：解：(1)解法 1：b bc c(c
28、os1，sin)，则 b bc c 2(cos1)2sin22(1cos) 1cos1，0b bc c 24，即 0b bc c2 当 cos1 时，有b bc c2，所以向量b bc c的长度的最大值为 2 解法 2：b b1，c c1，b bc cb bc c2 当 cos1 时，有b bc c(2，0)，即b bc c2， b bc c的长度的最大值为 2 (2)解法 1：由已知可得b bc c(cos1，sin)， a a(b bc c)coscossinsincoscos()cos a a(b bc c)，a a(b bc c)0，即 cos()cos 由 4 ，得 4 cos) 4
29、 cos(，即).( 4 2 4 Zkk 4 2 k或2k，(kZ Z)，于是 cos0 或 cos1 解法 2：若 4 ，则) 2 2 , 2 2 (a，又由b b(cos，sin)，c c(1，0)得 , 2 2 sin 2 2 cos 2 2 )sin, 1(cos) 2 2 , 2 2 ()(cba a a(b bc c)，a a(b bc c)0，即 cos(cos1)0 sin1cos，平方后 sin 2(1cos)21cos2，化简得 cos(cos1) 0 解得 cos0 或 cos1，经检验，cos0 或 cos1 即为所求 例例 7 7 已知ABC的角A、B、C所对的边分别
30、是a、b、c，设向量m(a，b)，n n(sinB， sinA)，p(b2，a2) (1)若m mn n，求证：ABC为等腰三角形； (2)若m mp p，边长c2，角, 3 C求ABC的面积 【分析】【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问 题 证明：证明：(1)mn，asinAbsinB， 即 R b b R a a 22 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab， ABC为等腰三角形 解(2)由题意可知m mp p，m mp p0，即a(b2)b(a2)0，abab， 由余弦定理可知，4a 2b2ab(ab)23ab， 即(ab) 23ab40，ab4(
31、舍去 ab1) 3 3 sin4 2 1 sin 2 1 CabS 例例 8 8 已知向量) 2 sin, 2 (cos), 2 3 sin, 2 3 (cos xx xxba，其中. 2 , 0x (1)求a ab b及a ab b； (2)若f(x)a ab b2a ab b的最小值是 2 3 ，求的值 【分析】【分析】 只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入， 继而转化为三角函数与函数的 有关知识 解：解：(1)x x x x x2cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cosba 2 , 0,cos22cos22)(| 2 xxxbaba 或 2 , 0,cos22c
32、os22) 2 sin 2 3 (sin) 2 cos 2 3 (cos| 22 xxx xxxx ba (2)f(x)a ab b2a ab bcos2x4cosx2cos 2x4cosx12(cosx)2 2 21 ,1 , 0(cos 2 , 0xx 当0 时；f(x)的最小值是1，不可能是 2 3 ，舍； 当 01 时，f(x)的最小值是 2 3 12 2 ，解得; 2 1 当1 时，f(x)的最小值是 2 3 41，解得1 8 5 ，舍； 2 1 【评析】【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向 量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公
33、式时要准确，为后续解题做好准 备 练习练习 6 62 2 一、选择题一、选择题 1若为a a，b b，c c任意向量，mR R，则下列等式不一定成立的是( ) A(a ab b)c ca a(b bc c) B(a ab b)c ca ac cb bc c Cm(a ab b)ma amb b D(a ab b)c ca a(b bc c) 2设) 3 1 ,(cos),sin, 2 3 (ba，且a ab b，则的值是( ) A)( , 4 2Zkk B)( , 4 2Zkk C)( , 4 Zkk D)( , 4 Zkk 3在ABC中，baBCAB,，且a ab b0，则ABC的形状为(
34、) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 4已知：ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且ABPCPBPA，则点P与 ABC的位置关系是( ) AP在ABC内部 BP在ABC外部 CP在AB边上或其延长线上 DP在AC边上 二、填空题二、填空题 5若向量a a，b b满足a a1，b b2，且a a与b b的夹角为 3 ，则a ab b_ 6已知向量a a(cos，sin)，向量) 1,3(b，则2a ab b的最大值是_ 7若) 1 , 2 (),3 , 1 ( x ba，且(a a2b b)(2a ab b)，则x_ 8已知向量)5 , 3(),6 , 4(OBO
35、A，且OBACOAOC/,，则向量OC_ 三、解答题三、解答题 9平面向量a a与b b的夹角为 60，a a(2，0)，b b1，求a a2b b 10P在y轴上，Q在x轴的正半轴上，H(3，0)，M在直线PQ上，PMPMHP, 0 MQ 2 3 当点P在y轴移动时，求点M的轨迹C方程 11已知向量a a(sin，1)， 2 2 ),cos, 1 (b (1)若a ab b，求； (2)求a ab b的最大值 习题习题 6 6 一、选择题一、选择题 1已知平面向量a a(1，2)，b b(2，m)，且a ab b，则 2 a a3b b( ) A(5，10) B(4，8) C(3，6) D(
36、2，4) 2给出下列五个命题： a a 2a a2； a b a ba 2 ；(a ab b) 2a a2b b2； (a ab b) 2a a22a ab bb b2；若 a ab b0，则a a0 或b b0； 其中正确命题的序号是( ) A B C D 3函数y2 x1 的图象按向量 a a平移得到函数y2 x1的图象，则( ) Aa a(1，1) Ba a(1，1) Ca a(1，1) Da a(1，1) 4若a a 21，b b22，(a ab b)a a0，则 a a与b b的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 5已知在ABC中，,OAOCOCOBOBOA则O为ABC的(
37、 ) A内心 B外心 C重心 D垂心 二、填空题二、填空题 6已知p p(1，2)，q q(1，3)，则p p在q q方向上的正射影长为_； 7如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题： BCAFAC2 AFABAD22 ABADADAC )()(EFAFADEFAFAD 其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号) 8给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 120如图所示，点C在以O 为圆心的圆弧AB上变动 若OByOAxOC， 其中x，yR R， 则xy的最大值是_ 9已知向量a a(2，4)，b b(1，1)，若向量b b(a ab b)，则实数的值_；若 b ba
38、aa ac)( ，则向量a a与c c的夹角为_； 10已知a a3，b b4，a ab b2，则a ab b_ 三、解答题三、解答题 11已知).1, 3(),3, 1 (ba (1)证明：a ab b； (2)若ka ab b与 3a akb b平行，求实数k； (3)若ka ab b与ka ab b垂直，求实数k 12设向量a a(cos23，cos67)，b b(cos68，cos22)，u ua atb b，(tR R) (1)求a ab b (2)求u u的模的最小值 13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. 73tanC (1)求 cosC； (2)若 2 5 CA
39、CB，且ab9，求c 14已知函数f(x)kxb的图象与x，y轴相交于点A，B，jiji,(22 AB，分别是与 x，y轴正半轴同方向的单位向量)函数g(x)x 2x6，(1)求 k，b的值；(2)当x满 足f(x)g(x)时，求函数 )( 1)( xf xg 的最小值 15已知向量a a(x 2，x1)，b b(1x，t)，若 f(x)a ab b在区间(1，1)上是增函数， 求t的取值范围 参考答案参考答案 练习练习 6 61 1 一、选择题一、选择题 1D 2A 3A 4C 二、填空题二、填空题 53 或5 64 7) 2 3 , 1( 845 三、解答题三、解答题 9由已知)0 , 2
40、( ABa，所以 043 23 2 xx x ，得x1 10(1)由已知设a a(，2)且0，a ab b410，2，所以a a(2，4)； (2)(b bc c)a a(22)a a0 0 116 练习练习 6 62 2 一、选择题一、选择题 1D 2C 3C 4D 二、填空题二、填空题 57 64 76 或 9 8) 21 4 , 7 2 ( 三、解答题三、解答题 932 由已知a a2，a a2b b 2a a24a ab b4b b24421cos60412 32|2| ba. 10解答：设M(x，y)，M在直线PQ上, ),0 , 3 2 (), 2 , 0(, 2 3 xQ y P
41、MQPM ) 2 ,(), 2 , 3(, 0 y yxPM y HPPMHP 0 2 3 2 3. yy x，即y 24x(除原点) 11 解：()若a ab b，则 sincos0， 由此得) 2 2 ( 1tan， 所以; 4 ()由a a(sin，1)，b b(1，cos)得 )cos(sin23)cos1 () 1(sin| 22 ba , ) 4 sin(223 当1) 4 sin(时，a ab b取得最大值，即当 4 时，a ab b最大值为. 12 习题习题 6 6 一、选择题一、选择题 1B 2B 3A 4B 5D 二、填空题二、填空题 6 2 10 7、 82 93；90 1021 三、解答题三、解答题 11(2)k3；(3)k1 12答案：(1) 2 2 ba，(2) 2 2 | min u 13 解答： (1)73tanC， 73 c o s s i n C C ， 又sin 2Ccos2C1 解得 8 1 cosC tanC0，C是锐角 8 1 cosC (2)20, 2 5 cos, 2 5 abCabCACB 又ab9 a 22abb281a2b241 c 2a2b22abcosC36c6 14略解：(1)由已知得)0 ,( k b A ，B(0，b)，则),
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