1、第二讲 数的运算一、知识梳理1、运算的意义 （一）整数四则运算 1. 整数加法：(把两个数合并成一个数)的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数=和 一个加数=(和另一个加数)2. 整数减法：已知(两个加数的和与其中的一个加数)，求(另一个加数)的运算叫做减法。例如：18-6表示（已知两个因数的和是18，其中的一个加数是6，求另一个加数。）在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。被减数减数=差 被减数=(差减数) 减数=(被减数差)3. 整数乘法：求(几个
2、相同加数的和)的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。一个因数一个因数 =积 一个因数=(积另一个因数)4. 整数除法：已知(两个因数的积与其中一个因数)，求(另一个因数的运算)叫做除法。例如：186表示（已知两个因数的积是18，其中的一个因数是6，求另一个因数。）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。被除数除数=商 除数=(被除数商) 被
3、除数=(商除数)（二）小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2. 小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.3. 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；例如，1.36表示（6个1.3的和是多少）或也可表示（1.3的6倍是多少？）一个数乘小数的意义是求(这个数的十分之几、百分之几、千分之几)是多少。例如，160.13表示（求16的百分之十三是多少？）4. 小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另
4、一个因数的运算。（三）分数四则运算1. 分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。3. 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘分数的意义：表示求这个数的(几分之几是多少)？例如，15表示（15的是多少？）5. 分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。（四）运算法则1. 整数加法计算法则：(相同数位)对齐，从(低)位加起，哪一位上的数相加满十，就向
5、前一位进一。2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从(低)位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就和哪一位对齐，然后把各次乘得的数加起来。4. 整数除法计算法则：先从被除数的(高位)除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于（除数）。5. 小数乘法法则：先按照(整数乘法的)计算法则算出积，再看因数中共有(几位小
6、数)，就从积的(右边)起数出几位，点上小数点；如果位数不够，(就用“0”补足)。6. 小数除法计算法则：（1）除数是整数的小数除法计算法则：先按照(整数除法)的法则去除，商的小数点要和(被除数的小数点)对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面(添“0”)，再继续除。（2） 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成(整数)，除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也（向右移动几位）（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。7. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把（分子）相加减，（分母）不变。8. 异分母分数加减法计算方法:先（通分），然后按
7、照同分母分数加减法的的法则进行计算。9. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。10. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用（分数的分子和整数相乘的积）作分子，（分母）不变；分数乘分数，用（分子相乘的积）作分子，（分母相乘的积）作分母。11. 分数除法的计算法则:除以一个数（0除外），等于乘以这个数的（倒数）。如，5=5=30（五）运算定律1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b
8、+c) 。3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即ab=ba。4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(ab)c=a(bc) 。5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)c=ac+bc 。乘法分配律可以倒回来用：ac+bc = (a+b)c6. 减法的性质：(1)从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。如，102.37.7=10（2.37.7）=1010=0(2) a-b-c=a-
9、(b+c) 可以倒回来用：a-(b+c) = a-b-c,如，15.6(5.6+3.8)= 15.65.63.8=103.8=6.27、除法的性质：（1）一个数里连续除以几个数，可以用这个数里除以所有除数的积，结果不变，即abc=a(bc) 。如，32.542.5=32.5（42.5）=32.510=3.25（2）abc=a(bc) 可以倒回来用：a(bc)= abc，如，18.3(1.8350)=18.31.8350=1050=0.2（3）(ab)c=acbc（六）运算顺序1. 没有括号的混合运算:同级运算从(左)往(右)依次运算；两级运算先算(乘、除)法，后算(加减)法。2. 有括号的混合
10、运算:先算(小括号里面的)，再算(中括号里面的)，最后算(括号外面的)。3. 第一级运算：(加法和减法)叫做第一级运算。第二级运算：(乘法和除法)叫做第二级运算。4. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。5.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。（七）课外拓展1、四则运算的意义运算名称意义加法把两个数合并成一个数的运算减法已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。乘法一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘小数，是求这个数的十分之几，百分之几是多少。一个数乘分数，是求这个数的几分之几是多少。除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、四
11、则运算的法则 （1）加、减法 整数、小数加减法：相同数位上的数对齐（小数点对齐），从低位算起，哪一位上的数相加满十（哪一位上的数不够减），向前一位进一（从前一位退一，当十再减）。 分数加减法：同分母分数相加减，用分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法则进行计算。 （2）乘法 整数乘法：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数。用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就要和哪一位对齐，再把几次乘得的数加起来。 小数乘法：先按照整数乘法的法则计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，
12、计算过程中能约分的先要约分。 （3）除法 整数除法：除数有几位，就看被除数的前几位，不够除就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位数上面，每次除后余下的数必须比除数小。小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的除法进行计算。分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（4）各部分之间的关系 加、减法 一个加数=和-另一个加数 加数加数=和 减数=被减数-差 减数减数=差 被减数=差+减数乘、除法因数因数 =积 一个因数=积另一个因数 被除数=商除数被除数除
13、数=商 除数=被除数商（5）运算定律名称内容及字母公式举例加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变a+b=b+a20+30=30+20加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变（a+b）+c=a+（bc）（20+30）+40=20+（30+40）乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。ab=ba2030=3020乘法结合律三位数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变（ab）c=a（bc）（2030）50=20（3050）乘法分配律两个数的和同一个数相
14、乘，可以把两个加数分别同这个数相乘。再把两个积相加结果不变。（a+b）c=ac+bc（20+30）50=2050+30503、四则混合运算 1、四则混合运算的顺序 在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。 在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 2、几种常用的简算方法 （1）拆项法：这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式： 分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时： =+ 分母为两个相邻自然数的积时：=- 分母是差为a(a0)的两个自然数的积时：=(-)分母为三个相邻自然
15、数的积时：=【-】（2）数字变形法：这是一种从数字特点出发，创新变形，巧妙地运用运算性质，规律达到简算目的的方法，如：较接近1，可将其转化为（1-），然后根据情况运用适当的方法。（3）假设法：如果原式中的数字或相同式子比较多，各部分数字或式子又比较接近，我们就可将其相同的部分看做一个整体，设为一个字母，使计算简便。（4）分解质因数：在计算中，常遇到一些复杂的数相加或相减，我们可根据情况把题中的每个数分解质因数，然后把其中的公因数提出来，使计算简便些。（5）找规律法：分析算式中各部分之间的关系，找出其中的规律，使计算简便。二、例题精讲例1：选择合适合适的方法计算下面各题。 （1）1 （2）4.6
16、4.41（10.1） = = =2-1 = =1 = 解析：（1）运用加法交换律与结合率，分母相同的数结合在一起相加；（2）把小数化成分数并通分化为分母相同的数再计算。变式1：简便运算 （1） （2） = = = =4-2+3 =3 =5变式2：计算 解：原式=（3+4+5+2）-（3+4+5+1） =14-13 =14-4 =10例2：计算 解析： 将下面分数在原题上分解：拆开后的分数在计算过程中可以相互抵消，这样就可以简便运算了。答案：变式1：计算变式2：计算 例3：计算解析： 变式1：计算 = =变式2：计算例4：六（1）班有女生20人，男生30人，男生人数占全班人数的百分之几？ 解析：
17、先求出全班人数20+30=50人，男生人数除以全班人数后化为百分数。 解：全班人数：20+30=50（人） 3050= 答：男生占全班人数的。变式1：在体育达标测试中，达标的有100人，未达标的有25人。体育达标率是百分之几？ 解：总人数：100+25=125（人） 100125= 答：体育达标率是。变式2：在做发芽种子实验，有188颗种子发芽，12颗没发芽，该种子发芽率达到以上才算合格，问该种子合格吗？为什么？ 解：种子总数：188+12=200（颗） 发芽率：188200= 答：该种子合格，发芽率为大于。例5：某校航空模型小组在飞机模型比赛中,第一架模型飞机比第二架模型飞机少飞行480米.
18、已知第一架模型飞机的速度比第二架模型飞机的速度快1米/秒,两架模型飞机在空中飞行的时间分别为12分和16分,这两架模型飞机各飞行了多少距离? 解析：设第二架飞机的速度为x m/min，第一架的速度为x+1 m/min,第一架的路程为12（x+1),第二架飞机的路程为16x，第二架的路程减去第一架的路程等于480m，解方程再求出各自的路程。解：设设第二架飞机的速度为x m/min，第一架的速度为x+1 m/min 16x-12（x+1)=480 16x-12x-12=480 4x=480+12 x=123 第一架飞机的速度为124m/min 第一架飞机行驶路程：12412=1488(m) 第二架
19、飞机行驶路程：12316=1968（m) 答：第一架飞机行驶路程为1488m， 第二架飞机行驶路程为1968m。变式1：一条环形跑道长400米,甲每分钟行80米,乙每分钟行120米.甲乙两人同时同地通向出发,多少分钟后他们第一次相遇? 解：设第一次相遇时间为x分钟 （80+120）x=400 200x=400 X=2 答：2分钟后他们第一次相遇。变式2：甲乙两人同时从A,B两地出发,相向而行,两人在途中相遇,已知A,B两地相距24千米,甲乙两人的行进速度之比是2:3.问甲乙两人每小时各行多少千米？ 解：根据题意速度比为2:3，则甲行驶路程为2x千米，乙行驶路程为3x千米。 2x+3x=24 5
20、x=24 x= 甲行驶路程：2=（千米） 乙行驶路程：3=（千米） 答：甲行驶路程为千米，乙行驶路程千米。三、课堂总结1、熟练掌握四则运算及混合运算，掌握巧算技巧；2、能解复杂的方程应用题，正确找出应用题中的等量关系，列方程并解方程。四、课后作业1、若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）。A. a B. a C. a D. a2、一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段相比（ ）。 A. 第一段长B. 第二段长 C. 一样长 D. 无法确定 3、林场去年种植了10000棵树苗，年底抽查了其中的1000棵，死亡率是2%。你预计一下，林场种植的这批树苗的成活率是（）。 A.
21、 20%B. 80% C. 2% D. 98%4、一个饲养场，养鸭1200只，养的鸡比鸭多，养的鸡比鸭多多少只？正确的列式是（ ）A. 1200 B. 1200+1200 C. 1200-1200 D. 1200 5、要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是( )平方厘米的正方形纸片(取3.14)。 A. 12.56 B. 14 C. 16 D. 20四、计算题（共35分）1、若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ B ）。A. a B. a C. a D. a2、一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段相比（ A ）。 A. 第一段长B. 第二段长 C.
22、 一样长 D. 无法确定 3、林场去年种植了10000棵树苗，年底抽查了其中的1000棵，死亡率是2%。你预计一下，林场种植的这批树苗的成活率是（D）。 A. 20%B. 80% C. 2% D. 98%4、一个饲养场，养鸭1200只，养的鸡比鸭多，养的鸡比鸭多多少只？正确的列式是（ A ）A. 1200 B. 1200+1200 C. 1200-1200 D. 1200 5、要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是( C )平方厘米的正方形纸片(取3.14)。 A. 12.56 B. 14 C. 16 D. 206、判断（5分，正确的打“”，错误的打“” ）(1)、7米的与8米的一样长。 （）(2)、周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。 （）(3)、和1%都是分母为100的分数，它们表示的意义完全相同。（ ）(4)、5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%。 （ ）(5)、比的前项增加10%，要使比值不变，后项应乘1.1。（ ）
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