1、第6讲 让世界充满 满分晋级 复数与推理证明1级让世界充满复数与推理证明3级数学归纳法复数与推理证明2级复数、推理与证明新课标剖析当前形势复数在近五年北京卷（理）考查5分高考要求内容要求层次具体要求ABC复数的基本概念了解数系的扩充的基本过程与复数的概念；复数的几何意义掌握复数的几何意义与复数的代数形式的四则运算法则北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第1题 5分第9题5分第2题5分第3题5分第2题5分高考要求内容要求层次具体要求ABC证明的基本方法了解数学证明的基本方法：综合法、分析法与反证法等6.1 数系扩充 知识点睛复数的
2、引入（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作伟大的艺术，在书中提出了三次方根的求根公式同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为时，积的最大值为，故这样两个数一定不存在从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解卡丹给出答案：与，但并不清楚这有什么意义于是引发了一个重要问题，是什么？（二）复数与虚数笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称为“虚数i
3、”莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”（三）复数的意义引入后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的次方程都有根，且必有个根（重根重复计算）一、复数的概念1虚数单位：；2复数：所有形如的数就称为复数（complex number），复数通常用小写字母表示，即，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部注意虚部是一个实数如的实部为，虚部为；的虚部为3复数的分类：（）若，则为实数（real number）；若，则为虚数（imaginary nu
4、mber）；，时，称为纯虚数如是一个虚数，但不是一个纯虚数；是一个纯虚数可以举例：若，问是实数、虚数、纯虚数时，分别为多少？是实数；是虚数；是纯虚数4复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用表示，即常见数集的关系为：数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合等手写时有时习惯多加一道竖线加上区别5复数相等与比较大小：相等的复数：且；比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小 注意：如果题目中出现，则一定有；如果出现，则一定有复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数例：，若，求的取值范围只有实数比较大小，故，解得或讲完这些知识
5、点可以先讲例16对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现（讲完这个知识点再讲例2）经典精讲考点1：复数的概念【例1】 复数的概念 ，当取何值时，是实数？虚数？纯虚数？ 已知两个复数和，当实数取何值时， 和相等？【解析】 时为实数或者；时为虚数且；且时为纯虚数 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： ， 解这个方程可得或例2是解实系数的一元二次方程；第小题涉及到复系数的一元二次方程易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确见易错门诊
6、解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果这里先看一些最简单的情形，如例2有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形【例2】 解一元二次方程 在复数集内解方程：； 若方程有实根，求出实数的值，并求出此实根【解析】 ，故，；因为，所以原方程没有实根，只有两复根： ，故或，故此方程的根有与；方程有实根，利用复数相等的定义有；而，即时，有实根；时，有实根尖子班学案1【拓2】已知有一个根是，求另一个根及的值【解析】 因是其根，代入原方程为，由此得，设是另一根，则由根与系数的关系得，从而得目标班学案1【拓3】解方程【解析】 将方程变形得：，即，因式分
7、解得，无实根，两个虚根为；无实根，两个虚根为；故原方程的解有四个，为我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的引入：解方程，求【解析】 或关于的方程有实根，求实数的取值范围【解析】 误解：方程有实根，解得或分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况，而该方程中与并非实数正解：设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得知识点睛二、复数的几何意义 如何引出复平面与
8、复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应如表示数轴上一个点，表示数轴上另一个点，它们关于对称，也可以理解成绕着原点逆时针旋转，得到，如图这相当于两次逆时针旋转：，故虚数就是绕原点逆时针旋转，故在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三
9、角形式及乘除法的几何意义1复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴轴的单位是，轴的单位是实轴与虚轴的交点叫做原点，原点对应复数复数有序实数对点向量2复数的模：设，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作，【挑战五分钟】求下列复数的模_；_；_；_答案：；经典精讲考点2：复数的几何意义【例3】 复数的几何意义 设，若对应的点在第四象限，求的范围 设，在复平面内，满足条件，的复数对应的点的集合是什么图形？ 在复平面内，点，点所对应的复数分别为，那么的中点对应的复数为_【解析】 由题意知，解得 ，表示第一象限的点，表示以原点为圆心、半径为和的两圆所夹的圆
10、环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界） ；点的平面直角坐标是，点的平面直角坐标是，中点的坐标是，所以所对应的复数为【点评】 学习复数加减法的几何意义之后，提高班学案1【拓1】设，则下列命题中一定正确的是（）A的对应点在第一象限 B的对应点在第四象限C不是纯虚数 D是虚数【解析】 D；数系扩充的历史 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考（一）正整数人类最早认识的是正整数中国的周易中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种
11、不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是，就是，用得上三则运算了，是，心算不好的千万别学法语！）（二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）0的书写
12、方法正好对应中文的“零”（汉字中很早就有零，在孙子算经中有除百零伍便得之但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）（三）负数负数来源自减法运算，解出负数根欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现负数比分数出现的更晚（四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则九章算术章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”其中田指分母，子指分子分数系对加、乘、
13、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了（五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡比如边长为的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”在中
14、国称无理数为算而不求其本质有了无理数实数系就形成了（六）复数系完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系到复数系，数系就完备了想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质知识点睛三、复数的运算复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可讲完运算可以接着做后面的练习1复数的加法定义：设，定义复数的加法运算满足交换律、结合律几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则2复数的减法：定义：几何意义：复数减法的几何意义就是向量
15、减法的三角形法则3复数的乘法定义：复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律4共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数复数的共轭复数用表示，即当时，共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方即“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走共轭即为按一定的规律相配的一对通俗点说就是孪生有共轭双曲线的概念，与称为共轭双曲线，它们共渐近线引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数讲完共轭复数，
16、可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解例：在下列命题中，正确命题的有_对任意复数，有为纯虚数对任意复数，有是虚数的一个充要条件是；的一个充要条件是答案：；错误，可以为；错误，为实数时，也有5复数的除法，称为复数（）的倒数 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，与的性质及与此相关的较复杂的复数的计算复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如表示模长为，角度为（称为幅角）的向量，一个复数乘以即表示这个复数逆时针旋转，模长再伸长到原来的倍，如，如下图这样就非常好理解了这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在
17、假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开 【挑战十分钟】计算下列各小题：；【解析】 ；经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】已知，其中是虚数单位，那么实数 已知复数满足，则等于_【解析】 ；注意是实数，复数为纯虚数，则实部为0，则且；，故【例4】 复数的运算 设复数，若为实数，则等于 若复数为纯虚数，则实数_如果复数的实部与虚部互为相反数，则_【解析】 ；复数为实数，虚部为，而，所以，；为纯虚数，故；，又实部与虚部互为相反数，即，解得，故，提高班学案2【拓1】若复数，求实数使（其中为的共轭复数）【解析】 由，可知，代入得：，即则，解得或尖子班学案2【拓2】已知，对于任意，均有成立，试求实数的取
18、值范围【解析】 ，对恒成立当，即时，不等式恒成立；当时，综上，6.2 证明题三大方法知识点睛证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法 直接证明：综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论是从原因推导到结果的思维方法；分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法分析法是在一步步寻求结论成立的“充分条件”分析法在思考过程中用得比较多，综合法在书写过程中用得比较多比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析
19、法得到结果讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展 间接证明：常用的有反证法反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实、原命题中的已知条件矛盾等反证法是由转向证明：，与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论非真即假考虑使用反证法的情况有：条件太少；一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等反证法首先需要正确的进行反设例：用反
20、证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（ ）A假设三个内角都大于B假设三个内角都不大于C假设三个内角至多有一个大于D假设三个内角至多有两个大于答案：A反证法的小例子：伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的）线面平行的判定定理和性质定理的证明（判定定理：简单证明：如果与不平行，则；确定平面，则，于是，从而，这与条件中矛盾性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去）证明质数有无限多个（古希腊经典证明，欧几里得几何原本的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它
21、们更多的质数”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为，则不是质数，故它一定有质因子，即存在某个，即，这不可能故假设错误，即质数有无穷多个证明是无理数简单证明：如果结论不成立，即是有理数，则，互素，使得，故，两边平方得从而是的因子，从而是的因子，故是 的因子，故有公因子，它与互素矛盾上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展经典精讲考点4：分析法与综合法【例5】 分析法与综合法已知，求证：若，求证：若，求证：，且；若，求证：【解析】 由得；，由知，当且仅当，即时取等号，故等号取不到，即，又， ，所以，即；又，所以，所以，又，所以，所以法一：分析法因为，且，所以
22、，要证明原不等式成立，只需证明，即证，从而只需证明，即，因为，所以成立，故原不等式成立法二：综合法因为，且，所以，而，又，故，故，从而提高班学案3【拓1】已知：，求证：【解析】 法一：综合法，两式相加化简得法二：分析法，要证，即证：，移项整理得即证明，即证明，这显然成立，故原不等式得证目标班学案2【拓3】求证：【解析】 法一：，将此三式相加得2法二：要证，即证，左边可以写成：，此不等式显然成立，且在时取到等号，故原不等式得证法三：把原式视作关于变量的不等式，即证：；那么该不等式恒成立等价于其判别式恒成立；整理得恒成立，所以不等式即原不等式成立考点5：反证法【铺垫】已知，且，求证：中至少有一个是
23、负数【解析】 假设都是非负数，又，即，矛盾；中至少有一个是负数【例6】 反证法已知非零实数成等差数列，且公差，求证：不可能是等差数列【解析】 假设是等差数列，则，又，两式联立消去得，化简得：，故，这与矛盾，故不可能是等差数列【点评】 本题结论还可以推广：与均不可能构成等比数列尖子班学案3【拓2】证明：不可能是同一等差数列中的三项【解析】 假设结论不成立，即存在一个等差数列，公差为，使得是其中三项，不妨记，于是，将这两个式子相除得，由知，故，这不可能，故假设错误，不可能是同一等差数列中的三项目标班学案3【拓3】实数满足，求证：均大于零【解析】 假设结论不成立，即中存在不大于零的数，不妨设，由知，
24、且，不妨设，由知，于是，这与已知中矛盾，故假设不正确，即均大于零实战演练 【演练1】已知，则 ， 【解析】 ；，【演练2】若，则的共轭复数是 【解析】 ；，【演练3】实数分别取什么数值时？复数 与复数相等； 与复数互为共轭； 对应的点在轴上方【解析】 根据复数相等的充要条件得解得 根据共轭复数的定义得解得 根据复数对应点在轴上方可得，解之得或 【演练4】若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A B4 C D6【解析】 C由因为复数是纯虚数，所以且解得【演练5】若，证明：【解析】 用分析法证明：要证明，即证明，即证明，不等式移项得即证明由知，故此不等式成立，原命题得证【演练6】已知非零实数成等差数列，且公差，求证：不可能是等比数列【解析】 假设结论不成立，即构成等比数列，则又，故，整理得：，故，这与已知中的公差矛盾，故假设不成立，所以不可能是等比数列15第6讲提高-尖子-目标教师版
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