1、立体几何（2020湖北武昌区高三元月调考）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.证明：平面平面；求二面角的正弦值.试题解析证明：平面平面；【解析】（1）因为，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.易证，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面. 求二面角的正弦值.【解析】方法一：过作，垂足为，过作于，连结，则可证为二面角的平面角.在中，求得；在中，求得.所以. 方法二：因为直三棱柱中，平面，以、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，分别为，的中点.所以，所以，设平面的一个法向量为.所以，令，则，所以.设平面的一个法向量为.所以
2、，令，则，所以.设二面角为，依题意，所以.所以二面角的正弦值为.应对策略判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)设向量为平面的法向量为，向量为平面的法向量，平面与平面所称的二面角为，则；. 所以或.拓展延伸【拓展1】如图，在直三棱柱中，分别为，的中点.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【解析】证明：平面平面；【解析】（1）因为，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.易证，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面. （2）因为直三棱柱中，平面，以、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，分别为，的中点.所以，所以，设平面的
3、一个法向量为.所以，令，则，所以.设向量与向量夹角为，所以.所以与平面所成角的正弦值为.【拓展2】如图，在直三棱柱中，分别为，的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】（1）因为，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以平面平面. （2）因为直三棱柱中，平面，以、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，分别为，的中点.所以，所以，设平面的一个法向量为.所以，令，则，所以.设平面的一个法向量为.所以，令，则，所以.设二面角为，依题意，所以.所以二面角的余弦值为. 模拟训练1.（2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末）如图1，在等腰中，分别为，的中点，为的
4、中点，在线段上，且.将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解析】（1）证明：取的中点，连接.因为，所以为的中点.又为的中点，所以.依题意可知且，则四边形为平行四边形，所以，从而.又平面，平面，所以平面.（2）因为，且，所以平面，平面，所以，因为，且，所以平面，所以以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得.从而，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.2.（2020河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试）如图，已知四边形为
5、等腰梯形，为正方形，平面平面，.（1）求证:平面平面；（2）点为线段上一动点，求与平面所成角正弦值的取值范围.【解析】（1）在等腰梯形中， ，所以，. 即，.又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由(1)知，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，所以，即令，则，所以平面的一个法向量为.设与平面所成角为，所以，所以当时取最小值，当时取最大值，故与平面所成角正弦值的取值范围为.3.（2020广东省佛山市实验中学高三12月月考）如图，平面四边形中，,，将三角形沿翻折到三角形的位置，平面平面，为中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的
6、正弦值.【解析】（1）由题意为等边三角形，则，在三角形中，,，由余弦定理可求得，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以 ， 等边三角形中，为中点，则，且，所以平面，所以.（2）以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则，,，, 设是平面的一个法向量，则，所以，取，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.4.（2020安徽省皖江联盟高三上学期12月联考）如图，在多面体中，侧棱，都和平面垂直，.（1）证明：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【解析】（1）取中点，连接，因为且，所以四边形为平行四边形 ，所以
7、,所以， ，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以，所以平面，平面 ，所以，又平面，所以平面，因为,所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.5.如图，在四棱锥中，侧棱底面，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）由题意知：是等腰直角三角形，则，作交于，连接，因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由底面，可得，又，可知两两互相垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
8、，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以；设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值等于.6.（2020百校联盟TOP20高三上学期11月联考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且为的中点，延长交于点，且在底内的射影恰为的中点，为的中点，为上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【解析】（1）由题意，E为CD的中点，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，所以垂直平分，所以，又因，所以为正方形，所以，因为为的中点，所以，而，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为在底
9、面ABCD内的射影恰为OA的中点H，所以.因为，所以过点O分别作AD，AB的平行线（如图），并以它们分别为x，y轴，以过O点且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，由（1）知，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.7.（2020北京市朝阳区高三上学期期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形， 平面，为的中点（1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）判断直线与平面的位置关系，请说明理由【解析】（1）连结因为底面是菱形 ，所以.又因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因
10、为平面，所以. （2）设，交于点.因为底面是菱形 ，所以，又因为平面，所以，.如图，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则， ， ，. 则，设异面直线与所成角为，则，所以，所以与所成角的余弦值为. （3）直线与平面相交.证明如下：由（2）可知，设平面的一个法向量为，则 即 令，得则，所以直线与平面相交8.（2020东北三省三校联合模拟）如图,三棱锥中,是中点,（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【解析】（1）证明：因为是中点,所以因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以是边上中线,所以，因为，所以，所以，因为平面,所以平面.（2）以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则，所以设平面的一个法向量为,则，所以，取,得，同样可求得平面的一个法向量所以，所以二面角的正弦值为.
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