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    初三数学寒假班第05讲-图形的相似(提高)-教案.doc

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    初三数学寒假班第05讲-图形的相似(提高)-教案.doc

    1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第05讲-图形的相似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度; 掌握平行线分线段成比例的常见模型,并准确计算线段长度; 掌握判定三角形相似的三个条件,熟练进行相关证明; 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题; 理解三角形相似的性质及图形的位似,并能进行简单计算。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念(一)比例的性质 1.比例中项; 2.合分比性质; 3.等比性质(二)平行线分线段成比例定理 1.两

    2、条直线被一组平行线所截,所得的线段成比例。2.如右图所示,所得的对应线段成比例的有:= ,等等。3.所得的线段必须是对应的,否则不成比例。4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示: (三)平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系,不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交,也可以与三角形的两边的延长线相交,如下图所示,若DEBC,则有(四)相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边

    3、对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 (五)相似三角形基本类型 1、平行线型:常见的有如下两种,DEBC,则ADEABC 2、相交线型:常见的有如下四种情形 (1)如图,已知1=B,则由公共角A得,ADEABC (2)如下左图,已知1=B,则由公共角A得,ADCACB (3)如下右图,已知B=D,则由对顶角1=2得,ADEABC 3、旋转型:已知BAD=CAE,B=D,则ADEABC, 右图为常见的基本图形 4、母子型:已知ACB=90,ABCD,则CBDABCACD 5、斜交型: 如图:其中1=2

    4、,则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”) 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) (六)黄金分割(七)相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等,对应边成比例. 2、相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.(八)利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高 根据太阳光线是平行的,寻找相似三角形. 在同一时刻, 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高(九)图形的位似

    5、1、位似图形的定义 2、图形位似的性质考点一:成比例线段与平行线分线段成比例例1、(1)已知=,求的值 (2)已知=,求的值【解析】(1)=, b=a,则=;(2)设=a,则x=2a,y=3a,z=4a,=例2、如图,在ABC中,D为AB上的一点,过点D作DEBC交AC于点E,过点D作DFAC交BC 于点F,则下列结论错误的是()A= B= C= D=【解析】C考点二:三角形相似的条件例1、如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD上一点,且CF=3FD则图中相似三角形的对数是()A1 B2 C3 D4【解析】有三对相似三角形,RtABERtDEF,RtABERtEBF,RtEBFRt

    6、DEF理由如下:设正方形的边长为4a,则AE=DE=2a,DF=a,CF=3a,在RtBCF中,BF=5a, 在RtABE中,BE=2a,在RtDEF中,EF=a, BE2+EF2=BF2,BEF为直角三角形,BEF=90,=2,=2, =, RtABERtDEF,同理得=,RtABERtEBF, RtEBFRtDEF 故选:C例2、在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0t6),那么当t为何值时,APQ与ABD相似?说明理由【解析】设A

    7、P=2tcm,DQ=tcm,AB=12cm,AD=6cm,AQ=(6t)cm,A=A, 当 =时,APQABD,=,解得:t=3;当 =时,APQADB,=,解得:t=1.2当t=3或1.2时,APQ与ABD相似考点三: 利用三角形相似测高例1、如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是()A3.25m B4.25m C4.45m D4.75m【解析】如

    8、图,设BD是BC在地面的影子,树高为x,根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2,BD=0.96,树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56,再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得,x=4.45,树高是4.45m故选C例2、如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,求旗杆的高度【解析】由题意可得:DEFDCA,则=,DE=0.5

    9、米,EF=0.25米,DG=1.5m,DC=20m,=,解得:AC=10,故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m),答:旗杆的高度为11.5m考点四:相似三角形的性质与位似 例1、如果两个相似三角形的相似比是2:3,较小三角形的面积为4cm2,那么较大三角形的面积9 cm2【解析】9 cm2例2、有一块直角边AB=3cm,BC=4cm的RtABC的铁片,现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计),则正方形的边长为()A B C D【解析】如图,过点B作BPAC,垂足为P,BP交DE于QSABC=ABBC=ACBP,BP=DEAC,BDE=A,BED=C,BDEBAC,设DE=x,

    10、则有:,解得x=,故选:D例3、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,6),B(9,3),以原点O为位似中心,相似比为,把ABO缩小,则点A的对应点A的坐标是()A(1,2) B(9,18)C(9,18)或(9,18) D(1,2)或(1,2)【解析】A(3,6),B(9,3),以原点O为位似中心,相似比为,把ABO缩小,点A的对应点A的坐标为(3,6)或3(),6(),即A点的坐标为(1,2)或(1,2)故选DP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、已知,则的值是()A B C D【解析】D2、如图所示,ABC中若DEBC,EFAB,则下列比例式正确的是()A

    11、 B C D【解析】C3、如图,A=B=90,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得PAD与PBC相似,则这样的P点共有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】设AP=x,则有PB=ABAP=7x,当PDACPB时,=,即=,解得:x=1或x=6,当PDAPCB时,=,即=,解得:x=,则这样的点P共有3个,故选C4、如图,D、E分别是ABC的边AB、BC上的点,且DEAC,AE、CD相交于点O,若SDOE:SCOA=1:25,则SBDE与SCDE的比是()A1:3 B1:4 C1:5 D1:25【解析】B5、已知,如图所示的一张三角形纸片ABC,边AB的长为20cm,AB边上

    12、的高为25cm,在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条,若剪得的其中一张纸条是正方形,那么这张正方形纸条是()A第4张 B第5张 C第6张 D第7张【解析】正方形中平行于底边的边是4,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x,则 =,解得x=5,所以另一段长为255=20,因为204=5,所以是第5张故选:B6、如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A(3,2) B(3,1) C(2,2) D(4,2)【解析】A7、如图所示,RtAB

    13、C中,已知BAC=90,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作ADE=45,DE交AC于点E(1)求证:ABDDCE;(2)当ADE是等腰三角形时,求AE的长【解析】(1)B=C=45EDC=BADABDDCE(2)讨论:若AD=AE时,DAE=90,此时D点与点B重合,不合题意若AD=DE时,ABD与DCE的相似比为1,此时ABDDCE,于是AB=AC=2,BC=2,AE=ACEC=2BD=2(22)=42若AE=DE,此时DAE=ADE=45,如下图所示易知ADBC,DEAC,且AD=DC由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=AC=18、如图,一位同学想利用树影测

    14、量树AB的高,他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m,但他马上测量树AB的影长时,因树AB靠近一幢建筑物,有一部分影子落在建筑物的墙上,他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m,又测得落在地面上的影长为2.7m,求树AB的高【解析】过D作DEBC交AB于点E,设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm,树高为hm,某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m,墙上的影高CD为1.2m,=,解得x=1.08(m),树的影长为:1.08+2.7=3.78(m),解得h=4.2(m)答:AB测的树高为4.2米 课后反击1、在比例尺为1:10000的地图上,一块面积为2cm2的区域

    15、表示的实际面积是()A2000000cm2 B20000m2 C4000000m2 D40000m2【解析】B2、已知=,那么下列等式中不一定正确的是()A2x=5y B= C= D=【解析】D3、如图,ABEFCD,BC、AD相交于点O,F是AD的中点,则下列结论中错误的是()A= B= C= D=【解析】C4、如图,在ABC与ADE中,BAC=D,要使ABC与ADE相似,还需满足下列条件中的()A= B= C= D=【解析】C5、如图,在ABC中,BF平分ABC,AFBF于点F,D为AB的中点,连接DF延长交AC于点E若AB=10,BC=16,则线段EF的长为()A2 B3 C4 D5【解

    16、析】DE=8,EF=DEDF=3,故选:B6、兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下,一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为()A9.5米 B10.75米 C11.8米 D9.8米【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图:延长FE交AB于G,则RtABCRtAGF,AG:GF=AB:BC=物高:影长=1:0.5GF=0.5AG又GF=GE+EF,BD=GE GF=4.6 AG=9.2AB=AG+GB

    17、=9.5,即树高为9.5米故选A7、如图,在ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动,那么何时QBP与ABC相似?【解析】设经过t秒时,以QBC与ABC相似,则AP=2t,BP=82t,BQ=4t,PBQ=ABC,当=时,BPQBAC,即=,解得t=2(s);当=时,BPQBCA,即=,解得t=0.8(s);即经过2秒或0.8秒时,QBC与ABC相似8、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:如图,在水平地面点E处放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离AE=20米当她与镜子

    18、的距离CE=2.5米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注:入射角=反射角)【解析】如图,根据反射定律知:FEB=FED,BEA=DECBAE=DCE=90BAEDCE;CE=2.5米,DC=1.6米,; AB=12.8大楼AB的高为12.8米直击中考1、【2011深圳】如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC相似的是( ) A B C D【解析】B2、【2006深圳】如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已

    19、知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB等于( )A4.5米 B6米 C7.2米 D8米【解析】GCDABD(两个角对应相等的两个三角形相似),设BC=x,则,同理,得,x=3,AB=6故选:B3、【2011深圳】如图,ABC与DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD:BE的值为( )A:1 B:1 C5:3 D不确定【解析】连接OA、OD,ABC与DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,AOBC,DOEF,EDO=30,BAO=30,OD:OE=OA:OB=:1,DOE+EOA=BOA+EOA即DOA=EOB,DOAEOB,OD:OE=OA:OB=AD:BE=:1故选:A4

    20、、【2016深圳】如图,CB=CA,ACB=90,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FGCA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:AC=FG;SFAB:S四边形CBFG=1:2;ABC=ABF;AD2=FQAC,其中正确的结论的个数是( )A1 B2 C3 D4【解析】FGAACD(AAS),AC=FG,正确;BC=AC,FG=BC,ACB=90,FGCA,FGBC,四边形CBFG是矩形,CBF=90,SFAB=FBFG=S四边形CBFG,正确;CA=CB,C=CBF=90,ABC=ABF=45,正确;FQE=DQB=ADC,E=C=90,ACDFEQ,AC:AD=FE:FQ,ADFE=AD2=FQAC,正确;故选:DS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 成比例线段 2、平行线分线段成比例3、 三角形相似的条件 4、利用三角形相似测高5、相似三角形的性质与位似 名师点拨 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型,掌握对应的性质,并多加练习和总结,是解决本章内容的关键;对于动点类的题,以不变的数量关系,列方程解决,克服畏难心理是前提。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14


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